Klausur Wirtschaftsmathematik: Lösungshinweise

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1 Klausur Wirtschaftsmathematik: Lösungshinweise Prüfungsdatum: 4. Januar 4 Prüfer: Etschberger/Jansen/Nebel Studiengang: IM und BW Aufgabe 8 Punkte a) Gegeben sei die invertierbare Matrix F mit F A : Berechnen Sie damit den Ausdruck FF T F T F. (Tipp: Sie dürfen benutzen, dass die Inverse einer symmetrischen Matrix auch symmetrisch ist.) b) Bestimmen Sie für die Matrizen a 3 c A b A und B A d 8 3 die Konstanten a; b; c; d R so, dass B die inverse Matrix zu A ist. Hochschule Augsburg Klausur Wintersemester 3 Wirtschaftsmathematik 4. Januar 4 (Seite von 6) a) Einfache Lösung: Hier gilt F D F T und damit F D F T ) FF T F T F D F FF F D F E F D E Alternativ (aufwendiger): Bestimmung von F A und dann Berechnung des gesuchten Ausdrucks; auch damit ergibt sich natürlich FF T F T F D E b) Mit A B D E erhält man unter anderem die Gleichungen: 9 a C d D a D 3 b D >= b D ) c C 3 D c D >; C d D d D

2 Aufgabe 8 Punkte a) Berechnen Sie die Grenzwerte der Folgen a n D n ; b n D 3n3 C n n 4 C 3 und c n D. C n/. C 3n/ : b) Überprüfen Sie die Reihe r n D nx i mit > C id auf Konvergenz und berechnen Sie gegebenenfalls den Grenzwert lim n!.r n/. Hochschule Augsburg Klausur Wintersemester 3 Wirtschaftsmathematik 4. Januar 4 (Seite von 6) n a) lim a n D lim D ; n! n! lim b 3=n C =n 3 n D lim D C n! n! C 3=n 4 C D lim c C 4n C 4n n D lim n! n! C 6n C 9n D =n C 4=n C 4 =n C 6=n C 9 D 4 9 b) Zur Konvergenz betrachte Quotientenkriterium: lim k! ˇ C C kc k Grenzwert (r n ist geometrische Reihe): lim r n D lim n! n! D C < ˇ nc C C für alle >, also ist r n konvergent. D C D C C D C

3 Aufgabe 3 Punkte Gegeben ist das folgende lineare Optimierungsproblem mit den Strukturvariablen x ; x R C, der Zielfunktion N und den Restriktionen R, R, R 3, R 4 mit Zielfunktion: x C x! max.n / Restriktionen: 5x C 3x 5.R / x C x 3.R / x.r 3 / x kx.r 4 / Hochschule Augsburg Klausur Wintersemester 3 Wirtschaftsmathematik 4. Januar 4 (Seite 3 von 6) Für die Teilaufgaben a) bis c) sei der Wert der Konstanten k in Restriktion R 4 gleich. a) Skizzieren Sie den Zulässigkeitsbereich Z des Problems. Benutzen Sie dazu das vorgegebene Koordinatensystem rechts. b) Berechnen Sie die relevanten Eckpunkte von Z. c) Benutzen Sie die Ergebnisse aus Teilaufgabe b) und bestimmen Sie damit die Menge der Optimallösungen des Problems. x 5 d) Für welche k R in Restriktion R 4 ist der Zulässigkeitsbereich Z D ;? e) Für welche k R bleibt das Optimum aus Teilaufgabe c) erhalten? a). 5 3 x R R C R 4.k D / 3 D B A R 4.k D / R 4.k D ;4/ R 3 x 5 b) A W.R / 5.R 4 / W x D 3 ; x D 7 3 B W x D in.r / W x D 9 5 ; x D x C W x D in.r / W x D ; x D D W.R /.R 4 / W x D 4 3 ; x D 5 3 c) ZF.A/ D 47=3 3;6, ZF.B/ D 9=5 D 3;8, ZF.C / D 3, ZF.D/ D 3, optimal ist also B. d) Wenn R 4 durch C geht ist der Zulässigkeitsbereich Z nur noch fc g. Ist R 4 steiler ist Z D ;. Also: Setze C in R 4 ein: k D ) mit k < ist Z D ;. e) Wenn R 4 durch B geht ist Optimum gerade noch erhalten. Also: Setze B in R 4 ein: 9=5 k D ) k D ;4. Also ist B optimal, wenn k ;4.

