(Grob-) Gliederung. B Finanzmathematische Grundlagen C Zinsrechnungen D Rentenrechnungen E Tilgungsrechnungen F Kurs und Rendite
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- Achim Simen
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1 (Grob-) Gliederung A Einführung Thema: Zinsrechnungen B Finanzmathematische Grundlagen C Zinsrechnungen D Rentenrechnungen E Tilgungsrechnungen F Kurs und Rendite Dr. Alfred Brink Dr. A. Brink Institut für Wirtschafts- und Sozialwissenschaften 1 Thema: Zinsrechnungen Dr. Alfred Brink A Einführung B Finanzmathematische Grundlagen C Zinsrechnungen 1 Systematisierung der Verzinsungsarten 4 Stetige Verzinsung 5 Aufgaben D Rentenrechnungen Dr. A. Brink Institut für Wirtschafts- und Sozialwissenschaften 2
2 1 Systematisierung der Verzinsungsarten Jährliche Verzinsung a Einfache Zinsen d vorschüssige Zinsen g 1 Jahr Zinszahlung Unterjährige Verzinsung 1 Quartal 1 Jahr b Zinseszinsen e nachschüssige Zinsen h Stetige Verzinsung... permanent 1 Jahr... c Gespaltene Zinsen = Kombination aus e und d f Zinszahlung Dr. A. Brink 3 3 Thema: Zinsrechnungen Dr. Alfred Brink A Einführung B Finanzmathematische Grundlagen C Zinsrechnungen 1 Systematisierung der Verzinsungsarten 2.1 Einfache Zinsen 2.2 Zinseszinsen 2.3 Gespaltene Zinsberechnung 2.4 Exkurs Wechseldiskontkredit Dr. A. Brink Institut für Wirtschafts- und Sozialwissenschaften 4
3 2.1 Jährliche Verzinsung mit einfachen Zinsen Ausgangssituation: Zeitraum der Verzinsung: 1 Jahr Zinsvergütung/ -belastung: am Jahresende (ohne Veränderung der Kapitalbasis, d.h. unverzinsliches Dr. A. Brink Kapitalkonto) Dr. 5A. Brink Jährliche Verzinsung mit einfachen Zinsen Formel: K n = K o (1 + n i) Symbole: K 0 = (Anfangs-) Kapital zu Beginn der Kapitalanlage i = Zinssatz (-fuß) K n = Endkapital Dr. A. Brink Dr. 6A. Brink 6
4 2.1 Jährliche Verzinsung mit einfachen Zinsen Hausaufgabe: K n = K o (1 + n i ) Drei der vier Größen müssen bekannt sein. Stellen Sie die Formel nach der jeweils gesuchten Größe um! Dr. A. Brink Dr. A. Brink Jährliche Verzinsung mit einfachen Zinsen Beispiel: Kapital von Verzinsung zu 6% Wie hoch ist der Kapitalstock nach 5 Jahren? K 5 = ( ,06) = Dr. A. Brink Dr. 8A. Brink 8
5 2. mit Zinseszinsen Ausgangssituation: Zeitraum der Verzinsung: Zinsvergütung/-belastung: 1 Jahr Jahresende mit Erhöhung der Kapitalbasis => Zinseszinsen Zinsen für das t. Jahr: Dr. A. Brink Z t = K t 1 i Dr. 9A. Brink 9 2. mit Zinseszinsen Formel: K n = K 0 q n Symbole: K 0 = (Anfangs-) Kapital zu Beginn der Kapitalanlage q = 1 + Zinssatz (-fuß) K n = Endkapital Dr. A. Brink Dr. 10A. Brink 10
6 2. mit Zinseszinsen Hausaufgabe: K n = K 0 q n Drei der vier Größen müssen bekannt sein. Stellen Sie die Formel nach der jeweils gesuchten Größe um! Dr. 11A. Brink mit Zinseszinsen Beispiel: Kapital von Verzinsung zu 6% Wie hoch ist der Kapitalstock nach 5 Jahren? K 5 = (1 + 0,06) 5 = ,26 Dr. 12A. Brink 12
7 Vergleich: Einfache Zinsen vs. Zinseszinsen Kapital Zinseszinsen K n = K 0 (1 + i) 1 Einfache Zinsen Dr. A. Brink K n = K o (1 + 1 i) Monate Dr. 13A. Brink 13 Vergleich: Einfache Zinsen vs. Zinseszinsen Kapital Einfache Zinsen Zinseszinsen Dr. A. Brink Laufzeit [Monate] Dr. 14A. Brink 14
