4 Reihen und Finanzmathematik

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1 4 Reihen und Finanzmathematik 4.1 Reihen Aus Folgen lassen sich durch Aufaddieren weitere Folgen konstruieren. Das sind die sogenannten Reihen, sie spielen in der Finanzmathematik eine wichtige Rolle. Sei (a n ) n N eine Folge. Wir definieren die n-te Partialsumme (oder: Teilsumme) der Folge (a n ) n N durch Aufaddieren der ersten n Folgenglieder, also s n = a 1 + a a n = n a k für alle n N. Die Folge (s n ) n N der Partialsummen heißt eine (unendliche) ( n Reihe und wird auch als a k )n N geschrieben. 1

2 Die Bezeichnung n-te Partialsumme bezieht sich auf die Anzahl der aufsummierten Folgenglieder. Beachten Sie, dass zur Darstellung der n-ten Partialsumme mit dem Summenzeichen ein zweiter Laufindex, hier k, benötigt wird. Bei Reihen treten also immer zwei verschiedene Folgen auf: die Folge (a n ) n N der einzelnen Glieder und die Folge (s n ) n N der Partialsummen, das ist dann die Reihe. 2

3 Beispiel Sei a n = 1 n. Dann ist s n = n = n s 3 = = 11 6, s 10 = = s 100 5, 19 s , 79. 2, 93, 1 k, z.b. Die Reihe (s n ) n N heißt harmonische Reihe. 3

4 2. Ist a n = 1 2 n, dann ist s 3 = = 7 = 0, s 10 = , s 100 0, Sei a n = n. Dann ist s 2 = 3, s 10 = = 55, s 100 =

5 4. Sei a n = ( 1) n 1 n. Dann ist s 3 = = 5 6, s 10 = s , 6930, s , , 6456, In diesem Fall heißt die Folge (s n ) n N alternierende harmonische Reihe. 5. Ist a n = ( 1) n, dann ist die Folge der Partialsummen gegeben durch s 1 = 1, s 2 = = 0, s 3 = ( 1) = 1, s 4 = 0 und allgemein s 2n = 0 und s 2n 1 = 1 für alle n N. 5

6 Die Graphen der Folgen (s n ) in Beispiel und 4 sehen folgendermaßen aus. Beispiel 14.1: Harmonische Reihe x Beispiel 14.4: Alternierende harmonische Reihe x

7 Ist (a n ) n N eine geometrische Folge, so heißt a k )n N geometrische Reihe. ( n Ist (a n ) n N eine arithmetische Folge, so heißt a k )n N arithmetische Reihe. ( n Da bei geometrischen bzw. arithmetischen Folgen alle Folgenglieder bereits durch a 1 und den Quotienten q bzw. die Differenz d vollständig festgelegt sind, lassen sich auch die Partialsummen allein aus a 1 und q bzw. d berechnen. 7

8 1. Sei (a n ) eine arithmetische Folge mit a n+1 = a n + d. Dann ist n ( ) (n 1) d s n = a k = n a Ist (a n ) eine geometrische Folge mit a n+1 s n = a n = q, so ist n na 1 falls q = 1, a k = 1 q n a 1 falls q 1. 1 q 8

9 Beispiel Die Folge a n = 1 2 n ist geometrisch. Daher bilden die zugehörigen Partialsummen eine geometrische Reihe und lassen sich berechnen durch s n = (1/2)n 1 1/2 = 2n 1 2 n, siehe etwa s 10 in Beispiel Die Folge a n = n aus Beispiel ist arithmetisch mit d = 1 und a 1 = 1. Folglich ist die Folge (s n ) n N der Partialsummen eine arithmetische Reihe und die Summen lassen sich berechnen durch ( s n = n 1 + n 1 ) 2 = n(n + 1). 2 9

10 3. Für die geometrische Folge a n = 5 3 n ergeben sich die Partialsummen etwa s 10 = s n = 15 3n 1, 2 4. Ist a n = 3 4n+1, dann ist mit Hilfe der Rechenregeln für Summen n 3 n s n = 4 = 3(1) k 3 n (1) k = k = (1 4 )n = (1 (1 4 )n ) 4 1 = 1 (1 4 )n. 4 Zum Beispiel ist s 5 = 1 (1 4 )5 4 = ,

