Wiederholung QM II für die Klausur am

Transkript

1 Technische Hochschule Köln Fakultät für Wirtschafts- und Rechtswissenschaften Prof. Dr. Arrenberg Raum 221, Tel jutta.arrenberg@th-koeln.de Wiederholung QM II für die Klausur am Hinweis: In der kommenden QM II-Klausur am können 2 Punkte von insgesamt 100 Punkten durch Multiple Choice Aufgaben erzielt werden. Aufgabe 1 ( ) Statistik-Dozent K.R. lehrt an einer privaten FH in Köln, wohnt aber in Frankfurt am Main. Er hat - wegen möglicher saisonaler Schwankungen - zwei Semester lang (SS 01 und WS 01/02) ausprobiert, ob es für ihn - nur aus dem Blickwinkel der arbeitstäglichen Fahrzeit (berechnet vom Verlassen seiner Wohnung bis zum Betreten des FH-Gebäudes in Köln) - günstiger ist, mit dem privaten PKW oder mit dem Intercity-Express (ICE) der Deutschen Bahn AG zu fahren. 60 Fahrten mit dem PKW und 0 Fahrten mit dem ICE ergaben folgende Fahrzeiten: Benötigte Fahrzeit Anzahl der Fahrten mit dem... von... bis unter... Minuten... eigenen PKW... ICE Für welches der beiden Verkehrsmittel wird er sich auf Grund der von ihm gesammelten Daten entscheiden, wenn er a) nach dem Kriterium kürzere Fahrzeit entscheidet? b) nach dem Kriterium gleichmäßigere Fahrzeit entscheidet? Begründen Sie Ihre Antwort durch Berechnung und Interpretation geeigneter statistischer Maßzahlen! Aufgabe 2 ( ) Ein Unternehmen geht bei der Durchführung eines Bauprojekts davon aus, dass sich bei Baubeginn die tatsächlich entstehenden Kosten nicht exakt kalkulieren lassen. Daher 1

2 befragt das Unternehmen mehrere Experten nach ihrer Einschätzung. Daraus ergibt sich die folgende Wahrscheinlichkeitsverteilung für die tatsächlich enstehenden Baukosten in Geldeinheiten (GE): Baukosten 100 GE 105 GE 110 GE 115 GE 120 GE Wahrscheinlichkeit 2% 28% 65% 3% 2% Das Unternehmen möchte zur Absicherung der Baukosten und dem damit verbundenen Risiko eine Rücklage bilden. a) Wie hoch muss die Rücklage sein, wenn sie in Höhe der erwarteten Baukosten gebildet wird? Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist die Rücklage dann ausreichend bemessen? b) Die Rücklage soll wie folgt gebildet werden: Rücklage = erwartete Baukosten + Streuung gemessen in der Standardabweichung. Wie hoch muss die Rücklage sein? c) Wie hoch muss die Rücklage mindestens sein, wenn sie mit einer Wahrscheinlichkeit von 80% ausreichend bemessen sein soll? d) Wie hoch muss die Rücklage sein, wenn sie mit einer Wahrscheinlichkeit von 95% ausreichend bemessen sein soll? e) Die Rücklage soll in Höhe der erwarteten Kosten der 5% Kosten-intensivsten Fälle gebildet werden. Wie hoch muss dann die Rücklage sein? Aufgabe 2 ( ) Die folgende Tabelle stellt das Bruttoinlandsprodukt (in Mio. Euro), die prozentuale Änderung des Bruttoinlandsprodukts gegenüber dem Vorjahr (Wirtschaftswachstum) sowie den jährlichen Zins für den Zeitraum 2013 bis 2017 in einer Volkswirtschaft dar. Jahr BIP (in Mio. Euro) Wirtschaftswachstum Zins ,00 5% 5% ,15 3% 3% ,99 2% 2% ,11 2% 1% ,3 % 2% a) Beurteilen Sie die Stärke des linearen Zusammenhangs zwischen Zins und Wirtschaftswachstum. b) 1. Welchen Wert für das Wirtschaftswachstum erwarten Sie auf Basis einer linearen Regression, wenn sich der Zins auf 3% beläuft? 2. Ist der in Teilaufgabe b.1) berechnete Wert zuverlässig? 2

