Wann ist diese Vorgehensweise berechtigt? Hierzu:

Transkript

1 IV. Risiko und Unsicherheit Risiko: Eine Entscheidung treffen, ohne den wahren Zustand der Welt zu kennen. Aber man kennt die Wahrscheinlichkeitsverteilung für die relevanten Zustände der Welt. z. B. { Regen, kein Regen } α 1 - α Entscheidung: Schirm mitnehmen, oder nicht. Unsicherheit: Man kennt auch die Wahrscheinlichkeitsverteilung nicht: Lösung : subjektive Wahrscheinlichkeiten! Fragen: - Bildet man immer subjektive Wahrscheinlichkeiten? - Gibt es überhaupt objektive Wahrscheinlichkeiten? 61 Wann ist diese Vorgehensweise berechtigt? Hierzu: V.1. Die Neumann/Morgenstern/Savage-Axiome für Entscheidungen unter Risiko Lotterie (p, x; 1 p, y) heißt: x mit Wahrsch. p, y mit Wahrsch. 1 p oft x, y = Geldbeträge aber auch L = Menge der Lotterien x, y = Güterbündel, oder Zustände der Welt 62 Entscheidung unter Risiko in Entscheidungstheorie/Spieltheorie nimmt an: Erwartungsnutzen soll maximiert werden! Beispiel: U (Schirm, Regen) = 1, U (Schirm, kein Regen) = 0 U (kein Schirm, Regen) = -1, U (kein Schirm, kein Regen) = 2 EU (Schirm, -) = α 1 +(1 - α) 0 = α EU (kein Schirm, -) = α (-1) + (1 - α) 2 = 2-3α Annahme über die Art, wie Individuen (Haushalte, allg. Agenten) Wahrscheinlichkeitstheorie betreiben: Haushalt hat Präferenzen (f heißt: wird vorgezogen, heißt: indifferent) (L1) (1, x; 0, y) x (x ohne Alternative) (L2) (p, x ; 1 p, y) (1 p, y; p, x) (L3) [q, (p, x ; 1 p, y) ; 1 q, y] (qp, x; 1 qp, y) mit Wahrscheinlichkeit qp ergibt sich x, mit q qp ergibt sich y. Mit zusammengesetzten Lotterien können wir auch mehr als zwei Zustände der Welt erfassen.

2 63 64 Annahmen über Präferenzen: Es gilt nun allgemein: zu jedem x gibt es genau ein p x mit x (p x, b; 1 - p x, w) (U1) {p [0, 1]: (p, x; 1 p, y) {p [0, 1]: z f z} und f (p, x ; 1 p, y)} U(x) = p x U(b) + (1 p x )U(w) = U(w) + p x (U(b) U(w)) sind abgeschlossene Mengen (Stetigkeitsannahme). c d d. h. U(x) ist bis auf lineare Transformationen festgelegt! (U2) x y (p, x ; 1 p, z) (p, y ; 1 p, z) Wenn U(x) = p x, dann gilt insbesondere U(b) = 1, denn b (1, b; 0, w) U(w) = 0, denn w (0, b; 1, w). (U3) Es gibt eine beste Lotterie b (best) und eine schlechteste Lotterie w (worst). Für jedes x L = Menge der Lotterien gilt: b (U4) (p, b; 1 p, w) f (q, b; 1 q; w) genau dann, wenn p >q. f x f w. Entscheidungsprinzip: Die Handlung (das Lotterielos) mit dem größten Erwartungsnutzen wird gewählt. Beispiel: L 1 = 0 (mit Sicherheit) 1 1 L 2 =,5;, 5 Theorem: Wenn die Menge von Lotterien L den obigen Annahmen genügt, dann gibt es eine Nutzenfunktion U mit (i) r, s L, r f s U (r) U (s) und (ii) U (p, y; 1 p, x) = p U(y) + (1 p) U (x) Unterscheidung!!! V.2. Risikofreude und Risikoscheu Erwartungswert EW(L 1 ) = 0 Erwartungsnutzen = EW(L 2 ) = ( 5) 0 EU(L 1 ) = U(0) = 0 (Normierung) EU > 2 U < ( L ) = 1 U( 5) + 1 U( 5) = (0)? (Erwartungsnutzeneigenschaft)

