FINANZMATHEMATIK. Einführung. Weitere Begriffe. Einfache Verzinsung (unter 1 Jahr) Zinseszinsen

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1 FINANZMATHEMATIK Einführung Wenn man Geld auf die Bank legt, bekommt man Zinsen, wenn man sich Geld von der Bank ausleiht, muss man Zinsen bezahlen. Grundsätzlich unterscheidet man zwischen einfachen Zinsen und Zinseszinsen. Bei einfachen bekommt man immer den gleichen Betrag (also z.b. immer 10 Zinsen), die Funktion verläuft linear. Bei Zinseszinsen vermehrt sich das Geld immer weiter, da selbst die Zinsen wieder verzinst werden, die Funktion verläuft exponentiell. Man sollte auch wissen was dekursiv und antizipativ bedeutet. Dekursiv bedeutet, die Zinsen werden vom Anfangskapital berechnet und am Ende der Zinsperiode bezahlt. Antizipativ bedeutet, die Zinsen werden vom Endkapital am Anfang der Zinsperiode bezahlt. In den meisten Beispielen kommt dekursive Verzinsung (=Standardvezinsung) vor. Weitere Begriffe K0: Anfangswert (Barwert, auch genannt: present value) KN: Endwert (Zukunftswert, auch genannt: future value) i: Zinssatz d: Diskontsatz (nur bei antizipativer Verzinsung) n = Laufzeit (Jahre) Einfache Verzinsung (unter 1 Jahr) Hier rechnet man einfach die Zinsen aus (mit Kapital * Zinssatz und dann noch mal Anzahl der Verzinsungen) und zählt den Wert zum Kapital dazu. Also: Kn = K0 + K0*i*n oder mit K0 herausgehoben: Kn = K0*(1 + n*i) Beispiel: 1800 werden 3 Monate mit einem Jahreszinssatz von 4% (=0,04) verzinst. Die Jahreszinsen wären nun 1800*0,04 = 72 => weil bei der einfachen Verzinsung jedes Monat die gleichen Zinsen anfallen, einfach : (für 1 Monat) und dann mal 3 (für 3 Monate). Also: 72: = 6 => 6*3=18 => 18 Zinsen => Endwert = 1818 Mit Formel: Kn = K0*(1 + n*i) => Kn = 1800*(1 + 3 *0,04) => Kn = 1818 Antizipativ (kommt in der Schule so gut wie nie vor): K0 = Kn*(1 n*d) Zinseszinsen Hat man Geld über einen längeren Zeitraum auf der Bank, so bekommt man Zinsen, die im nächsten Abschnitt wieder verzinst werden. Man bekommt also mit der ersten Verzinsung Zinsen auf sein Geld, bei der zweiten Verzinsung bekommt man dann Zinsen auf das vermehrte Geld (eingelegtes Geld + Zinsen von der ersten Verzinsung). Somit wächst das Kapital immer stärker (exponentiell) an. Deswegen kann man für die Berechnung auch die Formel für die Exponentialfunktion verwenden.

2 Kn = K0*q n (Kn = Endwert, K0 = Anfangswert = Zinsfaktor, bei 4% => 1,04, bei 20% => 1,20) Beispiel 1: 1800 werden 6 Jahre mit einem Jahreszinssatz von 3% verzinst. Wie hoch ist es am Ende? Kn = K0*q n => Kn = 1800*1,03 6 => Kn = 2149,29 Beispiel 2: 1800 werden 6 Jahre verzinst, dann sind 2000 am Konto. Wie hoch ist der Zinssatz? Kn = K0*q n => 2000 = 1800*q 6 => 1,1 = q 6 => q = 1,01771 => q = 1,771% Beispiel 3: 1800 werden mit 4% verzinst, bis 2000 am Konto sind. Wie lange dauert das? Kn = K0*q n => 2000 = 1800*1,04 n => 1,1 = 1,04 n => ln(1,1 ) = ln(1,04 n ) => ln(1,1 ) = n*ln(1,04) => n = ln(1,1 ) ln(1,04) => n = 2,686 Jahre Beispiel 4: Ein Kapital wird 6 Jahre mit einem Jahreszinssatz von 3% verzinst. Am Ende hat man Wie hoch war es am Beginn? Kn = K0*q n => 2000 = K0*1,03 6 => K0 = ,036 => K0 = Aufzinsen/Abzinsen Hat man Geld zu verschiedenen Zeitpunkten und will man es zusammenrechnen, so muss man es auf einen gemeinsamen Zeitpunkt bringen. Die passiert mittels Aufzinsen/Abzinsen. Beispiel: Jemand zahlt 1000 sofort, 1500 nach 5 Jahren und 500 nach 10 Jahren. Wieviel ist das Geld a) nach 10 Jahren, b) heute Wert (Zinssatz 3%)? a) Aufzinsen auf das Jahr 10. Die 1000 werden um 10 Jahre aufgezinst, die 1500 werden um 5 Jahre aufgezinst, die 500 sind schon zum richtigen Zeitpunkt, werden nicht verzinst => 1000*1,03 10 = 1343, *1,03 5 = 1738, , Das bedeutet, wenn man heute 1000 bekommt, diese auf ein Sparbuch mit 3% legt, habt man in 10 Jahren 1343,92. Genauso werden aus den 1500 nach 5 Jahren Verzinsung 1738,91. Bekommt man nach 10 Jahren dann nochmals 500, so hat man gesamt 3582,83 am Konto. b) Abzinsen auf das Jahr 0. Die 500 werden um 10 Jahre abgezinst, die 1500 werden um 5 Jahre abgezinst, die 1000 sind schon zum richtigen Zeitpunkt, werden nicht verzinst => 500 1, = 372,05 = 93, ,96 1,