8 2.3 Jährliche Verzinsung mit gespaltener Zinsrechnung Ausgangspunkt: Laufzeit des Kapitals endet nicht an einem ganzzahligen Zinsberechnungszeitpunkt (z.b. nach 3,5 Jahren) Dr. 15A. Brink Jährliche Verzinsung mit gespaltener Zinsrechnung Vorgehensweise: 1. Zunächst Endkapital für den letzten ganzzahligen Zinsverrechnungszeitpunkt bestimmen (mit Zinseszinsen) Formel: K g = K 0 (1 + i) g Dr. A. Brink mit g = letzter ganzzahliger Zinszeitpunkt Dr. 16A. Brink 16
9 2.3 Jährliche Verzinsung mit gespaltener Zinsrechnung Vorgehensweise: 2. Dann Endkapital über die Restlaufzeit rl bestimmen (mit einfachen Zinsen) Dr. A. Brink Formel: K E = K g + Z E = K g (1 + s i) Symbole: s = Anteil der Restlaufzeit an der Zinsperiode, mit s = rl/zp rl = Restlaufzeit (z.b. 3 Quartale) zp = Zinsperiode (z.b. 1 Jahr = 4 Quartale, bei einem Jahreszins i) Dr. 17A. Brink Jährliche Verzinsung mit gespaltener Zinsrechnung graphische Darstellung: Kapital Dr. A. Brink ,5 4 Dr. 18A. Brink Laufzeit [Jahre] 18
10 2.3 Jährliche Verzinsung mit gespaltener Zinsrechnung Beispiel: Kapital von Verzinsung zu 10% Laufzeit von 3,5 Jahren Wie hoch ist der Kapitalstock nach 3,5 Jahren? K g=3 = (1 + 0,1) 3 = 1.331,00 Dr. A. Brink Z E = (1/2) 0, = 66,55 K E = K 3 + Z E = ,55 = 1.397,55 Dr. 19A. Brink Exkurs: Wechseldiskontkredit Wechsel = unbedingte Zahlungsanweisung des Ausstellers (Gläubigers) an den Bezogenen (Schuldner), eine bestimmte Geldsumme zu zahlen Dr. 20A. Brink 20
11 C. Wechsel Zinsrechnungen 2.4 Exkurs: Wechseldiskontkredit Dr. A. Brink Exkurs: Wechseldiskontkredit Alternativen des Wechselinhabers: 1. Vorlage des Wechsels beim Bezogenen zur Zahlung am Verfalltag 2. Übergabe an einen Dritten zur Begleichung der eigenen Schuld 3. sofortige Weitergabe des Wechsels an eine Bank, die den Gegenwert des Wechsels bei entsprechender Diskontierung sofort auszahlt Dr. 22A. Brink 22
12 2.4 Exkurs: Wechseldiskontkredit Problem: Bestimmung des Barwertes des Wechsels 1. kaufmännische Diskontierung (z.b. Banken) K 0 K K s i K 1 s n n n i 2. amtliche Diskontierung (finanzmathem. korrekt) K n K 0 1 s i K0 K n 1 s i Dr. 23A. Brink Exkurs: Wechseldiskontkredit Beispiel: Wechsel in Höhe von Tage vor der Fälligkeit zur Diskontierung eingereicht. Bank verlangt 5% des nominellen Wechselbetrages als Diskont. Wie hoch ist der Barwert? Dr. 24A. Brink 24
13 2.4 Exkurs: Wechseldiskontkredit 1. bei kaufmännischer Diskontierung durch die Bank 3 K , bei finanzmathematisch korrekter Vorgehensweise K Dr. A. Brink , ,63 Dr. 25A. Brink 25 Thema: Zinsrechnungen Dr. Alfred Brink A Einführung B Finanzmathematische Grundlagen C Zinsrechnungen 1 Systematisierung der Verzinsungsarten 4 Stetige Verzinsung 5 Aufgaben D Rentenrechnungen Dr. A. Brink Institut für Wirtschafts- und Sozialwissenschaften 26
14 Thema: Zinsrechnungen Dr. Alfred Brink C Zinsrechnungen 1 Systematisierung der Verzinsungsarten 3.1 Relativer, effektiver und konformer Zinsfuß 3.2 Einfache Zinsen 3.3 Zinseszinsen 3.4 Gespaltene Zinsberechnung 4 Stetige Verzinsung Dr. A. Brink Institut für Wirtschafts- und Sozialwissenschaften Relativer, effektiver und konformer Zinsfuß Ausgangssituation: Zeitraum der Verzinsung: < 1 Jahr z.b. Halbjahr, Vierteljahr, Monat Dr. A. Brink 28
