a) Welche Aufgabe hat der Zinssatz im Rahmen der Finanzmathematik wahrzunehmen? b) Was versteht man unter dem Begriff Wertstellungspraxis?

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1 1 Klausur SoSe 2007 Aufgabe 1: Fragen zur Finanzmathematik (7 Punkte) a) Welche Aufgabe hat der Zinssatz im Rahmen der Finanzmathematik wahrzunehmen? (2 Punkte) b) Was versteht man unter dem Begriff Wertstellungspraxis? (2 Punkte) c) Bei einer Prozentannuität tritt am Ende der Laufzeit meist ein Restbetrag auf. Wie wird dieser Restbetrag bezeichnet und was geschieht mit ihm? Aufgabe 2: Rentenrechnung (10 Punkte) Aus einem Investment zu Beginn des Jahres, für das eine unbegrenzte Laufzeit vereinbart wurde, erhält jemand zum Ende des Jahres In den darauf folgenden vier Jahren steigt dieser Betrag jährlich um jeweils 3%, danach bleibt der Jahresbetrag auf dem dann erreichten Niveau konstant. Wie hoch war das Investment, wenn von einem Zinssatz von 6 % p.a. ausgegangen wird? Aufgabe 3: Tilgungsrechnung Vervollständigen Sie bitte folgendes Diagramm, in dem Sie in der Legende unten eine Zuordnung der Ausdrücke (1) bis (6) zu den in der Abbildung durch die Buchstaben a) bis f) gekennzeichneten Elemente des Diagramms vornehmen:

2 2 Legende: (Jeweils Zutreffendes [a), b), c), d), e) oder f)] bitte durchkreuzen!) (x) (1) Ratentilgung a) b) c) d) e) f) (2) Tilgungsrate bei Annuitätentilgung in Periode 3 a) b) c) d) e) f) (3) Tilgungsrate bei Ratentilgung in Periode 3 a) b) c) d) e) f) (4) Annuitätentilgung a) b) c) d) e) f) (5) Zinsen bei Annuitätentilgung in Periode 3 a) b) c) d) e) f) (6) Zinsen bei Ratentilgung in Periode 3 a) b) c) d) e) f) Klausur WS 06/07 Aufgabe 1 Durchschnittsrendite einer Kapitalanlage (5 Punkte) Die Bank bietet ihren Kunden eine mittel- bis langfristige Kapitalanlage mit steigenden Zinssätzen an. Im ersten Jahr beläuft sich der Zins auf 2,5% p.a. In den darauf folgenden 5 Jahren steigt der Zinssatz jedes Jahr um 0,2%-Punkte. Welche durchschnittliche Jahresrendite würden Anleger bei diesem Angebot erzielen? Aufgabe 2 Golf im Country-Club (Rentenrechnung) (11 Punkte) Ein 55-jähriger Beamter plant, sich mit 60 Jahren von seinem Dienstherrn in den Ruhestand versetzen zu lassen und sich dann ganz dem Golfsport zu widmen. Bevor es in genau 5 Jahren so weit ist, möchte der Beamte jeweils monatlich nachschüssig einen bestimmten Betrag ansparen, um damit die Mitgliedsbeiträge des Golf-Clubs vom Ende des 60-sten bis zum Ende seines 75-sten Lebensjahres bezahlen zu können. In 5 Jahren rechnet der Beamte mit einem jährlich vorschüssig zu entrichtenden Jahresbeitrag des Clubs von 1.500, der anschließend - wie in der Vergangenheit - jährlich um 5% steigen dürfte. Der Beamte setzt bei seiner Rechnung über den gesamten Planungszeitraum von 20 Jahren (5 Jahre Ansparphase, 15 Jahre Auszahlungen) einen konstanten Zinssatz von 6% p.a. an, wobei er unterjährig mit einfachen Zinsen rechnet. Ermitteln Sie die monatlich notwendige nachschüssige Sparrate des Beamten. Aufgabe 3 Tilgung eines Annuitätendarlehns (5 Punkte) Ein Darlehn mit einem Zinsatz von 8% p.a. in Höhe von wird mit einer Zins- und Tilgungsrate von jährlich zurückgezahlt. Nach wie vielen Jahren ist die Schuld abgelöst? Zur Lösung berücksichtige die unten tabellierten Annuitätenfaktoren ANF n n;i!

