Lösungshinweise zu Übungsblatt 2

Transkript

1 Lösungshinweise zu Übungsblatt 2 Aufgabe 1: Unsicherheit Gegeben sei ein Individuum mit streng monoton steigender und konkaver von Neumann- Morgenstern Nutzenfunktion. a) Erklären Sie anhand einer geeigneten Graphik warum dieses Individuum risikoavers ist. Gehen Sie dabei auf die Begriffe Lotterie, Sicherheitsäquivalent, erwarteter Nutzen und Nutzen des Erwartungswertes ein. Dieses Individuum sieht sich nun einem Entscheidungsproblem unter Unsicherheit ausgesetzt, wobei das Anfangsvermögen V mit der Wahrscheinlichkeit p um den Betrag S reduziert wird. Es eistiert eine Vielzahl von Versicherungsunternehmen, die dem Individuum eine Versicherung gegen dieses Risiko anbieten. b) Zeigen Sie, dass sich der Konsument für eine volle Versicherung entscheidet, falls die Konkurrenzsituation die Gewinne der Versicherungsunternehmen auf 0 drückt. Angenommen es gäbe zwei Konsumentengruppen, die aufgrund persönlicher Charakteristika eine unterschiedliche Schadenswahrscheinlichkeit besitzen, welche nur von ihnen selbst, aber nicht von den Versicherungsunternehmen beobachtet werden kann. c) Wie bezeichnet man dieses Problem der Informationsökonomik und welchen Einfluss hätte diese Situation auf das Angebot der Versicherungsunternehmen? d) Welche prinzipiellen Möglichkeiten bestehen auf Seiten der Versicherer dieses Problem abzuschwächen oder zu umgehen? a) u u 1 u 0 u 0,5 u 1 0,5 u 2 u

2 Das Individuum bewertet eine sichere Auszahlung in Höhe von 0 höher als eine Lotterie L mit einem Erwartungswert von 0. Der erwartete Nutzen E(u(L)) ist geringer als der Nutzen des Erwartungswertes u(e(l)). Anhand der Differenz zwischen dem Sicherheitsäquivalent ( 3 ) und ( 0 ) erkennt man, dass das Individuum bereit wäre etwas für die Vermeidung des Risikos zu bezahlen. b) Maimierung des erwarteten Nutzens: ma E[u(L)] = pu(v S π + ) + (1 p)u(v π) E[u(L)] oder MRS = = pu (V S π + )(1 π) (1 p)u (V π)π = 0 u (V S + (1 π)) u (V π) = (1 p) p p u (V S + (1 π)) (1 p) u (V π) Bedingung 2. Ordnung ist erfüllt bei u (W ) 0 Erwarteter Gewinn des Versicherungsunternehmens: = π (1 π) π (1 π) Π = p(π ) + (1 p)π = 0 (1 p)π = p(1 π) π = p (faire Prämie) (Nullgewinnannahme) Einsetzen in Bedingung für Nutzenmaimum: c) Adverse Selektion u (V S + (1 π)) = u (V π) V S + (1 π) = V π (gilt nur für u (W ) < 0) S + π = π S = volle Versicherung ist optimal. Bei einer fairen Prämie unter Berücksichtigung aller Konsumenten würden sich lediglich die schlechten Risiken versichern, das Versicherungsunternehmen würde also Verluste erleiden und die Prämie auf die Schadenswahrscheinlichkeit der schlechten Risiken anheben. d) Screening, z.b. durch... Anbieten von Verträgen zur Selbstselektion der jeweiligen Gruppen, also Offenlegung ihrer Eigenschaften durch die Vertragswahl Gesundheitsuntersuchungen, um mehr über die Versicherungsnehmer zu erfahren 2

