Quantitative BWL 2. Teil: Finanzwirtschaft
|
|
- Clara Beckenbauer
- vor 8 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Quantitative BWL 2. Teil: Finanzwirtschaft Mag. Tomáš Sedliačik Lehrstuhl für Finanzdienstleistungen Universität Wien 1
2 Themenübersicht 1. Portfoliotheorie und Portfoliomodelle i. Grundbegriffe: Rendite, Risiko, Wahrscheinlichkeitstheorie ii. Erwartungswert-Varianz-Portfoliotheorie iii. CAPM iv. Validation von CAPM, Evaluierung von Finanzinstrumenten 1. Optionen i. Optionsbegriff ii. Bewertung von Optionen a) Binomialbäume b) Black-Scholes Modell iii. Simulation und Hedging 2
3 Optionsbegriff Eine Option ist ein Vertrag, welches das Recht verkörpert, ein bestimmtes Gut, Underlying, (z.b. Ware, Wertpapier, etc.) zu bestimmten Vertragsbedingungen zu kaufen (Kaufsoption Call Option) bzw. zu verkaufen (Verkaufsoption Put Option). Vertragsbedingungen betreffen vor allem: Zeitperiode Basispreis Menge, etc. Europäische Option kann nur zu einem bestimmten Zeitpunkt T ausgeübt werden. Amerikanische Option kann in einem ganzen Zeitintervall, von 0 bis T, ausgeübt werden. 3
4 Optionsbegriff Eine Option ist also im Grunde auch ein Wertpapier, und hat daher einen bestimmten Wert. Entsprechend kann eine Option gekauft bzw. verkauft werden. Ein Optionsvertrag wird zwischen einem Ausgeber (Writer) und einem Käufer abgeschlossen. Der Käufer erwirbt somit ein Recht. Der Writer geht jedoch eine Verpflichtung ein. Zu dem Ausübungszeitpunkt (exercise date) kann sich der Käufer entscheiden, ob er das ihm zustehende Recht ausüben will oder nicht (exercise the option or not). 4
5 Optionsbegriff In der Folge wird folgende Notation verwendet: T Endzeitpunkt des Optionsvertrags X Basispreis (= vereinbarter Kaufs- bzw. Verkaufspreis) S t Preis des Underlyings zum Zeitpunkt t C Preis einer Kaufsoption P Preis einer Verkaufsoption Das Underlying einer Option kann grundsätzlich jedes mögliche Gut sein. In der Folge werden wir Optionen betrachten, die eine Aktie als Underlying haben, die sog. stock options. Die Interpretation kann einfach auf Optionen mit anderen Underlyings erweitert werden. 5
6 Zahlungsströme zum Zeitpunkt der Ausübung 6
7 Zahlungsströme zum Zeitpunkt der Ausübung 7
8 Zahlungsströme zum Zeitpunkt der Ausübung Der Writer einer Kaufsoption geht ein unbeschränktes Risiko ein. Bei der Verkaufsoption ist das Risiko durch X begrenzt. 8
9 Eigenschaften des Optionspreises In der Praxis ist man grundsätzlich daran interessiert, den Preis einer Option zu bestimmen! Bevor wir die Bewertung selbst herangehen, werden wir uns einige Basiseigenschaften des Preises einer Option überlegen. Diese Überlegungen basieren grundsätzlich auf dem No-Arbitrage- Argument! Da der Ertrag bei Optionsausübung (=Optionspreis zum Ausübungszeitpunkt) strikt von dem aktuellen Aktienpreis abhängt, ist es möglich durch geeignete Wahl der Anteile (=geeignete Investmentstrategie) risikolose Portfolios zu bilden, so dass sich die Schwankungen des Aktienpreises mit denen des Optionspreises kompensieren. 9
10 Eigenschaften des Optionspreises Strategie 1 Zum Zeitpunkt t = 0: Kaufe eine Aktie Schreibe (gebe heraus) eine Kaufoption Nehme einen Kredit in der Höhe des Kapitalwertes von dem Basispreis der Option X Zum Zeitpunkt t = T: Zahle den Kredit zurück Verkaufe die Aktie Erfülle die Verpflichtungen, falls der Optionsinhaber die Option ausübt 10
11 Eigenschaften des Optionspreises Zahlungsströme für Strategie 1 11
12 Eigenschaften des Optionspreises Um Arbitragegewinne zu vermeiden, muss Folgendes gelten: rt S 0 + Xe + C 0 C S0 Xe rt Da der Optionsvertrag ein Recht verkörpert, kann er keinen negativen Wert annehmen. Allgemein muss also folgendes Verhältnis für den Wert einer Kaufsoption erfüllt sein: C max( S 0 Xe rt,0) Für einen beliebigen Zeitpunkt t C t max( S t Xe r( T t), 0) 12
13 Eigenschaften des Optionspreises Strategie 2 Zum Zeitpunkt t = 0: Borge eine Aktie aus und verkaufe sie (short selling of one share of stock) Schreibe (gebe heraus) eine Verkaufsoption Lege den Kapitalwert von dem Basiswert der Option auf ein Konto in der Bank Zum Zeitpunkt t = T: Kaufe eine Aktie und gebe sie zurück Hebe das Geld von dem Konto ab Erfülle die Verpflichtungen im Fall von Optionsausübung 13
14 Eigenschaften des Optionspreises Zahlungsströme für Strategie 2 14
15 Eigenschaften des Optionspreises Ähnlich wie bei Strategie 1 kann man auch hier basierend auf dem No-Arbitrage-Argument folgendes Verhältnis, diesmal bezüglich des Preises einer Verkaufsoption, herleiten: P rt max( Xe S, 0 0) Allgemein, für einen beliebigen Zeitpunkt t P t max( Xe r( T t ) S t,0) Es ist offensichtlich, dass es zu keinem t < T günstig ist, eine Kaufsoption auszuüben. Aus diesem Grund kann man eine amerikanische Kaufsoption genau wie eine europäische Kaufsoption bewerten. Bei einer Verkaufsoption kann man dies jedoch nicht tun! 15
16 Eigenschaften des Optionspreises Konstruiert man in geeigneter Weise ein risikoloses Portfolio aus einer Kaufsoption, einer Verkaufsoption, einer geeigneten Anzahl von Aktien und des risikolosen Finanztitels, kann man ein wichtiges Verhältnis zwischen dem Preis einer Kaufsoption und dem einer Verkaufsoption, die sog. Put-Call-Parity herleiten! Danach stehen die beiden Optionspreise in einem genau definierten Verhältnis, wie folgt: C Xe rt + P rt + S 0 = 0 P = C + Xe S 0 Würde dieses Verhältnis nicht gelten, wären Arbitragegewinne erreichbar auf dem Markt! 16
