2 Das Marktmodell C1(WS08/09) [2] 1

Transkript

1 2 Das Marktmodell 2.1 Ein allgemeines Finanzmarktmodell 2.2 Aufsteigende Systeme von σ-algebren und adaptierte Prozesse 2.3 Elementare Handelsstrategien im Finanzmarktmodell 2.4 Die σ-algebra der previsiblen Mengen und previsible Prozesse 2.5 Elementare Handelsstrategien sind previsibel 2.6 Claims und Derivate 2.7 Arbitragefreiheit eines Finanzmarktmodells 2.8 Absicherbare Claims Unser Hauptziel wird sein, arbitragefreie Preise für Optionen zu bestimmen und den Zusammenhang mit absichernden, selbstfinanzierenden Handelsstrategien aufzuzeigen. Im Gegensatz zu Forwards sind Preisbestimmungen bei Optionen jedoch nur möglich, wenn das zugehörige Finanzmarktmodell spezifiziert wird. Wir betrachten einen Finanzmarkt an dem (g + 1)-viele Wertpapiere gehandelt werden. Die möglichen Handelszeitpunkte seien durch ein Intervall [0, T ] gegeben. Man spricht von einem Finanzmarktmodell mit stetiger Zeit. Zum Zeitpunkt 0 seien alle Kurse dieser g + 1 Wertpapiere bekannt, wir bezeichnen sie mit S 0 = (S0 0, S1 0,..., Sg 0 ). Die unbekannten Kurse zu einem späteren Zeitpunkt t ]0, T ] werden mit S t = (St 0,..., Sg t ) bezeichnet. Da die Kurse zu einem späteren Zeitpunkt unbekannt sind, modellieren wir sie als Zufallsvariable über einem W-Raum (Ω, A, P ). Es beschreibt St i den Preis des i-ten Finanzguts zum Zeitpunkt t. Die g + 1 Finanzgüter werden in der Regel als Basisgüter aufgefasst. Die arbitragefreien Preise für daraus abgeleitete Derivate, z. B. Puts und Calls auf diese Basisgüter, sollen mit Hilfe der Preise der Basisgüter ermittelt werden. 2.1 Ein allgemeines Finanzmarktmodell Es sei (Ω, A, P ) ein W-Raum und (A t ) t [0,T ] ein aufsteigendes System von σ- Algebren mit A t A und (1) A 0 A 0 P (A 0 ) = 0 oder P (A 0 ) = 1; (2) S t : Ω R g+1 sind A t -messbar für t [0, T ]; (3) (S i t ) t [0,T ] sind stetige Semimartingale für i = 0,..., g; (4) St 0 (ω) > 0 für alle t [0, T ], ω Ω. C1(WS08/09) [2] 1

2 Finanzmathematik I Die 0-te Anlage spielt eine gewisse Sonderrolle. Sie ist der Vergleichsmaßstab (Numéraire) für die anderen Finanzgüter. So wird meistens der DAX 30 als Vergleichsmaßstab gewählt, wenn man eine Aussage über die Performance einer speziellen Aktie des DAX 30 machen will. Häufig jedoch handelt es sich bei der 0-ten Anlage um eine festverzinsliche Anlage oder Staatsanleihe, die man als vollkommen risikolos annimmt. Man nimmt dann für den Werteverlauf der 0-ten Anlage S 0 t = S0 0 ert, t [0, T ] an, wobei r der feste und risikolose, kontinuierliche Zinssatz ist. Etwas allgemeiner ist der Ansatz S 0 t = S0 0 e t 0 r(s)ds mit einer über [0, T ] integrierbaren, reellwertigen Funktion r. Die Informationen, die bis zum Zeitpunkt t zur Verfügung stehen, sollen durch die σ- Algebra A t beschrieben werden. A t beschreibt dann das System der Ereignisse die bis zum Zeitpunkt t beobachtbar sind. Daher ist es plausibel anzunehmen, dass gilt: (A) A s A t für s t. Da uns insbesondere zum Zeitpunkt t die Preise der Finanzgüter S s für s t zur Verfügung stehen, fordern wir die A t Messbarkeit von S s für s t. Erfüllen die A s die Bedingung (A), so reicht es aus, S t als A t -messbar vorauszusetzen. Setzt man A S t := σ(s s : s t) := A σ ( s t S 1 s (B g+1 )), so ist also A S t die kleinste σ-algebra bzgl. derer alle S s für s t messbar sind. Es ist A s t = (S s) 1 s t ((Bg+1 ) [0,t] ); siehe Übungsaufgabe 12. Die A t-messbarkeit von S t für alle t [0, T ] ist dann äquivalent zu A S t A t. Wählt man A t := A S t, so ist A 0 = {, Ω} und somit sind Bedingungen (1) und (2) automatisch erfüllt. 2.2 Aufsteigende Systeme von σ-algebren und adaptierte Prozesse Sei A eine σ-algebra über Ω und I R. (i) (ii) Dann heißt (A t ) t I ein aufsteigendes System von σ-algebren oder eine Filtration, wenn alle A t A σ-algebren sind mit s, t I und s < t A s A t. Seien X t : Ω R g+1 für t I Abbildungen. Dann heißt (X t ) t I zu (A t ) t I adaptiert, wenn X t A t, B(R g+1 )-messbar für jedes t I ist. In unserem Finanzmarktmodell ist also (S t ) t [0,T ] eine zu (A t ) t [0,T ] adaptiertes System von Zufallsvariablen S t : Ω R g+1. Oftmals wird der Preisprozess in der folgenden Form modelliert und für i = 1,..., g S 0 t = S0 0 ert St i = Si 0 exp(µ it + n j=1 [σ ijb j t 1/2σ2 ijt]), t [0, T ]. [2] 2 C1(WS08/09)