11 Da Reihen nur eine spezielle Form von Folgen sind, lassen sich die Begriffe aus dem letzten Abschnitt übertragen. Eine Reihe (s n ) n N mit s n = n heißt (streng) monoton steigend oder fallend bzw. beschränkt, falls die Folge (s n ) n N diese Eigenschaften hat. Beispiel 4.3 ( n 1 ) Die harmonische Reihe ist streng monoton steigend, da in jedem Schritt eine positive Zahl addiert k n N wird. a k 11

12 Allgemein ist jede Reihe ( n a k )n N streng monoton steigend (bzw. fallend), wenn a n > 0 (bzw. a n < 0) für alle n N ist. ( n ) Für alle a, q > 0 ist die geometrische Reihe aq k streng monoton steigend. Für a > 0 und q < 0 ist die geometrische Reihe ( n ) aq k weder streng monoton steigend noch fallend, denn es wird abwechselnd eine positive Zahl addiert oder subtrahiert. So ist etwa für q = 1 2 s 1 = 0, 5, s 2 = 0, 25, s 3 = 0, 375, s 4 = 0, 3125, s 5 = 0,

13 Auch der Grenzwertbegriff lässt sich übertragen. Eine Reihe (s n ) n N mit s n = n heißt konvergent (bzw. divergent), wenn sie als Folge konvergiert (bzw. divergiert). Ist sie konvergent, so schreiben wir für den Grenzwert lim s n = lim n n Beachten Sie, dass das Symbol a k n a k = a k. a k den Grenzwert der Reihe (und nicht die Reihe selbst) bezeichnet, sofern er existiert. Entsprechend 13

14 wird die bestimmte Divergenz für Folgen auf Reihen übertragen. Beispiel Harmonische Reihe: Die zur Folge ( 1 k ) k N gehörende Reihe ( n 1 k ) n N ist divergent, genauer 1 k =. 2. Dezimalzahlen: Eine Zahl r = r 0, r 1 r 2 r 3 mit r 0 N 0 und r n {0,..., 9} für n 1 hat den Wert 1 r = r 0 + r r = r k 10 k Sie ist also gerade der Grenzwert der zur Folge (r k 10 k ) k N0 gehörenden Reihe ( n k=0 r k 10 k ) n N0. Dass diese Reihe tatsächlich 14 k=0

15 immer konvergiert, wird später in Beispiel noch mal begründet. 1 k 2 +k ) n N kon- 3. Die zur Folge ( 1 k 2 +k ) k N gehörende Reihe ( n vergiert gegen 1, also denn 1 k 2 +k = 1 k 1 k+1 n 1 k 2 + k = 1 k 2 + k = 1, und daher n = n k n 1 = 1 1 n k + 1 n 1 1 k k n + 1

16 und somit Dabei haben wir benutzt: n 1 k 2 + k = 1. n 1 1 k = k + 1. Analog zeigt man die Konvergenz der Reihe ( n k=2 1 ) k 2 k n N indem man 1 k 2 k = 1 k 1 1 k benutzt. 16

17 Es gibt eine sehr einfache notwendige Bedingung für die Konvergenz einer Folge. Satz 4.1 Ist die Reihe ( n a k) n N konvergent, dann gilt lim a n = 0. n Achtung: die Umkehrung gilt nicht! Die obige Aussage lässt sich auch formulieren als Ist (a n ) n N keine Nullfolge, dann konvergiert die Reihe ( n a k) n N nicht. 17

18 Beispiel Die Folge (a n ) n N mit a n = 3n+5 6n 1 ist keine Nullfolge, daher ist die zugehörige Reihe nicht konvergent. 2. Die Folge (a n ) n N mit a n = 1 n ist eine Nullfolge, aber die zugehörige Reihe (das ist genau die harmonische Reihe) ist nicht konvergent. Es folgt nun sofort: Die arithmetische Reihe zu der Folge mit a n+1 = a n + d konvergiert nur für a 1 = d = 0. Die Beschreibung des Konvergenzverhaltens geometrischer Reihen ist etwas aufwändiger. 18

19 Grenzwert geometrischer Reihen: Sei (a n ) n N eine geometrische Folge mit a n+1 a n = q R und a Ist q < 1, dann konvergiert die geometrische Reihe ( n a k) n N, und es gilt a k = lim n n a k = lim n a 1 1 q n 1 q = a 1 1 q. 2. Für q 1 ist die geometrische Reihe divergent. Beachten Sie, dass hier a n = a 1 q n 1 gilt. Setzen wir a 1 = 1, so erhalten wir 1 q k 1 = q k für q < 1 = 1 q für q 1 k=0 19

