Versicherungstechnik

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1 Operations Research und Wirtschaftsinformatik Prof. Dr. P. Recht // Dipl.-Math. Rolf Wendt DOOR Aufgabe 5 Versicherungstechnik Übungsblatt 2 Abgabe bis zum Dienstag, dem um 0 Uhr im Kasten 9 Die bekannte und sehr praktische sog. 72er-Formel besagt: Wird ein Kapital B mit p % p. a. gemischt verzinst, so verdoppelt sich das Kapital in 72/p Jahren. Wie gut ist diese Näherung? (2 Punkte) Lösungsvorschlag: Gemischte/zusammengesetzte Verzinsung heißt Zinsen werden mitverzinst (also Zinseszinsrechnung). 72er-Formel : ( 2 B = B + p 00 ( 2 = + p ) n 00 ln 2 ln ( + p ) = n 00? =72/p Auflösung des Terms nur durch Abschätzung möglich! = Nach dem Satz von Taylor gilt für differenzierbare Funktionen f: f(x + t) = f(x) + f (x) t + f (x) 2! ) n t 2 + f (x) 3! t Mit f(x) = ln(x) und damit f (x) = x, f (x) = x 2, f (x) = 2 x 3 gilt für ein festes x = insbesondere ln( + t) = 0 + t 2 t t3... Für kleine t gilt also Man erhält also n = ln( + t) t. ln 2 ln ( + p ln 2 p ) ln 2 p 00! = n n 69,3 p. Die 72er-Formel erhält man, indem die 69,3 auf die nächstgrößere Zahl mit möglichst vielen Teilern, die 72, aufgerundet wird (2,3,4,6,8,9,...). ln ist eine differenzierbare Funktion

2 Aufgabe 6 In der Praxis werden Zinsen nicht kontinuierlich, sondern zu diskreten Zeitpunkten gezahlt. Es sei i der effektive Zins, der in einem Zeitintervall der Länge auf das Kapital der Höhe gezahlt wird. Wir bezeichnen dann mit j ( ) := i die nominelle jährliche Zinsrate bei -jähriger Verzinsung. a) Berechnen Sie bitte jeweils den effektiven Jahreszins i für nominelle Zinsraten von 0,06 und 0, bei ein-, halb-, vierteljähriger, monatlicher und täglicher Verzinsung. b) Welchem effektivem Jahreszinsfuß entspricht ein monatlicher effektiver Zinsfuß von 0,5 % und 0,75 % bei monatlicher Aufzinsung? c) Welcher effektive Monatszins ist bei monatlicher Aufzinsung zu Grunde zu legen, wenn der Jahreszinsfuß 6 % bzw. 8 % betragen soll? d) Bestimmen Sie bitte die nominelle jährliche Zinsrate j ( ) bei m-tel jährlicher Zahlung für m. In diesem speziellen Fall werde die nominelle Zinsrate mit ϕ bezeichnet. (3 Punkte) Lösungsvorschlag: Für = 2 (monatlich), 4 (vierteljährlich), 2 Bezeichnungen: (halbjährlich) usw. haben wir die folgenden i = effektiver Zins für Zeitintervall der Länge auf Kapital der Höhe. j ( ) = nominelle Jahreszinsrate bei -jähriger Verzinsung. Es gilt: j ( ) = i bzw. j ( ) = i Zusammenhang zum effektivem Jahreszinssatz i: + i = ( + i ) = ( + j ( ) ) bzw. ( + i) = + i = + j ( ) a) geg: nom. Jahreszinsraten j ( ) von 0,06 und 0, für =, 2, 4, 2, 360, ( 365 ). gesucht: effektiver Zinssatz i(= i ). i = ( + j ( ) ) liefert die in der folgenden Tabelle dargestellten Ergebnisse.

3 i für j ( ) = 0,06 für j ( ) = 0, 0,06 0, 2 0, , , , , , , , , , Man sieht: i j ( ). Und je größer =: m wird, desto öfter wird unterjährig verzinst größerer Zinseszinseffekt desto größer wird i gegenüber j ( ) b) Gesucht ist der effektive Jahreszinsfuß p (= 00 i) für einen monatlichen effektiven Zinsfuß i von 0,5 % und 0,75 % bei monatlicher Verzinsung. (i) i 2 = 0,005 Wegen i = ( + i ) gilt: i = ( + 0,005) 2 = 0,06 68 p = 6,7 % (ii) i 2 = 0,007 5 i = ( + 0,007 5) 2 = 0,093 8 p = 9,38 % c) Gesucht ist der effektive Monatszins i bei einem effektiven Jahreszins von i = 0,06 bzw. 2 i = 0,08. + i = ( + i ) i = ( + i) (i) i (6%) 2 (ii) i (8%) 2 =,06 2 = 0, =,08 2 = 0, d) Gesucht jährliche nominelle Zinsrate j ( ) bei m-tel jährlicher Zahlung. Es gilt: i = ( + j(m) m )m j (m) = m(( + i) m ) Grenzübergang für m liefert: Alternativ (Differenzenquotient): j(m) lim ( + m m )m = e j( ) =: e ϕ ϕ = ln( + i) ϕ m m(( + i) m ) t=/m tց0 ( + i) t t