15 3.1 Relativer, effektiver und konformer Zinsfuß Relativer Zinsfuß: Formel: i rel i nom m Symbole: i rel = relativer (Perioden-) Zinssatz i nom = nomineller Jahreszinssatz m = Anzahl der Zinsperioden pro Jahr Dr. A. Brink Relativer, effektiver und konformer Zinsfuß Effektiver Zinsfuß: Formel: i eff inom 1 m m 1 Symbol: i eff = effektiver (Jahres-) Zinsfuß Dr. 30A. Brink 30
16 3.1 Relativer, effektiver und konformer Zinsfuß Beispiel: einjähriger Kredit mit einem Zinssatz von 12% (nominell) und monatlicher Verzinsung Wie hoch ist der effektive Zinsfuß? i eff 1 0, , ,68% Dr. 31A. Brink Relativer, effektiver und konformer Zinsfuß Konformer Zinsfuß: Formel: i kon m 1 i eff 1 Symbol: i kon = konformer Zinsfuß Dr. 32A. Brink 32
17 3.1 Relativer, effektiver und konformer Zinsfuß Beispiel: effektiver Jahreszins: 12% Wie hoch ist der konforme Zinssatz? i kon ,12 1 0, ,949% Dr. 33A. Brink Relativer, effektiver und konformer Zinsfuß Abgrenzung: Behandlung der gezahlten Zinsen Zeitraum der Verzinsung Einfache Verzinsung Zinseszinsen Jährliche Verzinsung i nom i eff Unterjährige Verzinsung i rel i kon Dr. 34A. Brink 34
18 3.2 Unterjährige Verzinsung mit einfachen Zinsen Ausgangssituation: Zinsen werden zwar mehrmals pro Jahr gutgeschrieben, aber nicht der Kapitalbasis zugeschlagen (unverzinsliches Kapitalkonto). Dr. 35A. Brink Unterjährige Verzinsung mit einfachen Zinsen Formel: K k, t K 1 0 t m k Z p Symbole: K k,t = Kapital am Ende der k-ten Zinsperiode des t-ten Jahres t = Jahresindex k = Index der Zinsperiode im Jahr t i p = Periodenzinssatz (= i rel bzw. i kon ) Z p = Periodenzinsen Dr. A. Brink Dr. 36A. Brink 36
19 3.2 Unterjährige Verzinsung mit einfachen Zinsen Beispiel: Kredit in Höhe von Laufzeit von 4,5 Jahren mit i nom = 5% Quartalsweise Verzinsung mit einfachen Zinsen Wie hoch ist das Endkapital? Dr. 37A. Brink Unterjährige Verzinsung mit einfachen Zinsen i p i m nom 0,05 4 0,0125 % Quartal Z p K i 0 p , Quartal Dr. A. Brink K2, Dr. 38A. Brink 38
20 3. mit Zinseszinsen Ausgangssituation: Zinsen werden mehrmals pro Jahr gutgeschrieben und erhöhen die Kapitalbasis. Formel: K k, t K 0 q t1 p mk Dr. 39A. Brink mit Zinseszinsen Beispiel: Kredit in Höhe von Laufzeit von 4,5 Jahren mit i nom = 5% Quartalsweise Verzinsung mit Zinseszinsen Wie hoch ist das Endkapital? Beachte: Banken ermitteln den unterjährigen Zinsfuß stets durch Division i nom Dr. 40A. Brink m 40
21 3. mit Zinseszinsen t 1 m k Zinsperioden q p i 0,05 1 nom 1 1,0125 m 4 18 K 2, , ,77 Dr. 41A. Brink Unterjährige Verzinsung mit gespaltener Zinsberechnung Ausgangssituation: Laufzeit endet nicht an einem Zinsverrechnungszeitpunkt z.b. nach 3 Jahren und 2 Monaten (bei quartalsweiser Zinsverrechnung) Dr. 42A. Brink 42
22 3.4 Unterjährige Verzinsung mit gespaltener Zinsberechnung Vorgehensweise: 1. Zinsen zum letzten turnusmäßig vorgesehenen Zinsverrechnungszeitpunkt bestimmen nach der Methode der unterjährigen Verzinsung mit Zinseszinsen Dr. 43A. Brink Unterjährige Verzinsung mit gespaltener Zinsberechnung Vorgehensweise: 2. Zinsen für die Restlaufzeit ermitteln nach der Methode einfacher unterjähriger Verzinsung mit i rel Dr. 44A. Brink 44