17 Bewertung von Optionen Es gibt mehr Verfahren zur Bewertung von Optionen. In der Praxis werden vor allem die folgenden zwei Methoden angewendet: Binomialbäume Black-Scholes Modell Aus Zeitgründen werden wir uns nur mit dem ersten Verfahren beschäftigen. Die Bewertungsmethode anhand von Binomialbäumen hat zwei große Vorteile: Relativ einfach Anwendbar auch zur Bewertung von komplizierteren Wertpapierstrukturen 17
18 Binomialbäume zur Bewertung von Optionen Anstatt die gesamte Verteilung des künftigen Aktienpreises als stetiger Variable in stetiger Zeit zu betrachten, wird bei einem Binomialbaum die Zeit diskretisiert und die möglichen Realisierungen jedes in der nächsten Periode aufzutretenden Preises auf zwei Werte eingeschränkt. Betrachten wir nun folgendes Beispiel: Es wird ein europäischer Optionsvertrag für den Kauf von einer Aktie mit Ausübungszeitpunkt T abgeschlossen. Weiters ist bekannt: S 0 = 100 X = 100 S T kann entweder 96 oder 112 betragen 18
19 Binomialbäume zur Bewertung von Optionen Die Wertentwicklung zu t = T kann folgendermaßen dargestellt werden: Aktienpreis Optionspreis C 12 0 In geeigneter Weise kann man aus der Option und einer bestimmten Anzahl von Aktien ein risikoloses Portfolio bilden, welches bei jedem Zustand den gleichen Wert einnehmen wird! 19
20 Binomialbäume zur Bewertung von Optionen Die Anzahl von Aktien, welche das Portfolio risikolos stellt, n, ist leicht auszurechnen: max( S up T X,0) + S up T n = max( S down T X,0) + S down T n ( ) + 112n = n n = 3 4 Für den Wert eines solchen Portfolios zu t = 0 und t = T gilt π 0 = + C S 0n up down π T = max( S T X,0) + ST n = max( S T X,0) + up S T down n 20
21 Binomialbäume zur Bewertung von Optionen Da das Portfolio risikolos ist, muss seine Rendite der risikolosen Rendite entsprechen, um Arbitrage-Gewinne auszuschließen. Es muss also gelten: [ ] up up max( S X,0 + S n S n rt rt π 0 = e π T C = e T ) Dabei wird die risikolose Rendite mit r bezeichnet. Angenommen r = 5% p.a. Und T = 1 Jahr, dann gilt für C: T 0 C e = 0,05 max( ,0) C 6,51 21
22 Binomialbäume zur Bewertung von Optionen In diesem Spezialfall müsste also der Optionspreis 6,51 betragen, um jegliche Arbitrage-Möglichkeiten auszuschließen. Nun wollen wir dieses Verfahren zur Optionsbewertung etwas verallgemeinern. Angenommen der künftige Aktienpreis S T wird sich entweder als S 0 (1+u), Up -Zustand, oder als S 0 (1+d), Down -Zustand, ergeben. Dann muss bei dem entsprechend gebildeten risikolosen Portfolio gelten: C + ns0 ( 1 + u) = C d + ns0 (1 d u + ) 22
23 Binomialbäume zur Bewertung von Optionen Dabei sind C u und C d, also die Optionspreise zum Zeitpunkt T bei den entsprechenden Zuständen, folgendermaßen definiert: C u C d = = [ S (1 + u), 0] max 0 X [ S (1 + d), 0] max 0 X Die Anzahl der Aktien im risikolosen Portfolio, n, ist wiederum leicht auszurechnen. Aus der Gleichung des Optionspreises zu t = T ergibt sich: n Cd Cu = S 0 ( u d ) 23
24 Binomialbäume zur Bewertung von Optionen Wie bereits erwähnt, muss die Rendite jedes risikolosen Portfolios der risikolosen Rendite entsprechen, daher also π 0 = e rt π T Dabei ist r die stetige risikolose Rendite pro eine Zeiteinheit. Setzt man für π 0 und π T ein und führt einige Umformungsschritte durch, kommt man zu folgendem Ergebnis für den Optionspreis C: C = C u e e rt rt (1 + d ) ( u d ) + C d (1 + rt e u) ( u e d ) rt 24
25 Binomialbäume zur Bewertung von Optionen In gleicher Weise kann man auch den Preis einer Verkaufsoption ermitteln, indem man die geeignete Anzahl von Aktien findet, welche gemeinsam mit einer Verkaufsoption ein risikoloses Portfolio ergibt. Dies führt zu folgendem Ergebnis für eine Verkaufsoption: P = P u e e rt rt (1 + d ) ( u d ) + P d (1 + rt e u) ( u e d ) rt wobei [ X S (1 ), 0] P u = max 0 + u [ X S (1 ), 0] P = max 0 d d + 25
26 Binomialbäume zur Bewertung von Optionen Das bisher behandelte Binomialmodell war offensichtlich nur ein 1- Perioden-Modell, d.h. das Zeitintervall zwischen 0 und T wurde nur als eine Gesamtperiode angesehen. Entsprechend wurde die Entwicklung des Aktienpreises nur zu t = T betrachtet. Da bei einem Binomialbaum in jeder Periode nur zwei mögliche Zustände auftreten können, wurde die gesamte Verteilung des künftigen Aktienpreises S T in dem 1-Perioden-Modell auf nur zwei mögliche Werte bzw. Ausgänge simplifiziert. Das Verfahren kann jedoch leicht auf zwei und schließlich auf n Teilperioden erweitert werden, so dass viel mehr Ausgänge für S T betrachtet werden, was der tatsächlichen Verteilung von S T genauer entspricht und das Ergebnis daher relevanter wird. 26
27 Binomialbäume: 2-Perioden-Modell Angenommen wir teilen das Zeitintervall zwischen 0 und T in zwei (Teil)Perioden der gleichen Länge. Wir nehmen an, der Aktienpreis verändert sich in jeder der beiden Perioden entweder mit dem Faktor 1 + u, Up -Zustand, oder mit dem Faktor 1 + d, Down -Zustand. Gleichzeitig nehmen wir aus Einfachheitsgründen an, dass der risikolose Zinssatz r in beiden Perioden gleich hoch ist. Wir betrachten nun wiederum eine europäische Kaufsoption mit dem Ausübungszeitpunkt T (=Endzeitpunkt der zweiten Periode). 27