4 also tց0 ( + i) t ( + i) 0 (0 + t) 0 = f (0) mit f(t) = ( + i) t f (t) = ln( + i) ( + i) t f (0) = ln( + i) = ϕ Alternativ (l Hospital): ϕ m j(m) m m(( + i) m ) Alternativ (Grenzwert nach Hurwitz): ( + i) m m m l Hospital ( + i) m 2 m ln( + i) m m 2 m ( + i) m ln( + i) = ln( + i) lim n n(a n ) = ln(a) für reelle a Bemerkung: Jakob Bernoulli (* 6. Januar 655 in Basel; 6. August 705) entdeckte die ersten Stellen der eulerschen Zahl bei der Untersuchung der Zinseszinsrechnung für kontinuierliche Verzinsung: mit j (m) und B = erhält man S = B ( + j(m) m )m, S m ( + m )m = e Aufgabe 7 Die Zinsintensität ϕ ist ein Maß für die Güte der Verzinsung in einem Zeitintervall [t 0, t 0 + t]. Beschreibt die Kapitalfunktion K(t) das vorhandene Kapital zum Zeitpunkt t 0, dann ist K(t 0 + t) K(t 0 ) ϕ(t 0 ) :. tց0 K(t 0 ) t a) Geben Sie bitte die Zinsintensität ϕ(t) zum Zeitpunkt t für die einfache Verzinsung an. (Hinweis: Einfache Verzinsung meint die lineare Verzinsung innerhalb eines Jahres.) b) Zu gegebener Zinsintensität lässt sich die Kapitalfunktion wie folgt berechnen: t K(t) = K(0) e ϕ(τ)dτ 0. Verifizieren Sie diese Formel bitte für die einfache Verzinsung.

5 c) Es werde vorausgesetzt, dass die Zinsintensität für einen n-jährigen Beobachtungszeitraum konstant ist, d. h. es gilt ϕ(t) ϕ für alle t [0, n]. Geben Sie den zentralen Zusammenhang zwischen ganzjähriger Verzinsung, m-tel jähriger Verzinsung bzw. kontinuierlicher Verzinsung mit Hilfe des effektiven Jahreszinssatzes i, der nominellen Jahreszinsrate j (m) und der Zinsintensität ϕ an, indem Sie zeigen, auf welchen Endwert K(n) ein Kapital K(0) in n Jahren anwächst. (3 Punkte) Lösungsvorschlag: a) Erinnerung: einfache Verzinsung ˆ= Verzinsung ohne Zinseszins, d.h. lineare Verzinsung innerhalb des Jahres. Kapitalfunktion: K(t) = B ( + t i) Dann gilt wegen Differenzierbarkeit von K(t): K(t 0 + t) K(t 0 ) ϕ(t 0 ) : = tց0 K(t 0 ) t Für K(t) = B( + t i) folgt = K(t 0 ) K (t 0 ) ϕ(t) = K(t 0 ) lim K(t 0 + t) K(t 0 ) tց0 t Def. der Abl. einer reellen Fkt ( = (ln(k(t0 ))) ) B i B( + t i) = i + t i b) Für gegebene Zinsintensität ϕ(t) erhält man die Kapitalfunktion mit ϕ(t) = i +t i K(t) = K(0) e t ϕ(τ)dτ 0, für einfache Verzinsung als Zinsintensität. Mit K(0) = B gilt dann t K(t) = B e 0 i +i τ dτ = B e [ln(+τ i)]t 0 = B e ln(+t i) = B ( + t i) c) Zusammenhang zwischen effektivem Jahreszins i, nomineller Jahreszinsrate j (m) und Zinsintensität ϕ. Darstellung über Zinsintensität: n K(n) = K(0) e = K(0) e ϕ(τ)dτ 0 n ϕdτ 0 = K(0) e [ϕ τ]n = K(0) e ϕ n ϕ 0 = K(0) e ϕ n

6 Darstellung über nominelle Jahreszinsrate: Darstellung über effektive Jahreszinsrate: K(n) = K(0) ( + j(m) m )m n K(n) = K(0) ( + i) n Fazit: Für beliebige n gilt folgende Gleichheit für die Verzinsung ( + i) n jährlich = ( + j(m) m )m n m-tel jährlich = e ϕ n }{{} kontinuierlich