bisherige Betrachtung von Gütern: als Verbrauchsgüter (Konsumgüter, auch Kapital nicht-haltbar, sondern gemietet)

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1 Investitionen bisherige Betrachtung von Gütern: als Verbrauchsgüter (Konsumgüter, auch Kapital nicht-haltbar, sondern gemietet) dauerhafte Güter: z.b. Kapital, dass erworben wird; Investitionen bei Kauf (oder Errichtung/Erstellung) von Gütern: Verwendbarkeit geht über eine Periode hinaus Notwendigkeit, heutige Ausgaben mit zukünftigen Erträgen zu vergleichen 1 / 29

2 Zinsen zukünftiger Geldbeträge haben einen niedrigeren Wert: möglich durch Inflation (s. unten) Zinsrate, spiegelt wieder, dass heutige Zahlungen gegenüber zukünftigen, gleich hohen Zahlungen bevorzugt werden (individuelle) Diskontrate: persönliche Bewertung für den Vergleich von heutigen gegenüber zukünftigen Zahlungen; beeinflußt möglicherweise durch z.b. unheilbare Krankheit, Vererbung Zahlungen, die über Diskont- bzw. Zinsraten verglichen werden, müssen auch ein gleiches Risiko besitzen (hier: meistens keines, also sichere Zahlungen; Erweiterung: s. unten ab S.22) 2 / 29

3 Markt für Darlehensmittel Zinsen (sicherer) Zahlungen sind der Marktpreis für Darlehensmittel im Gleichgewicht: Haushalte bieten Darlehen, um Teile ihres Vermögens zu sparen (andere) Haushalte und Firmen fragen Darlehen nach, um Konsum vorzuziehen (z.b. Hausbau, finanziert durch zukünftiges Einkommen) und Investitionen (finanziert durch zukünftige Gewinne) zu finanzieren 3 / 29

4 Weitere Annahmen gehen normalerweise davon aus, dass Marktzinssatz gleich der persönlichen Diskontrate ist Verzinsung periodenweise (diskret) stattfindet Sparzinsen gleich Schuldzins; ignorieren die Zinsspanne die durch Finanzintermediäre (Banken) entsteht 4 / 29

5 Zukunftswert mit Hilfe von Zinssatz und Barwert lässt sich der zukünftige Wert errechnen: B t = B 0 (1 + i) t, mit B t dem Wert in t Jahren beim Zinssatz i tolle Beispiele (aus Perloff, 2004, S. 557): Holländer haben Manhattan 1626 von den ursprünlichen Bewohnern um 24 Dollar gekauft; heutiger Wert bei Anleihen mit 7%: 24(1 + 0, 07) ( ) = 2, 7 Billionen Dollar viel mehr als der geschätzte Wert USA haben Alaska 1867 von Russland um 7,2 Milliionen Dollar gekauft; wären heute 7, (1 + 0, 07) ( ) = 67 Milliarden Dollar viel weniger als Alaska heute wert ist 5 / 29

6 Barwert natürlich kann man auch den Barwert B 0 eines zukünftigen Betrages auf diese Weise ermitteln: B 0 = B t (1 + i) t z.b. Barwert eines Euros in Abhängigkeit von i und t (t die Jahre in der Zukunft, wann man den Euro erhält): 6 / 29

7 Inflation (1) $24 aus obigem Bsp. sind nicht vergleichbar mit $24 heute; Inflation verringert den realen Wert eines nominellen Betrags; z.b. sei die Inflation π t=0 = 0, 03, dann ist der Wert von $24 zum Zeitpunkt t = 1 (also wenn man sie einfach eine Periode zuhause liegen läßt) zum Zeitpunkt t = 0 real nur B 0 = π 0 = 24 1, 03 = 23, 3 B t = B 1 = 24 beinhaltet also die Inflation; das gilt auch für den Zinssatz i, da man z.b. von der Bank nach einer Periode bei i = 0, 07 für $24 nominell ausbezahlt bekommt: B 1 = 24(1 + i 0 ) = 24 1, 07 = 25, 7 also $25,7 in bar mit eben jenem nominellen Wert, den sie in t = 1 haben 7 / 29

