Liechtensteinisches Gymnasium

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Kurt Schuster
vor 8 Jahren
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1 Schriftliche Matura Liechtensteinisches Gymnasium Prüfer: Huber Sven Klassen 7Sa / 7Wa Zeit: 240 Minuten Name: Klasse: Instruktionen: 1) Geben Sie die zur Rechnung nötigen Einzelschritte an. 2) Skizzen müssen gut erkennbar und deutlich zu lesen sein. 3) Der Taschenrechner und die Formelsammlung sind erlaubt. 4) Schreibe Sie Ihren Namen auf alle verwendeten Blätter. 5) Bitte verwenden Sie keine ROTEN Stifte. 6) Verwenden Sie für jede Aufgabe einen separaten Bogen. Aufg.1 Aufg.2 Aufg.3 Aufg.4 Darstellung Total Punkte Erreichte Punkte Viel Glück und gutes Gelingen wünscht Sven Huber Mathematik Matura 2011 Seite 1 von 5

4) Schreibe Sie Ihren Namen auf alle verwendeten Blätter. 5) Bitte verwenden Sie keine ROTEN Stifte. 6) Verwenden Sie für jede Aufgabe einen separaten Bogen.

2 1. FLUGZEUG Die xy - Ebene beschreibt eine flache Landschaft, in der ein Flugplatz mit zwei Radarstationen liegt. Die erste Station befindet sich im Punkt R1 6 / 3/ 0, die zweite in R2 17 / 9 / 0. Die erste Station erfasst ein Flugzeug F1 um 7.00 Uhr im Punkt P 7 / 29 / 7 und ermittelt als Flugbahn die Gerade 7 3 f1 : rx = 29 + t 2. Gleichzeitig wird die Flugbahn eines zweiten Flugzeugs F2 ebenfalls von R aus als Gerade f2 : rx = 11 + t 2 erfasst. Der Parameter t ist dabei in Minuten nach 7:00 Uhr 7 0 angegeben und die Koordinaten des Richtungsvektors haben die Einheit km/min. Die beiden Flugzeuge fliegen jeweils mit konstanter Geschwindigkeit. a. In welchem Punkt befindet sich das Flugzeug F1 um 7.01 Uhr? b. Wie weit sind die Flugzeuge F1 und F2 um 7.04 Uhr voneinander entfernt? c. Woran erkennen Sie, dass sich das Flugzeug F1 im Sinkflug befindet? d. Bestimmen Sie die Geschwindigkeit des Flugzeugs F1 in km/h und den Winkel unter dem das Flugzeug auf den Boden zu fliegt. e. Der Anflug des Flugzeugs F1 auf den Flugplatz ist optimal, wenn die Flugbahn f1 und die beiden Radarstationen R1 und R2 in einer Ebene liegen. Prüfen Sie, ob das zutrifft. f. Um welche Uhrzeit und in welchem Punkt wird das Flugzeug F1 landen, wenn man annimmt, dass es die Flugbahn f1 bis zur Flugplatzebene einhält? Mathematik Matura 2011 Seite 2 von 5

Gleichzeitig wird die Flugbahn eines zweiten Flugzeugs F2 ebenfalls von R1 7 1 18 2 aus als Gerade f2 : rx = 11 + t 2 erfasst.

2. BERGSTEIGER An einem Seeufer steht ein Turm der Höhe SF = 35 m. Direkt am gegenüber liegenden Ufer erhebt sich eine schräge Felswand AD unter dem Höhenwinkel γ = 76.