3 Das Marktmodell Die Aktienkurse sind also ein Produkt aus dem mittleren Kurs S0 i exp(µ it) und einem Martingal exp( n j=1 [σ ijb j t 1/2σ2 ijt]), t [0, T ] mit Erwartungswert 1. Hierbei tauchen folgende neuen Begriffe auf: 1) (Bt 1,..., Bn t ) t [0, [ ist eine Brownsche Bewegung, auch Wiener-Prozess genannt. 2) der Martingalbegriff; hierbei heißt (X t ) t [0, [ Martingal bzgl. (A t ) t [0, [, wenn E(X t A s ) = X s für s < t ist. 3) Hierbei ist E(X t A s ) der bedingte Erwartungswert von X t gegeben A s. Wir werden daher im nächsten Paragrafen zunächst auf bedingte Erwartungswerte, und dann im übernächsten Paragrafen auf Martingale eingehen. Im 5 betrachten wir spezielle stochastische Prozesse, insbesondere die Brownsche Bewegung. Im Folgenden soll klar gemacht werden, dass wir sowohl für den Begriff einer selbstfinanzierenden Handelsstrategie als auch für die Definition des Gewinnprozesses einen neuen Integralbegriff, das Ito-Integral benötigen. Diesen werden wir im 6 behandeln. Der Investor hat zu jedem Zeitpunkt t die Möglichkeit sein Portfolio zusammenzustellen. Es soll H t = (Ht 0,..., Hg+1 t ) das Portfolio zum Zeitpunkt t beschreiben. Ht i : Ω R gibt also an, wieviele Anteile des i-ten Finanzguts man zur Zeit t hält. Man stellt sich im einfachsten Fall vor, dass man nur zu festen Zeiten 0 = t 0 < t 1... < t n 1 sein Portfolio neu zusammenstellt. Man gelangt hiermit zum Begriff der elementeren Handelsstrategie. 2.3 Elementare Handelsstrategien im Finanzmarktmodell H = (H t ) t [0,T ] heißt elementare Handelsstrategie (bzgl. der Filtration (A t ) t [0,T ] ), wenn gilt: (α) Es existiert eine Zerlegung 0 = t 0 < t 1 <... < t n = T der Zeitparametermenge und (β) es existieren Funktionen h i für i = 0,..., n 1 (γ) mit h i : Ω R g+1 sind A ti, B g+1 -messbar H 0 = h 0 und H t = h i für t i < t t i+1 für i = 0,..., n 1. Also ist H t = 1 {0} (t)h 0 + n 1 i=0 1 ]ti,t i+1 ](t)h i. Entsprechend definiert man den Begriff der elementaren Handelsstrategie (H t ) t [0, [ bzgl. einer Filtration (A t ) t 0. Man streicht in (α) nur die Bedingung t n = T. Die Vorstellung ist hierbei die Folgende: Man startet mit dem Portfolio H 0 = h 0 zum Zeitpunkt 0, und hält dieses Portfolio bis einschließlich des Zeitpunkts t 1, man schichtet unmittelbar nach dem Zeitpunkt t 1 in das Portfolio h 1 um, und hält dieses Portfolio wieder bis einschließlich des Zeitpunkts t 2, C1(WS08/09) [2] 3

