2.4 Entscheidung bei Risiko

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1 2.4 Entscheidung bei Risiko Entscheidung bei Risiko nimmt an, dass für jeden Zustand S j seine Eintrittswahrscheinlichkeit P(S j ) bekannt ist Eintrittswahrscheinlichkeiten bestimmbar als statistische Wahrscheinlichkeiten basierend auf Erfahrungen aus der Vergangenheit (z.b. wie oft hat es an diesem Tag in den letzten 100 Jahren geregnet) subjektive Wahrscheinlichkeiten basierend auf den Erwartungen des Entscheiders 54

2 Diskrete Zufallsvariable Sei X eine diskrete Zufallsvariable mit möglichen Werten {a 1,,a n } und Wahrscheinlichkeiten P(X = a i ), Erwartungswert einer diskreten Zufallsvariable X ist µ = E(X) = nÿ a i P (X = a i ) i=1 Beispiel: Fairer Würfel mit sechs Seiten E(X) = =3.5 55

3 Diskrete Zufallsvariable Varianz einer diskreten Zufallsvariable X ist nÿ 2 = V (X) = (a i µ) 2 P (X = a i ) und es gilt i=1 V (X) =E(X E(X)) 2 = E(X 2 ) (E(X)) 2 Größe σ heißt Standardabweichung (auch: Streuung) Beispiel: Fairer Würfel mit sechs Seiten V (X) =(1 3.5) (2 3.5) (6 3.5)2 1 6 =

4 Dominanz bei Unsicherheit Konzept der Dominanz lässt sich auf den Fall mehrerer Zustände erweitern absolute Dominanz betrachtet nur das schlechtmöglichste und bestmöglichste Ergebnis je Alternative Zustandsdominanz vergleich die Ergebnisse der Alternativen zustandsweise stochastische Dominanz (erster Ordnung) betrachtet auch die Wahrscheinlichkeiten der Zustände 57

5 Absolute Dominanz Alternative A i dominiert Alternative A j im Sinne absoluter Dominanz, wenn gilt min k (x ik ) Ø max d.h. das schlechteste Ergebnis von A i ist mindestens so gut wie das beste Ergebnis von A j k (x jk) Beispiel: S 1 S 2 S 3 S A A A 1 dominiert A 2 58

6 Zustandsdominanz Alternative A i dominiert Alternative A j im Sinne der Zustandsdominanz, wenn gilt k : x ik Ø x jk : k : x ik >x jk d.h. A i ist in allen Zuständen mindestens so gut wie A j und in mindestens einem besser Beispiel: S 1 S 2 S 3 S A A A 2 dominiert A 1 59

7 Stochastische Dominanz Stochastische Dominanz beruht auf Vergleich der Wahrscheinlichkeitsverteilungen der Alternativen Betrachte Alternative A i als Zufallsvariable, dann sei P (A i Æ x i ) die Wahrscheinlichkeit, dass A i zu einen Ergebnis kleiner gleich x i führt 60

8 Stochastische Dominanz Beispiel: S 1 S 2 S 3 S A A P (A i Æ 10) P (A i Æ 20) P (A i Æ 50) P (A i Æ 100) A A A 1 A

9 Stochastische Dominanz Stochastische Dominanz (erster Ordnung) der Alternative A i über die Alternative A j liegt vor, wenn x : P (A i Æ x) Æ P (A j Æ x) x : P (A i Æ x) <P(A j Æ x) x : P (A i >x) Ø P (A j >x) x : P (A i >x) >P(A j >x) Beispiel: Alternative A 2 dominiert Alternative A 1 A 1 A

10 Risikoeinstellung des Entscheiders Risikoneutralität Entscheider ist indifferent zwischen Alternativen mit gleichem Erwartungswert Risikoaversion Entscheider zieht bei zwei Alternativen mit gleichem Erwartungswert diejenige mit geringerer Streuung vor Risikofreude Entscheider zieht bei zwei Alternativen mit gleichem Erwartungswert diejenige mit höherer Streuung vor 63