20 Beachten Sie bitte den kleinen Unterschied, wenn die Summation mit k = 1 beginnt: { q q k für q < 1 = 1 q für q 1 Beispiel 4.6 Sei a n = ( ) 2 n 7 und sn = n a k. Dann ist lim s n = n k=0 a k = k=0 (2) k 1 = = 7 5 Die Konvergenz ist sehr schnell. Es ist zum Beispiel s 10 1, , s 16 1, = 1, 4. 20

21 Durch einige Umformungen lässt sich auch Konvergenzverhalten und Grenzwert der Reihe ( n ) 2 k 3 7 k+1 k=0 bestimmen. Diese Reihe ist nicht geometrisch, setzt sich aber aus geometrischen Reihen zusammen. Setze s n = n k=0 2k 3. Dann ist 7 nach den Rechenregeln für Summen k+1 n ( 2 k s n = 7 3 ) n = k+1 7 k+1 k=0 k=0 = 1 n ( 2 ) k 3 n ( 1 ) k k=0 k=0 1 2 ) k n 7( 7 k=0 3 1 ) k 7( 7 Also folgt nach den Grenzwertformeln für die geometrische Reihe 21

22 sowie nach den Rechenregeln für Grenzwerte von Folgen lim n s n = 1 7 = 1 7 ( 2 ) k k= ( 1 k 7) k= = = 0, 3. 22

23 Für Reihen gibt es einige einfache Kriterien für Konvergenz. Sie besagen allerdings nur, ob eine gegebene Reihe konvergiert, geben aber nicht den zugehörigen Grenzwert an. Ein hinreichendes Kriterium für spezielle Reihen ist das Leibnizsches Konvergenzkriterium für alternierende Reihen: Sei (a n ) n N eine monoton fallende Folge nicht-negativer Zahlen mit lim n = 0. Dann ist die alternierende Reihe n ( n konvergent. ( 1) k a k ) Es ist wichtig, dass a n 0 für alle n N. 23 n N

24 Beispiel 4.7 Die alternierende harmonische Reihe konvergiert. ( n ( 1) k ) k n N Ohne den genauen Grenzwert zu kennen, zeigen die in Beispiel ausgerechneten Partialsummen, dass die Konvergenz der alternierenden harmonischen Reihe sehr langsam ist. Die Partialsummen s 5000 und s unterscheiden sich noch in der 4. Dezimalstelle. Vergleichen Sie dies auch mit der Konvergenz der geometrischen Reihe in Beispiel

25 Quotientenkriterium I Sei ( n a k) n N eine Reihe, und es gebe ein k 0 N mit a k 0 für alle k k 0. Gibt es ein c (0, 1) mit a k+1 a k c für alle k k 0, dann konvergiert die Reihe ( n a k) n N. Quotientenkriterium II Gibt es eine Zahl c > 1 mit a k+1 a k c für alle k k 0, dann ist die Reihe ( n a k) n N divergent. Wenn weder Quotientenkriterium I noch II erfüllt sind, macht das Kriterium keine Aussage über das Konvergenzverhalten der Reihe. 25

26 Als Folgerung erhalten wir: Ist die Folge der Quotienten Q k := gilt: ( a k+1 a k ) k N ist lim k Q k < 1, so konvergiert die Reihe ( n ist lim k Q k > 1, so divergiert die Reihe ( n konvergent, dann ist lim k Q k = 1, so ist keine Aussage möglich. a k )n N a k )n N 26

27 Beispiel Die Reihe (s n ) n N mit s n = n k 3 2k 3 k ist konvergent, denn es ist a k = k3 2k > 0 für alle k > 1 und 3 k a k+1 a k = (k + 1) 3 2(k + 1) 3 k 3 k+1 k 3 2k = 3 k (k 3 + 3k 2 + 3k + 1 2k 2) 3 k+1 (k 3 2k) = k 3 + 3k 2 + k 1 3(k 3 2k) k 1 3. Also ist für genügend großes k der Quotient a k+1 a stets kleiner k als 1 und die Reihe konvergiert. 27

28 2. Die Reihe (s n ) n N mit s n = n a k = 3k > 0 für alle k N und k 2 a k+1 a k = 3k+1 (k + 1) k2 2 3 = 3k 2 k k 2 + 2k k konvergiert nicht, denn k2 k 3 Also ist für genügend großes k der Quotient echt größer als 1. n 1 3. Für die Reihe (s n ) n N mit s n = ist keine Aussage k 2 möglich, denn a k+1 a k = 1 (k + 1) k2 2 1 = k 2 k 1. k 2 + 2k + 1 Übrigens konvergiert diese Reihe, und zwar gegen π