28 Binomialbäume: 2-Perioden-Modell Mögliche Entwicklung des Aktien- und Optionspreises Aktienpreis So(1+u)^2 So(1+u) So So(1+u)(1+d) So(1+d) So(1+d)^2 Optionspreis C Cu Cd Cuu Cud = Cdu Cdd 28
29 Binomialbäume: 2-Perioden-Modell Dabei ist der entsprechende zustandsabhängige Optionspreis zum Zeitpunkt T folgendermaßen bestimmt: C ij = max( S X,0), T ij Die Notation i und j steht für die in den Perioden aufgetretenen Zustände. Da sowohl der Basispreis X als auch alle möglichen zustandsabhängigen Werte von S T bekannt sind, ist auch der Optionspreis für jedes der möglichen Szenarien bekannt. Wie ist nun der aktuelle Optionspreis, zu t = 0, zu ermitteln? 29
30 Binomialbäume: 2-Perioden-Modell Man kann nun sukzessiv zuerst die möglichen Optionspreise zu t = T/2, also C u und C d, und anschließend den aktuellen Optionspreis C bestimmen. Dabei wendet man einfach Schritt für Schritt das bereits beim 1- Perioden-Modell relevante Verfahren an. Dementsprechend ist der sich im Zustand i ergebende Optionspreis zu Ende der 1. Periode, t = T/2, folgendermaßen auszurechnen: C i = C iu e e rt / 2 rt / 2 (1 + d) ( u d) + C id rt (1 + u) e rt / 2 e ( u d) / 2 30
31 Binomialbäume: 2-Perioden-Modell Wir bezeichnen nun die Faktoren, mit denen die, sich in der nächsten Periode ergebenden, Optionspreise C iu und C id entsprechend multipliziert werden, mit q u und q d. C = C q + i Der aktuelle Optionspreis, zu t = 0, ist dann gegeben durch: iu u 2 2 C = C q + C q = C q + 2C q q + C q u u d d uu u ud u d dd d Die Werte von q u und q d sind natürlich abhängig von der Anzahl der Perioden bzw. der Periodenlänge! C id q d 31
32 Binomialbäume: n-perioden-modell Selbstverständlich muss man sich keineswegs auf zwei Perioden beschränken. Das Zeitintervall 0 bis T kann auf beliebig viele n Perioden der gleichen Länge geteilt werden. Die Ermittlung von dem aktuellen Optionspreis C erfolgt dann durch sog. backward induction, indem man also beginnend mit möglichen Ausgängen zu T schrittweise die relevanten Optionspreise für eine Periode davor bestimmt, bis man schließlich den aktuellen Zeitpunkt t = 0 erreicht. Bei jedem n muss man sich die für die entsprechende Periodenlänge Δt = T/n geeigneten Werte von u und d überlegen und die relevanten Werte von q u und q d ermitteln! 32
33 Binomialbäume: n-perioden-modell Insgesamt gibt es also n Perioden innerhalb des Intervalls 0 bis T. In jeder Periode tritt entweder der Up - oder der Down -Zustand auf. Daher gibt es insgesamt 2 n mögliche Szenarien für die Entwicklung des Aktienpreises. Dabei resultieren jedoch viele der Szenarien im gleichen Ausgang von S T. Es ist nämlich nur die Anzahl der Up - bzw. Down -Zustände für den Aktienpreis relevant! Auf die Reihenfolge kommt es nicht an! Entsprechend gibt es also n + 1 mögliche Ausgänge für S T. 33
34 Binomialbäume: n-perioden-modell Bezeichnen wir nun mit i die Anzahl der Up -Zustände, die zwischen 0 und T auftreten. i kann also die Werte 0, 1, 2,, n annehmen. Die Anzahl der Szenarien, die zum entsprechenden Ausgang von S T, also S T = S 0 (1+u) i (1+d) n-i führen, beträgt natürlich. Wendet man nun das bereits hergeleitete Binomialbaum-Verfahren an und summiert also alle möglichen Ausgänge des Optionspreises, multipliziert mit den entsprechenden Faktoren, auf, erhält man für C: C = n i= 0 n q i u i q d n i max 0 n i [ S (1 u) (1 d) X,0] i n i
35 Binomialbäume: n-perioden-modell Es folgt automatisch für den Preis einer Verkaufsoption: P n = i= 0 n q i u i q d n i [ (1 ) (1 ),0] i n i X S + u + d max 0 Obwohl das Verfahren anhand von europäischen Optionen hergeleitet wurde, gilt es auch für amerikanische Kaufsoptionen, denn diese werden vor dem Zeitpunkt T optimalerweise nicht ausgeübt. Bei der Bewertung einer amerikanischen Verkaufsoption müsste man in jeder Periode auf jedem Knoten den aktuellen Optionswert mit dem möglichen Ertrag im Fall der Ausübung der Option vergleichen und entsprechend den größeren Wert als Optionspreis betrachten. 35
Aufgaben Brealey/Myers [2003], Kapitel 21
Quiz: 1, 2, 4, 6, 7, 10 Practice Questions: 1, 3, 5, 6, 7, 10, 12, 13 Folie 0 Lösung Quiz 7: a. Das Optionsdelta ergibt sich wie folgt: Spanne der möglichen Optionspreise Spanne der möglichen Aktienkurs
MehrQuantitative BWL [Teil Finanzwirtschaft]
Quantitative BWL [eil Finanzwirtschaft] hemenübersicht 1. Portfoliotheorie und Portfoliomodelle 1.1. Grundbegriffe: Rendite, Risiko, Wahrscheinlichkeitstheorie 1.. Erwartungswert-Varianz-Portfoliotheorie
MehrLineargleichungssysteme: Additions-/ Subtraktionsverfahren
Lineargleichungssysteme: Additions-/ Subtraktionsverfahren W. Kippels 22. Februar 2014 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 2 2 Lineargleichungssysteme zweiten Grades 2 3 Lineargleichungssysteme höheren als
MehrVertical-Spreads Iron Condor Erfolgsaussichten
www.mumorex.ch 08.03.2015 1 Eigenschaften Erwartung Preis Long Calls Long Puts Kombination mit Aktien Vertical-Spreads Iron Condor Erfolgsaussichten www.mumorex.ch 08.03.2015 2 www.mumorex.ch 08.03.2015
MehrWichtige Begriffe in der Finanzmathematik
Wichtige Begriffe in der Finanzmathematik Forward: Kontrakt, ein Finanzgut zu einem fest vereinbarten Zeitpunkt bzw. innerhalb eines Zeitraums zu einem vereinbarten Erfüllungspreis zu kaufen bzw. verkaufen.