3 Aufgabe 2: Nachfrage nach Versicherung Sie besitzen ein Haus im Wert von e das mit einer Wahrscheinlichkeit von 1% abbrennen könnte. Der Restwert wäre dann noch e Es eistieren viele Versicherungsunternehmen, die Ihnen eine Brandschutzversicherung mit Prämie π pro Schadenseinheit anbieten können. a) Stellen Sie Ihre Situation in Lotterieform dar. b) Ihre Nutzenfunktion lautet: u(w ) = ln W (W steht für Wohlstand). Wie lautet Ihre Bedingung für ein Nutzenmaimum? c) Wie hoch ist die Prämie π falls die Konkurrenzsituation die Gewinne der Unternehmen auf null zwingt? d) Wie hoch werden Sie sich versichern? e) Angenommen die Unternehmen verlangen die Prämie π = Wie entscheiden Sie sich jetzt? a) L = (0.01; π; π) mit Versicherungssumme und -prämie π b) ma E[u(L)] = 0.01 ln( (1 π)) ln( π) E[u(L)] 1 π = (1 π) 0.99 π π = π (1 π) = 0.99 π 0.01 (1 π) Bedingung 2. Ordnung ist erfüllt bei u (W ) 0 c) Π = 0.01(π ) π = 0 (Nullgewinnannahme) 0.01π π = 0 π 0.01 = 0 π = 0.01 π = 0.01 (faire Prämie) d) e) (1 0.01) = = = volle Versicherung ist optimal (1 0.02) = = 2.02( ) = = = 3

4 Aufgabe 3: Moral Hazard Ein Agent hat folgende Nutzenfunktion (U(w, e)) mit w als Lohn, Kosten seiner Anstrengung (e H,L ) sowie einen Reservationsnutzen U. Als Resultat seiner Handlung können sich zwei Ergebnisse 1 und 2 einstellen. Die Wahrscheinlichkeit für das hohe Ergebnis 2 beträgt für die jeweiligen Anstrengungsniveaus p H,L. U(w, e) = w e 2 ; e H = 2; e L = 1; p H = 0.5; p L = 0.25; U = 2 Berechnen Sie den - für den Prinzipal (risikoneutral) - optimalen Vertrag (w()) falls er a) ein niedriges Anstrengungsniveau e L bzw. b) ein hohes Anstrengungsniveau e H verlangt. c) Um wie viel höher müsste das Ergebnis () im guten Fall sein, damit der Prinzipal das hohe Anstrengungsniveau verlangt? a) Teilnahmebedingung muss erfüllt sein und w 1 = w 2 = w U(w, e) = w e L2 = 2 = U w 1 = 2 w = 3 w 1 = w 2 = 9 für e = e L b) Teilnahmebedingung und Anreizkompatibilitätsbedingung müssen erfüllt sein. p H U(w 2, e H ) + (1 p H )U(w 1, e H ) = U (Teilnahmebedingung) p H U(w 2, e H ) + (1 p H )U(w 1, e H ) = p L U(w 2, e L ) + (1 p L )U(w 1, e L ) Teilnahmebedingung: 0.5 w w 1 4 = w w 1 = 6 w 2 = 12 w 1 Anreizrestriktion: 0.5 w w 1 4 = 0.25 w w (12 w 1 ) w 1 4 = 0.25 (12 w 1 ) w = w 1 w 1 = 0, w 2 = 144 c) π(e L ) = π(e H ) = 0.5( 2 144) + 0.5( 1 ) = π(e H ) π(e L ) (Anreizrestriktion) 4

5 Aufgabe 4: Informationsökonomik Gegeben ist die aus der Vorlesung bekannte Situation, in der ein Prinzipal einem Agenten ein Vertragsangebot über ein Projekt mit zwei möglichen Ergebnissen unterbreitet, wobei 2 > 1 gilt. Die Information bezüglich des Einsatzes e des Agenten sei verifizierbar. Unter welchen Annahmen bezüglich der Risikoneigung der Parteien werden die beiden Vertragspartner einen Franchise-Vertrag abschließen? Belegen Sie Ihr Ergebnis durch eine graphische Darstellung dieses Sachverhalts und erläutern Sie diese kurz. Annahmen: Agent ist risikoneutral, Prinzipal ist risikoavers. A 2 w 2 O P 1 w 1 1 w 1 U H O A P w 2 2 verläuft linear mit der Steigung p 2 /p 1. Grenznutzen des Prinzipals ist dann konstant falls die Auszahlungen in beiden Naturzuständen gleich sind. P wählt den Vertrag, der seinen Nutzen maimiert; graphisch: Der am weitesten vom Ursprung O P entfernte Tangentialpunkt mit U H. Der Prinzipal wird vom Agenten voll versichert: 2 w 2 = 1 w 1. U H 5