Zu jeder Aufgabe darf nur eine Lösung eingereicht werden. Mehrfache Lösungen für eine Aufgabe werden nicht bewertet.

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1 Kantonsschule Zürcher Oberland Wetzikon Mathematik M6b Maturitätsprüfungen 2012 schriftlich Dauer: 4 Stunden Name: Punkte (max 58): Note: Die Aufgaben dürfen in beliebiger Reihenfolge gelöst werden. Beginnen Sie aber jede Aufgabe auf einer neuen Seite! Wenn sich eine Aufgabe über mehrere Seiten erstreckt, dann schreiben Sie am Anfang jeder Seite deutlich hin, zu welcher Aufgabe/Teilaufgabe die Rechnungen gehören. Die Lösungen müssen gekennzeichnet und klar erkennbar sein! Auch der Lösungsweg muss ersichtlich und klar dokumentiert sein! Lösungen ohne verständlichen Lösungsweg geben keine Punkte. Schreiben Sie auch hin, wann und wie sie den Taschenrechner einsetzen. Zu jeder Aufgabe darf nur eine Lösung eingereicht werden. Mehrfache Lösungen für eine Aufgabe werden nicht bewertet. Achten Sie auf eine saubere Darstellung und insbesondere auf eine korrekte mathematische Notation! Unleserliche oder unverständliche Resultate werden nicht bewertet, eine falsche Notation gilt als Fehler. Taschenrechner-Eingaben sind keine mathematische Notation. Schreiben Sie weder mit Bleistift noch mit roter oder heller Farbe. Schreiben Sie auf alle Blätter rechts oben Ihren Namen und die Klasse hin. Erlaubte Hilfsmittel: Formelblatt und Taschenrechner TI-89. Ich wünsche Ihnen Viel Erfolg! KZO Wetzikon 1/5 Tobias Kohn

2 1. Vektorgeometrie: Punkte, Geraden und Ebenen Sie haben die Punkte A, B, C, D und eine Gerade g vorgegeben. Lösen Sie damit die untenstehenden Teilaufgaben. A(0 1 3), B(2 2 1), C(5 7 5), D( ) g : r = s (a) (2 Punkte) Die Ebene E geht durch die Punkte A, B und C. Bestimmen Sie die Koordinatengleichung der Ebene E und geben Sie die Gleichung mit möglichst kleinen Koeffizienten an. (Zur Kontrolle: Der Punkt (1 1 1) liegt ebenfalls auf E) (b) (1 Punkt) Die Ebene F geht durch den Punkt D und ist parallel zur Ebene E. Bestimmen Sie auch die Koordinatengleichung von F mit möglichst kleinen Koeffizienten. (c) (1 Punkt) Die Gerade g durchstösst die Ebene E im Punkt A. Unter welchem Winkel treffen sich dort die Ebene E und die Gerade g? Runden Sie das Resultat auf zwei Nachkommastellen. (d) (2 Punkte) Welchen Abstand haben die Ebenen E und F zueinander? (e) (2 Punkte) Das Dreieck ABC bildet zusammen mit D eine Pyramide mit dreieckiger Grundfläche. Bestimmen Sie das Volumen dieser Pyramide! (f) (2 Punkte) Der Punkt G liegt irgendwo auf der Geraden g. Bestimmen Sie G so, dass das Dreieck BGC bei G einen rechten Winkel hat. KZO Wetzikon 2/5 Tobias Kohn