3 2. BERGSTEIGER An einem Seeufer steht ein Turm der Höhe SF = 35 m. Direkt am gegenüber liegenden Ufer erhebt sich eine schräge Felswand AD unter dem Höhenwinkel γ = 76. Vom Fusspunkt F und von der Spitze S des Turmes misst man die Höhenwinkel α= 46,1 und β=42,8 zum oberen Ende D dieser Felswand. a. Wie hoch liegt das obere Ende D der Felswand über dem Seeufer? Verwenden Sie m falls Sie es nicht berechnen konnten. b. Welche Länge hat die schräge Felswand AD? Verwenden Sie m falls Sie es nicht berechnen konnten. c. Von der Turmspitze S aus kann man im See das Spiegelbild der Felsspitze D erkennen. An welcher Stelle zwischen F und A sieht man das Spiegelbild auf der Seeoberfläche? d. Wie weit weg von der Senkrechten DB ist ein Kletterer, der sich gerade auf halber Strecke AD befindet? Verwenden Sie 40.07m falls Sie es nicht berechnen konnten. e. Unter welchem Höhenwinkel von der Spitze des Turmes erscheint dann dieser Kletterer? Bemerkung: Fertigen Sie eine Skizze an und bezeichnen Sie die verwendeten Winkel und Strecken nachvollziehbar. Es dürfen auch mehrere Teilskizzen sein. Mathematik Matura 2011 Seite 3 von 5

Verwenden Sie 321.45m falls Sie es nicht berechnen konnten. b. Welche Länge hat die schräge Felswand AD? Verwenden Sie 331.29m falls Sie es nicht berechnen konnten. c.

4 3. KURVENDISKUSSION 3 2 x + 2 e Gegeben sei die Funktion 2 f x = x a. Diskutieren Sie diese Funktion (Definitionsbereich, Verhalten im Unendlichen, Nullstellen, Extrema, Wendepunkte (auf die dritte Ableitung wird verzichtet), Wendetangenten) und zeichnen Sie anschliessend den Funktionsgraphen. b. Eine Gerade g geht durch die Punkte A und B, wobei A 2/ f ( 2) und B / (2) 2 f Punkte der Funktion f sind. Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die vom Graphen von f und der Geraden g eingeschlossen wird, ohne Zuhilfenahme der Integralfunktion des Taschenrechners. Mathematik Matura 2011 Seite 4 von 5

verzichtet), Wendetangenten) und zeichnen Sie anschliessend den Funktionsgraphen. b.

5 4. ZINSEN UND KREDITE a. Welchen mittleren Zinssatz müsste man geben um dasselbe Endkapital zu erlangen, wenn ein Kapital zwei Jahre lang zu 2% und dann 4 Jahre lang zu 4% verzinst ist? b. Wie lange wurde ein Kapital von CHF zu 3% p.a. verzinst, wenn das Endkapital CHF betrug? c. Ein Unternehmer interessiert sich für den Erwerb einer neuen Lagerhalle. Er glaubt, dass er jährlich für die Verzinsung und Tilgung eines Hypothekendarlehens CHF aufbringen könnte. Er möchte nun von seiner Bank wissen, welchen Betrag ihm unter Berücksichtigung eines Zinssatzes von 3% für eine Laufzeit von 20 Jahren höchstens zur Verfügung gestellt werden könnte. d. Für den Kauf eines Autos nimmt jemand zu Jahresbeginn bei einer Bank einen Kredit von CHF zu p = 9,25% p.a. auf. Es wird vereinbart, den Kredit durch vier gleich grosse Jahresraten in der Höhe von je CHF am Ende eines jeden Jahres abzubauen. Ein verbleibender Rest soll zusammen mit der letzten Rate zurückgezahlt werden. i) Erstellen Sie einen Tilgungsplan und zeigen Sie, dass der Restbetrag CHF beträgt. Anfang Jahr Annuität Zins Tilgung Ende Jahr ii) Zwei Jahre nach der Kreditaufnahme wird der Prozentsatz auf p = 9,75% angehoben. Berechnen Sie die beiden Raten, die man nun für die letzten beiden Jahre zahlen muss (unter der Voraussetzung, dass der Restbetrag immer noch CHF beträgt.) Mathematik Matura 2011 Seite 5 von 5

Er glaubt, dass er jährlich für die Verzinsung und Tilgung eines Hypothekendarlehens 21000.- CHF aufbringen könnte.

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