4 Finanzmathematik I unmittelbar danach schichtet man das Portfolio wiederum um. Die letzte Umstellung des Portfolios erfolgt unmittelbar nach dem Zeitpunkt t n 1. h 0 h 1 h 2 h n 1 0 = t 0 t 1 t 2 t 3 t n 1 t n = T Die Messbarkeitsannahmen sind hier entscheidend. Bei der Zusammenstellung des Portfolios zum Zeitpunkt 0 steht nur die Information A 0 zur Verfügung. Bei der Umschichtung des Portfolios unmittelbar nach den Zeitpunkten t 1,..., t n 1 stehen immer nur die Informationen A t1,..., A tn 1 zur Verfügung. Es muss also h i A ti -messbar sein. Ist z. B. A t = A S t, so ist h i = f((s s ) s ti ) mit einer Borel-messbaren Funktion f, und hängt also nur von den Kursen bis zum Zeitpunkt t i ab. (Zur Darstellung von h i = f((s s ) s ti ) siehe 3.15 und beachte, dass h i (A S t i =)Y 1 (C), B g+1 -messbar ist mit Y := (S s ) s ti und C := (B g+1 ) [0,t i] ). Der in 2.3 definierte Prozess (H t ) t [0,T ] ist nach 2.5 previsibel im Sinne der Definition 2.4 (ii). 2.4 Die σ-algebra der previsiblen Mengen und previsible Prozesse Es sei (A t ) t [0,T ] eine Filtration. Es heißt (i) P T 0 = A σ({]s, t] A s : 0 s < t T, A s A s }) die σ-algebra der previsiblen (vorhersehbaren) Mengen über ]0, T ] Ω. (ii) X t : Ω R g+1, t [0, T ], heißt previsibel, wenn ]0, T ] Ω (t, ω) X t (ω) P T 0, B(Rg+1 )-messbar und X 0 A 0, B(R g+1 )-messbar ist. Betrachten wir nun elementare Handelsstrategien im Sinne der Definition 2.3, so gilt: 2.5 Elementare Handelsstrategien sind previsibel Sei H = (H t ) t [0,T ] eine elementare Handelsstrategie bzgl. der Filtration (A t ) t [0,T ], dann ist H previsibel. Beweis. Übungsaufgabe 10. Der Begriff der elementaren Handelsstrategie ist für ein sogenanntes zeitdiskretes Modell ausreichend. Bei einem solchen n-perioden-modell liegen die Handelszeitpunkte 0 = t 0 < t 1... < t n 1 im Voraus fest und der Endzeitpunkt ist durch t n = T gegeben. Im zeitstetigen Modell wird man statt solcher elementaren Handelsstrategien previsible Prozesse (H t ) t [0,T ] zulassen, die gewissen Integrierbarkeitsbedingungen genügen sollen. [2] 4 C1(WS08/09)