MehrFlonia Lengu. Termingeschäfte: Futures und Optionen/Forwards/Futures: Terminkauf und -verkauf
Flonia Lengu Termingeschäfte: Futures und Optionen/Forwards/Futures: Terminkauf und -verkauf Gliederung 1. Einführung in derivative Finanzinstrumente 2. Futures und Optionen 3. Terminkauf und verkauf von
MehrOptionen am Beispiel erklärt
Optionen am Beispiel erklärt Long Call Short Call Long Put Short Put von Jens Kürschner Grundlagen 2 Definition einer Option Eine Option bezeichnet in der Wirtschaft ein Recht, eine bestimmte Sache zu
MehrKapitalerhöhung - Verbuchung
Kapitalerhöhung - Verbuchung Beschreibung Eine Kapitalerhöhung ist eine Erhöhung des Aktienkapitals einer Aktiengesellschaft durch Emission von en Aktien. Es gibt unterschiedliche Formen von Kapitalerhöhung.
MehrInvestition und Finanzierung
Tutorium Investition und Finanzierung Sommersemester 2014 Investition und Finanzierung Tutorium Folie 1 Inhaltliche Gliederung des 3. Tutorium Investition und Finanzierung Tutorium Folie 2 Aufgabe 1: Zwischenform
MehrProfessionelle Seminare im Bereich MS-Office
Der Name BEREICH.VERSCHIEBEN() ist etwas unglücklich gewählt. Man kann mit der Funktion Bereiche zwar verschieben, man kann Bereiche aber auch verkleinern oder vergrößern. Besser wäre es, die Funktion
MehrEinleitung. Das Ein-Perioden-Modell ist das einfachste. von derivaten Finanzinstrumenten (hier: Optionen) zu erklären.
Einleitung Das Ein-Perioden-Modell ist das einfachste Modell, um die Idee der Preisgebung von derivaten Finanzinstrumenten (hier: Optionen) zu erklären. naive Idee der Optionspreisbestimmung: Erwartungswertprinzip
MehrAufgaben zur Vorlesung Finanzmanagement
Aufgaben zur Vorlesung Finanzmanagement B. rke FH Gelsenkirchen, Abteilung Bocholt February 4, 006 Aufgabenblatt: "Bewertung von Optionen" 1 Lösungshinweise 1 uropean Put Option Zeichnen Sie den einer
MehrInternationale Finanzierung 7. Optionen
Übersicht Kapitel 7: 7.1. Einführung 7.2. Der Wert einer Option 7.3. Regeln für Optionspreise auf einem arbitragefreien Markt 7.3.1. Regeln für Calls 7.3.2. Regeln für Puts 7.3.3. Die Put Call Parität
MehrFinanzmanagement 5. Optionen
Übersicht Kapitel 5: 5.1. Einführung 5.2. Der Wert einer Option 5.3. Regeln für Optionspreise auf einem arbitragefreien Markt 5.3.1. Regeln für Calls 5.3.2. Regeln für Puts 5.3.3. Die Put Call Parität
MehrMusterlösung Übung 3
Musterlösung Übung 3 http://www.hoadley.net/options/ http://www.eeh.ee.ethz.ch/en/power/power-systems-laboratory/services 1. Optionsbewertung nach Black / Scholes a) Bewerten Sie eine Call-Option mit den
MehrKorrigenda Handbuch der Bewertung
Korrigenda Handbuch der Bewertung Kapitel 3 Abschnitt 3.5 Seite(n) 104-109 Titel Der Terminvertrag: Ein Beispiel für den Einsatz von Future Values Änderungen In den Beispielen 21 und 22 ist der Halbjahressatz
Mehr1. Man schreibe die folgenden Aussagen jeweils in einen normalen Satz um. Zum Beispiel kann man die Aussage:
Zählen und Zahlbereiche Übungsblatt 1 1. Man schreibe die folgenden Aussagen jeweils in einen normalen Satz um. Zum Beispiel kann man die Aussage: Für alle m, n N gilt m + n = n + m. in den Satz umschreiben:
MehrMusterlösung Übung 2
Musterlösung Übung 2 http://www.hoadley.net/options/ http://www.eeh.ee.ethz.ch/en/power/power-systems-laboratory/services 1. Optionsbewertung nach Black / Scholes a) Bewerten Sie eine Call-Option mit den
MehrPrivate Banking. Region Ost. Risikomanagement und Ertragsverbesserung durch Termingeschäfte
Private Banking Region Ost Risikomanagement und Ertragsverbesserung durch Termingeschäfte Ihre Ansprechpartner Deutsche Bank AG Betreuungscenter Derivate Region Ost Vermögensverwaltung Unter den Linden
MehrAusarbeitung des Seminarvortrags zum Thema
Ausarbeitung des Seminarvortrags zum Thema Anlagepreisbewegung zum Seminar Finanzmathematische Modelle und Simulationen bei Raphael Kruse und Prof. Dr. Wolf-Jürgen Beyn von Imke Meyer im W9/10 Anlagepreisbewegung
MehrDerivate und Bewertung
. Dr. Daniel Sommer Marie-Curie-Str. 30 60439 Franfurt am Main Klausur Derivate und Bewertung.......... Wintersemester 2008/09 Klausur Derivate und Bewertung Wintersemester 2008/09 Aufgabe 1: Zinsurven,
MehrWürfelt man dabei je genau 10 - mal eine 1, 2, 3, 4, 5 und 6, so beträgt die Anzahl. der verschiedenen Reihenfolgen, in denen man dies tun kann, 60!.
040304 Übung 9a Analysis, Abschnitt 4, Folie 8 Die Wahrscheinlichkeit, dass bei n - maliger Durchführung eines Zufallexperiments ein Ereignis A ( mit Wahrscheinlichkeit p p ( A ) ) für eine beliebige Anzahl
MehrDerivatebewertung im Binomialmodell
Derivatebewertung im Binomialmodell Roland Stamm 27. Juni 2013 Roland Stamm 1 / 24 Agenda 1 Einleitung 2 Binomialmodell mit einer Periode 3 Binomialmodell mit mehreren Perioden 4 Kritische Würdigung und
MehrLösungshinweise zur Einsendearbeit 2 SS 2011
Lösungshinweise zur Einsendearbeit 2 zum Kurs 41500, Finanzwirtschaft: Grundlagen, SS2011 1 Lösungshinweise zur Einsendearbeit 2 SS 2011 Finanzwirtschaft: Grundlagen, Kurs 41500 Aufgabe Finanzierungsbeziehungen
MehrFinanzwirtschaft. Teil II: Bewertung
Zeitwert des Geldes 1 Finanzwirtschaft Teil II: Bewertung Zeitwert des Geldes Zeitwert des Geldes 2 Bewertung & Zeitwert des Geldes Finanzwirtschaft behandelt die Bewertung von Real- und Finanzwerten.