3 Warum wird hier dividiert? Weil man berechnet, wie viel 500 nach 10 Jahren heute Wert sind. Man berechnet also mit der Formel das Anfangskapital K0 bei gegebenen Endkapital Kn, formt diese also einfach um: Kn = K0*q n => K0 = K n q n Werden z.b. 2 Angebote (bei denen die Zahlungen zu verschiedenen Zeitpunkten erfolgen) verglichen, so zinst man beide auf einen selbst gewählten Zeitraum auf oder ab und vergleicht die beiden Werte. Beispiel: Für ein Auto liegen zwei Angebote vor: A bietet 2000 sofort und 5000 in 4 Jahren; B bietet je 3500 in einem Jahr und in 2 Jahren. Welches Angebot ist für den Verkäufer günstiger (4%)? Man könnte hier meinen, es bleibt sich egal, weil in Summe beide 7000 für das Auto bezahlen. Nur spielen die Zeiträume auch eine Rolle. Denn es ist immer besser, wenn man ein Geld früher bekommt, weil man es ja theoretisch gleich auf die Bank legen und verzinsen kann. Deshalb muss man hier beide Angebote auf einen Zeitpunkt (Jahr 0 gewählt, es könnte auch z.b. das Jahr 5 sein, das bleibt sich egal) abzinsen. A: = 6313,04 B: 1, ,03 1 1,03 Unterjährige Verzinsung 2 = 6697,14 => Angebot B ist besser Wird ein Kapital nicht pro Jahr, sondern pro Halbjahr oder pro Monat verzinst, so rechnet man wieder mit der Zinseszinsformel, man muss aber die Jahreszinsen in Halbjahreszinsen, Monatszinsen usw. umrechnen. Man darf allerdings nicht einfach die % durch dividieren, sondern muss die Wurzel ziehen. Von Jahreszinsen auf Monatszinsen: einfach die te Wurzel (bei Halbjahreszinsen die 2te Wurzel, bei Vierteljahreszinsen die 4. Wurzel usw.) vom Faktor ziehen (nicht von den %). 4% => 1,04 => in Monatszinsen => 1,04 2 5% => 1,05 => in Halbjahreszinsen => 1, % => 1,20 => in Quartalszinsen => 1,20 => 1,00327 (entspricht 0,327% Monatszinsen) => 1, (entspricht 2,4695% HJ-Zinsen) => 1,0466 (entspricht 4,66% Quartalszinsen) Umgekehrt rechnet man von Monatszinsen auf Jahreszinsen Hoch statt Wurzel. Monatszinsen: 0,327% => 1,00327 => in Jahreszinsen => 1,00327 = 1,04 (entspricht 4% Jahreszinsen)