29 Besonders wichtig ist das folgende Beispiel. Beispiel 4.9 Die Reihe ( n k=0 x k ) k! n N konvergiert für jedes feste x R nach dem Quotientenkriterium, denn mit a k = xk k! ist a k+1 a k = x k+1 k! x k (k + 1)! = x k + 1. Also ist für k 2 x a k+1 a k x 2 x + 1 < x 2 x = 1 2 Somit ist mit c = 1 2 konvergiert. das Quotientenkriterium erfüllt, und die Reihe 29

30 ( n ) Der Grenzwert der Reihe k=0 xk k! definierten Wert e x überein, es gilt also e x = lim (1 + x ) n = n n k=0 Insbesondere ist für x = 1 e= lim (1 + 1 ) n = n n k=0 x k k! n N stimmt mit dem früher =1 + x + x2 2! + x3 3! +. 1 k! = Beachten Sie wieder, dass die Summation hier mit dem Index k = 0 beginnt. Für die Frage nach der Konvergenz der Reihe ist das unerheblich, es ist aber wichtig, wenn man konkret den Grenzwert ausrechnen will. 30

31 Für kleine Werte von x wie sie z.b. in der Zinsrechnung auftreten liefert die Reihendarstellung von e x ( bessere Näherungswerte für die Exponentialfunktion als die Folge 1 + n) x n. Das zeigen etwa folgende Näherungswerte von e 2, indem man x = 1 einsetzt: n (1 + 1 n n )n k=0 1 k! , 25 2, 5 3 2, 370 2, , 441 2, , 488 2, , 594 2,

32 Ein sehr praktisches Hilfsmittel zur Bestimmung des Konvergenzverhaltens einer Reihe ist noch Majoranten-Kriterium: Sei (a n ) n N eine gegebene Folge. Außerdem sei ( n b k) n N eine konvergente Reihe, und es gebe ein n 0 N mit Dann konvergiert auch die Reihe a n b n für alle n n 0. ( n a k) n N. 32

33 Beispiel Die zur Folge ( 1 ) n 2 n N gehörende Reihe ( n 1 ) k 2 n N konvergiert, denn 1 k 1 für alle k 2 2 k 2 k und die Reihe ( n k=2 2. Die Reihe für Dezimalzahlen 1 k 2 k ) n N konvergiert nach Beispiel r = r 0 + r r = r k 10 k, k=0 wobei r k {0,..., 9} für k N, konvergiert, da r k 10 k 9 10 k für alle k N und ( 1 ) k 9 10 k 9 = 9 = = k=0 k=0 33

34 aufgrund der Formel für den Grenzwert einer geometrischen Reihe. 34

35 4.2 Grundbegriffe der Finanzmathematik Im weiteren werden die folgenden Bezeichnungen benutzt: K 0 Anfangskapital p Zinsfuß pro Zeiteinheit (in %) d = p 100 Zinssatz pro Zeiteinheit q = 1 + d Aufzinsungsfaktor n Z n K n Anzahl der Zeiteinheiten (meistens Jahre) Zinsen nach n Zeiteinheiten Kapital nach n Zeiteinheiten 35

36 Zinsrechnung (A) Die lineare (einfache) Verzinsung, bei der innerhalb eines Kapitalüberlassungszeitraumes kein Zinszuschlagtermin (oder Zinsverrechnungstermin) liegt, wird durch eine arithmetische Folge beschrieben. Beispiel 4.11 Zum Zinssatz d = 0, 06 = 6% p.a. wird das Kapital K 0 = ( oder Maltesische Lira) für einen Zeitraum von 6 Jahren ausgeliehen. Damit ergibt sich K 0 = , K 1 = K 0 (1 + d), Z 1 = K 0 d, K 2 = K 0 (1 + 2 d), Z 2 = K 0 2 d, K 3 = K 0 (1 + 3 d),. Z 3 = K 0 3 d,. Nach 6 Jahren belaufen sich die Zinsen auf Z 6 = K 0 6 d =

37 und das (End)-Kapital beträgt K 6 = K 0 (1 + 6 d) = Lineare Verzinsung: Bei der linearen Verzinsung zum Zinssatz d ergeben sich die folgenden expliziten Formeln für das Kapital und die Zinsen nach n Jahren: K n = K 0 (1 + n d) und Z n = K 0 n d. Beispiel 4.12 Welches Anfangskapital K 0 muss bei einfacher Verzinsung angelegt werden, wenn nach 7 Jahren ein Kapital von vorhanden sein soll und der Zinssatz 0, 05 bzw. 0, 06 beträgt, also 5% bzw. 6%. Im ersten Fall muss die Gleichung K 7 = = K 0 ( , 05) = K 0 1, 35 37

