Historische Renditen, Experteninterviews, Analyse von Marktpreisen

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1 1 Portfoliotheorie 1.1 Grundlagen der Portfoliotheorie Welche vier grundsätzlichen Anlageziele werden von Investoren verfolgt? Minimales Risiko Liquidation wenn nötig Hohe Rendite Gewinnmaximierung Konträr z.b. Sicherheit und Rendite Wie können die beiden zentralen Anlageziele operationalisiert werden? Rendite: Vergleich Rückfluss mit Kapitaleinsatz. Sicherheit: Welche künftige Rendite soll der Investor erwarten? Informationsquellen: Historische Renditen, Experteninterviews, Analyse von Marktpreisen Erwartete Rendite =Erwartungswert der Renditeverteilung = E( ) =. Wertpapier 1: : 10% 25% Rendite; 45% 6%; 35% 6%; 10% 10%. Falls x diskret: Falls x stetig: E( )= = 2,1%. Empirisch: 1 Das ist der wahrscheinliche Wert. Aber: Risiko! Nur im Durchschnitt wird 2,1% erzielt. Wie sicher ist diese erwartete Rendite? WP1 zu WP2. WP2: 50% 4,2% Rendite; 50% 0% Rendite. 2,1%;20 Welches Wertpapier ist bei gleicher Rendite riskanter? Risiko: Streuung möglicher Renditen um die erwartete Rendite. Berechnung der Standartabweichung der Renditeverteilung:

2 Die Renditeverteilung aller Vermögensgegenstände kann durch zwei Parameter und vollständig beschrieben werden. Das Bilden einer Rangfolge der Vermögensgegenstände gemäß der Investorenziele ist möglich. o Kalkül ist anwendbar. Deskriptive (Beschreibende) Statistik: (Behandlung von Methoden, mit m deren Hilfe man Daten übersichtlich darstellen und kennzeichnen kann) Varianz = falls x diskret Varianz = Standardabweichung: Schließende Statistik (=Schätzen, wird bei kleinen Datenreihen angewandt. Je größer die Datenmenge, desto kleiner der Unterschied zw. deskriptiver und schließender Statistik) Empirische Varianz: falls x stetig,,,,,,,,,,,,, Zeichnen und beschreiben sie die Dichtefunktion einer Normalverteilung. Eigenschaften der Normalverteilung: Symmetrie ( Schiefe = 0). Links und rechts von liegt die gleiche Wahrscheinlichkeitsmasse. Normale Wölbung. (Kurtosis =0). Flache Ränder. (Keine fat tails) Warum sind der Erwartungswert und die Standardabweichung einer normalverteilten Zufallsvariable von besonderer Bedeutung? Die Dichtefunktion einer normalverteilten Zufallsvariablen kann allein durch und bestimmt werden Was besagt die Normalverteilungsannahme im Rahmen der Portfoliotheorie? Welche Konsequenzen zieht diese Annahme nach sich? Die Renditen aller relevanten Vermögensgegenstände sind normalverteilt. Aber das stimmt nicht, z.b. bei Derivaten: Es gibt keine Verluste. Ebenso bei vielen mod. Finanzinstrumenten Rendite Risikoprofile derr Vermögensgegenstände sind so vergleichbar

3 o Investor ist nicht gesättigt, will immer höhere Rendite haben o Investor ist risikoscheu (nimmt immer geringere Standardabweichung) Konsistent mit Bernoulli Prinzip (Erwartungs Nutzen Theorie) 1.2 Portfoliobildung Wie wird der Korrelationskoeffizient zweier Wertpapiere allgemein berechnet? Was beschreibt der Korrelationskoeffizient zweier Wertpapiere?,,, 1; 1 1 1; 1 Schätzer: 1, Art des Zusammenhangs: Pos. Kovarianz positiv ausgerichteter linearer Zusammenhang ( beide positive Rendite oder beide negative Rendite) Negative Kovarianz negativ ausgerichteter linearer Zusammenhang (eine Aktie positive Rendite, eine Aktie negative Rendite oder andersherum) Mit neg. Kovarianz können zwei Aktien ihre Verluste ausgleichen. Problem: Wir brauchen die Stärke der Kovarianz/des linearen Zusammenhangs, 1:, 1:, 0: Wie berechnet man die erwartete Rendite und die Standardabweichung der erwarteten Rendite eines Portfolios allgemein? Erwartete Rendite ( P ) eines Portfolios (P=x 1, x 2,,x n ): Standardabweichung der Rendite ( P ) eines Portfolios (P=x 1, x 2,,x n ):