4 Rentenrechnung Wenn man jedes Monat/Halbjahr/Jahr usw. den gleichen Betrag einzahlt oder bekommt, nennt man diesen Rate (oder auch Rente). Zum Berechnen dieser Rate, oder auch zum Berechnen, wie viel Geld man danach oder davor am Konto hat, gibt es verschiedene Formeln. Man kann entweder die Werte in die Formeln einsetzen und berechnen, da diese aber etwas kompliziert sind, kann man das Ganze auch mit Excel berechnen. Die Formeln lauten: Endwert Barwert nachschüssig En = R* qn 1 Bn = R* 1 q n vorschüssig Ev = R*q* qn 1 Bv = R*q* 1 q n R = Rate; q = Aufzinsungsfaktor; n = Zinszeitraum; E (=Kn) = Endwert; B (=K0) = Barwert Barwert: Geld am Beginn der regelmäßigen Zahlungen Endwert: Geld am Ende der regelmäßigen Zahlungen Nachschüssig: Man bekommt/bezahlt das Geld am Ende des Monats/Jahres Vorschüssig: Man bekommt/bezahlt das Geld am Anfang (Ersten) des Monats/Jahres Rentenrechnung mit Excel Mit Excel kann man die Rentenrechnung viel einfacher berechnen. Man muss dafür nur die Befehle kennen: Barwert = BW, Endwert (Zukunftswert) = ZW, Zinssatz = ZINS, Rate (regelmäßige Zahlung) = RMZ, Zinszeitraum =ZZR Es reicht aus, wenn man nur einen der Befehle kennt, denn Excel schlägt die anderen automatisch vor. Das F bestimmt, ob vor- oder nachschüssig. Beispiel 1: Jemand hat 3000 und möchte sich das Geld in 20 nachschüssigen monatlichen Raten auszahlen lassen. Wie hoch die die Rate (4%p.a.) => p.a. heißt pro Jahr Barwert = 3000, Zinszeitraum = 20, 4% = 1,04 => in Monatszinssatz => 1,04 = 1,00327 Jetzt muss man die nachschüssige Barwertformel verwenden (weil eben der Barwert und nicht der Endwert gegeben ist), und dann auf R umformen. Bn = R* 1 q n 3000 => 3000 = R*1 1, => 3000 = R* 19,33 => = R => R = 155,21 1, ,33 Mit Excel: = 155,21

5 Beispiel 2: Jemand zahlt halbjährlich vorschüssig (3% p.a.) 200 ein und möchte wissen, wie viel Geld er nach 10 Jahren hat. => Endwert = gesucht, 3% = 1,03 => in Halbjahreszinssatz => 2 1,03 => 1,015, Zinszeitraum = 10 Jahre => 20 Halbjahre, Rate = 200 Jetzt muss man die vorschüssige Endwertformel verwenden. Ev = R*q* qn 1 => Ev = 1 200*1,015*1,01520 => Ev = 4688,47 1,015 1 Mit Excel: = 4688,47 Beispiel 3: Jemand zahlt 10 Jahre lang am Ende des Jahres 1000 (4%) und lässt das Geld dann 3 Jahre auf der Bank liegen. Danach will er 20 vorschüssige Monatsraten beheben. a) Wie viel hat er nach 10 Jahren? b) Wie viel hat er 3 Jahre später? c) Wie hoch ist die Rate? Jeweils 1000 Monatl. Auszahlungen Excel: 3 Jahre lang keine Zahlungen, nur Zinsen => K n = K 0*q n a) =.006,11 b) Kn =.006,11*1,04³ = ,24 c) Achtung: monatlich => monatlicher Zinssatz = 1,04 => 1,00327 (entspricht 0,327%) = 696,43 Beispiel 3: Jemand nimmt einen Kredit von 000 mit einer Laufzeit von 8 Jahren (i = 6%) auf, den er in nachschüssigen Monatsraten zurückzahlen will. a) Wie hoch ist eine Rate? b) Nach 3 Jahren erhöht die Bank den Zinssatz auf 8%. Um wieviel verlängert sich die Laufzeit, wenn man die Raten in derselben Höhe weiterzahlt? a) 6% => 1,06 => in Monatszinsen => 1,06 = 1, (=0,486%), 8 Jahre => 96 Monate => 156,77 b) Nach 3 Jahren ändert sich was => Restschuld nach 3 Jahren (36 Monate) berechnen => Raten bleiben bei 156,77 => Zinssatz bleibt im ersten Abschnitt bei 0,486% Monatszinsen.

6 Wir müssen berechnen, welcher Betrag nach 3 Jahren noch übrig bleibt. Also den Endwert nach 36 Monaten. => 8.140,10 Jetzt ändert sich der Zinssatz auf 8%, die Raten bleiben gleich. Laufzeit (=ZZR) ist gefragt. 8% => 1,08 => in Monatszinsen => 1,08 = 1, (=0.6434%), Endwert = 0 (weil man berechnen muss, bis man den Kredit zurückgezahlt hat. => 63, Monate nach den 3 Jahren (36 Monaten) => also 63, = 99,4 Monate Gesamtlaufzeit statt 8 Jahre (=96 Monate) davor => Unterschied 3,4 Monate. Tilgungsplan Mit einem Tilgungsplan kann man in Tabellenform auflisten, was mit den oberen Befehlen und Formeln berechnet wird. Man hat damit einen Überblick über die einzelnen Zinsbeträge und Restschulden. Beispiel für einen Tilgungsplan: Bei einer Schuld von entsprechen 4% (also *0,04) genau Annuität bedeutet Rate = Wenn man 2000 Zinsen bezahlen muss und man 6000 zurückzahlt, wird der Betrag um 4000 (also ) weniger. Die ergeben sich dann aus der Restschuld minus der Tilgung (also ). Man kann die Formeln dann in Excel nach unten ziehen und es würde sich folgende Liste ergeben.

