Abschnitt II: Finanzmathematik

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1 Thema: Zinseszinsrechnung Paul bringt zu 10 % Zinseszinsen zur Bank. Wie groß ist sein Kapital nach 4 Jahren? Eine in 3 Jahren fällige Schuld in Höhe von soll heute zurückgezahlt werden. Wieviel muss man zurückzahlen, wenn 10 % Zinseszinsen zugrunde gelegt werden? Ein Freund schuldet Paul 500, die er in einem Jahr zurückzahlen soll. Wieviel müßte er ihm zahlen, wenn er das Geld heute zurückzahlen würde und Paul das Geld zu einem Zinssatz von 3,5 % auf einem Sparbuch anlegen könnte? Nr. 4 Durch welche Summe kann man heute eine Zahlung von 1.000, die erst in 2 Jahren fällig wird, ablösen (p = 7 %)? Nr. 5 Paul leiht sich und soll nach 3 Jahren unter Berücksichtigung von Zinseszinsen zurückzahlen. Wie hoch ist der Zinsfuß? Nr. 6 Paul möchte eine größere Anschaffung vornehmen, für die er einen Betrag von benötigt. Ein Bankkredit würde an Jahreszinsen 8,5 % kosten. Er kann diesen nach 10 Monaten zurückzahlen. Ein Überziehungskredit auf seinem privaten Bankkonto kostet einen Jahreszins von 14 %. Diesen könnte er, wenn er sich ein wenig einschränkt, in monatlichen Raten von 100 zurückzahlen. Welchen Kredit sollte er wählen? Nr. 7 Die Großbank Wucher & Sohn gibt neuerdings Sparbriefe mit 10 Jahren Laufzeit heraus, die folgende Zinsen bringen: 5 Jahre lang 5 % und dann 5 Jahre lang 10 %. welchem Durchschnittszinssatz entspricht das? Nr. 8 Wie lange dauert es, bis sich bei 7,5 % Zinseszinsen verdoppeln? N. Preussner Quantitative Methoden

2 Thema: Unterjährige Verzinsung und stetige Verzinsung Ein Kapital K 0 = wurde auf 10 Jahre bei einem Zinsfuß von 6 % festgelegt. Wie groß ist die Kapitalzunahme nach Ablauf der Anlagezeit bei a) einfacher Verzinsung? b) halbjähriger Verzinsung mit Zinseszinsen? c) stetiger Verzinsung? Ein Kapital K 0 = wird zu p = 8 % angelegt. Auf welchen Betrag wächst das Kapital in 4 Jahren bei a) jährlicher, b) halbjährlicher, c) monatlicher Verzinsung? Auf wieviel wächst ein Kapital von 500 bei einem Zinsfuß von 8 % in 5 Jahren bei a) jährlicher Verzinsung und b) stetiger Verzinsung an? Thema: Rentenrechnung Der Ökonomie-Student Paul hat bei seinem Vetter Franz einen Schuldschein unterschrieben, nach dem er in 2 Jahren an diesen zahlen muss. Er vereinbart nun mit Franz, die Schuld in 5 Jahres-Raten zurückzuzahlen und damit sofort zu beginnen. Wie hoch sind bei einem Zinsfuß von 6 % diese Raten? Der Student Paul hat am mit einer Bank einen Sparvertrag zu einem Zinsfuß von p = 6 % abgeschlossen. Er hat 10 Jahre am Anfang eines jeden Jahres auf ein Konto eingezahlt. Da er sich nach seinem Studium in 5 Jahren selbstständig machen möchte; will er am Ende des Jahres 2009 als Startkapital auf seinem Sparkonto haben und ist bereit ab eine höhere Rate zu zahlen. Wie groß sind die Raten, die Paul am Anfang eines jeden Jahres einzahlen muss, wenn er Ende besitzen will? Frau v. A. beschließt bei der Geburt ihres Sohnes Don Hugo ab jeweils am Jahresanfang auf ein Konto einzuzahlen. a) Über welchen Betrag kann ihr Sohn nach 18 Jahren verfügen, wenn ein Zinssatz von 5 % unterstellt wird? b) Wie hoch sollte die Rate sein, damit der Sohn über einen Betrag von verfügen kann? N. Preussner Quantitative Methoden

