Aufgabe 82. Für den Kauf einer Maschine stehen folgende Zahlungsalternativen zur Auswahl:

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1 Aufgabe 82 Finanzmathematik: Maschine (FIMA.) Für den Kauf einer Maschine stehen folgende Zahlungsalternativen zur Auswahl: a) 8. sofort, 4 jährliche Raten zu je 2., zahlbar am Ende eines jeden Jahres b) vier jährliche Raten zu je 4., zahlbar am Ende eines jeden Jahres c) 5. sofort, je 3. am Ende des 2. und 3. Jahres und 5. am Ende des 4. Jahres. Für welche Zahlungsalternative (Barwertvergleich) soll man sich bei einem Zinssatz von % entscheiden? a) Kapitalwert: 8 C 2 ; 4 ; 4 4:339;73 ; b) Rentenbarwert: 4 ; 4 ;4 2:679;4 ; c) Kapitalwert: 5 C 3 ; 2 C 3 ; 3 C 5 ; 4 3:48;35 Prof. Dr. Stefan Etschberger Hochschule Augsburg Wirtschaftsmathematik Wintersemester 26/7 Aufgabensammlung (Seite 3 von 48) Also: Variante (2) ist am günstigsten 3

2 Aufgabe 83 Finanzmathematik: Rente auf einmal (FIMA.2) Ein heute 55-jähriger Arbeitnehmer hat in Jahren einen Anspruch auf eine monatliche Betriebsrente von 5, die vorschüssig bezahlt wird. Durch welche Gegenleistung kann sie heute bei einem Zinssatz von 6% abgelöst werden, wenn die Lebenserwartung von 77 Jahren angenommen wird. r e D 5 2 C ;6 3 D 695; 2 Rente ab 65: R D r e q2 q 5:937;9 q2 R heute: 29:;86 q Prof. Dr. Stefan Etschberger Hochschule Augsburg Wirtschaftsmathematik Wintersemester 26/7 Aufgabensammlung (Seite 4 von 48) 4

3 Aufgabe 84 Finanzmathematik: Bausparer (FIMA.3) Ein Bausparer hat einen Bausparvertrag über 5. Bausparsumme abgeschlossen. Der Habenzins beträgt 3%. Der Bausparvertrag ist zuteilungsreif, wenn 4% der Bausparsumme eingezahlt sind. a) Nach wieviel Jahren ist der Bausparvertrag zuteilungsreif, wenn 3. jährlich nachschüssig 3. jährlich vorschüssig 3 monatlich nachschüssig einbezahlt werden? b) Welche Sparrate muß der Bausparer jährlich nachschüssig jährlich vorschüssig monatlich nachschüssig leisten, damit der Vertrag in vier Jahren zuteilungsreif ist? Prof. Dr. Stefan Etschberger Hochschule Augsburg Wirtschaftsmathematik Wintersemester 26/7 Aufgabensammlung (Seite 5 von 48) a) 3 jährlich nachschüssig: 2: D 3 ;3n ;3 ) ;3 n D ;2 ) n 6;7 Jahre 3 jährlich vorschüssig: 2: D 3 ;3 ;3n ln ;94 ) n D ;3 ln ;3 6 Jahre 3 monatlich nachschüssig: r e D 3 2 C ;3 D 3649;5 ) n D 5;5 Jahre 2 b) wie a), jetzt r gesucht jährlich nachschüssig: r D 478;54 jährlich vorschüssig: r D 464;3 monatlich nachschüssig: r e D 478;54 ) r D 392;97 5

4 Aufgabe 85 Finanzmathematik: Einholen mit Vorsprung (FIMA.4) Das Vermögen von A ist mit. doppelt so hoch wie das Vermögen von B. A spart jährlich 4. nachschüssig, während B 8. spart. Die jährliche Verzinsung ist 6%. a) Nach wie vielen Jahren sind die Vermögen von A und B gleich hoch? b) Wie hoch muss die jährliche Sparleistung von B sein, damit er in Jahren das gleiche Vermögen wie A hat? a) : ;6 n C 4 ;6n ;6 b) 5: ;6 ƒ Vorsprung von A D.r b ƒ 4 / ;6 ;6 Sparrate von A D 5: ;6 n C 8 ;6n ;6 ) r B D :793;4 ) n 23;79 Prof. Dr. Stefan Etschberger Hochschule Augsburg Wirtschaftsmathematik Wintersemester 26/7 Aufgabensammlung (Seite 6 von 48) 6

