Risikomessung mit dem Conditional Value-at-Risk

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1 Jendrik Hanisch Risikomessung mit dem Conditional Value-at-Risk Implikationen für das Entscheidungsverhalten. Bibliothek j k Mit einem Geleitwort von \* \, -^ Prof. Dr. Wolfgang Kürsten A; Verlag Dr. Kovac Hamburg 2006

2 Inhaltsverzeichnis 1. Einführung 1 2. Risikoquantifizierung mit Risikomaßen Einführung Finanzwirtschaftliches Risikomanagement Begriffliche und funktionale Grundlagen Prozeß der Entscheidungsfindung bei Risiko Auswahl optimaler Alternativen: Entscheidungskontext und externe Anforderungen Wert und Risiko als wichtige Bestandteile eines Entscheidungsprinzips Risikomessung mit Risikomaßen Diskussion einiger Risikomaße Die Varianz als klassisches" Risikomaß Downside-Risikomaße Value-at-Risk Beyond Value-at-Risk oder: Warum der Value-at-Risk kein Risiko mißt CVaR: Definitionen, Eigenschaften, Berechnung Einführung Definitionen Bemessungsgrundlage und Notation Motivation und Definition des CVaR bei stetig verteilten Portfolios Motivation ( Definition des CVaR Grafische Interpretation CVaR-Berechnung bei nicht stetig verteilten Portfolios Zur ökonomischen Relevanz unstetiger Verteilungsfunktionen 39 XIII

3 XIV Inhaltsverzeichnis Quantile und verallgemeinerter Value-at- Risk - Einführende Definitionen Oberer und unterer CVaR Der CVaR bei diskreten Verteilungen Weitere Darstellungen des CVaR Notwendigkeit für weitere Darstellungen Der CVaR als Integral von Quantilen Exkurs: Beziehung von (3.29) zu Erwartungsstrukturen nach Krümmel (1966) Der CVaR als Lösung einer Minimierungsaufgabe CVaR: Konzepte der Risikomessung, Eigenschaften Einführung Der CVaR und seine Stellung in axiomatischen Zugängen zur Risikomessung Axiomensystem kohärenter Risikomaße nach Artzner u.a Axiome Beispiele Der CVaR als kohärentes Risikomaß Diskussion der Kohärenzeigenschaften des CVaR Translationsinvarianz Positive Homogenität Monotonie Subadditivität Zwischenfazit Weitere Eigenschaften der Risikomessung mit dem CVaR Berücksichtigung von Tail Losses Stetigkeit bezüglich des Parameters Stetigkeit bezüglich des Portfolios Verteilungsinvarianz Relation zu VaR und Erwartungswert Beziehungen des CVaR zum Lower Partial Moment erster Ordnung Transformation von EPMi und CVaR Konzeptionelle Unterschiede von CVaR und LPMi Verfahren zur Berechnung des CVaR Einführung Der CVaR als Risikokapital 101

4 Inhaltsverzeichnis XV Grundlagen der Berechnung des CVaR CVaR-Berechnung für ausgewählte Verteilungen CVaR-Berechnung bei Normalverteilung Der CVaR unter weiteren Verteilungen CVaR-Ermittlung für diskret vorliegende Verteilungsfunktionen Eine modellfreie Möglichkeit zur Bestimmung des CVaRllO Einfühende Bemerkungen und Annahmen Bestimmung des CVaR bei Kenntnis des VaR Bestimmung des CVaR ohne Kenntnis des VaRlll Diskussion des Verfahrens Der CVaR als Risikomaß - Kritische Zusammenfassung Der CVaR als Entscheidungskriterium Einführung: Auswirkungen der Risikomessung auf die Entscheidungsfindung Für wen mißt der CVaR Risiko? Einführung und Definitionen Auf dem CVaR basierende Präferenzen Der CVaR-Entscheider Der CVaR-Hybrid-Entscheider Eigenschaften des CVaR-Hybrid-Entscheidungsmodells Präferenztheorien zur Fundierung von Entscheidungskalkülen Elementare Anforderungen an Präferenzordnungen Der CVaR und der Erwartungsnutzen-Entscheider Die Bernoulli-Erwartungsnutzentheorie Die (Nicht-)Darstellbarkeit des CVaR-Entscheiders in der Erwartungsnutzentheorie ' Einführende Bemerkungen Exkurs: Konsistenzresultate für Erwartungswert- und Varianz- bzw. LPMi- Kriterien Inkonsistenz von CVaR-Hybrid-Entscheider und Erwartungsnutzentheorie Inkonsistenz unter Normalverteilungsannahme Verallgemeinerte Nutzenfunktion des CVaR- Hybrid-Entscheiders Zusammenfassende Bemerkungen Der CVaR und der Duale Entscheider Einführung 149