5 Das Marktmodell Wir betrachten zunächst eine einzige Anlage mit der Kursentwicklung (S t ) t [0,T ]. Wir wollen nun den Gewinn oder Verlust bestimmen zu dem unsere elementare Handelsstrategie (H t ) t [0,T ], mit H t : Ω R, führt. Unmittelbar nach dem Zeitpunkt t i für i = 0,..., n 1 investieren wir h i S ti und besitzen zum Zeitpunkt t i+1 den Geldbetrag h i S ti+1. Unser Gewinn in der Zeitperiode ]t i, t i+1 ] ist also h i (S ti+1 S ti ). Der Gesamtgewinn bis zum Zeitpunkt T ist daher G T (ω) := n 1 i=0 h i (ω)(s ti+1 (ω) S ti (ω)) = n 1 Es lässt sich G T (ω) auffassen als Riemann-Stieltjes Integral T G T (ω) = H t (ω)s(dt, ω), welches man sich punktweise für jedes ω Ω erklärt denkt. 0 i=0 H ξi (ω)(s ti+1 (ω) S ti (ω)) mit ξ i ]t i, t i+1 ]. Sind nun wieder (g + 1)-Anlagen wie in 2.1 gegeben, so ist der Wert (Value) der Handelsstrategie H = (H t ) t [0,T ] zum Zeitpunkt t gegeben durch (mit H t = (H 0 t,..., Hg t ) ) V H t := g H j t Sj t. j=0 Es berechnet sich der Gesamtgewinn einer elementaren Handelsstrategie bis zum Zeitpunkt T durch also durch das Integral g n 1 j=0 i=0 h j i (ω)(sj t i+1 (ω) S j t i (ω)) g T T H j t Sj (dt, ω) =: j=0 0 0 H t (ω)s(dt, ω). Eine Handelsstrategie H = (H t ) t [0,T ] nennt man selbstfinanzierend, wenn außer der Anfangsinvestition V0 H kein weiteres Kapitel investiert oder herausgezogen wird. Zu den Handelszeitpunkten t 1,..., t n 1 wird also weder Geld hinzugefügt noch herausgezogen, es wird das Portfolio nur wertneutral umgeschichtet. Zu einem Zeitpunkt t ]0, T ] ist der Wert Vt H dann gegeben durch V0 H plus dem Gewinn bzw. Verlust t 0 H s(ω)s(ds, ω). Daher nennt man H = (H t ) t [0,T ] selbstfinanzierend, wenn Vt H (ω) = V0 H + t 0 H s(ω)s(ds, ω) für alle t [0, T ] ist. Denken wir an die Optionen des 1, z.b. Calls and Puts, so zahlte der Käufer zum Zeitpunkt 0 einen Optionspreis. Der Verkäufer der Optionen benutzt dann den Optionspreis, um sich eine selbstfinanzierende Handelsstrategie mit diesem Anfangsinvestment so auszusuchen, dass zum Zeitpunkt T die Option dupliziert wird. Auch hier taucht also schon der Begriff der selbstfinanzierenden Handelsstrategie auf. Nun reicht aber der Begriff der elementaren Handelsstrategie nicht aus, um die an den Finanzmärkten üblichen Strategien zu Portfolioanpassungen darzustellen, da diese Anpassungen von den Preisprozessen C1(WS08/09) [2] 5

6 Finanzmathematik I S t abhängen und somit i.a. zu zufallsabhängigen Zeitpunkten stattfinden, und nicht nur zu den a priori vorgegebenen Zeitpunkten t 1,..., t n 1. Diese Überlegung führt zu der Frage, wie man ein geeignetes mathematisches Konzept der Handelsstrategie findet, welches 1) reale Handelsstrategien umfasst, 2) den Gewinn einer selbstfinanzierenden Handelsstrategie zur Zeit t in Form eines geeigneten Integrals t 0 H sds s beschreibt, 3) so dass insbesondere diese Handelsstrategien bzgl. der interessierenden Preisprozesse (S t ) t [0,T ] integrierbar sind.. Besitzt H stetige Pfade, d. h. ist [0, T ] t H t (ω) stetig für alle ω Ω und ist [0, T ] t S t (ω) von beschränkter Variation für alle ω Ω, so kann man t 0 H s(ω)s(ds, ω) für jedes ω Ω als Riemann-Stieltjes Integral definieren. Jedoch sind die üblichen Preisprozesse (S t ) t [0,T ] in zeitstetigen Finanzmarktmodellen nicht von beschränkter Variation, da diese Preisprozesse häufig von Brownschen Bewegungen abgeleitet sind. Die Pfade einer Brownschen Bewegung sind P -f.s. nicht von beschränkter Variation, daher kann das interessierende Integral t 0 H sds s nicht pfadweise für jedes ω Ω gebildet werden. Dies führt zur Bildung des Ito-Integrals. Unser Ziel ist die Bewertung von Claims bzw. Derivaten. Hierzu definieren wir: 2.6 Claims und Derivate In dem Finanzmarktmodell 2.1 heißt jede A T -messbare Abbildung C : Ω R ein Claim. Ist C sogar A S T := σ(s t : t [0, T ]) messbar, so nennt man C ein Derivat. Eine Abbildung C : Ω R ist nach 3.15 genau dann ein Derivat, wenn es eine Abbildung gibt, die Borel-messbar ist mit f : (R g+1 ) [0,T ] R C = f (S t ) t [0,T ], d.h. mit C(ω) = f((s t (ω)) t [0,T ] ) für alle ω Ω. Daher Käufer des Derivats erhält also zum Zeitpunkt die Auszahlung C(ω) = f((s t (ω)) t [0,T ] ) mit vereinbarter Funktion f. Offensichtlich sind ein Call C(ω) = (S T (ω) K) + und ein Put P (ω) = (K S T (ω)) + Beispiele für Derivate. Es handelt sich hierbei um spezielle Derivate, da diese Claims sogar von der Gestalt C(ω) = f(s T (ω)) sind, also nur vom Endkurs abhängen. Der Up-and-in europäische Call ist ein Beispiel für ein Derivat (siehe 1.15), welches vom gesamten Pfad (S t (ω)) t [0,T ] abhängt. Die Tauschoption (siehe 1.16) ist ein Beispiel für ein Derivat, welches von zwei Finanzgütern mit der Preisentwicklung (S t ) t [0,T ] = (St 1, S2 t ) t [0,T ] abhängt. [2] 6 C1(WS08/09)