5 Aufgabe 86 Finanzmathematik: Sparen für die Rente (FIMA.5) Jemand möchte von seinem 63. Geburtstag an 2 Jahre lang eine jährliche nachschüssige Rente in Höhe von 2. ausbezahlt bekommen. Welchen Betrag muß er dafür 3 Jahre lang bis zu seinem 63. Geburtstag monatlich vorschüssig einbezahlen? Der Zinsfuß betrage 5,5% jährlich. R D 2: ;52 ;55 D 239:7;65 D r 2 C ; ) r D 267; ;55 2 ;553 ;55 Prof. Dr. Stefan Etschberger Hochschule Augsburg Wirtschaftsmathematik Wintersemester 26/7 Aufgabensammlung (Seite 7 von 48) 7

6 Aufgabe 87 Finanzmathematik: Achtung: unterjährige Zinsen (FIMA.7) Welches Kapital benötig man heute, wenn daraus 5 Jahre lang zu jedem Quartalsbeginn eine Spende von überwiesen werden soll? Die vierteljährliche Verzinsung ist %. R D ;2 ; ; 8:226; ;2 Prof. Dr. Stefan Etschberger Hochschule Augsburg Wirtschaftsmathematik Wintersemester 26/7 Aufgabensammlung (Seite 8 von 48) 8

7 Aufgabe 88 Finanzmathematik: Betriebsrente: Rückstellungen (FIMA.8) In einer Pensionszusage wird eine Rente über 5 zu Beginn eines Quartals Jahre lang bezahlt. Welchen Betrag muss die Firma bei einem Jahreszinssatz von 5% am Anfang der Rentenzahlungen für die Pensionsrückstellung (Barwert) einsetzen? r e D 5 4 C ;5 5 D 2:625 ) R D 59:26;77 2 Prof. Dr. Stefan Etschberger Hochschule Augsburg Wirtschaftsmathematik Wintersemester 26/7 Aufgabensammlung (Seite 9 von 48) 9

8 Aufgabe 89 Finanzmathematik: Ratentilgung (FIMA.9) Ein Unternehmen nimmt einen Kredit über 5. zu 7% Zins auf. Der Kredit ist in fünf Jahren mit gleichbleibenden Tilgungsraten zu tilgen. Erstellen Sie den Tilgungsplan. T D 5: D : 5 Jahr R k Z k T A k Prof. Dr. Stefan Etschberger Hochschule Augsburg Wirtschaftsmathematik Wintersemester 26/7 Aufgabensammlung (Seite von 48)

9 Aufgabe 9 Finanzmathematik: Ratentilgung punktuell (FIMA.2) Eine GmbH nimmt einen Kredit über 2.. zu % Zins auf, der mit gleichbleibenden Tilgungsraten in 2 Jahren zu tilgen ist. Berechnen Sie a) die Restschuld am Anfang des. Jahres, b) die Restschuld nach 5 Jahren, c) den Zinsbetrag im 2. Jahr und d) die Aufwendungen im 8. Jahr. a) R D :.2 C / D :: b) R 5 D :.2 6 C / D 5: c) Z 2 D :.2 2 C / ; D 9: d) A 8 D t C Z 8 D 3: Prof. Dr. Stefan Etschberger Hochschule Augsburg Wirtschaftsmathematik Wintersemester 26/7 Aufgabensammlung (Seite von 48)

10 Aufgabe 9 Finanzmathematik: Ratentilgung: Effektivzins (FIMA.2) Ein Auto, das 57. kostet, soll durch einen Kredit finanziert werden. Die Hausbank bietet einen Kredit, der in zwei gleich hohen jährlichen Tilgungsraten zurückzuzahlen ist, mit folgenden Konditionen an: Zins p.a. 8%, Auszahlung 9%. Wie hoch ist der Effektivzinsfuß für den Kredit? S D 57: ;9 und T D S 2 und 57: D S ;9 D A q C A 2 q 2 ) A D S =2 C S ;8 D S ;58 und A 2 D S =2 C S =2 ;8 D S ;54 ) S ;9 D S ;58 q C S ;54 q 2 Prof. Dr. Stefan Etschberger Hochschule Augsburg Wirtschaftsmathematik Wintersemester 26/7 Aufgabensammlung (Seite 2 von 48) ) q 2 D ;58 ;9 q C ;54 ;9 ) q =2 D 58 p58 2 C ) i ;62 D 6;2 % 2 ;62.>! OK/ :::.< /

11 Aufgabe 92 Finanzmathematik: Annuitätentilgung (FIMA.22) Eine Anleihe von.. soll mittels gleichbleibender Annuität zu 7% verzinst und innerhalb der nächsten 5 Jahre getilgt werden. Wie gestaltet sich der Tilgungsplan? A D :: ;75 ;7 ; :89;69 Jahr R k Z k T k A.., 7., 73.89, , , , , , , , , , , , , , , , , ,69 Prof. Dr. Stefan Etschberger Hochschule Augsburg Wirtschaftsmathematik Wintersemester 26/7 Aufgabensammlung (Seite 3 von 48) 3