MehrNotationen. Burkhard Weiss Futures & Optionen Folie 2
Optionspreismodelle Notationen S t : X: T: t: S T : r: C: P: c: p: s: aktueller Aktienkurs Ausübungspreis (Rest-)laufzeit der Option Bewertungszeitpunkt Aktienkurs bei Verfall risikofreier Zinssatz Preis
MehrManager. von Peter Pfeifer, Waltraud Pfeifer, Burkhard Münchhagen. Spielanleitung
Manager von Peter Pfeifer, Waltraud Pfeifer, Burkhard Münchhagen Spielanleitung Manager Ein rasantes Wirtschaftsspiel für 3 bis 6 Spieler. Das Glück Ihrer Firma liegt in Ihren Händen! Bestehen Sie gegen
MehrÜbung zu Forwards, Futures & Optionen
Übung zu Forwards, Futures & Optionen Vertiefungsstudium Finanzwirtschaft Dr. Eric Nowak SS 2001 Finanzwirtschaft Wahrenburg 15.05.01 1 Aufgabe 1: Forward auf Zerobond Wesentliche Eckpunkte des Forwardgeschäfts:
MehrBewertung von Barriere Optionen im CRR-Modell
Bewertung von Barriere Optionen im CRR-Modell Seminararbeit von Susanna Wankmueller. April 00 Barriere Optionen sind eine Sonderform von Optionen und gehören zu den exotischen Optionen. Sie dienen dazu,
MehrPrimzahlen und RSA-Verschlüsselung
Primzahlen und RSA-Verschlüsselung Michael Fütterer und Jonathan Zachhuber 1 Einiges zu Primzahlen Ein paar Definitionen: Wir bezeichnen mit Z die Menge der positiven und negativen ganzen Zahlen, also
MehrIm weiteren werden die folgenden Bezeichnungen benutzt: Zinsrechnung
4.2 Grundbegriffe der Finanzmathematik Im weiteren werden die folgenden Bezeichnungen benutzt: K 0 Anfangskapital p Zinsfuß pro Zeiteinheit (in %) d = p Zinssatz pro Zeiteinheit 100 q = 1+d Aufzinsungsfaktor
MehrZeichen bei Zahlen entschlüsseln
Zeichen bei Zahlen entschlüsseln In diesem Kapitel... Verwendung des Zahlenstrahls Absolut richtige Bestimmung von absoluten Werten Operationen bei Zahlen mit Vorzeichen: Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren
Mehreinfache Rendite 0 145 85 1 160 90 2 135 100 3 165 105 4 190 95 5 210 110
Übungsbeispiele 1/6 1) Vervollständigen Sie folgende Tabelle: Nr. Aktie A Aktie B Schlusskurs in Schlusskurs in 0 145 85 1 160 90 2 135 100 3 165 105 4 190 95 5 210 110 Arithmetisches Mittel Standardabweichung
MehrVALUATION Übung 5 Terminverträge und Optionen. Adrian Michel Universität Bern
VALUATION Übung 5 Terminverträge und Optionen Adrian Michel Universität Bern Aufgabe Tom & Jerry Aufgabe > Terminpreis Tom F Tom ( + R) = 955'000 ( + 0.06) = 99'87. 84 T = S CHF > Monatliche Miete Jerry
MehrFinanzmathematik - Wintersemester 2007/08. http://code.google.com/p/mitgetexed/
Finanzmathematik - Wintersemester 2007/08 http://code.google.com/p/mitgetexed/ Stand: 4. November 2007 Inhaltsverzeichnis 1 Motivation und erste Begriffe 2 2 Endliche Finanzmärkte 4 3 Das Cox-Ross-Rubinstein-Modell
MehrFinanzwirtschaft. Teil II: Bewertung. Zinssätze und Renten
Zinssätze und Renten 1 Finanzwirtschaft Teil II: Bewertung Zinssätze und Renten Agenda Zinssätze und Renten 2 Effektivzinsen Spot-Zinsen Forward-Zinsen Bewertung Kennziffern Zusammenfassung Zinssätze und
Mehr3.6Derivate Finanzinstrumente
3.6Derivate Finanzinstrumente S.1 Quelle: http://www.eurexchange.com/resources/web_based_training/futures_optionen/index.html S.2 Der Inhaber eines Optionsscheins(Warrant)hat das Recht, während einer bestimmten
MehrGrundlagen der Theoretischen Informatik, SoSe 2008
1. Aufgabenblatt zur Vorlesung Grundlagen der Theoretischen Informatik, SoSe 2008 (Dr. Frank Hoffmann) Lösung von Manuel Jain und Benjamin Bortfeldt Aufgabe 2 Zustandsdiagramme (6 Punkte, wird korrigiert)
MehrVeranlagen Wertpapiere und Kapitalmarkt
Ansparen Veranlagen Wertpapiere und und veranlagen Kapitalmarkt 2 2 In jeder Lebensphase, ob in der Jugend oder im Alter, haben Menschen Wünsche, die Geld kosten. Wenn Sie Schritt für Schritt ein kleines
MehrKapitalerhöhung - Verbuchung
Kapitalerhöhung - Verbuchung Beschreibung Eine Kapitalerhöhung ist eine Erhöhung des Aktienkapitals einer Aktiengesellschaft durch Emission von en Aktien. Es gibt unterschiedliche Formen von Kapitalerhöhung.
MehrOptionen - Verbuchung
Optionen - Verbuchung Dieses Dokument begleitet Sie durch die "state-of-the-art" Buchung von Call- und Put- Optionen. Zuerst wird Die Definition von einfachen Calls und Puts (plain vanilla options) wiederholt.