38 nach K 0 aufgelöst werden. Das ergibt ein benötigtes Anfangskapital von K 0 = , 35 Im zweiten Fall ergibt sich analog K 0 = , (B) Neben der einfachen Verzinsung spielt natürlich die Zinseszinsrechnung eine wichtige Rolle. Hier gibt es innerhalb der Kapitalüberlassungsfrist weitere Zinsverrechnungs- oder Zinszuschlagtermine, in denen die bis dahin entstandenen Zinsen dem Kapital als Zinszuschlag hinzugefügt werden und mit ihm zusammen das weiter zu verzinsende Kapital bilden. Wir betrachten noch einmal das obige Beispiel, wobei diesmal die Zinsen jährlich nachträglich dem Kapital zugeschlagen und ebenfalls verzinst werden. 38

39 Beispiel 4.13 Es wird das Kapital K 0 = für einen Zeitraum von 6 Jahren angelegt. Nach jeder Zinsperiode (1 Jahr) erfolgt ein Zinszuschlag von d = 0, 06 = 6%. Damit ergibt sich K 0 = , K 1 = K 0 (1 + d), K 2 = K 1 (1 + d) = K 0 (1 + d) 2,. Nach 6 Jahren ist also das Gesamtkapital K 6 = K 0 (1 + d)

40 Zinseszinsrechnung: Bei Berücksichtigung nachschüssiger Zinseszinsen ergeben sich die folgenden Formeln für das Kapital und die Zinsen nach n Jahren: K n = K 0 (1 + d) n und Z n = K n K 0. Nachschüssigkeit bedeutet, dass die Zinsen am Ende des Jahres gezahlt werden. Beispiel 4.14 Der Unterschied zwischen einfacher Verzinsung und (nachschüssigem) Zinseszins bezogen auf einen Zeitraum von bis zu 50 Jahren ist in der folgenden Tabelle für K 0 = und d = 0, 05 = 5% zu erkennen. n K 0 (1 + nd) K 0 (1 + d) n

41 Beispiel 4.15 Welches Anfangskapital K 0 muss bei nachschüssigem Zinseszins angelegt werden, wenn nach 7 Jahren ein Kapital von vorhanden sein soll und der Zinssatz 0, 05 bzw. 0, 06 beträgt? Im ersten Fall muss die Gleichung K 7 = = K 0 (1 + 0, 05) 7 nach K 0 aufgelöst werden. Das ergibt ein benötigtes Anfangskapital von K 0 = , 057 Analog ergibt sich im zweiten Fall K 0 = , 067 Die Berechnung von K 0 aus gegebenem n, d und K n wird auch als Bestimmung des Barwertes einer zukünftigen Zahlung bezeichnet. 41

42 Barwertformel der Zinseszinsrechnung: Der heute zahlbare Betrag K 0, der benötigt wird, um eine in n Zeitperioden fällige Schuld K n abzulösen, beträgt K 0 = K n (1 + d) n = K n(1 + d) n, wobei d der Zinssatz pro Zeitperiode ist. K 0 heißt Barwert des nach n Zeitperioden fälligen Betrags K n oder auch n-mal abgezinstes bzw. diskontiertes Kapital K n. Das Abzinsen erlaubt den Vergleich von Zahlungen zu unterschiedlichen Zeitpunkten: eine Zahlung K, fällig in n 0 Zeitperioden, und eine Zahlung K, fällig in ñ 0 Zeitperioden, heißen äquivalent bezüglich eines Zinssatzes d, wenn gilt K(1 + d) ñ 0 = K(1 + d) n 0 42

43 oder, anders geschrieben, K = K(1 + d)ñ0 n 0. Ebenso wie das Anfangskapital K 0 lassen sich auch der Zinssatz d sowie die Anzahl n der Jahre aus den anderen Größen in der Zinseszinsformel ermitteln d = n Kn K 0 1, n = Kn ln K 0 ln(1 + d) = ln K n ln K 0. ln(1 + d) 43