8 Inflation (2) wichtig also, Inflation berücksichtigen um heutige und zukünftige Zahlungen sinnvoll addieren zu können sei B 0 der reale Wert (nominell gemessen zum Zeitpunkt 0), und B 1 eine nominelle Zahlung zum Zeitpunkt 1; bei einer Inflationsrate von π 0 und einem (realen) Diskontsatz von r 0 ; dann ist B 0 = B 1 (1 + π 0 )(1 + r 0 ) der reale, abdiskontierte Wert von B 1 zum Zeitpunkt 0; wenn der Diskontsatz der Marktzinssatz, i 0, ist, dann beinhaltet dieser bereits die Inflation, weil die Auszahlung in t = 1 nominell stattfindet; daher gilt auch: B 0 = B i 0 8 / 29

9 Periodische Zahlungen/Periodische Renten (1) oft findet nicht nur eine einzelne Zahlung zu einem Zeitpunkt einer anderen Periode statt, sondern mehrere Zahlungen zu jeweils verschiedenen Zeitpunkten; im Speziellen gibt es Ein- oder Auszahlungen, die einmal pro Periode erfolgen und immer gleich hoch sind, z.b. Zinszahlungen und Tilgungsraten für einen Kredit Auszahlung einer unendlichen periodischen Zahlung in der Höhe von A zum Ende jeder Zeitperiode: 9 / 29

10 Periodische Zahlungen/Periodische Renten (2) Barwert leicht berechenbar durch einen einfachen Trick, der die unenedliche Zahlung auf der rechten Seite wiederholt B 0 = ( B ) 1 + r ( ) 1 + r 1 B r B 0 = A (1 + r) 1 + A (1 + r) 2 + A (1 + r) = A 1 + r r B 0 = A 1 + r = A 1 + r A 1+r r 1+r = A r 10 / 29

11 Periodische Zahlungen/Periodische Renten (3) sind die Zahlungen A für eine endliche Anzahl von Perioden, dann kann man den Wert vom Wert der unendlichen Zahlung gut ableiten: beginne mit einer unendlichen Auszahlung, und ziehe den heutigen Wert einer unendlichen Zahlung ab, die zum Zeitpunkt T starten würde: 11 / 29

12 Periodische Zahlungen/Periodische Renten (4) rechnerisch: A B 0 = (1 + r) 1 + A (1 + r) A (1 + r) T A = (1 + r) t A (1 + r) t t=1 = A r 1 A (1 + r) T r = A(1 + r)t A r(1 + r) T = A ( (1 + r) T 1 ) r(1 + r) T t=t +1 der Faktor, mit dem A multipliziert wird, um den Barwert der Annuität zu erhalten, wird auch nachschüssiger Rentenbarwertfaktor genannt, symbolisiert mit NRBF T r 12 / 29

13 Nettobarwert die endliche gleichbleibende Rente wird folgendermaßen erweitert: Zahlungen können variieren: zum Zeitpunkt t fällt die Zahlung c t an Zahlungen können positiv oder negativ sein; c t < 0: Zahlung muss geleistet werden, c t > 0: Zahlung geht ein werden alle Ein- und Auszahlungen berücksichtigt, dann erhält man den Nettobarwert einer Investition (auch: Kapitalwert, K, engl. net present value): NB 0 = c 0 + c r + c 2 (1 + r) c T (1 + r) T T c t = (1 + r) t t=0 13 / 29

14 Kapitalwertkriterium Bsp.: r = 10%, c 0 = 1000, c 1 = c 2 = c 3 = 500, NB 0 = 243, 42 offensichtlich ist der Gegenwartswert aller Ein- und Auszahlungen positiv, d.h. die Investition gewinnbringend allgemein gilt als Kapitalwertkriterium: ist der Kapitalwert eines Nettozahlungsstroms positiv, dann ist die Investition gewinnbringend 14 / 29

