Klassische Risikomodelle
|
|
- Kristian Klein
- vor 8 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Klassische Risikomodelle Kathrin Sachernegg 15. Jänner
2 Inhaltsverzeichnis 1 Einführung Begriffserklärung Individuelles Risikomodell Geschlossenes Modell Allgemeinere Modelle Mehrere Policen Kollektives Risikomodell Freie Reserve Cramer-Lundberg-Modell Alternative Modelle
3 1 Einführung In Folge werden ein paar der wichtigsten klassischen Risikomodelle der Versicherungsmathematik vorgestellt und kurz erklärt. Es handelt sich hierbei um das individuelle Risikomodell, das kollektive Risikomodell, das Cramér-Lundberg Modell und das Sparre-Andersen Modell. Außerdem werden zusätzlich zu diesen Modellen die freie Reserve und die Schadenshöhenverteilung noch weiter erläutert. 1.1 Begriffserklärung Was sind Risiken im versicherungstechnischen Sinn? Beispiele: Unfall, Krankheit, Todesfall, Feuer, Diebstahl, Hagel, Auto. Die Versicherungsgesellschaften übernehmen die Risiken ihrer Kunden, also potentielle Schäden. Für diese Leistung berechnen sie einen Preis, die sogenannte Prämie. Der Vertrag dazu heißt Police. Wenn man ein Kollektiv von Risiken oder Policen betrachtet, spricht man von einem Portfolio. [1] Typischerweise sind in einem solchen Portfolio Verträge derselben Versicherungssparte (z.b. Lebensversicherung, Krankenversicherung, KfZ-Versicherung usw.) enthalten. [2] Falls ein Risiko oder ein Kollektiv von Risiken sich als zu groß für eine Versicherungsgesellschaft erweist, so werden Teile davon weiterverkauft an eine oder mehrere andere Versicherungsgesellschaften. Die erste Versicherung heißt Erstversicherung, die zweite heißt Rückversicherung. Rückversicherungsgesellschaften teilen häufig große Risiken untereinander auf, sodass schließlich das ursprüngliche Risiko oder Kollektiv durch ein ganzes Netzwerk von Erstund Rückversicherungsarrangements abgedeckt wird. [1] Wichtige Größen eines Risikos für die Versicherungsmathematik: T : Schadenszeitpunkt X : Schadenshöhe P: Prämieneinnahmen 2 Individuelles Risikomodell Im individuellen Risikomodell gibt es ein Portfolio mit n Policen. Die einzelnen zu den Policen gehörenden Schadenshöhen X 1,..., X n sind voneinander unabhängige, nichtnegative Zufallsvariablen. X i ist also der Schaden, der sich aufgrund des i-ten Versicherungsvertrages (Police) in dem betrachteten Zeitraum, z.b. ein Jahr, für die Versicherung ergibt. [3] Definition 2.1: Der Gesamtschaden des Portfolios ist die Zufallsvariable S = n X i (1) i=1 3
4 Die Gesamtsumme die das Versicherungsunternehmen auszahlen muss, ist gleich der Gesamtschaden S. Für diesen Gesamtschaden wird eine geeignete Wahrcheinlichkeitsverteilung gesucht. Dies ist notwendig, da viele wichtige Entscheidungen darauf basieren, wie z.b. Prämienkalkulation, Rücklagen und Rückstellungen.[3] 2.1 Geschlossenes Modell Bei einem geschlossenem Modell ist die Anzahl der versicherten Einheiten n schon am Anfang der Periode bekannt und festgelegt. Dieses Modell wird nun Anhand eines Beispiels für eine Lebensversicherung veranschaulicht. Bei einer Versicherung mit einer einjährigen Laufzeit erklärt sich die Versicherung bereit, einen bestimmten Betrag b zu zahlen, wenn der Versicherte in diesem Jahr stirbt. Wenn der Versicherte das Jahr überlebt wird kein Betrag fällig. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Schaden für die Versicherung eintritt - in diesem Beispiel ein Todesfall - wird als q bezeichnet.