MehrAufgaben zur Flächenberechnung mit der Integralrechung
ufgaben zur Flächenberechnung mit der Integralrechung ) Geben ist die Funktion f(x) = -x + x. a) Wie groß ist die Fläche, die die Kurve von f mit der x-chse einschließt? b) Welche Fläche schließt der Graph
MehrDie Gesellschaftsformen
Jede Firma - auch eure Schülerfirma - muss sich an bestimmte Spielregeln halten. Dazu gehört auch, dass eine bestimmte Rechtsform für das Unternehmen gewählt wird. Für eure Schülerfirma könnt ihr zwischen
Mehrist die Vergütung für die leihweise Überlassung von Kapital ist die leihweise überlassenen Geldsumme
Information In der Zinsrechnung sind 4 Größen wichtig: ZINSEN Z ist die Vergütung für die leihweise Überlassung von Kapital KAPITAL K ist die leihweise überlassenen Geldsumme ZINSSATZ p (Zinsfuß) gibt
MehrLineare Gleichungssysteme
Lineare Gleichungssysteme 1 Zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten Es kommt häufig vor, dass man nicht mit einer Variablen alleine auskommt, um ein Problem zu lösen. Das folgende Beispiel soll dies verdeutlichen
MehrGeld Verdienen im Internet leicht gemacht
Geld Verdienen im Internet leicht gemacht Hallo, Sie haben sich dieses E-book wahrscheinlich herunter geladen, weil Sie gerne lernen würden wie sie im Internet Geld verdienen können, oder? Denn genau das
MehrAGROPLUS Buchhaltung. Daten-Server und Sicherheitskopie. Version vom 21.10.2013b
AGROPLUS Buchhaltung Daten-Server und Sicherheitskopie Version vom 21.10.2013b 3a) Der Daten-Server Modus und der Tresor Der Daten-Server ist eine Betriebsart welche dem Nutzer eine grosse Flexibilität
Mehr1 topologisches Sortieren
Wolfgang Hönig / Andreas Ecke WS 09/0 topologisches Sortieren. Überblick. Solange noch Knoten vorhanden: a) Suche Knoten v, zu dem keine Kante führt (Falls nicht vorhanden keine topologische Sortierung
MehrRisikoeinstellungen empirisch
Risikoeinstellungen empirisch Risk attitude and Investment Decisions across European Countries Are women more conservative investors than men? Oleg Badunenko, Nataliya Barasinska, Dorothea Schäfer http://www.diw.de/deutsch/soep/uebersicht_ueber_das_soep/27180.html#79569
MehrÜbungsaufgaben Tilgungsrechnung
1 Zusatzmaterialien zu Finanz- und Wirtschaftsmathematik im Unterricht, Band 1 Übungsaufgaben Tilgungsrechnung Überarbeitungsstand: 1.März 2016 Die grundlegenden Ideen der folgenden Aufgaben beruhen auf
Mehr4. AUSSAGENLOGIK: SYNTAX. Der Unterschied zwischen Objektsprache und Metasprache lässt sich folgendermaßen charakterisieren:
4. AUSSAGENLOGIK: SYNTAX 4.1 Objektsprache und Metasprache 4.2 Gebrauch und Erwähnung 4.3 Metavariablen: Verallgemeinerndes Sprechen über Ausdrücke von AL 4.4 Die Sprache der Aussagenlogik 4.5 Terminologie
MehrWas ist eine Aktie? Detlef Faber
Was ist eine Aktie? Wenn eine Firma hohe Investitionskosten hat, kann sie eine Aktiengesellschaft gründen und bei privaten Geldgebern Geld einsammeln. Wer eine Aktie hat, besitzt dadurch ein Stück der
MehrQuantilsschätzung als Werkzeug zur VaR-Berechnung
Quantilsschätzung als Werkzeug zur VaR-Berechnung Ralf Lister, Aktuar, lister@actuarial-files.com Zusammenfassung: Zwei Fälle werden betrachtet und die jeweiligen VaR-Werte errechnet. Im ersten Fall wird
MehrDas Black-Scholes Marktmodell
Das Black-Scholes Marktmodell Andreas Eichler Institut für Finanzmathematik Johannes Kepler Universität Linz 8. April 2011 1 / 14 Gliederung 1 Einleitung Fortgeschrittene Finanzmathematik einfach erklärt
MehrDas große ElterngeldPlus 1x1. Alles über das ElterngeldPlus. Wer kann ElterngeldPlus beantragen? ElterngeldPlus verstehen ein paar einleitende Fakten
Das große x -4 Alles über das Wer kann beantragen? Generell kann jeder beantragen! Eltern (Mütter UND Väter), die schon während ihrer Elternzeit wieder in Teilzeit arbeiten möchten. Eltern, die während
MehrFinanzwirtschaft Wertpapiere
Finanzwirtschaft Wertpapiere 1. Kauf von Dividendenpapieren Aufgabe 1: Kauf von 10 Aktien der X-AG zum Kurs von 120,00 je Stück. Die Gebühren belaufen sich auf 1,08%. a) Die Wertpapiere sollen kurzfristig
MehrSollsaldo und Habensaldo
ollsaldo und abensaldo Man hört oft die Aussage "Ein ollsaldo steht im aben, und ein abensaldo steht im oll". Da fragt man sich aber, warum der ollsaldo dann ollsaldo heißt und nicht abensaldo, und warum
MehrProf. Dr. Arnd Wiedemann Methodische Grundlagen des Controlling und Risikomanagements
Prof. Dr. Arnd Wiedemann Methodische Grundlagen des Controlling und Risikomanagements Prof. Dr. Arnd Wiedemann Methoden CRM / WS 12-13 1 Agenda Teil A: Teil B: Teil C: Finanzmathematisches Basiswissen
MehrRente = laufende Zahlungen, die in regelmäßigen Zeitabschnitten (periodisch) wiederkehren Rentenperiode = Zeitabstand zwischen zwei Rentenzahlungen
1 3.2. entenrechnung Definition: ente = laufende Zahlungen, die in regelmäßigen Zeitabschnitten (periodisch) wiederkehren entenperiode = Zeitabstand zwischen zwei entenzahlungen Finanzmathematisch sind
MehrAnleitung zur Daten zur Datensicherung und Datenrücksicherung. Datensicherung
Anleitung zur Daten zur Datensicherung und Datenrücksicherung Datensicherung Es gibt drei Möglichkeiten der Datensicherung. Zwei davon sind in Ges eingebaut, die dritte ist eine manuelle Möglichkeit. In
MehrKapitel 4 Die Datenbank Kuchenbestellung Seite 1
Kapitel 4 Die Datenbank Kuchenbestellung Seite 1 4 Die Datenbank Kuchenbestellung In diesem Kapitel werde ich die Theorie aus Kapitel 2 Die Datenbank Buchausleihe an Hand einer weiteren Datenbank Kuchenbestellung
MehrDerivate und Bewertung
. Dr. Daniel Sommer Marie-Curie-Str. 0 6049 Frankfurt am Main Klausur Derivate und Bewertung.......... Wintersemester 006/07 Klausur Derivate und Bewertung Wintersemester 006/07 Aufgabe 1: Statische Optionsstrategien
MehrDie Gleichung A x = a hat für A 0 die eindeutig bestimmte Lösung. Für A=0 und a 0 existiert keine Lösung.