15 Diskontfaktor der Zahlungsstrom einer Investition sei noch erweitert um: Möglichkeit variabler (bekannter) Zinssätze dann ist der Kapitalwert einfach: NB 0 = c 0 + c 1 c r 1 (1 + r 1 )(1 + r 2 ) c T (1 + r 1 )... (1 + r T ) T T c t = t s=0 (1 + r s) s t=0 praktischer ist die Einführung eines Diskontfaktors, D t : D t = 1 (1 + r 1 )(1 + r 2 )... (1 + r t ) t = 1 t s=0 (1 + r s) s und der Kapitalwert ist K 0 = T t=0 D tc t. 15 / 29

16 Äquivalente Annuität Äquivalente Annuität: durch gezielte Veranlagung bzw. Kreditaufnahme läßt sich jeder Zahlungsstrom in einen beliebigen anderen Zahlungsstrom mit identischem Kapitalwert umformen für Fragestellungen mit wiederholten Investitionen kann es praktisch sein, die äquivalente, gleichbleibende (nachschüssige) Rente zu berechnen 16 / 29

17 Bsp. Äquivalente Annuität Z.B.: Investitionen mit verschieden langer Lebensdauer: mit zwei Investitionsmöglichkeiten (z.b. Maschinen) A und B sind folgende Zahlungsströme verbunden (Alternativrendite 6%): c 0 c 1 c 2 c 3 c 4 Kapitalwert A ,33 B ,41 Äquivalente Annuität: c 0 c 1 c 2 c 3 c 4 Kapitalwert A 0 42,23 42,23 42,23 42,23 146,33 B 0 44,30 44,30 44, ,41 17 / 29

18 Äquivalente Annuität mit identischer Ersetzung Was wenn man die Maschinen am Ende ihrer Lebenszeit durch eine identische Maschine ersetzen kann? Dann verursacht die Entscheidung für den Typ A bzw. Typ B die Zahlungsströme (bzw. äquivalent in Spalte 4, 5): A B A B c c ,23 44,30 c ,23 44,30 c ,23 44,30 c ,23 44,30 c ,23 44,30 c ,23 44,30 c ,23 44,30 c ,23 44, der Barwert dieser ewigen nachschüssigen Rente ist 42, 23 A : 0, 06 = 703, 83, B : 44, 30 0, 06 = 738, / 29

19 Bsp. Optimaler Ersetzungszeitpunkt optimaler Ersetzungszeitpunkt (r = 6%): c 0 c 1 c 2 c 3 alte Maschine Restwert der alten Maschine neue Maschine äquivalente Annuität Kapitalwert einer neuen Maschine äquivalente Annuität: K neu 0 = A = 3 t=1 K neu 0 NRBF T =3 r=0, (1, 06) t = 6384, 1 = 2388, / 29

20 Bsp. Optimaler Ersetzungszeitpunkt: Einmalig wenn es scih um eine einmalige Neuinvestition handelt, sofortige Investition: K sofort 0 = K neu 0 = 11584, 1 Neuinvestition in einem Jahr: K 1a 0 = Kneu 0 1, 06 = 11494, 4 Neuinvestition in zwei Jahren: K 2a 0 = , Kneu 0 + 1, 06 2 = 11235, 4 20 / 29

21 Bsp. Optimaler Ersetzungszeitpunkt: Unendlich wenn die neue Maschine ident ersetzt werden kann, sofortige Investition: K sofort 0 = A r = 45005, 9 Neuinvestition in einem Jahr: K 1a 0 = A r 1, 06 = 43024, 4 Neuinvestition in zwei Jahren: K 2a 0 = , A r 1, 06 2 = 40980, 7 21 / 29

22 Investition bei Risiko Beispiel: Eine Firma sieht ein Investitionsprojekt, das durch eine Anfangsauszahlung von EUR realisiert werden kann. Für die Einzahlungen aus dem Projekt gibt es zwei mögliche Szenarien: Wenn alles gut geht, dann erwirtschaftet das Projekt über die folgenden vier Jahre je EUR Wenn das Projekt nicht erfolgreich ist, dann erwirtschaftet das Projekt im kommenden Jahr EUR 2000 und nach zwei Jahren (inklusive Restwert) EUR Die Rendite für Staatsanleihen sei 5%. 22 / 29