11 Risikoeinstellung des Entscheiders Beispiel: Entscheidung über Teilnahme an einfachem Glücksspiel (z.b. Münzwurf) mit Einsatz 10 A 1 : Teilnahme, A 2 : Nicht-Teilnahme S 1 : Gewinn, S 2 : Kein Gewinn S 1 S 2 µ A A A 1 oder A 2 bei Risikoneutralität A 1 bei Risikofreude A 2 bei Risikoaversion 64

12 Indifferenzkurven nach Risikoeinstellung µ µ µ Risikoneutralität Risikoaversion Risikofreude 65

13 µ-regel μ-regel beurteilt Alternativen nach ihrem Erwartungswert (ursprünglich formuliert für den Fall einer Zielgröße) (A i )=E(x ij )= nÿ x ij P (S j ) j=1 Risikoeinstellung des Entscheiders nicht berücksichtigt 66

14 µ-regel Beispiel: Lotterie mit 5 Millionen im Jackpot und Einsatz 3 A 1 : Teilnahme, A 2 : Nicht-Teilnahme S 1 : Gewinn, S 2 : Kein Gewinn S 1 S 2 µ A 1 4, 999, A Entscheider wird niemals an der Lotterie teilnehmen, sofern er die µ-regel anwendet 67

15 (µ,σ)-prinzip (µ,σ)-prinzip berücksichtigt neben dem Erwartungswert die Standardabweichung der Ergebnisse zur Beurteilung der Alternativen Präferenzfunktion Φ(A i ) = Φ(µ i, σ i ) z.b. als Linearkombination von Erwartungswert µ i und Standardabweichung σ i definiert (A i )=µ i i mit α als Gewichtungsparameter, welcher die Risikoeinstellung des Entscheiders erfasst (α > 0 : Risikoaversion; α < 0 : Risikofreude) 68

16 (µ,σ)-prinzip Beispiel: S 1 S 2 S 3 µ =+1 =0 = A A A

17 (μ,σ)-prinzip und stochastische Dominanz Stochastische Dominanz erster Ordnung und (µ,σ)-prinzip sind inkompatibel, d.h. wir eliminieren u.u. optimale Alternativen Beispiel: S 1 S 2 µ A A A 2 würde eliminiert, ist aber für risikofreudige Entscheider (z.b. α = -1.0) u.u. optimal A 1 A

18 Petersburger Spiel Petersburger Spiel (auch: Petersburger Paradoxon) wiederholter Wurf einer fairen Münze (Kopf oder Zahl) fällt im n-ten Münzwurf erstmals Zahl, so erhält Spieler 2 n Erwartungswert des Petersburger Spiels µ = = Œ Ein nach der µ-regel handelnder Entscheider wäre also immer bereit, einen beliebig großen Betrag einzusetzen und am Spiel teilnehmen 71

19 Bernoulli-Prinzip Bisherige Ansätze zur Entscheidung bei Risiko betrachten nur eine Zielgröße und verdichten Zielgrößenwerte in den Parametern µ und σ Bernoulli-Prinzip besteht aus zwei Schritten bestimme für den Entscheider eine Nutzenfunktion U(x i ) (z.b. mittels Durchführung einer Bernoulli-Befragung) wähle eine Alternative mit höchstem erwarteten Nutzen (auch: Bernoulli-Nutzen, Erwartungsnutzen) (A i )= nÿ U(x ij ) P (S j ) j=1 72

20 Bernoulli-Prinzip Wo liegt der Unterschied zur µ-regel und (µ,σ)-prinzip? es können mehrere Zielgrößen betrachtet werden explizite Betrachtung von Nutzen anstelle von Zielgröße Nutzenfunktion erfasst Risikoeinstellung des Entscheiders 73