[4] Nun betrachten wir die Verteilung der Schadenszufallsvariable X : Sei I eine Zufallsvariable, die den Wert 0 hat und den Wert 1 annimmt, wenn ein Schaden eintritt. I wird auch als Indikator bezeichnet. Dann gilt X = Ib (2) Somit gilt Weiters gilt P (I = 0) = 1 q P (I = 1) = q (3) E[I] = q V ar[i] = q(1 q) (4) E[X] = bq V ar[x] = b 2 q(1 q) (5) 2.2 Allgemeinere Modelle Bei allgemeineren Modellen ist die Summe der Schäden wiederum eine Zufallsvariable und in einem Zeitraum/Periode können mehrere Schäden vorkommen. Beispiele für allgemeinere Modelle findet man z.b. bei Gesundheits-, Automobil- und Eigentumsversicherungen. [4] Hier gilt X = IB (6) X ist hier wieder die Schadenszufallsvariable und B gibt hier die gesamte Schadenshöhe während einer Periode an. I ist hier ein Indikator dafür, ob ein Schaden eintritt (I = 1) oder nicht (I = 0). Weiters gilt wieder P (I = 1) = q (7) 2.3 Mehrere Policen Nun wird eine Methode für die Bestimmung der Verteilung der Summe von unabhängigen Zufallsvariablen anhand eines kurzen Beispiels vorgestellt. Dafür wird die Summe S = X + Y (8) 4
5 zweier unabhängiger Schadenszufallsvariablen betrachtet. In der folgenden Abbildung wird nun das Ereignis S s durch die Linie s = X + Y und durch die darunterliegende Fläche repräsentiert. Somit ist die Verteilungsfunktion von S gleich Abbildung 1: Ereignis[X + Y s] ([4], S.32) F S (s) = P (S s) = P (X + Y s) (9) Nun können wir für 2 diskrete, nichtnegative Zufallsvariablen das Gesetz der totalen Wahrscheinlichkeit verwenden und bekommen F S (s) = y s P (X + Y s Y = y)p (Y = y) (10) = y s P (X s y Y = y)p (Y = y) Für stetige, nichtnegative Zufallsvariablen gilt F S (s) = s 0 P (X s y Y = y)f Y (y)dy (11) Die Funktion aus (11) wird als Faltung bezeichnet. Um die Verteilung einer Summe von mehr als 2 Zufallsvariablen zu bestimmen, wird dieser Faltungsprozess immer wiederholt.[4] Sei S der in (1) definierte Gesamtschaden mit den unabhängigen Zufallsvariablen X i. F i ist die Verteilungsfunktion von X i und F (k) ist die Verteilungsfunktion von X 1 + X X k. Dann gilt F (2) = F 2 F (1) = F 2 F 1 F (3) = F 3 F (2) F (4) = F 4 F (3)... F s = F (n) = F n F (n 1) 5
6 Das individuelle Risikomodell ist ein gutes Modell um den Gesamtschaden einer Periode zu berechnen. Allerdings müssen dafür alle eventuell auftretenden Schäden betrachtet werden, auch wenn nie welche vorkommen. Des weiteren ist die Faltung bis auf einige Ausnahmen relativ schwer zu berechnen. 3 Kollektives Risikomodell Ohne die Annahme identischer Verteilungen, bzw. ähnlicher Verteilungen der Risiken, ist das individuelle Modell nur schwer zu benützen und es können nur wenige Aussagen getroffen werden. [3] Im kollektiven Modell hingegen wird versucht, diese Beschränkung zu vermeiden. Bei diesem Modellierungsansatz wird nicht beachtet, welches Risiko einen Schaden verursacht, sondern das gesamte Portfolio wird als Produzent einer zufälligen Anzahl von Schäden einer Beobachtungsperiode betrachtet. [3] Nun muss man einige Modellannahmen treffen: Man betrachtet ein Portfolio von Versicherungspolicen über einen fixen Zeitraum t = (0, T ]. Die Zufallsvariable für die Anzahl der Schäden wird als N(t) bezeichnet, der Gesamtschaden zum Zeitpunkt t als S(t). Der Zeitraum t beginnt hier bei 0, sodass N(0) = 0. Außerdem gilt wenn N(t) = 0 folgt S(t) = 0. Die Zufallsvariable X i repräsentiert die Höhe des i-ten Schadens. Man nimmt im allgemeinen an, dass die X i identisch verteilt sind und dass die Zufallsvariablen N(t) und die X i unabhängig sind. [4] [5] Definition 3.1: Der Gesamtschaden des Portfolios ist die Zufallsvariable S(t) = X 1 + X X N(t) (12) Die Verteilungsfunktion von S ist je nach Anzahl der Schäden unterschiedlich. Diese sieht folgendermaßen aus: F (x) = P (S x) = P (S x N = n)p (N = n) (13) = n=0 P (X 1 + X X n x)p (N = n) n=0 Auch hier kann man die Faltung anwenden. Dann ergibt sich: P (X 1 + X X n x) = P P... P (x) = P n (x) (14) Daraus folgt F (x) = P n (x)p (N = n) (15) n=0 6