3 c) Berechnen Sie das durchschnittliche jährliche Wirtschaftswachstum für den Zeitraum 2012 bis 2017 und begründen Sie Ihre Wahl des Lagemaßes. Aufgabe ( ) Ein Versicherungsunternehmen bietet zwei Typen von Versicherungen an: Typ A und Typ B. Eine Analyse des Kundenstamms ergab, dass 35 % aller Kunden eine Versicherung vom Typ A abgeschlossen haben. 60% der Kunden, die keine Versicherung vom Typ A abgeschlossen haben, eine Versicherung vom Typ B abgeschlossen haben. jeder Kunde, der eine Versicherung vom Typ A hat, auch eine Versicherung vom Typ B abgeschlossen hat. a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat ein zufällig ausgewählter Kunde eine Versicherung vom Typ B abgeschlossen? b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat ein Kunde, der eine Versicherung vom Typ B hat, eine Versicherung vom Typ A abgeschlossen? Aufgabe 1 ( ) Die Wucher-Kredit GmbH verleiht Kapital zu einem nominellen Jahreszinsfuß von 20%, wobei sie die anfallenden Kreditzinsen am Ende eines jeden Vierteljahres der Schuld zuschlägt (unterjährliche Verzinsung zum relativen Zins). Ein Privatmann hat bei dieser Gesellschaft am 30. Juni 2003 ein Darlehen über aufgenommen, das er am zurückzahlen muss. a) Wie hoch ist der effektive Jahreszinsfuß dieses Darlehens? b) Wie hoch ist der Betrag, den der Privatmann am Ende der Laufzeit an die Wucher- Kredit-GmbH zurückzahlen muss? c) Nach wie vielen vollen Jahren übersteigen die Schulden des Privatmanns zum ersten Mal die Grenze? d) Angenommen dem Privatmann fließen am aus unbekannter Quelle zu, die er unmittelbar an die Wucher-Kredit-GmbH weitergibt, um seinen Rückzahlungsbetrag am zu reduzieren. Wie hoch werden seine Schulden am Ende der Laufzeit dann noch sein? Aufgabe ( ) Herr F. hat zu Beginn des Jahres 1993 einen Kredit über DM zu 6,5% Zinseszinsen p.a. aufgenommen, den er mit vorschüssigen Monatsraten in Höhe von DM 18,93 zurückzahlt. a) Wie hoch wäre bei jährlichen statt monatlichen Zahlungen die Annuität? 3

4 b) Wie lange läuft der Vertrag? c) Anfang Januar 2001 erbt Herr F. überraschend DM Wie lautet die Tilgungsplan-Zeile für das Jahr 2000? Könnte Herr F. mit der Erbschaft auf einen Schlag seine Restschuld Anfang Januar 2001 zurückzahlen? Aufgabe 5 ( ) Für den Erwerb eines Autos wird folgendes Finanzierungs-Modell angeboten: eine Sofortzahlung in Höhe von drei Jahre lang monatlich vorschüssige Rückzahlungen in Höhe von 200 eine Restzahlung in Höhe von 021,20 drei Jahre nach Erwerb des Autos a) Berechnen Sie bei einem Jahreszins von 6% den Barwert des Finanzierungs-Modells. b) Das Finanzierungs-Modell soll umgewandelt werden in zwei gleichwertige Finanzierungs-Modelle (Jahreszins 6%): 1. Modell 1: Sofortzahlung von 000 vier Jahre lang gleich hohe vorschüssige Quartalsraten Restzahlung in Höhe von 809,92 vier Jahre nach Erwerb des Autos Wie hoch sind die Quartalsraten? 2. Modell 2: Es sollen halbjährlich vorschüssige Rückzahlungen in Höhe von 1 703,80 geleistet werden. Wie viele Jahre lang sind die vollen Rückzahlungen zu entrichten? Lösung zu Aufgabe 1 ( ): X = benötigte Fahrzeit mit PKW (in Minuten) Y = benötigte Fahrzeit mit ICE (in Minuten) a) Kriterium kürzere Fahrzeit Benötigte Fahrzeit Klassen- Anzahl der Fahrten Dichte Anzahl der Fahrten Dichte von... bis unter... mitte mit dem mit dem Minuten... eigenen PKW... ICE , , , , , , , , ,