3 Nr. 4 Der Student Paul möchte sich am eine Schuhbindemaschine kaufen. Für de Kaufpreis zahlt er am , am und am auf ein Sparbuch ein. Die Bank zahlt 5 % Zinsen. Mit welcher konstanten Jahresrate hätte er dasselbe Endkapital erreicht? Nr. 5 Welchen Betrag muss man bei 4 % Zinseszinsen jeweils am Ende eines Jahres auf dem Konto einzahlen, wenn man nach 5 Jahren auf dem Konto haben will? Nr. 6 Fritz F. will am dieses Jahres ein Studium zum Diplom-Ökonomen beginnen. Wegen der vorgeschriebenen Regelstudienzeit weiß er, dass er genau vier Jahre später sein Studium beenden wird. Um seinen Start ins Berufsleben zu erleichtern, möchte er bis dahin gespart haben. Seine Bank bietet ihm einen Zinssatz von 4 % pro Jahr. Welchen gleichbleibenden Betrag muss Fritz F. jährlich einzahlen? Nr. 7 Jemand zahlt 8 Jahre zu Jahresende auf ein Konto ein. Wieviel ist nach 8 Jahren auf dem Konto, bei 7 % Zinseszinsen? Nr. 8 Franz F. Aulmeyer, Student in Frührente, hat u. a. Anspruch auf eine zu Beginn eines Jahres fällige Rente in Höhe von /Jahr für 15 Jahre Er möchte sich diese Rente auf einmal auszahlen lassen (Zinsfuß 5 %). Er zahlt den Betrag auf ein Sparkonto ein (Zinsfuß 3 %). Wieviel muss er jetzt noch dazuzahlen, damit er nach 3 Jahren auf dem Sparkonto hat? Thema: Tilgungsrechnung Eine Schuld von soll bei 6 % Zinsen in 8 Jahren mit konstanter Tilgungsrate getilgt werden. Stellen Sie einen Tilgungsplan auf. Eine Schuld von soll in 20 Jahren bei einem konstanten Zinsfuß von p = 8 % und nachschüssiger Verzinsung durch eine konstante Annuität A getilgt werden. Wie groß ist A? Paul benötigt einen Geldbetrag von und will dafür eine Hypothek auf das von seiner Tante Olga geerbte Häuschen aufnehmen. Er erhält zwei Angebote A und B: Angebot A: Zins 5,25 % p. A., Tilgung 1 % p. A., Auszahlung 96 %. Angebot B: Zins 6,00 % p. A.; Tilgung 1 % p. A., Auszahlung 100 %. Die Tilgung soll als Annuitätentilgung erfolgen. Welches Angebot bietet die niedrigere monatliche Belastung? N. Preussner Quantitative Methoden

4 Thema: Gemischte Aufgaben Abschnitt II: Finanzmathematik Frau Consuela Blaschke möchte mit Eintritt in den Ruhestand für 20 Jahre eine vorschüssige Rente von 6.000,00 ausgezahlt bekommen. Das hierfür erforderliche Kapital will sie im Laufe von 15 Jahren durch nachschüssig gezahlte Jahresbeiträge ansparen. Zu Beginn der Ansparperiode zahlt sie einmalig ,00 ein. Wie hoch sind die einzuzahlenden Jahresbeträge, wenn der Zinssatz während der gesamten Laufzeit 6 % beträgt? Ein Investor verkaufte eine Immobilie zum für und legte den Betrag am zu 7% Zinsen p.a. an. Aus einer Geldmarkttransaktion flossen ihm am weitere zu, die er zu denselben Konditionen anlegte. (1) Beginnend mit dem Jahr 2016 möchte der Investor eine nachschüssige Rente beziehen. Er rechnet mit einem Zinssatz von 8% p.a. ab dem Wie hoch kann die jährliche Rente sein, wenn eine Rentenlaufzeit von 20 Jahren zugrunde gelegt wird? (2) Nehmen Sie an, der Investor hätte 20 Jahre lang eine nachschüssige Rente von pro Jahr bezogen. Über welches Kapital verfügt er noch am bei einem Zinssatz von 8 % p. a.? Ein geschiedener Vater hat für den Unterhalt seiner heute fünfjährigen Tochter aufzukommen. Er hat jährlich einen Betrag von 4.800,00 am Jahresanfang zu zahlen. Er möchte durch eine einmalige Zahlung heute seine jährlichen Verpflichtungen ersetzen. Er geht von einem Unterhaltszeitraum von 15 Jahren aus. Mit seiner ehemaligen Ehefrau hat er sich auf einen Zinssatz von 5 % geeinigt. Wie hoch ist der Betrag, den er heute zu zahlen hätte? Nr. 4 Die frischgebackene Betriebswirtin Sigrid Saldo hat feste Vorstellungen von ihrem zukünftigen Lebensweg. In zehn Jahren will sie Millionärin sein. Die Höhe ihrer Gehaltsforderung will Sigrid Saldo nach dem Betrag richten, den sie jährlich nachschüssig anlegen muss, um in zehn Jahren über den Betrag von ,00 verfügen zu können. Sigrid Saldo rechnet mit einer Rendite der angelegten Beträge von 10 %. Ihr Startkapital besteht aus einer Erbschaft von ,00, die sie zu gleichen Konditionen anlegen kann. Welches Jahresgehalt wird Sigrid Saldo fordern, wenn Sie zusätzlich ,00 pro Jahr für ihren Lebensunterhalt benötigt? N. Preussner Quantitative Methoden