23 Szenarioanalyse Ang. wir wissen, alles wird gut gehen, d.h., das erste Szenario tritt ein K 0,gut = (1 + 0, 05) t = 4183, 8 t=1 Oder wir wissen, alles wird schlecht gehen, d.h., das zweite Szenario tritt ein. K 0,schlecht Soll die Firma investieren? 2, 000 1, 000 = = 7188, 21 (1 + 0, 05) ( ) 2 23 / 29

24 Erwartungswert Erwarteter Kapitalwert: was ist der Kapitalwert wenn jedes Szenario mit seiner Wahrscheinlichkeit gewichtet wird; wie wahrscheinlich ist es, dass das erste bzw. das zweite Szenario eintritt? Angenommen, das erste Szenario tritt mit einer Wahrscheinlichkteit von 70% ein und das zweite mit einer Wahrscheinlichkeit von 30%. E(K 0 ) = T t=0 E(c t ) (1 + r) t 24 / 29

25 Risikoprämie Im Beispiel: E(K 0 ) = , , , = 772, 199 1, 054 Erwartungswert ist positiv, aber nicht realisierbar; entweder Szenario 1 oder 2; abhängig von seiner Risikobereitschaft ist eine Investition mit Risiko für einen Kapitalgeber mehr, gleich viel oder weniger wert als eine Investition mit gleichem aber sicherem Kapitalwert; oft sind Individuen risikoavers, d.h. riskante Zahlungen müssen höher sein um als gleichwertig zu sicheren Zahlungen zu gelten; eine Risikoprämie erfüllt diesen Zweck: Angenommen, diese Risikoprämie beträgt im Falle unseres Beispiels 4%-Punkte. Der risikoangepasste, erwartete Kapitalwert des Projekts ist daher E(K 0 ) = 10, = / 29

26 Normalinvestition im vorigen Beispiel galt: durch die risikobedingte Anpassung des Zinssatzes ist der Kapitalwert gesunken; für Normalinvestitionen gilt das allgemein: r K 0 ; r K 0 was ist jener Zinssatz (jene Zinssätze), bei dem der Kapitalwert den kritischen Wert 0 hat? 26 / 29

27 Interner Zinsfuß Mit einer Investitionsentscheidung sei der Zahlungsstrom c = {c 0, c 1, c 2,..., c T } verbunden. Interner Zinsfuß: Ein Zinssatz r iz für den gilt K 0 r=riz = 0 heißt Interner Zinsfuß der Investition. Der Interne Zinsfuß einer Investition muss nicht eindeutig sein. Beispiel: Ein mögliches Projekt bringt eine sofortige Einzahlung von EUR 200. In fünf Jahren ist eine Auszahlung von EUR 1000 fällig, und nach zehn Jahren bring das Projekt noch EUR D.h., der Interne Zinsfuß löst die Gleichung K 0 = (1 + r) (1 + r) 10! = 0 27 / 29

28 Beispiel Interner Zinsfuß Graphisch Kapitalwert für obiges Beispiel in Abhängigkeit vom Zinsfuß: 28 / 29

29 Normalinvestition und Interner Zinsfuß Allerdings: Hat eine Normalinvestition einen positiven Internen Zinsfuß, dann ist dieser eindeutig. Für Normalinvestitionen gilt weiters: ist die Alternativrendite geringer als der Interne Zinsfuß, dann ist der Kapitalwert positiv und eine Investition ist sinnvoll ist die Alternativrendite höher als der Interne Zinsfuß, dann ist der Kapitalwert negativ und eine Investition ist nicht sinnvoll D.h., der Interne Zinsfuß einer Normalinvestition gibt ein Kriterium, um die Investition mit der Nicht-Investition zu vergleichen. 29 / 29