100 und (a) Wie gross ist die Konzentration des Medikaments zu Beginn des Experiments (für t = 0), bzw. nach 5 Stunden (für t = 5)?

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1 Mathematik I für Naturwissenschaften Dr. Christine Zehrt Übung 5 (für Pharma/Geo/Bio) Uni Basel Besprechung der Lösungen: 22. Oktober 2018 in den Übungsstunden Sei f() = 1 f(1+h) f(1) und g(h) = 2 h (a) Berechnen Sie g(h) für h = 1 10, und (b) Bestimmen Sie g(h) als Funktion von h. der Differenzenquotient von f in 0 = 1. (c) Berechnen Sie lim h 0 g(h) = f (1) und vergleichen Sie Ihr Resultat mit Teilaufgabe (a). Bestimmen Sie die Ableitungen und deren Definitionsbereiche von (a) f() = cos( 4 ) (b) f() = e 1 (c) f() = (ln+sin(ω+π)) 3, wobei ω eine reelle Zahl ist (d) g(y) = arccos(y) Ein neues Medikament wird im Labor getestet. Seine Konzentration im Blut wird regelmässig gemessen, in Milligramm pro Liter. Eine Versuchsreihe ergab, dass das Medikament nach der Funktion ( 3 ) t f(t) = 5, 4 mit t 0 in Stunden, abgebaut wird. (a) Wie gross ist die Konzentration des Medikaments zu Beginn des Eperiments (für t = 0), bzw. nach 5 Stunden (für t = 5)? (b) Wie gross ist die Änderungsrate der Konzentration des Medikaments zur Zeit t = 0 im Vergleich zum Zeitpunkt t = 5? Was bedeutet das Resultat praktisch? (c) Ist f monoton fallend oder wachsend im Intervall [0, 5]? Was bedeutet dies praktisch? Bestimmen Sie die lokalen und globalen Etrema und die Wendepunkte der Funktion f() = für [ 2,2]. Skizzieren Sie den Funktionsgraphen.

2 Aufgabe 5 Bestimmen Sie mit Hilfe der Regeln von Bernoulli-de l Hôpital die folgenden Grenzwerte. ln() (a) lim ( 1 (b) lim 0 e 1 1 ) ( ) 1 (c) lim sin Zusatzaufgaben Aufgabe 6 Mistellektine (das sind Eiweissstoffe, die nur in der Mistel vorkommen) hemmen das Wachstum von Krebszellen und können insbesondere Krebszellen zum Selbstmord anregen. Wir haben nun ein Medikament mit dem Wirkstoff Lektin, von dem wir wissen, dass die Wirkung von Lektin abhängig von der Dosis in Mikroliter pro Kilogramm Körpergewicht durch die Funktion f() = 5 ( ) beschrieben werden kann. Bei welcher Dosierung ist die Wirkung am grössten? Aufgabe 7 Sei f() = Ist die Gerade y = 3 4 eine Tangente an den Graphen von f? Aufgabe 8 Bestimmen Sie die Ableitung der Funktionen f() = sin 3 ( 2 1) und g() =. Aufgabe 9 Gegeben ist die reelle Funktion f() = (a) Ist f differenzierbar in 0 = 0? { für für 1 < 0 (b) Bestimmen Sie die lokalen und globalen Etrema von f.

3 Lösungshinweise (b) f(1+h) = 1 (1+h) 2 und f(1) = 1 in g(h) einsetzen und den Bruch vereinfachen. (c) Für g(h) den Ausdruck aus Teilaufgabe (b) verwenden. (a) (c) Kettenregel (Satz 4.2) anwenden (bei (c) zweimal, bei (b) zuerst Produktregel) (d) Analog zum Beispiel g(y) = arcsiny auf Seite 55 des Skripts (a) Gesucht sind f(0) und f(5). (b) Die Änderungsrate zur Zeit t ist gegeben durch f (t). (c) Direkt f betrachten oder mit Hilfe von f (d.h. Satz 4.5 anwenden). Analog zum Beispiel auf den Seiten 59 und 60 des Skripts. Aufgabe 5 (b) Zuerst in einem Bruch schreiben, dann Bernoulli-de l Hôpital zweimal anwenden. (c) Bernoulli-de l Hôpital ist anwendbar, wenn man umformt sin( 1 ) = sin( 1 ) 1. Aufgabe 6 (Zusatzaufgabe) Maimalstelle bestimmen. Aufgabe 7 (Zusatzaufgabe) Die Gerade ist eine Tangente genau dann, wenn sie den Graphen von f an derjenigen Stelle 0 berührt, wo f ( 0 ) = 3 gilt ( 3 ist die Steigung der Geraden, welche gleich der Tangentensteigung f ( 0 ) in 0 sein muss). Aufgabe 8 (Zusatzaufgabe) f: Kettenregel wiederholt anwenden, g: Zuerst g() umformen, oder sonst mit Kettenregel Aufgabe 9 (Zusatzaufgabe) (a) Den Grenzwert für h 0 und für h 0 des Differenzenquotienten bestimmen, analog zum 4. Beispiel (f() = ) auf Seite 52 des Skripts. (b) Bestimmen Sie die lokalen Etrema auf den Teilintervallen ( 1, 0) und (0, 1) und vergleichen Sie die Funktionswerte mit f( 1), f(0) und f(1).