44 Beispiel 4.16 Sie bringen ein Anfangskapital von 500 zur Bank und erhalten 8% jährliche nachschüssige Zinseszinsen. Wie lange müssen Sie warten, bis Sie ein Kapital von 900 besitzen? Wir berechnen die Anzahl der Jahre durch n = ln 900 ln 500 ln(1, 08) Sie müssen also 8 Jahre warten. 7, 637. Geben Sie bei einer Aufgabe wie dieser Ihr Ergebnis bitte nicht in der Form n = 7, 637 an. Die hier verwendeten Formeln sagen zunächst nur etwas aus über die Kapitalentwicklung zu festen Zeitpunkten, also z.b. nach 7 und nach 8 Jahren, und nicht, nach welcher Formel sich das Kapital dazwischen entwickelt. Außerdem suggeriert eine Angabe wie 7, 637 Jahre eine unangemessene Genauigkeit: Sie rechnen hier genauer als bis auf einen Tag genau, obwohl in der Regel bei (kleineren) Finanzgeschäften nur bis auf den Tag genau und nicht etwa Stundengenau gerechnet wird! 44

45 (C) Werden die Zinsen dem Kapital auch nach Zeitintervallen gutgeschlagen, die kleiner sind als ein Jahr (oder die dem angegebenen Zinssatz zugrunde liegende Zeiteinheit) und im weiteren mitverzinst, so spricht man von unterjähriger Verzinsung. Beispiel 4.17 Eine Bank gibt für die Verzinsung eines Kapitals K 0 einen nominellen Jahreszinssatz d an. Der Zinszuschlag erfolgt allerdings nicht jährlich, sondern nach jedem Quartal. Dann ergibt sich nach einem Jahr als Kapital K 0 ( 1 + d 4 ) 4 und der effektive Jahreszins beträgt ( 1 + d 4) 4 1. Ist zum Beispiel K 0 = 1000 und d = 0, 05, so ergibt sich ( ) K 1 = K , ( ) K 2 = K ,05 4 ( ) 4 = K , ( ) K 3 = K ,05 4 ( ) 4 = K ,

46 Der effektive Jahreszins ist hier ( ) , also etwa 5.1%. Anders gesagt: Ein nomineller Zinssatz von 5% bei vierteljährlicher Zinszahlung ist dasselbe wie ein Zinssatz von 5.1%, der nur einmal jährlich gutgeschrieben wird. Es sei darauf hingewiesen, dass man in der Praxis unter effektivem Jahreszins noch etwas anderes versteht (da werden noch Gebühren usw. eingerechnet). 46

47 Unterjährige Verzinsung: Erfolgt bei einem nominellen Jahreszinssatz d an m Zeitpunkten eines Jahres ein nachschüssiger Zinszuschlag, dann beträgt das Kapital nach Ablauf des n-ten Jahres ( K n = K m) d m n. Der effektive Jahreszins ist gleich ( 1 + d m) m 1. Lässt man die Zeitintervalle der Zinszuschläge immer kürzer werden (d. h. m ), so kommt man zur stetigen Verzinsung. Der effektive Jahreszins ist dann lim m ( 1 + d m) m 1 = e d 1. 47

48 Die folgende Tabelle gibt den effektiven Zinssatz bei unterjähriger Verzinsung zu verschiedenen Zeitintervallen sowie bei stetiger Verzinsung an. Die nominellen Zinssätze sind 2%, 5% und 10%. m 2% 5% 10% 2 2, 010 5, , , 015 5, , , 018 5, , , 020 5, , 517 (e d 1)% 2, 020 5, ,

49 Rentenrechnung Unter einer n-maligen Rente versteht man eine regelmäßige, in n gleichen Zeitabständen fällige Zahlung, die aus n Teilzahlungen R j, mit j = 1,..., n, besteht, den Rentenraten. Bei der nachschüssigen Rente erfolgt die Zahlung R j am Ende des j-ten Zeitabschnitts, bei der vorschüssigen Rente dagegen am Beginn des j-ten Zeitabschnitts. Im Zusammenhang mit Renten interessiert man sich vor allem für den Gesamtwert, unter Berücksichtigung von Zinseszins, den eine Rente am Anfang bzw. Ende der Rentenzahlungen hat. Hierbei kommt es darauf an, ob die Rente nach- oder vorschüssig gezahlt wird. Denn bei nachschüssiger Zahlung einer n-maligen Rente wird die erste Rentenzahlung nur n 1 Jahre verzinst, bei vorschüssiger aber n Jahre. Entsprechendes gilt für die weiteren Zahlungen. Im folgenden betrachten wir nur den Fall konstanter Rentenzahlungen, also R j = R für alle j. 49