12 Aufgabe 93 Finanzmathematik: Wertpapier (FIMA.24) Ein festverzinsliches Wertpapier ist mit einem Kupon von 8 % p.a. und einem Rücknahmekurs von 3 % nach 5 Jahren ausgestattet. Welches ist der Preis (Kurs) des Wertpapiers bei einer Restlaufzeit von 7 Jahren unmittelbar nach der 8. Zinszahlung, wenn dem Erwerber eine dem dann herrschenden Marktzinsniveau entsprechende Umlaufrendite von 9 % garantiert wird? C 8 D ;9 7 8 ;97 ;9 C 3 96;68 Prof. Dr. Stefan Etschberger Hochschule Augsburg Wirtschaftsmathematik Wintersemester 26/7 Aufgabensammlung (Seite 4 von 48) 4

13 Aufgabe 94 Finanzmathematik: Wertpapier: Duration (FIMA.25) Ein festverzinsliches Wertpapier ist mit einem Kupon von 7 % p.a. und einem Rücknahmekurs von 2 % nach 5 Jahren ausgestattet. a) Welches ist der Emissionskurs, wenn das herrschende Marktzinsniveau bei 8 % liegt? b) Die Steigung des Emissionskurses bei diesem Marktzins beträgt C.;8/ D 82;44. Welches ist die modifizierte Duration? c) Welches ist die Elastizität des Emissionskurses bezüglich des Marktzinsniveaus? d) Wenn der Marktzins um i D ; steigt: Auf welchen Wert sinkt C näherungsweise? a) C D ;8 5 7 ;85 ;8 C 2 92;7 b) MD D C 82:44 C 92;7 8;8247 c) " C ; ;8 D MD ;8 8;8247 ;8 ;759 d) C.;8 C ;/ 92;7. 8;8247 ;/ 9;26 Prof. Dr. Stefan Etschberger Hochschule Augsburg Wirtschaftsmathematik Wintersemester 26/7 Aufgabensammlung (Seite 5 von 48) 5

14 Aufgabe 95 Finanzmathematik: Wertpapier: Kupon bestimmen (FIMA.26) Eine Unternehmung will ein festverzinsliches Wertpapier emittieren, das dem Erwerber während der 5-jährigen Laufzeit einen Effektivzins von 9 % garantiert. Der Emissionskurs ist 96 %, der Rücknahmekurs %. Mit welchem nominellen Zinssatz muss die Unternehmung das Papier ausstatten? 96 D ;9 5 p ;95 C ;9, p D.96 ;9 5 ;9 / ;9 5 8;47 Prof. Dr. Stefan Etschberger Hochschule Augsburg Wirtschaftsmathematik Wintersemester 26/7 Aufgabensammlung (Seite 6 von 48) 6

15 Aufgabe 96 Finanzmathematik: Finanzierung Studium (FIMA_25_7) Anton Arglos hat von seiner Großmutter 3 geschenkt bekommen, um sein Studium zu finanzieren. Nehmen Sie für die Aufgaben a) und b) an, dass Anton sein Studium ausschließlich aus dem Geldgeschenk finanziert und von einem konstanten, jährlichen Zins von 7 % ausgegangen werden kann. Stellen Sie Ihren Rechenweg jeweils ausführlich und nachvollziehbar dar! a) Wie lang darf Antons Studium dauern, wenn er jährlich nachschüssig 7 entnimmt? b) Anton fällt auf, dass er das Geld eigentlich jährlich vorschüssig benötigt, aber mit 5 jährlich auskommt. Wie lang kann sein Studium unter diesen Annahmen dauern? Am Ende seines Studiums bemerkt der geschäftstüchtige Anton, dass er nun insgesamt ein Vermögen von 5 besitzt. Anton bekommt ein Angebot seiner Hausbank, das Geld als Festgeld zum jährlichen Zinssatz von i Haus anzulegen. Anton freut sich, da er nun weiß, dass er in 2 Jahren ein Endvermögen von besitzen wird. Prof. Dr. Stefan Etschberger Hochschule Augsburg Wirtschaftsmathematik Wintersemester 26/7 Aufgabensammlung (Seite 7 von 48) c) Wie hoch ist der Zinssatz i Haus, den Anton von seiner Hausbank angeboten bekommt? d) Die Onlinebank Fastmoney bietet ihm eine Anlage zu einem monatlichen Zins (mit monatlicher Zinsausschüttung) von,5 % an. Soll er das Angebot von Fastmoney gegenüber dem Angebot seiner Hausbank bevorzugen? Nehmen Sie (unabhängig von Ihrer Lösung unter Aufgabe c) an, dass die Hausbank Anton einen jährlichen Zins von 6 % anbietet) Begründen Sie Ihre Empfehlung rechnerisch! Anton entschließt sich, anstatt das Geld anzulegen ein Haus zu kaufen. Hierfür nimmt er zusätzlich einen Kredit von 2 zu einem konstanten Zins von 8 % auf. Der Kredit ist mit gleichbleibenden Tilgungsraten in 2 Jahren zu tilgen. e) Wieviel Zinsen muss Anton im 5. Jahr bezahlen? ln r ir ln a) R D r qn q q n r, n D, n D ln q Das Geld reicht 5 Jahre. b) R n D r q qn q q n, 3 D 5 ;7 ;7 n ;7, 6 ;7 ;7 D ;7n, n D das Geld reicht also in diesem Fall 7 Jahre. 7 ln ln ;7 6;7 ;7 7 7 ;73 7,367 : ln ;7 D 5;276.