7 Das Marktmodell Ziel ist nun die Bewertung von Derivaten in arbitragefreien Finanzmarktmodellen. Man nennt eine Handelsstrategie H regulär, wenn es ein c R gibt mit Vt H c für alle t [0, T ]. Hiermit definiert man 2.7 Arbitragefreiheit eines Finanzmarktmodells Das Finanzmarktmodell heißt arbitragefrei, wenn für jede reguläre, selbstfinanzierende Handelsstrategie H = (H t ) t [0,T ] gilt V H 0 = 0 und V H T 0 P -f.s. V H T = 0 P -f.s. In dieser Definition und in der folgenden benötigen wir den Begriff der selbstfinanzierenden Handelsstrategie und damit das Ito-Integral. Ein Derivat ist besonders einfach zu bewerten, wenn es absicherbar ist. 2.8 Absicherbare Claims Wir betrachten ein arbitragefreies Finanzmarktmodell. Ein nach unten beschränkter Claim C heißt absicherbar, wenn es eine reguläre, selbstfinanzierende Handelsstrategie H = (H t ) t [0,T ] gibt mit V H T = C P -f.s. In diesem Fall sieht man V H 0 als den fairen Preis des Claims an. Der Verkäufer des Claims wählt die selbstfinanzierende Handelsstrategie und investiert zum Zeitpunkt 0 den Optionspreis V0 H. Danach schichtet der Verkäufer sein Portfolio gemäß der selbstfinanzierenden Handelsstrategie H um, und besitzt zum Endzeitpunkt T den Geldbetrag VT H. Daher kann er den Claim wegen V T H = C auszahlen. Da sich der Preis für absicherbare Claims eindeutig bestimmen lässt, sind Finanzmarktmodelle in denen eine genügend große Klasse von Claims absicherbar sind, von besonderem Interesse. Solche Finanzmarktmodelle heißen vollständig. Preise für absicherbare Claims lassen sich mit Hilfe von sogenannten risikoneutralen W-Maßen berechnen, auch wenn man die absicherbaren Handelsstrategien nicht kennt. Ein zu P äquivalentes W-Maß Q heißt risikoneutral, wenn (S t,d ) t [0,T ] mit S t,d := 1 S St 0 t ein Martingal bzgl. Q bildet. Die Existenz eines risikoneutralen W-Maßes zieht die Arbitragefreiheit nach sich. Die Umkehrung gilt nur unter gewissen zusätzlichen Bedingungen. Ist C ein absicherbarer Claim und Q ein zu P äquivalentes risikoneutrales W-Maß, so ist der Preis für den Claim C gegeben durch S0 0 C dq, ST 0 wenn C bzgl. Q integrierbar ist. Ist S 0 t = ert, so ist daher der Preis des Claims gegeben durch e rt C(ω)Q(dω). C1(WS08/09) [2] 7

8 Finanzmathematik I Bevor wir zur Bewertung von Claims kommen, benötigen wir also Kenntnisse über 1) bedingte Erwartungswerte (siehe 3), 2) Martingale (siehe 4), 3) die Brownsche Bewegung (siehe 5), 4) das Ito-Integral (siehe 6), 5) das lokale Ito-Integral (siehe 7), 6) die Integration bzgl. stetiger Semimartingale (siehe 8 und beachte 2.1(3)), 7) den Kalkül des Ito-Integrals (siehe 9). Mit diesem Rüstzeug versehen, werden wir dann im 10 ein sehr spezielles Finanzmarktmodell betrachten, das sogenannte Black-Scholes-Modell. In diesem Modell werden wir unter anderem die berühmte Black-Scholes-Formel für den Preis eines Calls und Puts herleiten. Scholes und Merton erhielten hierfür den Nobelpreis; Black war zum Zeitpunkt der Nobelpreisverleihung schon tot. Im 11 betrachten wir ein allgemeineres Modell und lineare stochastische Differentialgleichungen. Bis 6 einschließlich werden wir vermutlich in diesem Wintersemester kommen. Für 7 11 werden wir das Sommersemester benötigen. [2] 8 C1(WS08/09)