21 Nutzenfunktionen und Risikoeinstellung Krümmung der Nutzenfunktion lässt auf die tionale Entscheidung bei Risiko: Das Bernoulli-Prinzip 118 Rationale Entscheidung bei Risiko: Das Bernoulli-Pr x 0 Risikoeinstellung des Entscheiders5 schließen Risikoneutralität U(x) x 0 U(x) U(x) U(x) U(x) Risikoaversion konkav x 0 U(x) Risikoneutralität x 00 U Risikoaversion Risikofreude xx konvex Abb. 5.1U(x) Der Verlauf unterschiedlicher Nutzenfun veranschaulicht bereits Abschn. Quelle: Laux,werden Gillenkirch(vgl. und Schenk-Mathes [1] die Entscheidung gestellt, an einem Glückssp Wahrscheinlichkeit 0,5 (z. B. durch den Wurf e verlieren kann. Beträgt sein gegenwärtiges Verm am Glücksspiel entweder W +! oder W!. x x x 0 0 sind,xbeträgt0der Erwartungswert W. Ist der Ent Risikofreude ferent bezüglich der Teilnahme am Glücksspiel. zenfunktionen Abb. 5.1 Der Verlauf unterschiedlicher Nutzenfunktionen strikt ab. Ein risikofreudiger Entscheider dageg Um dieses Entscheidungsverhalten über da Entscheidungsunterstützende Systeme / Kapitel 2: Entscheidungstheorie 74 bschn. 4.4 des Kap. 4): Ein Entscheider veranschaulicht wird vor werden (vgl. bereits Abschn. 4.4der despräferenzfunktion Kap. 4): Ein Entscheider wird tierung an (5.1) nachzu

22 Bernoulli-Befragung Nutzenfunktion des Entscheiders lässt sich mittels Bernoulli-Befragung approximieren bestimme schlechtestes und bestes Ergebnis x w und x b für jedes Ergebnis bestimmt man die Wahrscheinlichkeit w i, so dass der Entscheider indifferent ist zwischen dem sicheren Ergebnis x i einer Lotterie, die mit Wahrscheinlichkeit w i das Ergebnis x b und mit Wahrscheinlichkeit (1-w i ) das Ergebnis x w auszahlt die ermittelten Wahrscheinlichkeiten w i können als Werte der Nutzenfunktion U(x i ) interpretiert werden 75

23 Bernoulli-Befragung Beispiel: Ergebnisse x w = 0, 20, 40, 60, 80, 100 = x b möglich für x 0 = 0 gibt Entscheider Wahrscheinlichkeit w 0 = 0.0 an für x 1 = 20 gibt Entscheider Wahrscheinlichkeit w 1 = 0.4 an für x 2 = 40 gibt Entscheider Wahrscheinlichkeit w 2 = 0.6 an für x 3 = 60 gibt Entscheider Wahrscheinlichkeit w 3 = 0.8 an für x 4 = 80 gibt Entscheider Wahrscheinlichkeit w 4 = 0.9 an für x 5 = 100 gibt Entscheider Wahrscheinlichkeit w 5 = 1.0 an 76

24 Bernoulli-Befragung Beispiel: Ermittelte Nutzenfunktion w Risikoaverser Entscheider x 77

25 Zusammenfassung Risikoeinstellung des Entscheiders spielt eine Rolle risikoavers, risikoneutral oder risikofreudig Entscheidung bei Risiko und einer Zielgröße μ-regel betrachtet nur Erwartungswert (µ,σ)-prinzip betrachtet Erwartungswert und Streuung Bernoulli-Prinzip bei Risiko und beliebig vielen Zielgrößen Bernoulli-Befragung zum Bestimmen einer Nutzenfunktion Auswahl der Alternative mit höchstem erwarteten Nutzen 78

26 Literatur [1] H. Laux, R. M. Gillenkirch und H. Y. Schenk-Mathes: Entscheidungstheorie, Springer 2014 (Kapitel 4 und 5) [2] Hagenloch T.: Grundzüge der Entscheidungslehre, Books on Demand GmbH 2009 (Kapitel 4) 79