3 3 n \ i 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,10 1 1,0500 1,0600 1,0700 1,0800 1,0900 1, ,5378 0,5454 0,5531 0,5608 0,5685 0, ,3672 0,3741 0,3811 0,3880 0,3951 0, ,2820 0,2886 0,2952 0,3019 0,3087 0, ,2310 0,2374 0,2439 0,2505 0,2571 0, ,1970 0,2034 0,2098 0,2163 0,2229 0, ,1728 0,1791 0,1856 0,1921 0,1987 0, ,1547 0,1610 0,1675 0,1740 0,1807 0, ,1407 0,1470 0,1535 0,1601 0,1668 0, ,1295 0,1359 0,1424 0,1490 0,1558 0,1627 Klausur SoSe 2006 Aufgabe 1 Ewige Renten (5 Punkte) Jemand soll als Erbschaft eine ewige jährliche Rente erhalten. Unklar sind nur noch die Zahlungsmodalitäten: Entweder werden zu Beginn eines jeden Jahres oder am Ende eines jeden Jahres gezahlt. Bei welchem (kritischen) Jahreszinssatz sieht der Rentenempfänger die beiden Zahlungsweisen als gleichwertig an? Für welche der beiden Varianten würde er sich entscheiden, falls der tatsächliche Zinsfuß höher liegt als der kritische? Aufgabe 2 Jährliche Renten Jemand erhält über 5 Jahre jährlich nachschüssig eine Zahlung von In den darauffolgenden 5 Jahren erhöht sich die Zahlung auf jeweils Wie hoch ist der Barwert der gesamten Zahlungsfolge bei einem Jahreszinssatz von 5%? Aufgabe 3 Annuitätentilgung (5 Punkte) Auf einer Neujahrsauktion erwirbt ein Rennstallbesitzer einen Galopper zu in bar. Wie viel Preisgeld müsste das Rennpferd jährlich durchschnittlich allein für einen konstanten Kapitaldienst aus Tilgung und Zins erbringen bei einem Zinssatz von 6%, wenn vereinfachend davon ausgegangen wird, dass alle laufenden Zahlungen jeweils am Jahresende über eine geplante Restlaufzeit des Galoppers von 6 Jahren erfolgen? Aufgabe 4 Raten- und Annuitätentilgung (7 Punkte) Ein langfristiges Darlehn über ist in 30 Jahren jährlich nachschüssig mit gleichbleibenden Tilgungsraten abzuzahlen. a) Ermitteln Sie die Summe aller Zinsen, die über die Laufzeit zu zahlen sind, wenn sich der Darlehnszins auf 5% beläuft. b) Ermitteln Sie die Laufzeit des Kredits, wenn die Tilgung nicht in konstanten Raten, sondern die Rückzahlung aus Zins- und Tilgung als Prozentannuität in Höhe von 7% erfolgt (Darlehnszinssatz 5% p.a.).

4 4 Klausur WS 05/06 Aufgabe 1 Unterjährige Renten (8 Punkte) Ein Pachtvertrag soll noch einmal um drei Jahre verlängert werden. Der Verpächter bietet dem Pächter an, die jeweils vierteljährlich fällige Pachtrate von 500 entweder nachschüssig oder vorschüssig, dann aber jeweils mit einem Rabatt von 2%, zu zahlen. a) Ermitteln Sie den kritischen Zinsfuß, bei dem beide Alternativen zum selben Endwert führen, für den Fall, dass unterjährig mit einfachen Zinsen gerechnet wird. Interpretieren Sie das Ergebnis Ihrer Berechnungen! b) Argumentieren Sie, in welche Richtung sich der kritische Zinsfuß verändert, falls unterjährig mit Zinseszinsen (z.b. quartalsweise Verzinsung) gerechnet wird? Aufgabe 2 Progressive Renten (10 Punkte) Zwei Brüder wollen einen lang gehegten Traum verwirklichen: In 5 Jahren wollen sie gemeinsam eine Unternehmung gründen und bis dahin jeweils gleich viel Startkapital ansparen. Im Vergleich zu seinem zwei Jahre jüngeren Bruder hat der Ältere im Zeitpunkt t=0 bereits mehr für die Unternehmensgründung zurückgelegt. Der ältere Bruder plant in diesem Jahr (jährlich nachschüssig) zu sparen, wobei er den am Ende des Jahres zu zahlenden Sparbetrag in den folgenden 4 Jahren um jeweils 5% steigern möchte. Der jüngere Bruder hat einen Sparvertrag abgeschlossen, bei dem er im ersten Jahr (jährlich nachschüssig) einzahlen muss, wobei die jährlich nachschüssig zu zahlende Rate in den folgenden 4 Jahren arithmetisch steigen soll. Beide haben eine Anlageform gewählt, die ihnen in den folgenden Jahren eine Verzinsung von 6 % p.a. garantiert. Um welchen Betrag muss die Jahresrate des jüngeren Bruders jeweils steigen, damit beide bei Unternehmensgründung ein gleich hohes Startkapital aufbringen können? Erläutern Sie Ihre Rechnung! Aufgabe 3 Annuitätentilgung In der Praxis wird oft mit sog. Prozentannuitäten gearbeitet. Was versteht man unter einer Prozentannuität, warum kommt ihr in der Praxis außerordentliche Bedeutung zu und worin besteht die Besonderheit am Ende der (vereinbarten) Laufzeit eines Kredits, der in dieser Form zurückgezahlt wird? Klausur SoSe 2005 Aufgabe 1: Zinssätze (6 Punkte) Wie hoch muss der Jahreszins sein, damit sich ein Kapital in zehn Jahren verdoppelt, bei: a) einfachen Zinsen, b) Zinseszinsen.