Lineare Gleichungen mit einer Unbekannten Die Grundform der linearen Gleichung mit einer Unbekannten x lautet A x = a Dabei sind A, a reelle Zahlen. Die Gleichung lösen heißt, alle reellen Zahlen anzugeben,
MehrRepetitionsaufgaben Wurzelgleichungen
Repetitionsaufgaben Wurzelgleichungen Inhaltsverzeichnis A) Vorbemerkungen B) Lernziele C) Theorie mit Aufgaben D) Aufgaben mit Musterlösungen 4 A) Vorbemerkungen Bitte beachten Sie: Bei Wurzelgleichungen
Mehr8. Berechnung der kalkulatorischen Zinsen
8. Berechnung der kalkulatorischen Zinsen 8.1. Allgemeines In der laufenden Rechnung werden im Konto 322.00 Zinsen nur die ermittelten Fremdkapitalzinsen erfasst. Sobald aber eine Betriebsabrechnung erstellt
MehrStatuten in leichter Sprache
Statuten in leichter Sprache Zweck vom Verein Artikel 1: Zivil-Gesetz-Buch Es gibt einen Verein der selbstbestimmung.ch heisst. Der Verein ist so aufgebaut, wie es im Zivil-Gesetz-Buch steht. Im Zivil-Gesetz-Buch
MehrMathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt 3 1. Semester ARBEITSBLATT 3 RECHNEN MIT GANZEN ZAHLEN
ARBEITSBLATT 3 RECHNEN MIT GANZEN ZAHLEN Wir wollen nun die Rechengesetze der natürlichen Zahlen auf die Zahlenmenge der ganzen Zahlen erweitern und zwar so, dass sie zu keinem Widerspruch mit bisher geltenden
MehrTutorial: Homogenitätstest
Tutorial: Homogenitätstest Eine Bank möchte die Kreditwürdigkeit potenzieller Kreditnehmer abschätzen. Einerseits lebt die Bank ja von der Vergabe von Krediten, andererseits verursachen Problemkredite
MehrPapa - was ist American Dream?
Papa - was ist American Dream? Das heißt Amerikanischer Traum. Ja, das weiß ich, aber was heißt das? Der [wpseo]amerikanische Traum[/wpseo] heißt, dass jeder Mensch allein durch harte Arbeit und Willenskraft
MehrLeseprobe - Seite 5 - Kapitel 5 Fragetechniken - Einfürung
So werden Sie ein Nutzenverkäufer Fernlehrgang 1-04 2b4u Kapitel 5-1 Leseprobe - Seite 5 - Kapitel 5 Fragetechniken - Einfürung Wie bereits oben erwähnt: haben die Funktion von Wegweisern! Kunde: Kunde:
MehrGrundlagen der höheren Mathematik Einige Hinweise zum Lösen von Gleichungen
Grundlagen der höheren Mathematik Einige Hinweise zum Lösen von Gleichungen 1. Quadratische Gleichungen Quadratische Gleichungen lassen sich immer auf die sog. normierte Form x 2 + px + = 0 bringen, in
MehrZahlenwinkel: Forscherkarte 1. alleine. Zahlenwinkel: Forschertipp 1
Zahlenwinkel: Forscherkarte 1 alleine Tipp 1 Lege die Ziffern von 1 bis 9 so in den Zahlenwinkel, dass jeder Arm des Zahlenwinkels zusammengezählt das gleiche Ergebnis ergibt! Finde möglichst viele verschiedene
MehrIRF2000 Application Note Lösung von IP-Adresskonflikten bei zwei identischen Netzwerken
Version 2.0 1 Original-Application Note ads-tec GmbH IRF2000 Application Note Lösung von IP-Adresskonflikten bei zwei identischen Netzwerken Stand: 27.10.2014 ads-tec GmbH 2014 IRF2000 2 Inhaltsverzeichnis
MehrInhalt 1. Was wird gefördert? Bausparverträge
Inhalt 1. Was wird gefördert? 2. Wie viel Prozent bringt das? 3. In welchem Alter ist das sinnvoll? 4. Wie viel muss man sparen? 5. Bis zu welchem Einkommen gibt es Förderung? 6. Wie groß sollten die Verträge
MehrQuadratische Gleichungen
Quadratische Gleichungen Aufgabe: Versuche eine Lösung zu den folgenden Zahlenrätseln zu finden:.) Verdoppelt man das Quadrat einer Zahl und addiert, so erhält man 00..) Addiert man zum Quadrat einer Zahl
MehrUnterrichtsmaterialien in digitaler und in gedruckter Form. Auszug aus: Übungsbuch für den Grundkurs mit Tipps und Lösungen: Analysis
Unterrichtsmaterialien in digitaler und in gedruckter Form Auszug aus: Übungsbuch für den Grundkurs mit Tipps und Lösungen: Analysis Das komplette Material finden Sie hier: Download bei School-Scout.de
MehrDIPLOM. Abschlussklausur der Vorlesung Bank I, II:
Seite 1 von 9 Name: Matrikelnummer: DIPLOM Abschlussklausur der Vorlesung Bank I, II: Bankmanagement und Theory of Banking Seite 2 von 9 DIPLOM Abschlussklausur der Vorlesung Bank I, II: Bankmanagement
MehrOutlook-Daten komplett sichern
Outlook-Daten komplett sichern Komplettsicherung beinhaltet alle Daten wie auch Kontakte und Kalender eines Benutzers. Zu diesem Zweck öffnen wir OUTLOOK und wählen Datei -> Optionen und weiter geht es
MehrAuswirkungen der Güterstände auf das Erbrecht eingetragener Lebenspartner
Auswirkungen der Güterstände auf das Erbrecht eingetragener Lebenspartner Seit dem 01. Januar 2005 ist das eheliche Güterrecht des Bürgerlichen Gesetzbuchs (BGB) auch auf eingetragene Lebenspartnerschaften
MehrCharakteristikum des Gutachtenstils: Es wird mit einer Frage begonnen, sodann werden die Voraussetzungen Schritt für Schritt aufgezeigt und erörtert.