4 Aufgabe 4 3 Punkte Gert Gemütlich liest in der Zeitung, dass 5 % aller Männer bis zu ihrem 3. Geburtstag bei ihren Eltern wohnen. Als er den von innen beschlagenen und zum Wäschebehältnis umfunktionierten Müllsack in seiner WG betrachtet, wird er nachdenklich und beginnt zu rechnen: Wenn er zum nächsten. Januar zu seiner Mutter und seinem Vater zurückziehen würde also genau an seinem. Geburtstag würde er sich die Miete und weitere Ausgaben für den Haushalt sparen. Er rechnet mit einer Summe von 9, die er dadurch jährlich zum Jahresende zu einem Jahreszins von % anlegen könnte. (Gehen Sie im Folgenden von Ein- und Auszahlungen auf ein Konto mit einem konstanten jährlichen Zinssatz von % aus.) a) Wieviel hätte er so bis zu seinem 3. Geburtstag angespart? b) Wenn er an seinem 3. Geburtstag ausziehen würde: Wie lange könnte er von diesem Konto ab dann monatlich vorschüssig 5 entnehmen? c) Gert beschließt, so lange bei seiner Mama wohnen zu bleiben, bis er von dem angesparten Geld bis zu seinem 8. Geburtstag jährlich nachschüssig 4 entnehmen kann. Wie lange dürfen die Eltern bei Durchführung dieses Plans das Kinderzimmer für ihn freihalten? Hochschule Augsburg Klausur Wintersemester 3 Wirtschaftsmathematik 4. Januar 4 (Seite 4 von 6) a) R n D 9 ;8 D 77 46;7 ; b) R D 77 46;7 D 5 C ; 3 ; n ; ; n " # ) n D ln ; ln 77 46;7 ; 5 C ; 3 4;847 c) Endwert nach n Jahren Ansparphase gleich Barwert von dann noch 58 n Jahren Entnahmephase: 9 ;n ; D 4 ;58 n.58 n/ ; ;, 9 4.;n / D ; n 58, ; n 9 4 C ; 58 D 9 4 C, n D ln 9 4 C ı 9 4 C ; 58 = ln ; 4;7 Jahre Also müsste er bis zu seinem 63. Geburtstag ( + 4,7) bei Mama wohnen bleiben.

5 Aufgabe 5 7 Punkte Gegeben seien die Funktionen s; c W R! R mit s.x/ D.ex e x / und c.x/ D.ex C e x / : a) Zeigen Sie, dass c.x/ s.x/ D gilt. b) Bestimmen Sie die Ableitungen der Funktionen s und c, und drücken Sie diese wieder mithilfe der Funktionen s und c aus. a) c s D 4 e x C C e x e x C e x D 4 4 D Oder alternativ: c s D.c s/.c C s/ D.ex C e x /.ex e x /.ex C e x / C.ex e x / e x C e x e x C e x e x C e x C e x e x D 4 b) s.x/ D.ex C e x / D c.x/ c.x/ D.ex e x / D s.x/ D 4 e x e x D Hochschule Augsburg Klausur Wintersemester 3 Wirtschaftsmathematik 4. Januar 4 (Seite 5 von 6)

6 Aufgabe 6 Punkte Gegeben ist die reelle Funktion f W R! R mit f.x; y/ D x 4 x C.x C /y : a) Bestimmen Sie den Gradienten von f. b) Bestimmen Sie alle Punkte, an denen der Gradient von f gleich ist. c) Bestimmen Sie die Hessematrix H f.x; y/. d) Bestimmen Sie alle Maximal- und Minimalstellen sowie die zugehörigen Werte von f. a) Der Gradient von f ist rf.x; y/ D 4x.x C y / y.x C / Hochschule Augsburg Klausur Wintersemester 3 Wirtschaftsmathematik 4. Januar 4 (Seite 6 von 6) b) rf D ).x; y/ D.; /;. ; /. c) Für die Hessematrix ergibt sich:. H f.x; y/ D x 4 C 4y 8xy 8xy.x C / d) Für die kritischen Punkte erhält man: 4 H f.; / D ; indefinit (Sattel) mit f.; / D. 8 H f. ; / D ; positiv definit, jeweils lokales Minimum bei f. ; / D. 6