Wirtschaftsmathematik

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Kajetan Dunkle
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1 Wirtschaftsmathematik für die Betriebswirtschaftslehre (B.Sc.) Sommersemester 2017 Dr. rer. nat. habil. 1

2 Finanzmathematik (nach der Ausarbeitung von S. Puth) Verzinsung Stetige Verzinsung Barwert Geometrische Reihe Unendlich geometrische Reihe Barwert eines Zahlungsstroms Hypothekenrückzahlung Investitionsprojekte und interne Ertragsrate 2

3 Beispiel : S0 = 100 Startkapital, p = 3% Zinsen pro Jahr Kapital nach t Jahren: Verzinsung (1) Allgemein: St = Kapital im Jahr t, S0 = Startkapital r = Zins pro Periode t (z.b. r = 0,03) p = Zins pro Priode t in Prozent (z.b. p = 3) 3

4 Allgemein: Hochschule Darmstadt Verzinsung (2) Beispiel : Statt p = 3% pro Jahr wird p/2 =1,5% pro Halbjahr verzinst, d.h. Allgemein: 4

5 Verzinsung (3) Verallgemeinerung: Wenn nicht halbjährig sondern n mal pro Jahr mit einem Zinssatz von r/n verzinst wird, gilt entsprechend: 5

6 Stetige Verzinsung Wir gehen noch einen Schritt weiter und fragen: Was passiert, wenn jeden Augenblick verzinst wird, d.h. wenn n mal pro Jahr mit einem Zinssatz von h = r/n verzinst wird und n? Wenn also jeden Augenblick mit der Zinsrate r verzinst wird, wächst das Kapital exponentiell Stetiger Wachstumsprozess 6

7 Barwert (1) Motivation: Wenn ich heute 100 zu einem Zins von 5% anlege, habe ich in einem Jahr 105 und in 10 Jahren 100 1,05 10 = 163. D.h. 100 heute haben den gleichen Wert wie 105 in einem Jahr und 163 in 10 Jahren (Endwert). Barwert (oder Gegenwartwert) = heutiger Wert = 100 in allen Fällen. Alternative Interpretation: Ich bekomme in 10 Jahren 163. Ich kann heute einen Kredit über 100 zu einem Zins von 5% aufnehmen und verjubeln. In 10 Jahren reichen die 163 genau um den Kredit zurückzuzahlen. 7

Barwert (2) Allgemein: Barwert einer Zahlung K, die man t Jahren erhält ist gleich Beispiel: Man weiß, dass man in 15 Jahren eine Zahlung von 100.000 bekommt.

8 Barwert (2) Allgemein: Barwert einer Zahlung K, die man t Jahren erhält ist gleich Beispiel: Man weiß, dass man in 15 Jahren eine Zahlung von bekommt. Wieviel sind diese heute wert, wenn der Zinssatz pro Periode 6% beträgt? Gegeben: t = 15, K = , r = 0,06 Barwert = ( 1+ 0,06) = ( 1+ 0,06) ,51 15 = 8

9 Barwert bei stetiger Verzinsung Barwert (3) Barwert einer Zahlung K, die man in t Jahren erhält (t kann eine beliebige reelle Zahl sein) bei einem stetigen Zinssatz von r: 9

Geometrische Reihen Beispiel : Ihr Gehalt beträgt 30.000 pro Jahr und Sie bekommen jedes Jahr eine Gehaltserhöhung von 3%.

10 Geometrische Reihen Beispiel : Ihr Gehalt beträgt pro Jahr und Sie bekommen jedes Jahr eine Gehaltserhöhung von 3%. Wieviel verdienen Sie in 10 Jahren insgesamt? , , ,03 9 = ,48 Allgemein: 10

11 Unendlich geometrische Reihe (1) Beispiel: Summiere folgende Reihe auf: 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32,... Vermutung: die Summe sollte insgesamt 2 ergeben 11

12 Allgemein für k < 1: Hochschule Darmstadt Unendlich geometrische Reihe (2) In vorherigem Beispiel: a = 1, k = 1/2 a 1 S = = = 2 1 k

13 Barwert eines Zahlungsstroms (1) Allgemeiner Zahlungsstrom: Beispiel: Wie viel ist dieser Zahlungsstrom heute wert? (Zinssatz = 10%) 13

14 Barwert eines Zahlungsstroms (2) Gesamtbarwert = = 3.651, ,1 1,1 1,1 14

15 Barwert eines Zahlungsstroms (3) Allgemein ist der Gesamtbarwert: r = Zinssatz a t = Zahlung in Periode t 15

16 Barwert eines Zahlungsstrom (4) Barwert einer Annuität Annuität = Zahlungsstrom mit fester Zahlung a pro Periode 16

17 Barwert eines Zahlungsstroms (5) Beispiel: Sie gewinnen in der Lotterie eine Sofortrente, die Ihnen für die nächsten 30 Jahre jedes Jahr auszahlt. Wieviel müsste man Ihnen heute mindestens für diese Annuität bieten, damit Sie sie verkaufen wenn der relevante Zinssatz 6% beträgt? Gegeben: a = , n = 30, r = 0,06 P P n n = = a r ,06 1 ( 1+ r) 1 n 1 ( 1+ 0,06) 30 =

18 Barwert eines Zahlungsstroms (6) Zukünftiger Wert einer Annuität: Frage: Was ist der Wert am Ende der Zahlungen? Gedankenexperiment: Lege den Gegenwartswert für n Perioden P n an. 18

19 Barwert eines Zahlungsstroms (8) Beispiel: Sparvertrag über pro Jahr bei einer Laufzeit von 8 Jahren bei einem Zins von 6%. Wie groß ist das Vermögen am Ende? Gegeben: a = 1.000, n = 8, r = 0,06 I I n n a = r = 0,06 [( 1 r) 1] n + [( ) ] ,06 1 = 9.897,47 19

20 Hypothekenrückzahlung (1) Frage: Schulden der Höhe K sollen in n gleichen Raten a bei einem Zinssatz von r zurückgezahlt werden. Wie hoch müssen die Raten a sein? Ansatz: Der Barwert der Annuitätenzahlungen muss K entsprechen. Also: Durch Auflösen nach a ergibt sich: 20

21 Hypothekenrückzahlung (2) Beispiel: Schulden von sollen in 5 gleichen Raten mit einem Zinssatz von 15% zurückgezahlt werden. Gegeben: K = , n = 5, r = 0,15 0, a = = , ( 1+ 0,15) 5 21

22 Beispiel: Hochschule Darmstadt Investitionsprojekte und interne Ertragsrate (1) Welches Projekt ist vorteilhafter? Methode 1: Barwerte vergleichen (bei gegebenem Zins) Methode 2: Interne Ertragsrate berechnen. 22

23 Investitionsprojekte und interne Ertragsrate (2) Das Investitionsprojekt verzinst die Anfangsinvestition mit der internen Ertragsrate. Alternativinterpretation: Wie hoch muss der Zins r* sein, damit der Barwert gerade Null ist? Beispiel: Projekt A Barwert = ( 1+ r) ( ) 2 1+ r 23

24 Investitionsprojekte und interne Ertragsrate (3) Berechnung der internen Ertragsrate: Barwert = 0 setzen s = 1 ( 1+ r) s 2 1 s = 0,804= 1+ r s = 0 die positive Lösung ist : r = 0,243 Die interne Verzinsung ist also 24,3%. 24

25 Allgemein: Hochschule Darmstadt Investitionsprojekte und interne Ertragsrate (4) a 0 = Investition a 1,a 2,,a n = Rückzahlungen 25

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