Hauptsatz und Optimalitätskriterium der Simplexmethode

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1 Kapitel 4 Hauptsatz und Optimalitätskriterium der Simplexmethode In diesem Abschnitt wird das wichtigste Verfahren zur Lösung linearer Optimierungsprobleme eingeführt die Simplexmethode Es existiere für { min z = c T x : Ax = b, x 0 } x R n eine zulässige Basislösung mit x > 0 Definition 41 Simplex Ein Simplex ist die Menge aller Punkte x = x 1,, x n mit n x i 1, x i 0, i = 1,, n Für n = 2 ist das Dreieck mit den Eckpunkten 0, 0, 1, 0, 0, 1 ein Simplex Bild Das geometrische Prinzip der Simplexmethode ist wie folgt: 1 Man beginnt an einer Ecke des zulässigen Bereichs mit einer Startlösung x 1 und dem Zielfunktionswert zx 1 2 Dann geht man entlang einer absteigenden Kante, dass heisst, bei welcher der Zielfunktionswert kleiner wird, zx 1 > zx 2 zu einer sogenannten benachbarten Ecke x 2 3 Wiederhole Schritt 2 so lange, bis es keine absteigende Kante mehr gibt Wir werden später diskutieren, dass man auch Simplexschritte ausführen kann, bei denen der Zielfunktionswert gleich bleibt In diesem Fall ist die Beschreibung des zweiten Schritts auch abzuändern, da man nicht zu einer benachbarten Ecke geht, sondern auf der gegebenen Ecke die Basis ändert Diese Situation kann im Falle der Ausartung eintreten Man nennt zwei Basislösungen benachbart, wenn sie sich nur in einem Basisvektor unterscheiden Sei x = x 1,, x m, 0,, 0 T eine erste zulässige Basislösung Es gilt a 1 x 1 + a 2 x a m x m = b 41 Dabei sind {a 1,, a m } linear unabhängige Vektoren Der Zielfunktionswert ist demzufolge z 0 = c 1 x c m x m 42 17

2 Alle Nichtbasisvektoren a m+1,, a n werden durch die Basis dargestellt a j = x 1j a x mj a m, j = m + 1,, n 43 Mit diesen Darstellungskoeffizienten x ij werden die Hilfsgrößen eingeführt z j = c 1 x 1j + c 2 x 2j + + c m x mj, j = m + 1,, n, 44 Satz 42 Hauptsatz der Simplexmethode Sei z 0 der Wert der Zielfunktion für die zulässige Basislösung x = x 1,, x m, 0,, 0 T, x i > 0, i = 1,, m Gilt für ein festes j = k, j = m + 1,, n, dass z k c k > 0, so existiert wenigstens eine zulässige Basislösung mit einem Zielfunktionswert kleiner als z 0 Beweis: Sei θ > 0 vorerst beliebig gewählt Man multipliziere 43 und 44 für j = k mit θ und bilde 41 - θ 43 und 42 - θ 44: a 1 x 1 θx 1k + a 2 x 2 θx 2k + + a m x m θx mk + θa k = b, 45 c 1 x 1 θx 1k + c 2 x 2 θx 2k + + c m x m θx mk + θc k = z 0 θz k + θc k = z 0 + θ c k z k 46 In der Gleichung 45 steht ein Vektor, der Ax = b erfüllt: x 1 θx 1k,, x m θx mk, 0,, θ,, 0 T Es wird in Lemma 43 gezeigt, dass man mit diesem Vektor eine Basislösung erhält Man hätte eine zulässige Basislösung, wenn x i θx ik 0, i = 1,, m Der zugehörige Zielfunktionswert ist durch die Gleichung 46 gegeben Er ist kleiner als z 0 falls θ > 0 und z k c k > 0 Unter der Annahme, dass der Hauptsatz bereits vollständig bewiesen ist, haben wir ein hinreichendes Kriterium um zu entscheiden, ob es eine zulässige Basislösung mit einem kleineren Zielfunktionswert gibt Man benötigt jetzt noch eine Methode zur Konstruktion dieser zulässigen Basislösung Diese erfolgt mit Hilfe von θ Diese Größe wird definiert durch θ = min,,m,x ik >0 x i x ik =: x l 47 Damit das funktioniert, brauchen wir ein x ik > 0 Falls es kein solches x ik gibt, dann folgt, dass die Zielfunktion nach unten unbeschränkt ist Man kann nämlich in diesem Fall θ beliebig groß wählen, da stets x i θx ik 0 Aus 46 folgt dann, dass unter der Bedingung c k z k < 0 die Zielfunktion unbeschränkt nach unten ist Fazit: Falls für ein z k c k > 0 alle x ik 0, dann ist die Zielfunktion nicht von unten beschränkt und man breche die Simplexmethode ab Wenn man Entartung ausschließt, dann ist θ eindeutig bestimmt, das heißt, das Minimum in 47 wird für genau einen Index l angenommen Es gilt auch die Umkehrung, dass falls der Index l in 47 nicht eindeutig bestimmt ist, dann hat man Ausartung Ausartung kann zur Folge haben, dass gilt zx i = zx i+1 = Das nennt man einen Basiszyklus Sei der Index l in 47 eindeutig bestimmt Dann hat man a 1 x 1 x l + + a l 1 x l 1 x l +a l+1 x l+1 x l x l+1,k x 1k + + a m x m x l x mk 18 x l 1,k + x l a k = b,