4 Ergebnisse (a) g( 1 2 h 10 ) 1,74 (b) g(h) = (1+h) 2 g( ) 1,97 g( ) 1,997 (a) f () = sin( 4 ) 4 3, definiert für alle R ( (b) f () = e 1 +e 1 1 ) ( 2 = e ), definiert für 0 (c) lim h 0 g(h) = 2 (c) f () = 3(ln+sin(ω+π)) 2 ( 1 +ωcos(ω+π)), definiert für > 0 (d) g (y) = 1 sin(arccos(y)) = 1, definiert für 1 < y < 1 1 y 2 (a) Konzentration zur Zeit t = 0: f(0) = 5 mg l Konzentration zur Zeit t = 5: f(5) 1,19 mg l (b) Die Änderungsrate ist gegeben durch f (t) = 5ln( 3 4 )(3 4 )t Also ist f (0) 1,44 mg lh und f (5) 0,34 mg lh. Zu beiden Zeitpunkten ist die Änderungsrate negativ. Dies bedeutet, dass die Konzentration des Medikaments abnimmt. Der Betrag der Ableitung ist zur Zeit t = 0 grösser als zur Zeit t = 5, das Medikament wird also zu Beginn des Eperiments stärker abgebaut als nach 5 Stunden. (c) f ist monoton fallend. Die Konzentration des Medikaments nimmt mit der Zeit ab. (0,1) ist ein lokales Maimum. (2,5) und ( 2,5) sind globale Maima. ( ) ( ) 3 2, und 2, 5 4 sind sowohl lokale als auch globale Minima. ( ) ( ) 2 1, 1 4 und 1 2, 1 4 sind Wendepunkte. Aufgabe 5 (a) 0 (b) 1 2 (c) 1 (Weil cos eine stetige Funktion ist, gilt lim cos(1 ) = cos(0).)

5 Aufgabe 6 (Zusatzaufgabe) Die Wirkung ist am grössten für = 2,5 µl kg. Man berechnet f () = 5 9 ( ). Damit ist f () = 0 für = 2,5 (unter der Bedingung, dass die Dosis positiv ist). Mit f () = findet man f (2,5) < 0. Die Stelle = 2,5 ist also eine Maimalstelle. Aufgabe 7 (Zusatzaufgabe) Die Gerade ist keine Tangente an den Graphen von f. Wenn doch, dann müsste die Gerade den Graphen von f an derjenigen Stelle 0 berühren, wo 3 = f ( 0 ) = gilt, das heisst, in 0 = 0. Aber die Gerade berührt den Graphen von f in 0 = 0 nicht, denn sie geht nicht durch den Punkt (0,f(0)) = (0, 2) (für = 0 ist y = = 4 2)! Aufgabe 8 (Zusatzaufgabe) f () = 3sin2 ( 2 1) cos( 2 1) 2 1 g() = ( ( 1 2) 1 2) 1 2 = ( 3 4) 1 2 = 7 8, und so g () = = 7 Aufgabe 9 (Zusatzaufgabe) (a) Es gilt [ g 1 () = f(h) f(0) lim h 0 h Also ist f in 0 = 0 nicht differenzierbar Oder mit Kettenregel: ) ] ( + 2 f(h) f(0) = lim( 1+h) = 1 1 = lim h 0 h 0 h (b) Auf dem Intervall ( 1,0) hat f keine lokalen Etrema, denn f ist dort eine lineare Funktion (bzw. f () = 1 0 für alle ( 1,0)). Auf (0,1) ist f () = = 0 für = 1 2. Da auf (0,1) der Graph von f eine nach oben offene Parabel ist, ist = 1 2 eine lokale Minimalstelle und (1 2, 3 4 ) ein lokales Minimum (oder man berechnet f () = 2 > 0 für alle (0,1)). Es gilt f( 1) = 0, f(0) = 1 und f(1) = 1. Der Vergleich mit f( 1 2 ) = 3 4 zeigt, dass ( 1,0) ein globales Minimum ist und (0,1) sowie (1,1) globale Maima sind..