3 Risikoscheu Risikoneutral Risikofreudig L 1 f L 2 L 1 L 2 L 1 p L 2 U ( 0) > 1 U( 5) + 1 U( 5) 2 Bei gleichem 2 Erwartungswert wird kleinere Varianz bevorzugt U(0) = U(0) < Erwartungsnutzen =ˆ Erwartungswert Bei gleichem Erwartungswert wird größere Varianz bevorzugt Welche Funktionsformen sind mit Risikoscheu, Risikoneutralität, Risikofreude verbunden? U(5) -5 Maß für Risikoscheu (Risikofreunde)? - Der Risikoscheue würde auch Lotterie mit 5 + x bei kleinem x nicht akzeptieren. Von welchem x an würde er? Hängt davon ab, wieweit ( 5) 1 ( 5) 1 U + U unterhalb U(0): Also hängt es ab von der Krümmung der Kurve! - Das Maß für Risikoscheu sollte nicht abhängen von Transformation der Nutzenfunktion U ( 5) + 1 U(5) 5 Geld 5 1 U ( 5) + 1 U(5) 1 U ( 5) + 1 U(5) Zur Erinnerung: Die Nutzenfunktion, die das Verhalten eines Haushaltes unter Risiko beschreibt, ist eindeutig bis auf positive lineare (affine) Transformationen. U = au + b, a > 0 Veränderung der neuer Nullpunkt der Einheit Also sollte das Maß für Risiko-Aversion nicht von affinen Transformationen abhängen! Arrow-Pratt-Maß '' U ( x) r( U) = x = Einkommen (besser: Vermögen) ' U ( x) U U = au + b '' '' '' U au U r( U) = = = ' ' ' U au U U U = acx + b U = cx gibt Krümmung der Nutzenfunktion an, bleibt risikoneutral 1 ' U Unabhängig von Einheit, von Steigung der Nutzenfunktion. 66 ist Normierung

4 Beispiel: U(x) = x α ( ) α 2 α α 1 x r(u) = α 1 αx = -(α - 1) x 1 α > 1 βu(x 1 ) + (1 β)u(x 2 ) < 0fürα > 1 > 0fürα < 1 = 0 für α = 1 U(βx 1 + (1 - β)x 2 ) x 1 x 2 α > 1: Risikofreudig α < 1 Risikoavers Wert der Lotterie > Wert sicheres Einkommen (Erwartungseinkommen) r ist lokal definiert, deshalb Maß für lokale Risikoaversion Wenn Funktion U streng konkav (oder konvex), dann natürlich lokal risikoavers global risikoavers. 67 Frage: Wann ist r(w) = c = konstant? C muss die einfache Differentialgleichung U (w)=cu (w) erfüllen. Daraus folgt U (w)=ae -cw mit einer Konstanten a. Daraus folgt U(w)= b de -cw, mit Kostanten b and d=a/c. Unten kommen wir auf dieses Resultat zurück. Skalenprobleme: Müssen Menschen risikoneutral sein gegenüber kleinen Wetten? (Rabin, 2000, Econometrica, ). Was wäre die Konsequenz, wenn jemand für jedes Vermögen x die folgende Lotterie (Wette) ablehnen würde. (Gewinn von Euro 11 mit prob = 0.5, Verlust von Euro 10 mit prob = 0.5) Die Ablehnung impliziert (R) 0.5U(x 10) + 0.5U(x + 11) < U(x) Bei konkaver Nutzenfunktion U, z. B. U (x) < 0 für alle x, heißt dass U (x- 10) > U (x) > U (x + 11). Daraus folgt: Ebenso: U(x 10) > U(x) 10U (x 10) U(x + 11) > U(x) + 11U (x + 11) Mit (R) folgt daraus 0.5 U(x) U (x 10) + 0.5U(x) U (x + 11) < U(x) bzw. U 10 (x + 11) < U (x 10) bzw. Nach Substitution von x - 10 durch y U 10 (y + 21) < U (y). 11 Nach n-maliger Anwendung der Ungleichung erhalten wir n U 10 (y + n 21) < U (y) 11

5 69 70 Falls y = Euro , dann 100 U 10 (102100) < U (100000) b b - z b - 2z U(x) Nach derselben Logik ist, U (98000) etwa mal größer als U (100000). x x Konsequenz: U Abb.: Nutzenfunktion mit konstanten Arrow-Pratt-Maß x Solch eine Person kann durch keinen Gewinn in einer Wette für ihr Risiko entschädigt werden, wenn sie 3000 Euro verlieren kann. Das scheint Unsinn zu sein. Aber dann muss eine solche Person risikoneutral gegenüber kleinen Wetten sein! V.3. Experimente Verhalten sich Menschen immer gemäß dieser Theorie? Allais - Paradox Lotterie A: 1 Million (sicher) Lotterie B: (0,10, 5 Mio; 0,89, 1 Mio; 0,01; 0) Lotterie C: (0.11; 1 Mio; 0,89; 0) Lotterie D: (0,10; 5 Mio; 0,90; 0) Dieselbe Implikation finden wir für Nutzenfunktionen mit konstanten Arrow-Pratt-Maß!