5 Nr. 5 Der Käufer eines Hauses macht dem Verkäufer 2 alternative Angebote: ,- sofort; 2. Zahlung in drei Raten von je ,-, die erste Rate sofort, die zweite Rate nach drei Jahren und die dritte Rate nach 6 Jahren. Welches Angebot ist unter Berücksichtigung einer Verzinsung von 7 % für den Käufer am günstigsten? Nr. 6 Die Maschinenbau AG bezieht monatlich Rohstoffe im Wert von DM von einem Lieferanten. Die Zahlungsbedingungen erlauben bei sofortiger Zahlung (bei Lieferung) einen Abzug von 3 % Skonto; andernfalls ist die Schuld spätestens innerhalb eines Monats zu begleichen. a) Welchen Skontoertrag erwirtschaftet der Betrieb oder anders formuliert: wie viel Fremdkapitalzinsen (absolut) spart der Betrieb pro Jahr, wenn der Lieferantenkredit nicht in Anspruch genommen wird? b) Wie hoch ist der Kredit, der dem Betrieb dauernd vom Lieferanten zur Verfügung gestellt wird, wenn er das vertraglich vereinbarte Zahlungsziel voll ausschöpft; mit welchem Zinssatz ist dieser Kredit dann belastet? Thema: Kapitalwertmethode Die Maschinenbau AG beabsichtigt, eine Investition vorzunehmen. Zwei Alternativen stehen zur Auswahl: Maschine I kostet und ist 6 Jahre nutzbar. Ihr Liquidationserlös wird mit angesetzt. Als Zahlungsströme werden angenommen: Einnahmen Ausgaben 1. Jahr Jahr Jahr Jahr Jahr Jahr N. Preussner Quantitative Methoden

6 Maschine II kostet ebenfalls und ist 6 Jahre nutzbar. Mit einem Liquidationserlös wird in Höhe von gerechnet. Die folgenden Zahlungsströme werden erwartet: Einnahmen Ausgaben 1. Jahr Jahr Jahr Jahr Jahr Jahr Die Maschinenbau AG kalkuliert mit einem Zinssatz von 8 %. Welche der Alternativen hat den höheren Kapitalwert? Die bisherige Produktionslinie der PREUAG soll um Preisauszeichnungssysteme erweitert werden. Von folgenden Daten ist auszugehen: Ausgaben für die zusätzlichen Maschinen: ,00 ; zu folgenden Zahlungsbedingungen: 1/2 des Gesamtpreises bei Inbetriebnahme, 1/2 ein Jahr danach. Zusätzliche Lagerinvestitionen: ,00 zum Zeitpunkt der Inbetriebnahme. Erforderliche Gebäudeerweiterung: ,00 in drei gleich großen Raten im Jahr der Inbetriebnahme und den zwei folgenden Jahren. Für die nächsten Jahre wird mit folgenden Zahlungen gerechnet, die jeweils zum Ende des Jahres ausgabewirksam werden: Jahr Einzahlungen ( ) Auszahlungen ( ) , , , , , , , , , ,00 Stellen Sie die Ein- und Auszahlungen dieser Investition zum Zeitpunkt der Inbetriebnahme (t 0 ) mit Hilfe eines Zeitstrahls dar. Entscheiden Sie mit Hilfe der Kapitalwertmethode, ob diese Investition sinnvoll ist. Das Unternehmen kalkuliert mit einem Kalkulationszinssatz von 8 %. Welche Aussagekraft hat der ermittelte Kapitalwert? N. Preussner Quantitative Methoden