3 2. Analysis: Kurvendiskussion Gegeben ist die Funktion f (x) = a(x + 2) x 2 + a (a) (6 Punkte) Setzen Sie a = 5 und führen Sie eine Kurvendiskussion durch. Bestimmen Sie also den Definitionsbereich, Symmetrie, Nullstellen, Extrema (mit x- und y-koordinaten), das Verhalten für x ± und skizzieren Sie den Graphen. (b) (3 Punkte) Für a = 3 zeigt die Funktion ein ganz anderes Verhalten. Führen Sie auch für diesen Fall eine Kurvendiskussion durch, indem Sie Definitionsbereich, Nullstellen und Extrema bestimmen. (c) (1 Punkt) Wie gross müssen Sie den Parameter a wählen, damit die Funktion bei x = 2 eine Extremalstelle hat? (d) (2 Punkte) Für welchen speziellen Wert von a hat die Funktion weder Extremal- noch Nullstellen? 3. Wahrscheinlichkeitsrechnung: Alarmanlage (4 Punkte) Ein Laden ist mit einer Alarmanlage gesichtert. Mit 99.5 %-Wahrscheinlichkeit gibt sie bei einem Einbruch Alarm. Wenn in der Nacht kein Einbruch stattfindet, gibt sie mit 0.5 %- Wahrscheinlichkeit einen falschen Alarm (z. B. löst eine Maus den Alarm aus). Die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Nacht in den Laden eingebrochen wird, ist 0.1 %. Die Alarmanlage hat gerade Alarm gegeben. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass auch tatsächlich ein Einbruch im Gange ist? 4. Analysis: Rotationsvolumen (3 Punkte) Im ersten Quadranten wird ein Flächenstück von der x-achse und den beiden Funktionen f (x) und g(x) eingeschlossen: f (x) = x, g(x) = 1 2 x 12. Das Flächenstück rotiert um die x-achse und erzeugt dadurch einen Rotationskörper. Berechnen Sie das Volumen V dieses Rotationskörpers und runden Sie auf zwei Nachkommastellen! KZO Wetzikon 3/5 Tobias Kohn

4 5. Wahrscheinlichkeitsrechnung: Glücksspiel Im Roulette landet eine kleine Kugel auf einer von 37 möglichen Zahlen. Von diesen 37 Zahlen ist eine grün, 18 sind rot und 18 sind schwarz. Romeo setzt bei einem Spiel 100 Mal hintereinander auf»rot«. Julia hingegen setzt bei allen 100 Versuchen auf ihre Lieblingszahl»7«(»7«ist auch eine rote Zahl). (a) (2 Punkte) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass Julia mindestens einmal gewinnt? (b) (3 Punkte) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass Romeo gleich oft gewinnt wie verliert? (c) (3 Punkte) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass Romeo öfter gewinnt als verliert? (d) (2 Punkte) Wie oft muss Julia sicher spielen, damit ihre Wahrscheinlichkeit, mindestens einmal zu gewinnen, grösser ist als 99 %? (e) (2 Punkte) Bei jeder Runde setzen Romeo und Julia jeweils 10 Franken ein. Wenn Romeo gewinnt, bekommt er 20 Franken zurück, wenn Julia gewinnt, dann bekommt sie 360 Franken ausbezahlt. Wie gross ist der Erwartungswert für den Gewinn von (I) Romeo bzw. von (II) Julia in einer Runde? (f) (2 Punkte) Romeo hat eine Glückssträhne und gewinnt 10 Mal hintereinander. Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat dann auch Julia mindestens einmal gewonnen? KZO Wetzikon 4/5 Tobias Kohn

5 6. Analysis: Parabel bestimmen und Integrieren Der Kreis k im Bild hat den Mittelpunkt im Ursprung. f (x) ist eine Parabel 3. Ordnung und schneidet den Kreis k in den beiden gegenüberliegenden Punkten A und B in A tangential und in B senkrecht. (a) (3 Punkte) Bestimmen Sie die Parabelgleichung von f (x) aus A( 5 5). (b) (3 Punkte) Berechnen Sie die schraffierte Fläche im Kreis. Falls Sie die Teilaufgabe (a) nicht lösen konnten, so rechnen Sie mit der falschen Lösung: f (x) = 1 5 x 2 x Vektorgeometrie: Pyramide und Kugel Die gerade Pyramide ABCDS hat eine quadratische Grundfläche ABCD. Die Punkte A(0 0 a), a > 0, B( ), C, D( ) und S liegen alle auf der Umkugel K 1 : (x 18.6) 2 + (y 10.2) 2 + (z 1.15) 2 = (a) (1 Punkt) Zeigen Sie, dass B und D auf der Kugel K 1 liegen. (b) (2 Punkte) Berechnen Sie die Koordinaten von A und C so, dass auch A und C auf der Umkugel liegen und mit B und D zusammen ein Quadrat bilden. (c) (2 Punkte) Schliesslich soll auch die Spitze S auf der Umkugel liegen und das Quadrat ABCD zu einer geraden Pyramide ergänzen. Bestimmen Sie die Koordinaten von S (zwei Lösungen). (d) (4 Punkte) Bestimmen Sie die Kugelgleichung der Inkugel K 2 der Pyramide. Die Inkugel berührt alle 5 Seiten der Pyramide in jeweils einem Punkt. Verwenden Sie dazu diejenige Pyramide, deren Spitze S über der Grundebene liegt (z > 0). KZO Wetzikon 5/5 Tobias Kohn