3 und die neue zulässige Lösung ˆx i = x i x l x ik, i = 1,, m, i l, ˆx k = x l 48 Alle Komponenten sind auf Grund der Konstruktion nichtnegativ und bei Ausschluss der Entartung sogar positiv Man hat also die Komponente x l aus der Basisliste gestrichen und durch die Komponente x k ersetzt Es gilt also, 48 ist eine zulässige Lösung mit einem kleineren Zielfunktionswert als die ursprüngliche Lösung Damit bleibt nur noch die Basiseigenschaft von {a 1,, a l 1, a k, a l+1,, a m } zu prüfen Lemma 43 Sei {w 1,, w m } ein System linear unabhängiger Vektoren und sei w = m µ i w i, µ l 0 49 Dann ist auch {w 1,, w l 1, w, w l+1, w m } ein System linear unabhängiger Vektoren Beweis: Indirekter Beweis Sei {w 1,, w l 1, w, w l+1, w m } kein System linear unabhängiger Vektoren Dann gibt es Zahlen α 1,, α l 1, α l+1,, α m, α, von denen wenigstens eine ungleich Null ist, so dass m,i l α i w i + αw = 0 In diese Gleichung wird 49 eingesetzt Es folgt m,i l α i + αµ i w i + αµ l w l = 0 Die Vektoren {w 1,, w m } sind linear unabhängig, das heißt, alle Koeffizienten in dieser Gleichung müssen Null sein Wegen µ l 0 folgt dann α = 0 und daraus α i = 0 für alle i Damit ist gezeigt, dass {w 1,, w l 1, w, w l+1, w m } ein System linear unabhängiger Vektoren ist Damit ist die Basiseigenschaft von {a 1,, a l 1, a k, a l+1,, a m } gewährleistet Im allgemeinen ist der Hauptsatz der Simplexmethode solange anzuwenden, wie noch wenigstens ein z k c k > 0 ist Dabei kann man im allgemeinen nicht erwarten, falls noch q Größen z j c j > 0 existieren, dass man noch q Schritte auszuführen hat Gilt für alle z j c j 0, j Index von Nichtbasisvariablen, so ist man in dem Sinne fertig, dass der Hauptsatz nicht mehr anwendbar ist Der Hauptsatz gibt aber bisher nur ein hinreichendes und kein notwendiges Kriterium für die Existenz einer Basislösung mit einem kleineren Zielfunktionswert Im folgenden Satz wird gezeigt, dass das Kriterium auch notwendig ist Satz 44 Optimalitätskriterium Eine zulässige Basislösung x R n mit z 0 x = m c ix i ist optimale Basislösung, wenn für alle j = m + 1,, n gilt z j c j 0 Beweis: Sei x = x 1,, x m, 0,, 0 T Des weiteren sei y = y 1,, y n T eine beliebige zulässige Lösung a 1 y 1 + a 2 y a n y n = b, y 0, 410 n mit z = c i y i