4 2, Schätzer: 2, Ein Portfolio bestehe aus zwei Wertpapieren: WP 1 und WP 2. In den letzten 4 Jahren betrug die jährliche Rendite der beiden Wertpapiere alternierend +9% und 4%. Jedoch erwirtschaftete WP 1 immer dann eine Rendite von +9%, wenn WP 2 eine Rendite von 4% aufwies. a) a) Bestimmen Sie und für beide WP sowie, und, b) Bestimmen Sie und, mit folgenden Anteilen: WP 1=80% und WP 2=20%. c) Bestimmen Sie analytisch die Anteile für WP 1 und WP 2, die die Varianz des Portfolios minimieren. 0,5*0,09+0,5*( 0,04)=0,025 0,5*( 0,04) +0,5*0,09=0,025 0,09 0,025 0,5 0,04 0,025 0,50,065 0,09 0,025 0,5 0,04 0,025 0,50,065, ( 0,04*0,09) (0,025*0,025)= 0,004225,,, b) 1 0,8 0,025 0,2 0,025 0,025 0,8² 0,065 0,2 0, ,2 0,8 0, , , , ,039 c) 0,0651 0, ,004225! 7,69! w=0,5

5 1.3 Optimale Portfoliowahl Spannen sie einen beliebigen Raum vonn Portfolios im Diagramm auf. Eine Investition in eine sichere Anlage sei zulässig. Ermitteln siee graphisch das Marktportfolio sowiee das optimale Portfolio. Tangentee von P3 (Kapitalmarktlinie) IK Kurven Sichere Rendite R S P1 P2 P3 Marktportfolio = Tangentialportfolio Wird nicht realisiert; gleiche Rendite wie R S aber RISIKO! Die Kapitalmarktlinie veranschaulicht verschiedene Mischungsverhältnisse aus sicherer Anlage und Marktportfolio! Lösung: Den einen Teil des Vermögens in R S und den anderen in P 3 investieren (hohes Risiko). Abhängig von persönlicher Risikobereitschaft SUBJEKTIV! Indifferenzkurven: immer gleicher Nutzen Beschränkung durch KM Linie; nur die IK die die KM oberhalbb schneidet (rot) Sharpe Ratio: Steigerung der Kapitalmarktlinie! Gegeben sind drei Portfolios P 1, P 2 und P 3, die allesamt auf demm effizienten Rand der Menge P der (ohne risikolose Anlage) erreichbaren Portfolios liegen. Sie habenn die Parameter: P1: µ 1 = 20%, 1 =35% / P2: µ 2 =9%, 2 =12% / P3: µ 3 =14%, 3 =29%. Die sichere Rendite betrage R S =1,5%. Nehmen Sie an, Sie wüssten, dass eines der drei Portfolios das Tangential Portfolio ist. Ermitteln sie ess rechnerisch. Marktportfolio = Tangentialportfolio = Portfolio mit max. Sharpe Ratio (Steigung)) 20% 1,5% 0,529 35% %,% % 0,625 liegt auf KML 14% 1,5% 0,431 29%

6 1.3.3 Ein Investor hält ein Portfolio P, welches zu genau 30% aus dem Marktportfolio und zu 70% aus der risikolosen Anlage besteht. Der Investor hat die Nutzenfunktion U(, ) = 5*µ 1,5*. Die Gleichung der Kapitalmarktlinie lautet: = 0,015 +,,. a) a) Ist es möglich, eine höhere erwartete Rendite als die des Marktportfolios zu erzielen? Geben Sie eine kurze Begründung an. b) Wie hoch sind die Standardabweichung des Marktportfolios und die Standardabweichung des Portfolios P? c) Für den Investor B gelte U(, ) = 0,25. Welchen Nutzen U P bringt das Portfolio P dem Investor B? Ja, es ist möglich: Verschuldung mehr vom Marktportfolio kaufen höher auf KM Linie Leerverkauf der risikolosen Anlage oder Kreditaufnahme Dann Kauf von >100% des Marktportfolios um auf KM Linie zu bleiben b) 0,6 0,3 0,6 0,18 c) Für Investor B: U, 0,25 Gesucht: Nutzen von Benötigt in Nutzenfunktion: Standardabweichung und erwartete Rendite des Portfolios P Standardabweichung schon berechnet (siehe b) Verwendung der KML (P muss hier aufliegen, sonst darf sie nicht verwendet werden) Benötigt: Rendite des Marktportfolios Gleichsetzten der Nutzenfunktion mit dem Nutzen des Marktportfolios, 5 1,5 0,25 0,158 Berechnung der Rendite mittels KML: 0,158 0,015 0,015 0,18 0,0579 0,6 Einsetzen in Nutzenfunktion, 5 1,5 5 0,0579 1,5 0,18 0,2409