Mathematik (Schwerpunktfächer: A / B)

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1 Gymnasium Muttenz Maturitätsprüfung 2006 Mathematik (Schwerpunktfächer: A / B) Kandidatin / Kandidat Name Vorname:... Klasse:... Hinweise - Die Prüfung dauert 4 Stunden. - Jede Aufgabe ergibt maximal. - Für 40 Punkte erhalten Sie die Note 6, für 0 Punkte die Note 1. - Erlaubte Hilfsmittel: 1. Teil (Aufgaben 1 bis 3) TI-89 Formelsammlung der Kantonsschule Zelgli 2. Teil (Aufgaben 4 und 5): Nur Formelsammlung der Kantonsschule Zelgli - Vorgehen: Im 1. Teil lösen Sie die Aufgaben 1 bis 3 mit Hilfe des TI-89. Nach Abgabe des TI-89 erhalten Sie die Aufgaben 4 und 5, welche ohne Taschenrechner gelöst werden müssen. - Der Lösungsweg muss bei allen Aufgaben ersichtlich und vollständig sein. - Der Einsatz des TI-89 ist klar und nachvollziehbar anzugeben. Bewertung (Details siehe Lösungen) Aufgabe Punkte (möglich) Punkte (erreicht) 1) 9 2) 9 3) 9 4) 9 5) 9 Punktsumme Benotung Note = " Punktsumme! 5 $ # 40 % + 1', gerundet auf halbe Noten &

2 1. Teil (mit TI-89) Aufgabe 1 Ein drehsymmetrischer Kühlturm ist 100 m hoch. Die Skizze zeigt einen vertikalen Schnitt längs der Rotationsachse (Massangaben in 10 m). Im ersten Quadranten wird die krummlinige Begrenzung der Schnittfläche im Innern des Turms beschrieben durch den Graphen der Funktion f. Die äussere krummlinige Begrenzung im ersten Quadranten wird durch den Graphen der Funktion g beschrieben. 6 g : x a y(x) = 2 " x # 3 mit x " [ 1.8 ; 5.25 ] 4 f : x a y(x) = b " x # c der Graph von f verläuft durch den Punkt P(2 4) und endet in Q(4 0.8). a) Bestimmen Sie die Parameter b und c in der Funktionsgleichung von f. b) Berechnen Sie den Innendurchmesser des Turms in 100 m Höhe. c) Im Punkt Q hat die innere Begrenzung einen Knick. Bestimmen Sie den zugehörigen Winkel. d) Berechnen Sie den Inhalt der Schnittfläche der Kühlturmwand (schattierte Fläche in der Skizze). [ 2.5 Punkte ] e) Die Funktion h ergibt sich durch Spiegelung des Graphen von f an der y-achse. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung von h. f) An der Turminnenwand soll eine kreisförmige Schiene horizontal angebracht werden. Auf dieser Schiene soll eine bewegliche Kamera fahren, die auf ihrem Rundweg jeden Punkt des Turmbodens erfassen kann. Die Schiene soll möglichst hoch angebracht werden. Berechnen Sie diese Höhe.

3 Aufgabe 2 Punkte siehe unten Hinweis: Die drei folgenden Kurzaufgaben sind voneinander unabhängig, zählen aber für die Bewertung zusammen als eine Aufgabe! Kurzaufgabe Punkte a) Eine Folge ist rekursiv definiert durch a 1 = 1 und a n+1 = a n + n + 1. Berechnen Sie a 2 und a 3 dieser Folge. b) Die Folge aus a) lässt sich auch explizit darstellen durch a n = pn 2 + qn + r. Bestimmen Sie die Zahlen p, q und r. Kurzaufgabe Punkte Gegeben sind die Parabel p : y = 1 4 " x2 + x und der Kreis k mit dem Mittelpunkt M(1-1) und dem Radius r = 2. a) Beweisen Sie, dass die beiden Kurven einander berühren und geben Sie die Tangentengleichung im Berührungspunkt an. b) Bestimmen Sie rechnerisch einen weiteren Punkt der Parabel mit der Eigenschaft, dass die dortige Parabeltangente gleichzeitig auch Kreistangente ist. [ 4 Punkte ] Kurzaufgabe Punkte Für welche reellen Zahlen a gilt für die Funktionen f : x a y = x 2 + x +1 und g : x a y = a " x #1 die Gleichheit 1 1 " f[g(x)] dx = " g[f(x)]dx? 0 0