Der Gutachtenstil: Charakteristikum des Gutachtenstils: Es wird mit einer Frage begonnen, sodann werden die Voraussetzungen Schritt für Schritt aufgezeigt und erörtert. Das Ergebnis steht am Schluß. Charakteristikum
MehrLösungen zu Kapitel 24: Ergebnis je Aktie Aufgabe 1
Lösungen zu Kapitel 24: Ergebnis je Aktie Aufgabe 1 a) Der Begriff Verwässerung bezieht sich auf die Vermögensposition der Altaktionäre. Diese Vermögensposition wird durch die Ausgabe potentieller Aktien
MehrStellen Sie bitte den Cursor in die Spalte B2 und rufen die Funktion Sverweis auf. Es öffnet sich folgendes Dialogfenster
Es gibt in Excel unter anderem die so genannten Suchfunktionen / Matrixfunktionen Damit können Sie Werte innerhalb eines bestimmten Bereichs suchen. Als Beispiel möchte ich die Funktion Sverweis zeigen.
MehrWelchen Nutzen haben Risikoanalysen für Privatanleger?
Welchen Nutzen haben Risikoanalysen für Privatanleger? Beispiel: Sie sind im Sommer 2007 Erbe deutscher Aktien mit einem Depotwert von z. B. 1 Mio. geworden. Diese Aktien lassen Sie passiv im Depot liegen,
MehrBanken und Börsen, Kurs 41520 (Inhaltlicher Bezug: KE 1)
1 Lösungshinweise zur Einsendearbeit 1: SS 2012 Banken und Börsen, Kurs 41520 (Inhaltlicher Bezug: KE 1) Fristentransformation 50 Punkte Die Bank B gibt im Zeitpunkt t = 0 einen Kredit mit einer Laufzeit
MehrWAS finde ich WO im Beipackzettel
WAS finde ich WO im Beipackzettel Sie haben eine Frage zu Ihrem? Meist finden Sie die Antwort im Beipackzettel (offiziell "Gebrauchsinformation" genannt). Der Aufbau der Beipackzettel ist von den Behörden
MehrLinearen Gleichungssysteme Anwendungsaufgaben
Linearen Gleichungssysteme Anwendungsaufgaben Lb S. 166 Nr.9 Im Jugendherbergsverzeichnis ist angegeben, dass in der Jugendherberge in Eulenburg 145 Jugendliche in 35 Zimmern übernachten können. Es gibt
MehrInvestitionsentscheidungsrechnung vollständiger Finanzplan
Die klassischen statischen und dynamischen Investitionsrechenverfahren sind Verfahren der Sicherheit und basieren auf der Annahme des vollständigen Kapitalmarktes. Dieser sagt aus, das jedermann, losgelöst
MehrAUTOMATISIERTE HANDELSSYSTEME
UweGresser Stefan Listing AUTOMATISIERTE HANDELSSYSTEME Erfolgreich investieren mit Gresser K9 FinanzBuch Verlag 1 Einsatz des automatisierten Handelssystems Gresser K9 im Portfoliomanagement Portfoliotheorie
MehrAnimationen erstellen
Animationen erstellen Unter Animation wird hier das Erscheinen oder Bewegen von Objekten Texten und Bildern verstanden Dazu wird zunächst eine neue Folie erstellt : Einfügen/ Neue Folie... Das Layout Aufzählung
Mehr50. Mathematik-Olympiade 2. Stufe (Regionalrunde) Klasse 11 13. 501322 Lösung 10 Punkte
50. Mathematik-Olympiade. Stufe (Regionalrunde) Klasse 3 Lösungen c 00 Aufgabenausschuss des Mathematik-Olympiaden e.v. www.mathematik-olympiaden.de. Alle Rechte vorbehalten. 503 Lösung 0 Punkte Es seien
MehrKommunikations-Management
Tutorial: Wie kann ich E-Mails schreiben? Im vorliegenden Tutorial lernen Sie, wie Sie in myfactory E-Mails schreiben können. In myfactory können Sie jederzeit schnell und einfach E-Mails verfassen egal
MehrPKV-Info. Lohnt der Wechsel innerhalb der PKV?
PKV-Info Lohnt der Wechsel innerhalb der PKV? 2 Die Unternehmen der privaten Krankenversicherung (PKV) stehen miteinander im Wettbewerb. Das ist so gewollt, zum Nutzen der Versicherten. Denn jeder Wettbewerb
MehrBeispiel 48. 4.3.2 Zusammengesetzte Zufallsvariablen
4.3.2 Zusammengesetzte Zufallsvariablen Beispiel 48 Ein Würfel werde zweimal geworfen. X bzw. Y bezeichne die Augenzahl im ersten bzw. zweiten Wurf. Sei Z := X + Y die Summe der gewürfelten Augenzahlen.
MehrEinführung in. Logische Schaltungen
Einführung in Logische Schaltungen 1/7 Inhaltsverzeichnis 1. Einführung 1. Was sind logische Schaltungen 2. Grundlegende Elemente 3. Weitere Elemente 4. Beispiel einer logischen Schaltung 2. Notation von
MehrBin Packing oder Wie bekomme ich die Klamotten in die Kisten?
Bin Packing oder Wie bekomme ich die Klamotten in die Kisten? Ich habe diesen Sommer mein Abi gemacht und möchte zum Herbst mit dem Studium beginnen Informatik natürlich! Da es in meinem kleinen Ort keine
MehrHerzlich Willkommen beim Webinar: Was verkaufen wir eigentlich?
Herzlich Willkommen beim Webinar: Was verkaufen wir eigentlich? Was verkaufen wir eigentlich? Provokativ gefragt! Ein Hotel Marketing Konzept Was ist das? Keine Webseite, kein SEO, kein Paket,. Was verkaufen
MehrOutlook. sysplus.ch outlook - mail-grundlagen Seite 1/8. Mail-Grundlagen. Posteingang
sysplus.ch outlook - mail-grundlagen Seite 1/8 Outlook Mail-Grundlagen Posteingang Es gibt verschiedene Möglichkeiten, um zum Posteingang zu gelangen. Man kann links im Outlook-Fenster auf die Schaltfläche
MehrTOP SELECT PLUS Newsletter Nr.2
TOP SELECT PLUS Newsletter Nr.2 Anspruch und Wirklichkeit - TOP SELECT PLUS Montag, 4. Juni 2012 Vermögensverwaltungen gibt es wie Sand am Meer. Darunter befinden sich solche, die ihrem Namen alle Ehre
MehrInvestition und Finanzierung. Investition Teil 1
Fernstudium Guide Online Vorlesung Wirtschaftswissenschaft Investition und Finanzierung Investition Teil 1 Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Jegliche unzulässige Form der Entnahme, des Nachdrucks,
MehrNicht über uns ohne uns
Nicht über uns ohne uns Das bedeutet: Es soll nichts über Menschen mit Behinderung entschieden werden, wenn sie nicht mit dabei sind. Dieser Text ist in leicht verständlicher Sprache geschrieben. Die Parteien
Mehr