50 Rentenendwertformel bei nach- und vorschüssiger Zahlung: Bei dem Aufzinsungsfaktor q = 1 + d und der konstanten Rentenzahlung R ergibt sich bei nachschüssiger Zahlung der Gesamtwert K n = Rq n 1 + Rq n 2 + Rq n R n n = Rq n k = Rq k 1 = R qn 1 q 1 und bei vorschüssiger Zahlung K n = Rq n + Rq n 1 + Rq n Rq n 1 n = Rq n k = Rq k = Rq qn 1 q 1 k=0 50

51 Falls zu Beginn des Zeitraums auch noch ein Anfangskapital K 0 vorliegt (wie oft bei Ratensparverträgen), so ergeben sich als Endwerte bei nach- und vorschüssiger Zahlung K n = K 0 q n + R qn 1 q 1, K n = K 0 q n + Rq qn 1 q 1. 51

52 Beispiel 4.18 Sie schließen mit Ihrer Bank einen Ratensparvertrag über 10 Jahre zu einem Zinsfuß von 6% ab. Zu Beginn des ersten Jahres zahlen Sie einen Einmalbetrag von 1500 ein und anschließend jeweils am Ende des Jahres eine Rate von 200. Welchen Wert hat das Kapital nach 10 Jahren? Da es sich um nachschüssige Ratenzahlung handelt, ergibt sich als Endwert K 10 = , , , Das von Ihnen eingezahlte Kapital beträgt = Der Rest stammt aus den Zinseszinsen. 52

53 Löst man die Rentenendwertformeln (ohne Anfangskapital) nach R auf, so kann man bestimmen, welche jährliche Rate zu zahlen ist, um bei einem Zinsfuß von p% nach n Jahren ein gewünschtes Kapital zu erhalten. Mit dem Aufzinsungsfaktor q = 1+d = 1+ p 100 ergeben sich bei nach- und vorschüssiger Zahlung q 1 R = K n q n 1 und R = K n q 1 q q n 1 Bei Berücksichtigung eines Anfangskapitals K 0 erhalten wir R = (K n K 0 q n ) q 1 q n 1 (nachschüssig) R = (K n K 0 q n ) q 1 q(q n 1) (vorschüssig) 53

54 Wenn Sie wissen wollen, nach wie vielen Jahren Sie bei konstanter Rentenzahlung R ein Kapital K angespart haben, müssen Sie nach n auflösen: n = ln n = ln ( ) Kn + R q 1 K 0 + R / ln(q) (nachschüssig) q 1 ) ( Kn q K 0 q + R q 1 + R q 1 / ln(q) (vorschüssig) Eine einfache Formel, um q aus R, n, K n und K 0 auszurechnen, gibt es nicht. 54

55 Tilgungsrechnung Tilgung, Annuität: Werden Schulden in Teilbeträgen, den sogenannten Raten zurückgezahlt, so spricht man von einer Tilgung, bei der die Schulden auf eine Restschuld vermindert werden. Die in einem Zeitabschnitt vom Schuldner aufzubringende Leistung wird als Annuität bezeichnet. Die Annuität A setzt sich aus der Tilgungsrate T und den Zinsen Z für den Zeitabschnitt zusammen: A = T + Z. Eine Zusammenstellung der in den einzelnen Zeitabschnitten zu erbringenden Annuitäten, Zinsen und Tilgungsraten heißt Tilgungsplan. Bei der Ratentilgung ist die Tilgungsrate während der gesamten Tilgungsdauer konstant. Bei der Annuitätentilgung erfolgt die Tilgung am Ende jeder Periode so, dass die Annuität über den gesamten Zeitraum konstant bleibt. Manchmal erlaubt man auch variierende Annuitäten, 55

56 ein Fall, den wir hier aber nicht betrachten wollen. Im Rahmen eines Tilgungsplans kann man variierende Zahlungen (Sondertilgungen) problemlos berücksichtigen, die formelmäßige Behandlung wird dann aber schwieriger bis unmöglich. Da die Restschuld und damit die Zinsen im Laufe der Zeit sinken, wird bei der Annuitätentilgung von Jahr zu Jahr ein größerer Betrag getilgt. Soll eine Schuld K 0 in n Jahren mit einer Ratentilgung getilgt werden, so beträgt die jährliche Tilgungsrate T = K 0 n. Da die zu verzinsende Restschuld von Jahr zu Jahr abnimmt, werden die Annuitäten mit der Zeit geringer. 56