7 3.1 Freie Reserve Die freie Reserve ergibt sich aus dem Ausgangskapital zuzüglich der Prämien abzüglich aller Schäden in einem Zeitintervall. Die freie Reserve zum Zeitpunkt t wir als U(t) bezeichnet. Zusätzlich wird angenommen, dass die Prämien kontinuierlich mit einer konstanten Prämienrate (c > 0) eingehen. [4] Wenn U(0) = u die freie Reserve zum Zeitpunkt 0 ist, dann gilt U(t) = u + ct S(t) t 0 (16) Man beachte, dass die freie Reserve linear mit Steigung c wächst, außer zu den Zeitpunkten an denen Schäden auftreten. Dann verringert sich die freie Reserve um die Höhe des Schadens. So kann es auch passieren, dass die freie Reserve negativ wird. Wenn dies zum 1. Mal passiert, spricht man von einem Ruin. Nun definiert man als Zeitpunkt des Ruins. [4] T = min{t : t 0 und U(t) < 0} (17) Abbildung 2: Veranschaulichung der freien Reserve ([4], S.345) Der Zeitpunkt T i ist jener Zeitpunkt, an dem der i-te Schaden auftritt, wobei zu einem Zeitpunkt nur ein Schaden auftritt. T 1, T 2,... sind Zufallsvariablen wobei T 1 < T 2 <... gilt. Die Zeit zwischen den T i wird als W i bezeichnet und es gilt W i = T i T i 1 und W 1 = T 1 (18) In der Praxis tritt ein Ruin so gut wie nie auf. Wenn eine Versicherunsggesellschaft merkt, dass ihre freie Reserve stark abnimmt, werden die Prämien erhöhen. [2] 3.2 Cramer-Lundberg-Modell Das Cramer-Lundberg-Modell ist ein kollektives Risikomodell mit folgenden Eigenschaften [6]: Die freie Reserve bzw. der Ruin wird wie bereits definiert verwendet. Für die Verteilung der Anzahl der Schäden (N(t)) wird meist die Poisson-Verteilung verwendet. 7
8 Die Wahrscheinlichkeitsfunktion sieht hier folgendermaßen aus P (N(t) = n) = (λt)n e λt n! n = 0, 1, 2,... λ > 0 (19) λ ist hier die Schadensintensität. Diese Wahrscheinlichkeitsfunktion ist gleichbedeutend damit, dass die W i exponential mit λ verteilt sind. Für Erwartungswert und Varianz gilt: E[N(t)] = V ar[n(t)] = λ (20) Mit dieser Verteilung von N(t) ist jetzt S(t) eine zusammengesetzte Poisson-Verteilung: E[S(t)] = λtp 1 und V ar[s(t)] = λtp 2 (21) p 1 und p 2 sind hier der 1. und 2. Moment der Schadenshöhenverteilung. [4] Das Cramer-Lundberg-Modell ist das Standardmodell für die Schadensversicherung. Es trennt und modelliert die 2 wichtigsten Ursachen für große Verluste: häufige Schäden und große Schäden. [6] 3.3 Alternative Modelle Natürlich ist das Cramer-Lundberg-Modell nicht das einzige Risikomodell, welches in der Versicherungsmathematik verwendet wird. Alternative Modelle sind zum Beispiel das Sparre-Andersen-Modell oder der Markov Risikoprozess. [6] Literatur [1] C. Klüppelberg. Risikotheorie. Skriptum, TU München, 2004 [2] H. Albrecher. Finanz- und Versicherungsmathematik 1. Skriptum, TU Graz, 2006 [3] M. Riedle. Risikotheorie. Skriptum, Universität Berlin, 2005 [4] N. Bowers. Actuarial Mathematics. The society of Actuaries, 1986 [5] C. Hipp. Risikotheorie 1. Skriptum, TH Karlsruhe, 2001 [6] Back, Bielecki, Hipp, Peng, Schachermayer. Stochastic Methods in Finance. Springer, Brixen(Italien),
Beispiel 48. 4.3.2 Zusammengesetzte Zufallsvariablen
4.3.2 Zusammengesetzte Zufallsvariablen Beispiel 48 Ein Würfel werde zweimal geworfen. X bzw. Y bezeichne die Augenzahl im ersten bzw. zweiten Wurf. Sei Z := X + Y die Summe der gewürfelten Augenzahlen.
