PROSEMINAR WINTERSEMESTER 2004/05

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1 . Ein Finanzmarktmoell Stochastische Finanzmärkte PROSEMINAR Manfre Schäl, Inst. f. Angewante Mathematik, Univ. Bonn. WINTERSEMESTER 24/5 Es weren einperioige Moelle zugrunegelegt (also mit einem Zeithorizont T=). Der Markt wir urch ie folgene Situation beschrieben: Es bestehen 2 Anlagemöglichkeiten jeweils zum Zeitpunkt t = : Eine er Anlagemöglichkeiten ist as Sparbuch/Bankkonto (bon), as urch en Zinssatz r beschrieben wir. Dabei wir angenommen, aß er gleiche Zinssatz r gilt, wenn man Gel anlegt un wenn man Gel leiht. Dies ist natürlich eine Moelleinschränkung. Eine Anlage von η Euro z.zt. hat z.zt. en Wert η B mit (.) B := r, B :=. Die anere Anlagemöglichkeit ist ein risikobehaftete Wertpapier (stock) z.b. Aktien oer Devisen ; sein Preis oer Kurs wir urch en Preisprozess S, t=, = S,S beschrieben. t Eine Anlage von Anteilen in as kursabhängige Wertpapier kostet z.zt. t= S Euro un hat z.zt. en Wert S. Die Anlage (η,) kostet also z.zt. t= η B S Euro un hat z.zt t= en Wert η B S. Negative Anteile entsprechen sogenannten Wertpapierleerverkäufen. D.h. etwa, aß man Aktien verkauft, ie man noch nicht besitzt, ie man also einem aneren Investor schulet. Die Größen S t weren stets als positiv angenommen. Der Unsicherheit über ie Marktentwicklung soll aurch Rechnung getragen weren, aß mehrere Möglichkeiten (Szenarios) zugelassen weren. In em hier gewählten Moell sollen genau zwei Möglichkeiten betrachten weren. Wir machen folgene Annahme: Es sei S > gegeben; es existieren zwei Zahlen < < u mit S S () := (r) S, S (u) := u (r) S, S u (r) S = S (u) (r) S = S (). Die beien möglichen Ergebnisse weren urch ie Symbole u (up) un (own) repräsentiert un in einem zweielementigen sogenannten Ergebnisraum Ω zusammengefaßt Ω = u,. Dabei gibt es also ie Möglichkeit geben, aß er Kurs steigt oer fällt. Funktionen auf Ω bezeichnen wir als Zufallsvariablen (Zva). Dabei ist S () eine Zva mit S (u) > S (r) > S ().

2 2 Investitionen können gemäß eines Portfolioplanes vorgenommen weren:.2 Definition. Ein Portfolioplan ist (hier) gegeben urch einen Wert. Dabei bezeichnet ie Anteile, ie er Investor in er Perioe hält. Gibt man ie Anfangsinvestition x vor, so ist er Stan auf em Sparbuch z.z. bestimmt urch η un η wieerum urch ie Bugetgleichungen: (.3) η S = x = η B S. Dann beschreibt η B S () en Enwert es Portfolios..4 Definition. V t (x,), t=, ist er Wertprozeß zum Plan mit (.5) V (x,) := η B S (), t=,, also V t t t (x) = x, wobei η jeweils urch (.5) festgelegt wir (S () := S ). Also ergibt sich (.6) V (x,) = x (r) S () (r) S. Es beschreibe (x,) stets einen Portfolioplan mit einer Anfangsinvestition x. Im Mittelpunkt wir ie Bewertung von Derivaten stehen. Dies sin Verträge, ie eine Zahlung X() zusichern, er sich aus er Kursentwicklung S t X() = ψ(s ()) gilt. herleiten läßt in er Weise, aß etwa Für iesen Vertrag muß z. Zt. eine Prämie (ein Preis) bezahlt weren, ie gerae ie Bewertung es Finanztitels arstellt..7 Definition. Ein Zahlungsanspruch (contingent claim) ist eine Funktion (Zva) X() auf Ω. Bei Optionen z.b. wir ieser Zahlungsanspruch X in jeem Fall nichtnegativ sein, soaß er Vertragsunterzeichner (Käufer) also ohne ie Prämie in jeem Fall einen Gewinn erzielen würe. Im klassischen Fall würe X := p X(u) X() ( r r p) r E als faire Prämie angesehen weren, wenn u mit er relativen Häufigkeit p un mit er relativen Häufigkeit p eintritt. Die Diskontierung ist nötig, weil ie Zahlung X erst in t= erfolgt.