5 5 Aufgabe 2: Zinsrechnung Am beteiligte sich die Angestellte Gabi W. als Kommanditistin mit umgerechnet Euro an der Hoffen KG. Sie lässt sich am ausbezahlen und erhält Euro. Wie hoch ist die durchschnittliche Jahresverzinsung der Beteiligung über die Laufzeit? Aufgabe 3: Rentenrechnung Der Rentner Hubert Schauvoraus hat vor 20 Jahren einen Sparvertrag abgeschlossen und jährlich vorschüssig Euro darauf eingezahlt, die zu 5% verzinst wurden. Nun möchte er sich den angesparten Betrag über 13 Jahre jährlich vorschüssig ausbezahlen lassen. Wie hoch ist seine Rente? Aufgabe 4: Ewige Rente (8 Punkte) Der Multimillionär Gernegross erbt von seinem Großvater 25 Millionen Euro. Da er nicht auf dieses Geld angewiesen ist, möchte er es einer wohltätigen Stiftung zukommen lassen und zahlt es am Jahresende 2004 auf ein Konto mit einem Jahreszinssatz von 8% ein. a) Die erste ausgeschüttete Rate soll sofort zum erfolgen, danach jeweils jährlich vorschüssig in gleicher Höhe auf ewig. Wie hoch ist die Ausschüttungsrate? b) Zunächst möchte der Millionär 5 Raten beginnend mit dem ausschütten und den verbleibenden Betrag im Anschluss in eine ewige (vorschüssige) Ausschüttung von 1,2 Mio. Euro pro Jahr umwandeln. Wie hoch ist jede der ersten 5 Raten? Klausur WS 04/05 Aufgabe 1: Bei jährlicher Verzinsung führt eine Rechnung mit einfachen Zinsen nach einen bestimmten Zeitraum zum selben Endkapital wie eine Rechnung mit Zinseszinsen. Geben Sie diesen Zeitraum an und zeigen Sie die Richtigkeit Ihrer Behauptung anhand einer Gleichung! Aufgabe 2: (5 Punkte) Hans K. wird von seiner Hausbank folgendes Angebot für die Anlage seiner geerbten unterbreitet. Der Betrag wird in den ersten zwei Jahren mit 6%, in den darauf folgenden zwei Jahren mit 5,5%, in den Jahren 5-7 mit 3,5% und danach noch zwei Jahre lang mit 3% p.a. verzinst. Auf welchen Betrag würde sein Kapital anwachsen, falls er das Angebot seiner Hausbank annähme und welchen jährlichen Durchschnittszinssatz würde er erreichen?

6 6 Aufgabe 3: (5 Punkte) Der Finanzminister eines Bundeslandes plant, die Gehälter der Beamten nicht mehr vorschüssig am Monatsersten (0 Uhr), sondern nachschüssig am Monatsletzten (24 Uhr) zu zahlen. Der Finanzstaatssekretär hält diese Maßnahmen zwar für finanzpolitisch geboten, ist aber der Auffassung, dass diese Maßnahme nur einen Einmaleffekt habe und nicht helfen könne, das Haushaltsdefizit dauerhaft zu senken. Der finanzpolitische Sprecher der Regierungsfraktion ist dagegen ganz anderer Meinung und argumentiert: Wenn man den Barwert der Maßnahme berechnet, sieht man, dass eine immense Einsparung zustande käme, da alle zukünftigen Gehaltszahlungen - über einen unendlichen Zeitraum - jeweils 30 Tage später erfolgten. Welcher Auffassung stimmen Sie zu? Begründen Sie Ihre Antwort finanzmathematisch! Aufgabe 4: (7 Punkte) Ein junger Familienvater möchte ein Haus bauen. Zusammen mit seiner Frau verfügt er zurzeit über an eigenen Mitteln, die er für den Hausbau einsetzen will. Von seinem Einkommen kann er monatlich nachschüssig maximal zur Rückzahlung eines zum Hausbau erforderlichen Kredits aufwenden. Die Bank unterbreitet ihm das Angebot eines nachschüssigen Annuitätenkredits zum Jahreszins von 5,5% bei einer geplanten Laufzeit von 20 Jahren. Unterjährig rechnet die Bank mit einfachen Zinsen. Wie viel darf das Haus maximal kosten, damit sich die Familie finanziell nicht übernimmt?