MehrStatistische Thermodynamik I Lösungen zur Serie 1
Statistische Thermodynamik I Lösungen zur Serie Zufallsvariablen, Wahrscheinlichkeitsverteilungen 4. März 2. Zwei Lektoren lesen ein Buch. Lektor A findet 2 Druckfehler, Lektor B nur 5. Von den gefundenen
MehrWürfelt man dabei je genau 10 - mal eine 1, 2, 3, 4, 5 und 6, so beträgt die Anzahl. der verschiedenen Reihenfolgen, in denen man dies tun kann, 60!.
040304 Übung 9a Analysis, Abschnitt 4, Folie 8 Die Wahrscheinlichkeit, dass bei n - maliger Durchführung eines Zufallexperiments ein Ereignis A ( mit Wahrscheinlichkeit p p ( A ) ) für eine beliebige Anzahl
MehrName:... Matrikel-Nr.:... 3 Aufgabe Handyklingeln in der Vorlesung (9 Punkte) Angenommen, ein Student führt ein Handy mit sich, das mit einer Wahrscheinlichkeit von p während einer Vorlesung zumindest
MehrQuantilsschätzung als Werkzeug zur VaR-Berechnung
Quantilsschätzung als Werkzeug zur VaR-Berechnung Ralf Lister, Aktuar, lister@actuarial-files.com Zusammenfassung: Zwei Fälle werden betrachtet und die jeweiligen VaR-Werte errechnet. Im ersten Fall wird
MehrProfessionelle Seminare im Bereich MS-Office
Der Name BEREICH.VERSCHIEBEN() ist etwas unglücklich gewählt. Man kann mit der Funktion Bereiche zwar verschieben, man kann Bereiche aber auch verkleinern oder vergrößern. Besser wäre es, die Funktion
MehrLineargleichungssysteme: Additions-/ Subtraktionsverfahren
Lineargleichungssysteme: Additions-/ Subtraktionsverfahren W. Kippels 22. Februar 2014 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 2 2 Lineargleichungssysteme zweiten Grades 2 3 Lineargleichungssysteme höheren als
Mehr4. Versicherungsangebot
4. Versicherungsangebot Georg Nöldeke Wirtschaftswissenschaftliche Fakultät, Universität Basel Versicherungsökonomie (FS 11) Versicherungsangebot 1 / 13 1. Einleitung 1.1 Hintergrund In einem grossen Teil
MehrMI - Mission Impossible Sind Sie gut versichert? Ein kurzes Beispiel zur Versicherungsmathematik
MI - Mission Impossible Sind Sie gut versichert? Ein kurzes Beispiel zur Versicherungsmathematik Seite 1 Vorstellung Organisation: Deutsche Aktuarvereinigung e.v. (DAV) berufsständische Vertretung der
MehrAUTOMATISIERTE HANDELSSYSTEME
UweGresser Stefan Listing AUTOMATISIERTE HANDELSSYSTEME Erfolgreich investieren mit Gresser K9 FinanzBuch Verlag 1 Einsatz des automatisierten Handelssystems Gresser K9 im Portfoliomanagement Portfoliotheorie
MehrZeichen bei Zahlen entschlüsseln
Zeichen bei Zahlen entschlüsseln In diesem Kapitel... Verwendung des Zahlenstrahls Absolut richtige Bestimmung von absoluten Werten Operationen bei Zahlen mit Vorzeichen: Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren
MehrGüte von Tests. die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art bei der Testentscheidung, nämlich. falsch ist. Darauf haben wir bereits im Kapitel über
Güte von s Grundlegendes zum Konzept der Güte Ableitung der Gütefunktion des Gauss im Einstichprobenproblem Grafische Darstellung der Gütefunktionen des Gauss im Einstichprobenproblem Ableitung der Gütefunktion
MehrWas meinen die Leute eigentlich mit: Grexit?