3 3 Hier kann aber eine anere Antwort gegeben weren. Eine faire Prämie hat zwar ie obige Gestalt, aber mit einem künstlichen p*, as unabhängig von er auf em Markt beobachteten Häufigkeit p ist, ie nicht bekannt zu sein braucht. Dazu betrachten wir ie folgene Situation: Wenn er Verkäufer urch einen Vertrag eine Zahlung X = a S zusichert, so ist a S eine faire Prämie; enn offenbar kann er Verkäufer ie Prämie von a S sofort in as Wertpapier investieren un hat ann z. Zt. t= en auszuzahlenen Betrag X = a S zur Verfügung. Der Verkäufer geht ann also kein Risiko ein. Ebenso kann er Käufer anstelle es Vertrages selbst a S z.zt. t= in as kursabhängige Wertpapier investieren. In em Sinn sin also ie Prämie un er Vertrag gleichwertig. Dies gilt noch in allgemeineren Situationen..8 Definition. Ein Zahlungsanspruch X heißt erreichbar (attainable) oer uplizierbar urch (x,), wenn gilt: V (x,) = X() für einen Plan un eine Anfangsinvestition x..9 Definition. In er Situation V (x,) = X() ist x eine faire Prämie für en Zahlungsanspruch X. In er Situation von.9 kann sich er Verkäufer nämlich gegen en Zahlungsanspruch X absichern (heging), inem er ie Prämie x benutzt, um gemäß (x,) zu investieren. Dann hat er z. Zt. t= en Betrag V (x) = X zur Verfügung. Das gleiche kann jeer anere Marktteilnehmer tun. Im vorliegenen speziellen Moell wir noch gezeigt, aß jeer Zahlungsanspruch erreichbar ist un somit vollstänig abgesichert weren kann.. Beispiel. Bewertung von Optionen. Eine europäische (Kauf-) Option call option ist ein Vertrag, er em Käufer as Recht einräumt, zum Fälligkeitstermin t= (maturity time, exercise time) für einen festen Wahrnehmungs- / Basispreis K (exercise/striking price), unabhängig von em vorliegenen Kurs S, a Anteile es Wertpapiers zu kaufen, z.b. K = a (r) S. Dann ist er Gewinn es Käufers un amit er Verlust es Verkäufers X() := ψ(s ()) := a S () K = max (, a S () K). Es ist also günstig für en Käufer, wenn er Kurs steigt; es ist günstig für ie Bank, wenn er Kurs fällt. Um en Verlust bei steigenem Kurs abzusichern (heging), kann ie Bank selbst Wertpapiere kaufen. Daurch kann es auch günstig für en Verkäufer weren, wenn er Kurs steigt.. Definition. Ein Markt heißt vollstänig, wenn jeer Zahlungsanspruch erreichbar ist.

4 4 Es soll wieer ein Moell betrachtet weren, in em sich er Kurs nur um einen Faktor (r) nach unten oer um einen Faktor (r) u noch oben bewegen kann. Es sei S > gegeben, S () = (r) S, Ω. X sei er Zahlungsanspruch zu einem Derivat, setze: x := r X() für =, u. Es soll gezeigt weren, aß im vorliegenen Fall X stets erreichbar ist. Gesucht sin also gemäß (.6) x, mit (r) x S () (r) S = X() für =, u x S = x für =, u. 2.2 Lemma. Das Gleichungssystem x S = x, für =, u, in (x,) hat eine eineutige Lösung; abei ist: x = p x p x, S = (x x )/(u u u u ), mit u p :=, p := u, un < p <, p p =. u u u Dabei heißt auch Hege-Ratio un wir bei Optionen als Delta bezeichnet. Würe S mehr als zwei Werte annehmen, so hätte man für ie beien Unbekannten x un mehr als zwei Bestimmungsgleichungen. Dann wäre er Markt nicht mehr vollstänig. Der Beweis von.2 ist einfach. X ist also erreichbar urch (x,). Ferner ist p eine W Funktion (Zählichte) gemäß.3 Definition. Eine Funktion P() auf Ω mit P() un P() = heißt Ω Wahrscheinlichkeitsfunktion (W Funktion)/Zählichte. Beschreibt Ω ie Menge aller möglichen Ergebnisse bei einem (wieerholbaren) zufallsabhängigen Experiment un ist Ω höchstens abzählbar, so soll P() ein Maß für ie relative Häufigkeit es Eintretens von sein. Besteht as Experiment in em Werfen einer Münze un beschreibt u Zahl, Wappen, so wir man P() = wählen..4 Bemerkung. Wählt man eine künstliche W Funktion P* auf Ω mit P*() = p wie in.2, so gilt: (.5) x = E* X X(u) X() r := p u r p r, S S (u) S (.6) E* := p p () r u r r = S wegen (.7) p p u u =.

5 5 S S P* ist ie einzige Wahrscheinlichkeitsfunktion mit E* r = S E* S (r) =. Dies beeutet, aß unter P* as Verhältnis einer Anlage von S auf em Bankkonto un einer Anlage von S in as Wertpapier im Mittel gleich bleibt. P* heißt eswegen risiko-neutral. Die Eigenschaft (.7) besagt gerae, aß S, S /(r) ein sogenanntes Martingal ist..8 Beispiel. Im Falle einer europäischen Kaufoption mit a=, also für X() = S () K mit S () K < S (u),.h. (r) S K < (r) u S gilt: S >x, also η = x S < ; zur Absicherung von X muß also zusätzlich Gel geliehen weren, um in as kursabhängige Wertpapier gemäß zu investieren. Wegen X() = hat man x = p X(u)/(r) = u S u u K r S = u S u K > x. r Oft wir auch ie Moellannahme mit einer Wahrscheinlichkeitsfunktion P formuliert, as wie P* aussieht mit einem aneren Parameter p anstelle von P*. Dann beschreibt P() ie relative Häufigkeit es Eintretens von. Der Wechsel von P zu P* beeutet gerae einen Wechsel vom Parameter p zu p*. Offenbar wir iese Wahrscheinlichkeitsfunktion P aber nicht benötigt. Gemäß.8 un.2/.5 ist jeer Zahlungsanspruch X erreichbar mit einer Anfangsinvestition x = E* X r.