4 Zu zeigen ist, dass z 0 z für alle y Durch 43 ist jeder Nichtbasisvektor mit Hilfe der Basis dargestellt Jetzt wird diese Darstellung auf die Basisvektoren ausgedehnt wobei a j = x 1j a x mj a m, j = 1,, n, x ij = { 1 für i = j 0 für i j, i = 1,, m 412 Weiter gilt die Darstellung 44 für z j, j = m + 1,, n Mit 412 hat man eine analoge Darstellung für j = 1,, m, die sich letztlich auf z j = c j reduziert Zusammen mit der Voraussetzung gilt jetzt z j c j, j = 1,, n Mit 411 folgt nun n z i y i z 413 Nun wird in 410 die Darstellung aller Spaltenvektoren durch die ersten m Spaltenvektoren eingesetzt y 1 m x i1 a i + y 2 m x i2 a i + + y n Durch Umordnung nach den Basisvektoren folgt a 1 n y j x 1j + a 2 n y j x 2j + + a m m n x in a i = b y j x mj = b 414 Analog schreibt man 413 mit Hilfe von 44 und der entsprechenden Darstellung für j = 1,, m, mit 412 z j = c j, j = 1,, m c 1 n y j x 1j + c 2 n y j x 2j + + c m n Der Vektor x ist eine zulässige Basislösung, das heißt, es gilt y j x mj z 415 a 1 x 1 + a 2 x a m x m = b 416 Da {a 1,, a m } eine Basis ist, ist die Darstellung von b mit Hilfe dieser Vektoren eindeutig Damit folgt aus 414 und 416 x i = n y j x ij, i = 1,, m Setzt man dies in 415, so erhält man z 0 = m c i x i z An dieser Stelle sollen die Ergebnisse und Beobachtungen dieses Abschnitts zusammengefasst werden: min x R n{c T x : Ax = b, x 0} ist zu lösen Man braucht eine erste Basis A B = a 1,, a m mit der Basislösung x B = x 1,, x m T Damit hat man auch einen Nichtbasisanteil A N = a m+1,, a n und x N = x m+1,, x n T Auch der Kostenvektor wird in dieser Form zerlegt c T = c T B, ct N = c1,, c m, c m+1,, c n T 20

5 Aus Ax = b folgt A B x B + A N x N = b = x B = A 1 B b A 1 B A N x N Dieser Ausdruck wird in die zu minimierende Zielfunktion eingesetzt c T B A 1 B b A 1 B A N x N + c T N x N min Das heisst c T x = c T B A 1 B }{{ b c T B } A 1 B A N c T N xn min konstant 1 Fall: β = c T B A 1 B A N c T N < 0 Dann folgt c T x = c T BA 1 B b β m+1 }{{} <0 x m β }{{} n <0 x n min Das heißt, der Zielfunktionswert kann mit x i > 0 für i = m + 1,, n nicht verkleinert werden Damit hat man Optimalität erreicht 2 Fall: c T B A 1 B A N c T N 0 und β j = 0 für mindestens einen Index j Dann ist das Optimum nicht eindeutig bestimmt 3 Fall: c T B A 1 B A N c T N 0 Dann bewirkt die Aufnahme einer Nichtbasisvariablen in die Basis eine Verkleinerung der Zielfunktion Nun ist noch die Frage zu klären, welche Nichtbasisvariable man in die Basis aufnehmen soll, falls es mehrere Indizes j mit z j c j > 0 gibt In diesem Falle wähle man z k c k = max z j c j j NBV,z j c j>0 Der Index der Basisvariablen, die aus der bisherigen Basis entfernt werden soll, ist durch 47 gegeben 21