Was meinen die Leute eigentlich mit: Grexit? Grexit sind eigentlich 2 Wörter. 1. Griechenland 2. Exit Exit ist ein englisches Wort. Es bedeutet: Ausgang. Aber was haben diese 2 Sachen mit-einander zu tun?
MehrInformationsblatt Induktionsbeweis
Sommer 015 Informationsblatt Induktionsbeweis 31. März 015 Motivation Die vollständige Induktion ist ein wichtiges Beweisverfahren in der Informatik. Sie wird häufig dazu gebraucht, um mathematische Formeln
Mehra n + 2 1 auf Konvergenz. Berechnen der ersten paar Folgenglieder liefert:
Beispiel: Wir untersuchen die rekursiv definierte Folge a 0 + auf Konvergenz. Berechnen der ersten paar Folgenglieder liefert: ( ) (,, 7, 5,...) Wir können also vermuten, dass die Folge monoton fallend
MehrKfz-Versicherung für Fahranfänger. mit der Lizenz zum Fahren
Kfz-Versicherung für Fahranfänger mit der Lizenz zum Fahren startklar? Geschafft endlich der Führerschein! Nur das eigene Auto fehlt noch. Aber: Sie dürfen den Wagen Ihrer Eltern nutzen und so Ihr Können
MehrW-Rechnung und Statistik für Ingenieure Übung 11
W-Rechnung und Statistik für Ingenieure Übung 11 Christoph Kustosz (kustosz@statistik.tu-dortmund.de) Mathematikgebäude Raum 715 Christoph Kustosz (kustosz@statistik.tu-dortmund.de) W-Rechnung und Statistik
Mehrgeben. Die Wahrscheinlichkeit von 100% ist hier demnach nur der Gehen wir einmal davon aus, dass die von uns angenommenen
geben. Die Wahrscheinlichkeit von 100% ist hier demnach nur der Vollständigkeit halber aufgeführt. Gehen wir einmal davon aus, dass die von uns angenommenen 70% im Beispiel exakt berechnet sind. Was würde
Mehr2. Gesundheitsfinanzierung
2. Gesundheitsfinanzierung Inhalte dieses Abschnitts 2.1 Grundmodell der Versicherung Versicherungsmotiv Optimale Versicherungsnachfrage Aktuarisch faire und unfaire Prämien 145 2.1 Grundmodell der Versicherung
Mehr1. Änderungsmitteilungen
Auf dieser Seite bieten wir Ihnen zahlreiche Formularvorlagen für den Umgang mit Behörden, Banken und Versicherungen. 1. Änderungsmitteilungen An die Eureka - Checkliste für den Umzug - Umzugsmeldung an
MehrPrimzahlen und RSA-Verschlüsselung
Primzahlen und RSA-Verschlüsselung Michael Fütterer und Jonathan Zachhuber 1 Einiges zu Primzahlen Ein paar Definitionen: Wir bezeichnen mit Z die Menge der positiven und negativen ganzen Zahlen, also
MehrAustausch- bzw. Übergangsprozesse und Gleichgewichtsverteilungen
Austausch- bzw. Übergangsrozesse und Gleichgewichtsverteilungen Wir betrachten ein System mit verschiedenen Zuständen, zwischen denen ein Austausch stattfinden kann. Etwa soziale Schichten in einer Gesellschaft:
MehrBerechnung der Erhöhung der Durchschnittsprämien
Wolfram Fischer Berechnung der Erhöhung der Durchschnittsprämien Oktober 2004 1 Zusammenfassung Zur Berechnung der Durchschnittsprämien wird das gesamte gemeldete Prämienvolumen Zusammenfassung durch die
MehrKugel-Fächer-Modell. 1fach. 3fach. Für die Einzelkugel gibt es 3 Möglichkeiten. 6fach. 3! Möglichkeiten
Kugel-Fächer-Modell n Kugeln (Rosinen) sollen auf m Fächer (Brötchen) verteilt werden, zunächst 3 Kugeln auf 3 Fächer. 1fach 3fach Für die Einzelkugel gibt es 3 Möglichkeiten } 6fach 3! Möglichkeiten Es
MehrBONUS MALUS SYSTEME UND MARKOV KETTEN
Fakultät Mathematik und Naturwissenschaften, Fachrichtung Mathematik, Institut für Mathematische Stochastik BONUS MALUS SYSTEME UND MARKOV KETTEN Klaus D. Schmidt Ringvorlesung TU Dresden Fakultät MN,