16 Lineare Algebra Aufgabe Lineare Algebra: Rechnen mit Matrizen (A4.2) Gegeben sind die Matrizen A, B, C sowie die Vektoren a, b mit A D C D ; a D ; B D 2 2 ; b D 2 ; : Prüfen Sie, welche der folgenden Ausdrücke berechenbar sind, und berechnen Sie sie gegebenenfalls. a).a C B/a, b) ABb, c).b C C T /a, d) BA.a C b/, e) ab T A, f).a C b/b T, g) CAB, h) a T B T Cb Prof. Dr. Stefan Etschberger Hochschule Augsburg Wirtschaftsmathematik Wintersemester 26/7 Aufgabensammlung (Seite 22 von 48).A C B/a: Nicht möglich, ABb: Nicht möglich, 4.B C C T /a 2A, 2 BA.a C b/: Nicht möglich, ab T A A, a C b/b T 2 A, CAB: Nicht möglich, a T B T Cb D 8 22

17 Aufgabe Lineare Algebra: Produktion: Zwischenprodukt (A4.3) Eine Unternehmung produziert mit Hilfe von fünf Produktionsfaktoren F ; : : : ;F 5 zwei Zwischenprodukte Z ; Z 2, sowie mit diesen Zwischenprodukten und den Faktoren F ; F 2 ; F 3 drei Endprodukte P ; P 2 ; P 3. In den Matrizen A D.a ij / 5;2, B D.b ik / 5;3, C D.c jk/ 2;3 bedeute a ij D b ik D c jk D Anzahl der Einheiten von F i zur Herstellung einer Einheit von Z j, Anzahl der Einheiten von F i zur Herstellung einer Einheit von P k, Anzahl der Einheiten von Z j zur Herstellung einer Einheit von P k. Prof. Dr. Stefan Etschberger Hochschule Augsburg Wirtschaftsmathematik Wintersemester 26/7 Aufgabensammlung (Seite 23 von 48) a) Bestimmen Sie mit den Daten 2 3 A D ; B D ; C D den Vektor y 2 R 5 C von Produktionsfaktoren, der erforderlich ist, um eine Einheit von P k zu fertigen (für k D ;2;3 ). b) Welche Faktormengen braucht man, um den Endproduktvektor (3, 2, 3) zu realisieren? c) Berechnen Sie mit den Vektoren c T =.; ; 2; 3; / für die Beschaffungskosten der Faktoren, q T =.5; 2; / für die Produktionskosten der Produkte, p T =.4; 5; 4/ für die Verkaufspreise der Produkte, die Gesamtkosten, den Umsatz und den Gewinn des Endproduktvektors (3, 2, 3). Produktion seriell: AC, Produktion parallel: B C AC 23

18 Damit: Faktorenbedarf y 2 R 5 C für Endproduktvektor x 2 R3 C : y D.B C AC /x a) AC C B D B A D D Damit benötigt man für jede Einheit von P ; P 2 ; P 3 : b) y D A D B27C 6 A 24 y D 6 7 A D 4 A ; 3 c) Kosten: c t y C q t x D 235 C 5 D 35 Umsatz: p t x D 34 Gewinn: p t x c t y q t x D y2 D 6 8 A D 2 A ; 3 y3 D 4 A D B 5 A : 3 Prof. Dr. Stefan Etschberger Hochschule Augsburg Wirtschaftsmathematik Wintersemester 26/7 Aufgabensammlung (Seite 24 von 48) 24