6 Kapitel 5 Die Simplexmethode Es werden folgende Bezeichnungen verwendet: - das untersuchte Problem ist min x R n { z = c T x : Ax = b, x 0 }, - die erste zulässige Basislösung sei x = x 1, x 2,, x m, 0,, 0 T, x 0, mit z 0 = c T x, - die Basisvektoren sind A B = a 1,, a m, - die Nichtbasisvektoren sind A N = a m+1,, a n, - die Darstellung der Nichtbasisvektoren durch die Basis ist - die Hilfsgrößen z j sind a j = x 1j a 1 + x mj a m, j = m + 1,, n, z j = c 1 x 1j + c 2 x 2j + + c m x mj, j = m + 1,, n Diese Größen werden in der sogenannten Simplextabelle eingetragen: m + 1 m + 2 k n i c i x i c m+1 c m+2 c k c n 1 c 1 x 1 x 1,m+1 x 1,m+2 x 1,k x 1,n 2 c 2 x 2 x 2,m+1 x 2,m+2 x 2,k x 2,n l c l x l x l,m+1 x l,m+2 x l,k x l,n m c m x m x m,m+1 x m,m+2 x m,k x m,n z 0 z m+1 c m+1 z m+2 c m+2 z k c k z n c n Basisteil Nichtbasisteil Bei der Simplexmethode folgt man jetzt im wesentlichen dem Beweis des Hauptsatzes Sei z k c k > 0 Gilt für mehrere Indizes j {m+1,, n}, dass z j c j > 0, so nehme man zum Beispiel einen Index, bei dem die Differenz maximal ist z k c k := max z j c j j=m+1,,n, Dann liegt x k als Nichtbasisvariable vor, die in die Basis soll Nun bestimmt man θ = das heißt, x l soll aus der Basis raus min,,m,x ik >0 x i x ik =: x l, 22

7 Definition 51 Hauptspalte, Hauptzeile, Hauptelement, Pivotelement Die Spalte k nennt man Hauptspalte, die Zeile l heißt Hauptzeile und das Element heißt Hauptelement oder Pivotelement Die neue Basislösung sei ˆx 1,, ˆx l 1, ˆx k, ˆx l+1,, ˆx m, 0,, 0 T 51 Nun müssen die Elemente der neuen Simplextabelle bestimmt werden: 1 Man benötigt insbesondere eine Darstellung von 51 Aus 48 erhält man 2 Aus 43 folgt für j = k ˆx i = x i x l x ik, i = 1,, m; i l; ˆx k = x l 52 a l = 1 a k x 1k a 1 x l 1,k a l 1 x l+1,k a l+1 x mk a m = x 1k a 1 x l 1,k a l 1 + a k x l+1,k a l+1 x mk a m 53 x m Damit haben wir eine Darstellung des bisherigen Basisvektors a l durch die neue Basis und die neuen Elemente der alten Hauptspalte sind ˆx kl = 1, ˆx il = x ik, i = 1,, m, i k 54 3 Für den Rest erhält man, beispielhaft an a n gezeigt, die folgende Darstellung, wobei man in der ersten Gleichung die alte Basisdarstellung 43 nutzt: a n = x 1n a x l 1,n a l 1 + x l+1,n a l x mn a n + x ln a l }{{} = x 1n x 1kx ln + + Man erhält also a x mn x mkx ln a m x l 1,n x l 1,kx ln 53 a l 1 + x ln a k ˆx kj = x lj, j = m + 1,, n, j k, 55 ˆx ij = x ij x lj x ik, x }{{} lk ˆx kj i = 1,, m, i k, j = m + 1,, n, j l56 4 Die Elemente z 0, z m+1 c m+1,, z n c n transformieren sich ebenfalls nach den obigen Regeln Damit sind alle Elemente der neuen Simplextabelle berechnet Zur Berechnung von ˆx ij benötigt man die im Rechteck angeordneten Elemente x ij, x lj, und x ik der alten Simplextabelle Deshalb spricht man auch von der Rechteckregel Die Basisform der Simplexmethode ist wie folgt: 23