5 arithmetisches Mittel: x = = y = = 169, d.h. PKW-Fahrten sind im Durchschnitt kürzer. 50%-Punkte: x 0,50 10 y 0, d.h. in 50% aller PKW-Fahrten lag die Fahrzeit unter 10 Minuten, während in 50% aller ICE-Fahrten die Fahrzeit weniger als 165 Minuten betrug; also sind die PKW-Fahrzeiten kürzer. Modus: x Modus 125 y Modus 165 d.h. PKW-Fahrzeiten sind kürzer. b) Kriterium gleichmäßigere Fahrzeit Da die Durchschnittswerte der PKW-Daten und der ICE-Daten weit auseinander liegen, sollten hier der Variationskoeffizient oder die relative Quartilsabstand berechnet werden. Variationskoeffizient: s 2 x ( )2 ( ) = 929,16 s x = 929,16 = 30,8 v x = s x x = 30,8 150 = 0, ( ) (10 150) ( ) s 2 y ( ) (10 170) ( )2 +( ) = 665,625 s y = 665,625 = 25,80 v y = s y y = 25, = 0,1518 d.h. die Fahrzeiten mit dem ICE sind gleichmäßiger. 5

6 Relativer Quartilsabstand: x 0,75 x 0, ,6 = x 0, ,27 y 0,75 y 0, = 0,18 y 0, d.h. die Fahrzeiten mit dem ICE sind gleichmäßiger. Lösung zu Aufgabe 2: ( ) X = Baukosten (in GE) a) E[X] = 0, , , , , = 108,75 d.h. die Rücklage in Höhe der erwarteten Baukosten beträgt 108,75 GE. P (X 108,75) = P (X 105) = 0,30 d.h. die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis, dass die Baukosten nicht höher sind als die erwartete Rücklage, beträgt 30%. b) V [X] = ( ,75) 2 0,02 + ( ,75) 2 0,28 + ( ,75) 2 0,65 + ( ,75) 2 0,03 + ( ,75) 2 0,02 = 10,1875 V [X] = 10,1875 = 3, E[X] + V [X] = 108,75 + 3, = 111,918 d.h. die Rücklage muss 111,9 GE betragen. c) P (X x) 0,80 x = 110 d.h. die Rücklage muss mindestens 110 GE hoch sein, um mit der Wahrscheinlichkeit von mindestens 80% ausreichend bemessen zu sein. d) P (X x) = 0,95 x = 110 d.h. wenn die Rücklage 110 GE beträgt, so liegen die tatsächlich anfallenden Baukosten mit einer Wahrscheinlichkeit von 95% nicht über diesen Wert. e) 115 0,03 0, ,05 0,05 = 117 d.h. die erwarteten Baukosten der 5%-Kosten-intensivsten Fälle beträgt 117 e. Lösung zu Aufgabe 2: ( ) X=Wirtschaftswachstum (in % gegenüber dem Vorjahr) Y =Zins (in %) Arbeitstabelle: 6

7 x i y i x i y i x 2 i yi b 1 = = = 0,301 b 2 = = 2 6 = 0,957 a) r = 0,301 0,957 = 0, = 0,537 Der lineare Zusammenhang ist mittelstark. b) 1. a 2 + b 2 3 =? 12 0, a 2 = = 0, , ,957 3 = 2,783 3 d. h. es ist ein Wirtschaftswachstum von etwa 3% zu erwarten. 2. Da die Korrelation lediglich mittelstark ist, ist auf den Prognosewert kein Verlass. c) Bei prozentualen Veränderungen von Wachstumsvorgängen liegt ein multiplikativer Zusammenhang vor: neuer Wert = alter Wert mal Faktor. Deshalb ist das geometrische Mittel der Faktoren zu berechnen: x G = ,05 1,03 0,98 1,02 1,0 = 5 1,1231 = 1, d. h. im Zeitraum 2012 bis 2017 betrug das durchschnittliche jährliche Wachstum etwa 2 %. Lösung von Aufgabe ( ) A= Kunde schließt eine Versicherung vom Typ A ab B= Kunde schließt eine Versicherung vom Typ B ab Gegeben sind folgende Information: 1. P (A) = 0,35 2. P (B A) = 0,60 3. A B A B = A und A B = Aus der 1. Information folgt, dass gilt: P (A) = 1 0,35 = 0,65 7