7 Man erkennt, dass nach 10 Jahren noch eine Restschuld von 1975,75 übrig bleibt. Würde man im 11. Jahr wieder 6000 bezahlen, so hätte man zu viel bezahlt (die Restschuld ist beglichen und man hätte um zu viel am Konto). Man kann also entweder im 10. Jahr zu den 6000 auch noch gleich die Restschuld von 1975,75 mitbezahlen oder im 11. Jahr dann die Restschuld von 1975, ,02 Zinsen bezahlen, damit man alles beglichen hat. Man kann die jeweilige Restschuld oder die Dauer für die Rückzahlung auch mit den Excel- Befehlen berechnen. Beispiel: a) Restschuld nach 7 Jahren und b) Tilgungsdauer: a) => ,82 b) => 10,34 Jahre Investitionsrechnung Eine Investitionsrechnung hilft zu entscheiden, ob und wann eine Investition in eine Maschine sinnvoll ist, bzw. wann sich diese Investition rentiert. Bezahlt man z.b. für eine Maschine , nutzt diese 3 Jahre und diese erwirtschaftet dafür einen Gewinn von 9000, 000 und 15000, bei jährlichen Wartungskosten von 1000 und einem Zinssatz von 4% p.a., so könnte das Ganze so veranschaulicht werden. Jahr Einnahmen Ausgaben Rückflüsse Man schaut nun, ob man mit der Maschine über drei Jahre einen Gewinn oder Verlust erzielt. Dafür bringt man die einzelnen Beträge wieder auf einen gemeinsamen Zeitraum (Zeitpunkt 0) und vergleicht sie. Also die 8000, und abzinsen = 7692, = 10170, ,04 1 1,04 2 1,043 = 445,949 => 30308,3759 Man erkennt also hier, dass die Einnahmen von 30308,3759 größer sind als die Ausgaben von 30000, man erwirtschaftet einen Gewinn von 308,375. Wäre der Zinssatz nicht 4%, sondern beispielsweise 6%, so käme ein Verlust von -908,199 heraus. In manchen Schulbüchern wird die obige Berechnung auch Kapitalwertmethode genannt. Unter Annuitätenmethode versteht man, dass man den Überschuss (also wie oben bei 4% die 308,375 ) in eine regelmäßige Rate umwandelt. Man geht hierbei davon aus, dass der Überschuss, der eigentlich erst nach den 3 Jahren erwirtschaftet wird, bereits am Start zur Bilanz hinzugerechnet wird. Das heißt: Ich weiß, in 3 Jahren habe ich einen Gewinn von 308, deshalb könnte ich mit bereits jetzt jährlich oder monatlich einen Teilbetrag davon als zusätzliche Einnahme in die Bilanz verbuchen. Das funktioniert ganz einfach wieder mit den

8 Befehlen in Excel. 308,375 ist der Barwert, die jährliche Rate (RMZ) ist gesucht, es wird bis zum Schluss (also 3 Jahre) ausgezahlt, der Zinssatz bleibt bei 4%. => 111, Man hatte also oben bei 4% einen Gewinn von 308,375, bei 6% hätte man einen Verlust von -908,199 gehabt. Möchte man schauen, wie groß der Zinssatz sein müsste, damit weder ein Gewinn noch ein Verlust herauskäme (=Methode des internen Zinssatzes), so braucht man das Ganze nur mittels Befehl (Solve) gleichsetzen. Die Abgezinsten Werte müssen genau ergeben. Also: x 1 x 2 x 3 = => Solve => x = 1, (entspricht 4,4946%) Neben der Methode des internen Zinssatzes gibt es noch die Methode des modifizierten internen Zinssatzes. Hier geht man genau gleich vor, nur, dass man die Werte nicht auf den Zeitpunkt 0 abzinst, sondern auf den letzten Zeitpunkt aufzinst und dann gleichsetzt. Es werden also die auf 3 Jahre aufgezinst, die 8000 auf 2 Jahre und sie auf ein Jahr. Es könnte nämlich sein, dass der Zinssatz für das Geldausleihen ein anderer ist, als der Zinssatz für das Geldanlegen. Beim modifizierten internen Zinssatz geht man davon aus, dass der Zinssatz für das Geldanlegen bereits gegeben ist, der andere ermittelt werden muss. Also ist der Zinssatz für die blauen Pfeile gegeben, zum Beispiel 3,5%. Man zinst nun diese auf das Jahr 3 auf. Nun schaut man, wie hoch der Zinssatz für den roten Pfeil sein muss, damit dasselbe Ergebnis herauskommt. 8000*1,035² *1, = 33954, *q³ = 33954,8 => q = 1, (entspricht 4,214%)