5 XVI Inhaltsverzeichnis Der CVaR-Hybrid-Entscheider und das Allais-Paradoxon Alternativen zur Erwartungsnutzentheorie Die Duale Nutzentheorie von Yaari Axiomatik Das duale Unabhängigkeitsaxiom Präferenzfunktionale Charakteristik der Präferenzmessung in der dualen Theorie Rangplatzabhängigkeit Linearität Sicherheitsäquivalent Duale Theorie und Erwartungsnutzen Empirische Evidenz Der CVaR-Hybrid-Entscheider in der dualen Theorie Konsistenz des CVaR-Hybrid-Ansatzes mit der dualen Theorie Konsistenz des CVaR-Entscheidungskalküls mit der dualen Theorie Zur Dualität von CVaR- und LPMibasierendem Entscheidungskalkül Abgeleitete Eigenschaften des CVaR-Hybrid- Entscheiders Exkurs: Der Value-at-Risk und die duale Theorie Die Risikoeinstellung des CVaR-Hybrid-Entscheiders Risikoaversion und Risiko Charakterisierung von Risikoaversion Stochastische Dominanz Risikoaversion in der Erwartungsnutzentheorie Risikoaversion und Stochastische Dominanz Der CVaR-Entscheider und Stochastische Dominanz Der CVaR-Hybrid-Entscheider und Stochastische Dominanz Der CVaR-Hybrid-Entscheider und der risikoaverse Erwartungsnutzen-Entscheider CVaR-Hybrid-Entscheider, Duale Risikoaversion Risikoaversion in der dualen Theorie Aus der dualen Theorie abgeleitete Risikoeinstellungen des CVaR-Hybrid-Entscheiders.. 192

6 Inhaltsverzeichnis XVII Aus der dualen Theorie abgeleitete Risikoeinstellungen des VaR-Hybrid-Entscheiders Komparative Risikoaversion Definitionen und Ergebnisse für die duale Theorie Komparative Risikoaversion: Der CVaR- Hybrid-Entscheider Komparative Risikoaversion: Der VaR- Hybrid-Entscheider Zusammenfassung: Risikomanagement mit dem CVaR Finanzentscheidungen unter Anwendung des CVaR Einführung Klassische Pörtfoliotheorie und neuere Entwicklungen Einführung und Notation (E, Var)-Portfolioselektion Portfoliotheorie mit LPMs unterschiedlicher Ordnung Portfoliotheorie mit dem Risikomaß VaR Portfoliotheorie mit dem Risikomaß CVaR (E, CVaR)-effiziente Portfolios für bestimmte Verteilungsklassen Empirische Ermittlung effizienter und optimaler Portfolios Portfoliotheorie mit dem CVaR-Hybrid-Präferenzfunktional Einführung: Notation, Präferenzwert und Bemessungsgrundlage Präferenzfunktional bei riskanter Anlagemöglichkeit Wertpapier mit zwei Zuständen Wertpapier mit S Zuständen :3. Eine riskante, eine risikofreie Anlagemöglichkeit n riskante, eine risikofreie Anlagemöglichkeit(en) Zwei riskante Anlagemöglichkeiten, Zwei Umweltzustände " Komonotonie Keine Komonotonie 238 : Zustandsdominanz Zwischenfazit Vier Umweltzustände: Zwei Wertpapiere mit jeweils zwei Umweltzuständen Umweltzustände Struktur der Lösung 252

7 XVIII Inhaltsverzeichnis Exkurs: Das restringierte Portfolioproblem Hinzunahme einer risikolosen Anlageform n riskante Anlagemöglichkeiten Parametrische Ansätze Prinzipielle Lösungsmöglichkeit bei nichtparametrischen Ansätzen Diversifikationsentscheidungen des CVaR- Hybrid-Entscheiders Zustandsdominanz Komonotonie Stochastische Dominanz Robustheit der optimalen Entscheidung bezüglich einer Änderung der stochastischen Rahmenbedingungen Optimale Portfolios des CVaR-Hybrid-Entscheiders Anwendungsbeispiel: Hedging-Strategien Problemstellung Optimale Hedgingstrategien Lösungsmechanismus Strategien des risikoneutralen Entscheiders Strategien des CVaR-Entscheiders Strategien des CVaR-Hybrid-Entscheiders Diskussion optimaler Hedgingstrategien Anwendungsbeispiel: Ein Anreizvertrag Dynamische Inkonsistenz der Entscheidungen Zusammenfassung 301 A. Exkurse 309 A.l. Operationalisierungen der dualen Theorie 309 A.2. Hedgingstrategien im Ansatz von Föllmer/Leukert (1999) B. Beweise 313 B.l. Beweis von Satz B.2. Beweis von Satz : 315 B.3. Beweis von Lemma B.4. Beweis von Lemma C. Programmcode 323