57 Beispiel 4.19 (Ratentilgung) Der Tilgungsplan für eine Schuld K 0 = bei 8% Zinsen und einer Laufzeit von 10 Jahren hat folgende Form Jahr Tilgungsrate Zinsen Annuität Restschuld

58 Wie man an der Tabelle sieht, sind die Belastungen des Schuldners ungleichmäßig über die Tilgungsdauer verteilt. Ratentilgung: Sei K 0 die Schuld und T die Tilgungsrate, um die Schuld in n Jahren zu tilgen, also T = K 0 n. Bei der Ratentilgung bilden Zinsen, Annuitäten und Restschuld jeweils arithmetische Folgen: Sei d der Zinssatz, K m die Restschuld am Ende der m-ten Periode, Z m die zu zahlenden Zinsen für die (m + 1)-te Periode und A m die 58

59 Annuität, also A m = T + Z m. Dann ist K m = K m 1 T, m = 1,..., n Z 0 = K 0 d, Z m = Z m 1 T d, m = 1,..., n 1, A 0 = Z 0 + T, A m = A m 1 T d, m = 1,..., n 1, wobei d = q 1 (q Aufzinsungsfaktor). Beispiel 4.20 (Annuitätentilgung) Will man nun in der gleichen Situation wie in Beispiel 4.19 die Schuld mit der Annuitätentilgung ableisten, so benötigt man diejenige konstante Annuität A, die nach 10 Jahren zur Gesamttilgung der Schuld mit den aufgelaufenen Zinsen führt. Dieser Wert A berechnet sich wie folgt: In 10 Jahren wird aus der Schuld K 0 = bei nachschüssigem Zinseszins K n = K 0 1, = , 50. Die Tilgung dieser Gesamtschuld in 10 Jahren kann man sich nun als eine n-malige Rente 59

60 vorstellen. Daher ist die gesuchte Annuität A gerade diejenige konstante Rentenzahlung, die zu einem Endwert von , 50 führt. Bei nachschüssiger Zahlung muss also die erste Formel auf Seite 53 angewendet werden und liefert q 1 A = K n q n 1 = , 50 0, , 95. 1, (typischerweise begleicht man nicht gleich bei Aufnahme des Kredits eine Schuld, sondern beginnt nach dem ersten Zeitintervall, daher nachschüssige Zahlung). Damit hat der Tilgungsplan für eine Schuld von K 0 = bei 8% Zinsen und einer Laufzeit von 10 Jahren die Form 60

61 Jahr Tilgung Zinsen Annuität Restschuld , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , 95 0, , , 50 61

62 Annuitätentilgung: Sei K 0 die Schuld, d der jährliche Zinssatz, q = 1 + d der Aufzinsungsfaktor, und sei A die konstante Annuität, die erforderlich ist, um die Schuld nach n Jahren zu tilgen. Dann ist K 0 q n = A qn 1 q 1. Bei der Annuitätentilgung bildet die Tilgung eine geometrische Folge. Sei K m die Restschuld am Ende der m-ten Periode, Z m die zu zahlenden Zinsen für die (m + 1)-te Periode und T m die zu zahlende 62

63 Tilgungsrate für die (m + 1)-te Periode. Dann gilt K m = K 0 q m A qm 1 q 1, m = 1,..., n Z 0 = K 0 (q 1) Z m = Z m 1 q A (q 1), m = 1,..., n 1 T 0 = A K 0 (q 1) T m = T m 1 q, m = 1,..., n 1 Beispiel 4.21 Statt die Situation eines Schuldners und seiner Bank zu betrachten, können die Rollen auch vertauscht werden, d.h. wir behandeln nun folgende Situation: Sei K 0 ein Anfangskapital, das zu Beginn eines Jahres eingezahlt und mit dem jährlichen Zinssatz d verzinst wird. Innerhalb eines Jahres vermehrt sich das Kapital um den Aufzinsungsfaktor q = 1+d. Am Ende jeden Jahres wird dem Kapital ein fester Betrag R entnommen (die Rente ). Dieser Betrag R entspricht der konstanten Annuität 63

64 in der Situation der Annuitätentilgung. Wie groß ist dann das Kapital nach n Jahren? Die Formel aus dem obigen Satz liefert unmittelbar die Antwort; dies ist die sogenannte Sparkassenformel für den Kapitalabbau durch Auszahlung einer festen Rente bei einem Zinssatz d: K n = K 0 q n R qn 1 q 1 = K 0 (1 + d) n R (1 + d)n 1 d 64