4 Aufgabe 3 Gegeben: - Funktion f: f : x a y = x Funktion g: g ist eine Polynomfunktion 2. Grades mit den Nullstellen 1 und 5. Die Steigung des Graphen an der Stelle x = 2 beträgt 2. a) Bestimmen Sie die Funktionsgleichung von g. b) Definieren Sie den Grafen von g durch eine komplexwertige Funktion mit reellem Argument: t z_(t) = c) Bestimmen Sie die Koordinaten desjenigen Punktes P auf dem Graphen von g, der den x-wert 4 hat. d) Der Graph von g wird im mathematisch positiven Sinne um den Ursprung gedreht, bis der Punkt P erstmals auf dem Grafen von f liegt. Der entstehende Graf sei g*. Geben Sie für den Grafen von g* eine komplexwertige Funktion an: t w_(t) = [ 3 Punkte ] Sollten Sie die Aufgabe nicht bis hier gelöst haben, dann können Sie mit folgenden Funktionen g und g* weiterfahren, die aber nicht den richtigen Lösungen entsprechen: g : ( ) = " x 2 + 8x " 7 g x # # g* : w _(t) = t + "t 2 & & % % + 8t " 7( ) i ( $ $ ' ) ei)0.378 ' e) Der Graf von g* schneidet die x-achse in den Punkte Q und R. Bestimmen Sie die Koordinaten der Punkte Q und R. f) Der Graf von g* und die x-achse schliessen ein Flächenstück ein. Bestimmen Sie rechnerisch den Flächeninhalt A dieses Flächenstücks. [ 3.5 Punkte ]

5 Gymnasium Muttenz Maturitätsprüfung 2006 Mathematik (Schwerpunktfächer: A / B) Kandidatin / Kandidat Name Vorname:... Klasse: Teil (ohne TI-89) Aufgabe 4 Gegeben sind die Gerade g durch A und P und die Gerade h. # x& # 16& # 1 & % ( % ( % ( A(16 "10 "3), P(17 "12 "1), h : % y( = % "9 ( + t ) % 0 ( % $ z ( % ' $ "5 ( % ' $ "2( ' a) Bestimmen Sie die Koordinatengleichung der Normalebene N zu g durch A. b) Berechnen Sie die Koordinaten der Punkte B, C und D so, dass ABCD das kleinste Quadrat in der Ebene N mit einem Eckpunkt auf h ist. [ 5 Punkte ] Hinweis: Die nachfolgenden Teilaufgaben c) und d) können auch gelöst werden, wenn die vier Eckpunkten des Quadrats nicht bekannt sind. c) Bestimmen Sie einen Punkt E auf g so, dass die Strecke AE gleich lang ist wie die Diagonale des Quadrats ABCD. d) β sei der Winkel zwischen den Ebenen durch BCE und ABC. Bestimmen Sie entweder sin(β) oder cos(β) oder tan(β).

6 Aufgabe 5 Hinweis: Die Endresultate müssen nicht berechnet werden. Der vollständige Lösungsweg mit dem Resultat in Form eines Ausdrucks, der nur Zahlen oder Potenzen und die 4 Grundoperationen enthält, genügt. Die Software CreatePassword erzeugt automatisch Passworte, wobei beim Programmstart angegeben werden muss, wie viele Zeichen das Passwort umfassen soll. Die Light-Version dieser Software verwendet als Zeichen die Buchstaben a bis f (nur kleinbuchstaben) und die Ziffern 1 bis 4. Beim Programmstart bestimmen Sie, dass das Passwort 5 Zeichen umfassen soll: a) Wieviele verschiedene Passworte mit 5 Zeichen sind möglich? b) Wieviele verschiedene Passworte mit 5 Zeichen sind möglich, wenn das erste Zeichen ein Buchstabe sein soll? c) Wieviele verschiedene Passworte mit 5 Zeichen sind möglich, wenn das Passwort die Buchstabenfolge abc enthalten soll? d) Wieviele verschiedene Passworte mit 5 Zeichen sind möglich, wenn das Passwort mindestens 4 Buchstaben enthalten soll? Die Software ist so programmiert, dass sie bei der Wahl eines Zeichens zuerst die Art des Zeichens (Buchstaben oder Ziffern) und anschliessend das Zeichen selbst auswählt. Alle Buchstaben für sich betrachtet sind gleichwahrscheinlich, alle Ziffern für sich betrachtet sind gleichwahrscheinlich. Die Wahrscheinlichkeit, dass das erste Zeichen ein Buchstabe ist, beträgt 1 2. Wenn irgend ein Zeichen ausgewählt wurde, ist die Wahrscheinlichkeit, dass das nächste Zeichen von der gleichen Art (Buchstaben oder Ziffern) ist, 1 3. e) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Passwort a4132 entsteht? f) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Passwort mit 5 Zeichen aus lauter Buchstaben besteht? g) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Passwort mit 5 Zeichen genau einen Buchstaben enthält? Wir wünschen Ihnen viel Erfolg!