MehrErläuterungen zu Leitlinien zum Untermodul Krankenversicherungskatastrophenrisiko
Erläuterungen zu Leitlinien zum Untermodul Krankenversicherungskatastrophenrisiko Die nachfolgenden Ausführungen in deutscher Sprache sollen die EIOPA- Leitlinien erläutern. Während die Leitlinien auf
MehrAusarbeitung des Seminarvortrags zum Thema
Ausarbeitung des Seminarvortrags zum Thema Anlagepreisbewegung zum Seminar Finanzmathematische Modelle und Simulationen bei Raphael Kruse und Prof. Dr. Wolf-Jürgen Beyn von Imke Meyer im W9/10 Anlagepreisbewegung
Mehrq = 1 p = 0.8 0.2 k 0.8 10 k k = 0, 1,..., 10 1 1 0.8 2 + 10 0.2 0.8 + 10 9 1 2 0.22 1 = 0.8 8 [0.64 + 1.6 + 1.8] = 0.678
Lösungsvorschläge zu Blatt 8 X binomialverteilt mit p = 0. und n = 10: a PX = = 10 q = 1 p = 0.8 0. 0.8 10 = 0, 1,..., 10 PX = PX = 0 + PX = 1 + PX = 10 10 = 0. 0 0.8 10 + 0. 1 0.8 9 + 0 1 10 = 0.8 8 [
MehrBei einem solchen Versicherungsvertrag wollen die guten Risiken keine Volldeckung haben. Sie streben stattdessen den Punkt F an.
Neue Institutionenökonomik, ufgabe 11 und 12 Seite 1 ufgabe 11 Von Zeit zu Zeit wird die Forderung erhoben, dass private Krankenversicherer eine einheitliche Krankenversicherungsprämie für Frauen und Männer
MehrUniversität Bonn 28. Juli 2010 Fachbereich Rechts- und Wirtschaftswissenschaften Statistische Abteilung Prof. Dr. A. Kneip. KLAUSUR Statistik B
Universität Bonn 28. Juli 2010 Fachbereich Rechts- und Wirtschaftswissenschaften Statistische Abteilung Prof. Dr. A. Kneip Sommersemester 2010 KLAUSUR Statistik B Hinweise zur Bearbeitung: Bei allen Teilaufgaben
MehrBerufsunfähigkeit trifft jeden Vierten. Sehr gut, dann bei der SV zu sein.
S V b e ru f s u n fä h i g k e i t s v e r s i c h e ru n g Berufsunfähigkeit trifft jeden Vierten. Sehr gut, dann bei der SV zu sein. Was auch passiert: Sparkassen-Finanzgruppe www.sparkassenversicherung.de
Mehr~~ Swing Trading Strategie ~~
~~ Swing Trading Strategie ~~ Ebook Copyright by Thomas Kedziora www.forextrade.de Die Rechte des Buches Swing Trading Strategie liegen beim Autor und Herausgeber! -- Seite 1 -- Haftungsausschluss Der
MehrAnhand des bereits hergeleiteten Models erstellen wir nun mit der Formel
Ausarbeitung zum Proseminar Finanzmathematische Modelle und Simulationen bei Raphael Kruse und Prof. Dr. Wolf-Jürgen Beyn zum Thema Simulation des Anlagenpreismodels von Simon Uphus im WS 09/10 Zusammenfassung
MehrVerteilungsmodelle. Verteilungsfunktion und Dichte von T
Verteilungsmodelle Verteilungsfunktion und Dichte von T Survivalfunktion von T Hazardrate von T Beziehungen zwischen F(t), S(t), f(t) und h(t) Vorüberlegung zu Lebensdauerverteilungen Die Exponentialverteilung
MehrDas Leitbild vom Verein WIR
Das Leitbild vom Verein WIR Dieses Zeichen ist ein Gütesiegel. Texte mit diesem Gütesiegel sind leicht verständlich. Leicht Lesen gibt es in drei Stufen. B1: leicht verständlich A2: noch leichter verständlich
MehrDas große ElterngeldPlus 1x1. Alles über das ElterngeldPlus. Wer kann ElterngeldPlus beantragen? ElterngeldPlus verstehen ein paar einleitende Fakten
Das große x -4 Alles über das Wer kann beantragen? Generell kann jeder beantragen! Eltern (Mütter UND Väter), die schon während ihrer Elternzeit wieder in Teilzeit arbeiten möchten. Eltern, die während
MehrPKV-Info. Lohnt der Wechsel innerhalb der PKV?