8 1 Normalform des linearen Programms herstellen 2 erste zulässige Basislösung angeben 3 Simplextabelle zu dieser Basislösung erstellen 4 Existieren Bewertungen z j c j > 0? Wenn ja, gehe zu 6 5 Sind alle Bewertungen z j c j < 0? Wenn ja, einzige Optimallösung gefunden, Simplexmethode beendet Wenn nicht, gibt es außer negativen Bewertungen z j c j nur noch verschwindende, dann ist das Optimum nicht eindeutig Man hat ein Optimum gefunden, beende Simplexmethode 6 Wähle die Hauptspalte, also die Spalte, zu der das größte z j c j > 0, j = k gehört 7 Falls x ik 0 für alle i = 1,, m, so ist die Zielfunktion nach unten nicht beschränkt, beende Simplexmethode 8 Bestimme θ zur Festlegung der Hauptzeile und des Pivotelements 9 Basistransformation: 91 Ersetze das Pivotelement durch seinen Kehrwert, siehe Multipliziere die übrigen Elemente der Hauptzeile mit diesem Kehrwert, einschließlich x l, siehe 52 und Multipliziere die übrigen Elemente der Hauptspalte mit dem negativen Kehrwert, siehe Vermindere die nicht in einer Hauptreihe stehenden Elemente, einschließlich der übrigen Werte von x i und der letzten Zeile, um das Produkt der zugehörigen Hauptreihenelemente Rechteckregel Dabei nimmt man für das Pivotelement schon den neuen Wert und für die übrigen Elemente die alten Werte, siehe 52 und Gehe zu 4 Beispiel 52 Wir betrachten das lineare Programm z = 3x 1 2x 2 4x 3 x 4 min x x 2 x x 4 = x x 6 x 7 x 0 Bekannt sei eine erste zulässige Basislösung x 1 = 350, x 4 = 25, x 7 = 100, die den Zielfunktionswert z = 1075 besitzt Die Basisvektoren sind demzufolge a 1 = 2 1 1, a 4 = 0 2 2, a 7 = Gesucht ist nun die Darstellung der Nichtbasisvektoren durch die Basisvektoren Setze A B = a 1, a 4, a 7 und A N = a 2, a 3, a 4, a 5 Dann ist die Matrix X der Simplexkoeffizienten gesucht, für die gilt Man erhält hier A N = A B X = X = A 1 B A N X = 1 3/2 1/ /4 1/4 1/

9 Daraus ergibt sich und somit z 2 = c 1 x 12 + c 4 x 42 + c 7 x 72 = = 4, z 3 = 9/2 + 3/4 + 0 = 15/4, z 5 = 3/2 + 1/4 + 0 = 5/4, z 6 = 0 1/2 + 0 = 1/2 z 2 c 2 = 2, z 3 c 3 = 1/4, z 5 c 5 = 5/4, z 6 c 6 = 1/2 Damit erhält man folgende Simplextabelle: i c i x i /2 1/ /4-1/4 1/ /4-5/4-1/2 Es gibt nur einen Index k mit z k c k > 0, nämlich k = 3 Damit ist die Hauptspalte bestimmt Schritt 6 Zur Bestimmung der Hauptzeile Schritt 8 berechnet man θ: { xi 350 θ = min = min x i3>0,i {1,4,7} 3/2, 100 } = 20 5 x i3 für i = 7 Damit ist der Hauptzeilenindex l = 7 und das Pivotelement x 73 = 5 Nun führt man die Basistransformation aus Schritt 9: i c i x i /5-3/10 1/2 3/ /10 3/20-1/4 7/ /5 1/5 0-1/ /10-1/20-5/4-9/20 Den neuen Wert für x 1 erhält man beispielsweise aus x 1 = = = Da in der neuen Simplextabelle alle Werte z j c j < 0, j {2, 5, 6, 7}, hat man die einzige Optimallösung bestimme: x = 320, 0, 20, 40, 0, 0, 0 T Bemerkung 53 Angenommen, man hat in einer Simplextabelle mehrere z j c j > 0 Zu einer dieser Spalten mögen nur Koeffizienten x ij 0 gehören Dann ist die Zielfunktion unbeschränkt Beispiel 54 Zur Ausartung Wir betrachten das lineare Programm z = x 1 min x 1 x 2 1 x 3 = 4 x 4 x 0 25

10 Eine zulässige Basislösung, die gleichzeitig ein Optimum ist, ist x = 1, 0, 0, 0 T Wir nehmen als Basisvariablen x 1 und x 2 Da x 2 verschwindet, ist die Basislösung ausgeartet Man hat A B = und erhält die Simplextabelle , A N = i c i x i /3 1/ /3-1/3-1 1/3-1/3 Gemäß Simplexmethode muss x 3 in die Basis anstelle von x 2 eingeführt werden Man erhält die Simplextabelle 2 4 i c i x i /4 1/ /4-1/4-1 -1/4-1/4 Damit ist das Optimalitätskriterium der Simplexmethode erfüllt und diese wird beendet Man hat für das Optimum x = 1, 0, 0, 0 T mit diesen beiden Simplextabellen zwei unterschiedliche Basisdarstellungen Der Zielfunktionswert hat sich im Simplexschritt nicht verändert, es wurde lediglich die Basis gewechselt 26