6 Wie würden Sie sich verhalten? Würden Sie wählen 1. A > B, 2. D > C? Die erste Präferenz bedeutet: U(1Mio) > 0,1U(5 Mio) + 0,89U(1 Mio) + 0,01 U(0) c 0,11U(1 Mio) > 0,1U(5 Mio) + 0,01 U(0) + 0,89U(0) + 0,89 U(0) C > D Das steht im Widerspruch zur 2. Präferenz. Informieren Sie sich auch über: - Ellsberg-Paradox - Prospect Theory 71 Der Haushalt ist bereit, mehr als pw für Versicherungsschutz zu bezahlen. Die Versicherungsprämie V sei eingegrenzt: pw < V < V max - Würde Haushalt 2, der dasselbe Vermögen und dieselbe Nutzenfunktion wie Haushalt 1 hat, den Haushalt 1 für V versichern? Nein! - Muss eine Versicherung risikofreudig sein? Nein! Beispiel: Versicherung versichert n Haushalte mit Prämie V gegen Verlust von w, der mit p eintritt. p unabhängig Verteilung des Versicherungsvermögens mit n Prob (- i w + nv) = p i (1 p) n i, Stetige Darstellung: i 72 V.4. Versicherung Haus brennt mit Wahrscheinllichkeit p Haus brennt nicht mit 1 - p Haus hat Wert W Wert des Lotterieloses keine Versicherung = U(0) p + U(w) (1 p) U(w)(1-p) U(0) = 0 wp w(1 p) w V max U(z) z (Im nächsten Jahr) U(w) (1 p) = Erwartungsnutzen ohne Versicherung = Nutzen des sicheren Einkommens w V max (= maximale Zahlungsbereitschaft für Versicherungsprämie) Für genügend großes n (kommt auf v pw an!) wird das Risiko negativer Gesamteinnahmen der Versicherung minimal. Die Versicherung wird Verträge sogar akzeptieren, wenn sie risikoaverser ist als der Versicherte! n(v pw) n steigt n(v pw)

7 Werden im Markt Versicherungsleistungen effizient angeboten? Annahme: - alle Versicherungen gleich risikoavers - Versicherung kennt p - Verwaltungskosten S-förmig Versicherungen optimaler Größe!? 73 Nur Haushalte mit v < v max, p > p nehmen Versicherung. Ep v = durchschnittliches p der Versicherten. Versicherung braucht v > w Ep v 74 Möglich aber auch, dass Monopolversicherung die niedrigsten Prämien bieten kann. Probleme: Ruinöser Wettbewerb? Problem für Versicherte? Versicherungsaufsicht (Prämien müssen genehmigt werden) 1) Versicherung kennt durchschnittliches p, nicht individuelles p! Angenommen Haushalte kennen ihr individuelles p (d. h. asymmetrische Information) Problem adverse selection (Versicherung kann Typ des Versicherungsnehmers nicht beobachten) nicht Versicherte Prämie v p Ep Ep v Versicherte p v max Eindeutig zugeordnet, wenn alle gleiche Nutzenfunktion Für die Versicherten gilt Ep v > Ep = durchschnittliches p der Gesamtbevölkerung In einer Versicherung sammeln sich die schlechten Risiken! Die Unfaller, [Hausrat, Skiversicherung, Diebstahlversicherung] Entsprechend: Markets for lemons : die guten Risiken, die guten Autos haben keinen Markt! Gegenmaßnahmen: - Versicherung bildet Untergruppen nach persönlichen Merkmalen: Gesundheitszustand, Beamter, Geschlecht, Signale werden - objektive Merkmale: Typ des Hauses, Typ des gesucht Autos, - Versicherung bildet Untergruppen nach Schadenshäufigkeit Anreize geben - Versicherung zahlt Rückvergütung bei Schadensfreiheit 2) Versicherungsbetrug, grobe Fahrlässigkeit - Untersuchung des Falles, Ausschluss der Leistung bei Fahrlässigkeit, Strafverfolgung bei Versicherungsbetrug - Nur partielle Versicherung - Maßnahmen wie unter 1): Schadenshäufigkeit, Rückvergütung Problem: moral hazard (Versicherung kann bestimmte Handlungen nicht beobachten)

8 3) Risiken sind groß, wenige Fälle - werden verteilt auf viele Versicherer (Lloyds) 4) Risiken sind verbunden (Hagel, Sturm) - Rückversicherung, die lokale verbundene Risiken zu globalen unverbundenen macht. Bleibt aber: große Risiken, deshalb oft auch 3) 75 V.5. Überlegen Sie sich selbst, inwieweit langfristige Kontrakte und Terminkontrakte auch Versicherungen darstellen. V.6 Anleihen/ Bonität von Firmen und Ländern Lesen Sie hierzu z.b. Putnoki (WISU 2001, S. 1111ff). V.7. Das µ-σ-modell Informieren Sie sich!