8 Mit der 2. Information haben wir: P (A B) P (B A) = P (A B) = P (B A) P (A) = 0,60 0,65 = 0,39 P (A) Aus der 3. Information folgt, dass gilt: P (A B) = 0 S B A Jetzt können wir die Arbeitstabelle aufstellen: A A B 0,35 0,39 0,7 B 0 0,26 0,26 0,35 0,65 1 a) P (B) = 0,7 d.h. 7 % aller Kunden haben eine Versicherung vom Typ B abgeschlossen. oder P (B) = P (A B) + P (A B) = 0,35 + 0,39 = 0,7 P (A B) b) P (A B) = = 0,35 P (B) 0,7 = 0,730 d.h. unter denjenigen Kunden, die eine Versicherung vom Typ B abgeschlossen haben, beträgt der Anteil der Kunden, die auch eine Versicherung vom Typ A abgeschlossen haben, genau 7,3%. Lösung zu Aufgabe 1: ( ) ( a) K 1 = ,2 ) = ,05 = ,2155 = , 63 d.h. der effektive Jahreszins beträgt 21,55%. b) Laufzeit: Quartale 200 Quartale 2005 Quartale 2006 Quartale 2007 Quartale 18 Quartale =,5 Jahre 8

9 ( K,5 = ,2 ),5 = ,05 18 = ,92 d.h. er muss ,92 zurückzahlen. c) n= Laufzeit in Jahren =? ( = ,2 ) n = 1,05 n Logarithmus n = log 1,05 2 Umrechnungsformel ln 2 n = = 1,207 ln 1,05 n = 3,55 d.h. nach vier vollen Jahren wird erstmals der Betrag von überschritten. d) Die Rückzahlung über GE wird 2 1 Jahre nach Kreditaufnahme getätigt. ( , ,2 ) 2,25 = , ,05 9 = ,51 d.h. er muss ,51 zurückzahlen. Lösung zu Aufgabe ( ) a) r jährlich = 18,93 (12 + 6,5 0,065) = 2 297, b) a n = 2 297,29 = 13,0588 ln[1 13,0588 0,065] n = ln 1,065 d.h. 30 volle Annuitäten = 30,0012 c) 2000 = 8. Jahr K 7 = , ,29 1, ,065 = 27 00,09 Z 8 = K 7 0,065 = 1 757,61 T 8 = A Z 8 K 8 = K 7 T 8 Jahr Zinsen Tilgung Annuität Restschuld a.e.d.j a.e.d.j a.e.d.j a.e.d.j ,61 539, , ,0 d.h. Herr F. könnte Anfang 2001 mit der Erbschaft von DM seine Restschuld von DM ,0 begleichen. Lösung zu Aufgabe 5 ( ) a) Barwert K 0 : K 0 = R ,20 1,06 3 = R ,28 9

10 Jährliche nachschüssige Ersatzrente r J : r J = 200 ( ,06) = 2 78 R 0 = , ,06 1,06 = 6 623,72 3 K 0 = , ,28 = d.h. der Barwert beträgt b) 1. Modell 1: Zuerst bestimmen wir den Barwert R 0 der unterjährlichen Rente: = R ,92 1, = R ,91 R 0 = 7 190,09 Jährliche nachschüssige Ersatzrente r J : 7 190,09 = r J 1, ,06 1,06 r J = Vorschüssige Quartalsraten r U : = r U ( + 5 ) 2 0,06 r U = 500 d.h. die Quartalsraten betragen Modell 2: Jährliche nachschüssige Ersatzrente r J : r J = 1 703,80 ( ,06) = 3 560,92 Laufzeit: n = ln [ ,92 0,06] ln 1,06 = 5 d.h. die Halbjahresraten sind fünf Jahre lang zu zahlen. 10