23 3.4 Unterjährige Verzinsung mit gespaltener Zinsberechnung Formel: mit: K E Z E g i E E K Z K i K K 1 i K g g E g g E und i E s i m nom sowie s rl z p Dr. Dr. A. A. Brink Brink Unterjährige Verzinsung mit gespaltener Zinsberechnung Symbole: K E = Kapital am Ende der Laufzeit i E = Zinssatz der Restlaufzeit Z E = Zinsen der Restlaufzeit g = Index des letzen Zinsverrechnungszeitpunktes s = Anteil der Restlaufzeit an der Zinsperiode rl = Restlaufzeit (z.b. in Monaten) z p = Zinsperiode (z.b. in Monaten) Dr. 46A. Brink 46
24 Thema: Zinsrechnungen Dr. Alfred Brink A Einführung B Finanzmathematische Grundlagen C Zinsrechnungen 1 Systematisierung der Verzinsungsarten 4 Stetige Verzinsung 5 Aufgaben D Rentenrechnungen Dr. A. Brink Institut für Wirtschafts- und Sozialwissenschaften 47 Thema: Zinsrechnungen Dr. Alfred Brink A Einführung B Finanzmathematische Grundlagen C Zinsrechnungen 1 Systematisierung der Verzinsungsarten 4 Stetige Verzinsung 4.1 Vorgehensweise 4.2 Anwendungsbeispiele D Rentenrechnungen Dr. A. Brink Institut für Wirtschafts- und Sozialwissenschaften 48
25 4 Stetige Verzinsung 4.1 Vorgehensweise Ausgangssituation: Berechnungsvorschrift für unterjährige Verzinsung mit Zinseszinsen. Formel: K n K 0 e ni Dr. 49A. Brink 49 4 Stetige Verzinsung 4.1 Vorgehensweise Beispiel: Kredit in Höhe von Laufzeit von 5 Jahren zu i = 5% Stetige Verzinsung Wie hoch ist das Endkapital? 50,05 K e ,25 Dr. 50A. Brink 50
26 Thema: Zinsrechnungen Dr. Alfred Brink A Einführung B Finanzmathematische Grundlagen C Zinsrechnungen 1 Systematisierung der Verzinsungsarten 4 Stetige Verzinsung 4.1 Vorgehensweise 4.2 Anwendungsbeispiele D Rentenrechnungen Dr. A. Brink Institut für Wirtschafts- und Sozialwissenschaften 51 4 Stetige Verzinsung 4.2 Anwendungsbeispiele Bestimmung des optimalen Ersatzzeitpunktes von Investitionsobjekten Bestimmung der optimalen Nutzungsdauer von Investitionsobjekten Bestimmung der Kostenreduktion durch Lerneffekte Demographische, physikalische, chemische und biologische Fragestellungen Dr. 52A. Brink 52
27 Thema: Zinsrechnungen Dr. Alfred Brink A Einführung B Finanzmathematische Grundlagen C Zinsrechnungen 1 Systematisierung der Verzinsungsarten 4 Stetige Verzinsung 5 Aufgaben D Rentenrechnungen Dr. A. Brink Institut für Wirtschafts- und Sozialwissenschaften 53 5 Aufgaben Aufgaben: Aufgabe 4 Aufgabe 9 Aufgabe 10 Aufgabe 14 Aufgabe 22 Aufgabe 30 Aufgabe 33 Aufgabe 38 Aufgabenheft S Dr. 54A. Brink 54
1 Systematisierung der Verzinsungsarten
1 Systematisierung der Verzinsungsarten 4 Stetige Verzinsung 5 Aufgaben zur Zinsrechnung Dr. A. Brink 1 1..Syse Systematisierung seugdeve der Verzinsungsarten sugs e Jährliche Verzinsung a Einfache Zinsen
1. Systematisierung der Verzinsungsarten. 2 Jährliche Verzinsung. 5 Aufgaben zur Zinsrechnung. 2.1. Jährliche Verzinsung mit einfachen Zinsen
1 Systematserung der Verznsungsarten 2 Jährlche Verznsung 3 Unterjährge Verznsung 4 Stetge Verznsung 5 Aufgaben zur Znsrechnung 1. Systematserung der Verznsungsarten a d g Jährlche Verznsung nfache Znsen
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