PKV-Info Lohnt der Wechsel innerhalb der PKV? 2 Die Unternehmen der privaten Krankenversicherung (PKV) stehen miteinander im Wettbewerb. Das ist so gewollt, zum Nutzen der Versicherten. Denn jeder Wettbewerb
Mehr5.Unsicherheit. 5.1WahrscheinlichkeitundRisiko
1 5.Unsicherheit Bisher sind wir von vollständiger Planungssicherheit seitens der Entscheidungsträger ausgegangen. Dies trifft in vielen Fällen natürlich nicht den Kern eines Entscheidungsproblems.Wennz.B.eineEntscheidungfürdenKaufvonAktiengetroffen
Mehry 1 2 3 4 5 6 P (Y = y) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6
Fachhochschule Köln Fakultät für Wirtschaftswissenschaften Prof. Dr. Arrenberg Raum 221, Tel. 39 14 jutta.arrenberg@fh-koeln.de Übungen zur Statistik für Prüfungskandidaten und Prüfungskandidatinnen Unabhängigkeit
MehrERGÄNZUNGEN ZUR ANALYSIS II MITTELWERTSATZ UND ANWENDUNGEN
ERGÄNZUNGEN ZUR ANALYSIS II MITTELWERTSATZ UND ANWENDUNGEN CHRISTIAN HARTFELDT. Zweiter Mittelwertsatz Der Mittelwertsatz Satz VI.3.4) lässt sich verallgemeinern zu Satz.. Seien f, g : [a, b] R auf [a,
Mehr16 Risiko und Versicherungsmärkte
16 Risiko und Versicherungsmärkte Entscheidungen bei Unsicherheit sind Entscheidungen, die mehrere mögliche Auswirkungen haben. Kauf eines Lotterieloses Kauf einer Aktie Mitnahme eines Regenschirms Abschluss
MehrKorrigenda Handbuch der Bewertung
Korrigenda Handbuch der Bewertung Kapitel 3 Abschnitt 3.5 Seite(n) 104-109 Titel Der Terminvertrag: Ein Beispiel für den Einsatz von Future Values Änderungen In den Beispielen 21 und 22 ist der Halbjahressatz
Mehri x k k=1 i u i x i v i 1 0,2 24 24 0,08 2 0,4 30 54 0,18 3 0,6 54 108 0,36 4 0,8 72 180 0,60 5 1,0 120 300 1,00 2,22 G = 1 + 1 n 2 n i=1
1. Aufgabe: Der E-Commerce-Umsatz (in Millionen Euro) der fünf größten Online- Shopping-Clubs liegt wie folgt vor: Club Nr. Umsatz 1 120 2 72 3 54 4 30 5 24 a) Bestimmen Sie den Ginikoeffizienten. b) Zeichnen
MehrDie Invaliden-Versicherung ändert sich
Die Invaliden-Versicherung ändert sich 1 Erklärung Die Invaliden-Versicherung ist für invalide Personen. Invalid bedeutet: Eine Person kann einige Sachen nicht machen. Wegen einer Krankheit. Wegen einem
MehrNaturgewalten & Risikoempfinden
Naturgewalten & Risikoempfinden Eine aktuelle Einschätzung durch die TIROLER Bevölkerung Online-Umfrage Juni 2015 Eckdaten zur Untersuchung - Online-Umfrage von 11.-17. Juni 2015 - Themen... - Einschätzung
Mehr1. Man schreibe die folgenden Aussagen jeweils in einen normalen Satz um. Zum Beispiel kann man die Aussage:
Zählen und Zahlbereiche Übungsblatt 1 1. Man schreibe die folgenden Aussagen jeweils in einen normalen Satz um. Zum Beispiel kann man die Aussage: Für alle m, n N gilt m + n = n + m. in den Satz umschreiben:
MehrDeckungskapital. Proseminar Versicherungsmathematik. TU Graz. 11. Dezember 2007
Deckungskapital Gülnur Adanç Proseminar Versicherungsmathematik TU Graz 11. Dezember 2007 1 Inhaltsverzeichnis 1 Deckungskapital 2 1.1 Prospektive und Retrospektive Methode.................... 3 1.1.1
MehrAufgabenset 1 (abzugeben 16.03.2012 an LK@wacc.de)
Aufgabenset 1 (abzugeben 16.03.2012 an LK@wacc.de) Aufgabe 1 Betrachten Sie die Cashflows der Abbildung 1 (Auf- und Abwärtsbewegungen finden mit gleicher Wahrscheinlichkeit statt). 1 Nehmen Sie an, dass
MehrBox-and-Whisker Plot -0,2 0,8 1,8 2,8 3,8 4,8
. Aufgabe: Für zwei verschiedene Aktien wurde der relative Kurszuwachs (in % beobachtet. Aus den jeweils 20 Quartaldaten ergaben sich die folgenden Box-Plots. Box-and-Whisker Plot Aktie Aktie 2-0,2 0,8,8
MehrLetzte Krankenkassen streichen Zusatzbeiträge
Zusatzbeiträge - Gesundheitsfonds Foto: D. Claus Einige n verlangten 2010 Zusatzbeiträge von ihren Versicherten. Die positive wirtschaftliche Entwicklung im Jahr 2011 ermöglichte den n die Rücknahme der
MehrAlle gehören dazu. Vorwort
Alle gehören dazu Alle sollen zusammen Sport machen können. In diesem Text steht: Wie wir dafür sorgen wollen. Wir sind: Der Deutsche Olympische Sport-Bund und die Deutsche Sport-Jugend. Zu uns gehören
MehrZahlenwinkel: Forscherkarte 1. alleine. Zahlenwinkel: Forschertipp 1
Zahlenwinkel: Forscherkarte 1 alleine Tipp 1 Lege die Ziffern von 1 bis 9 so in den Zahlenwinkel, dass jeder Arm des Zahlenwinkels zusammengezählt das gleiche Ergebnis ergibt! Finde möglichst viele verschiedene
MehrLösungshinweise zur Einsendearbeit 2 SS 2011
Lösungshinweise zur Einsendearbeit 2 zum Kurs 41500, Finanzwirtschaft: Grundlagen, SS2011 1 Lösungshinweise zur Einsendearbeit 2 SS 2011 Finanzwirtschaft: Grundlagen, Kurs 41500 Aufgabe Finanzierungsbeziehungen
MehrGründe für fehlende Vorsorgemaßnahmen gegen Krankheit
Gründe für fehlende Vorsorgemaßnahmen gegen Krankheit politische Lage verlassen sich auf Familie persönliche, finanzielle Lage meinen, sich Vorsorge leisten zu können meinen, sie seien zu alt nicht mit
MehrBerufsunfähigkeit trifft jeden Vierten. Gut, dann bei der SV versichert zu sein.
Berufsunfähigkeit trifft jeden Vierten. Gut, dann bei der SV versichert zu sein. Sparkassen-Finanzgruppe Sichern Sie mit der Berufsunfähigkeitsversicherung Ihre Existenz ab. Ihr größtes Vermögen sind nicht
MehrEin möglicher Unterrichtsgang
Ein möglicher Unterrichtsgang. Wiederholung: Bernoulli Experiment und Binomialverteilung Da der sichere Umgang mit der Binomialverteilung, auch der Umgang mit dem GTR und den Diagrammen, eine notwendige
MehrBerufsunfähigkeit trifft jeden Vierten. Sehr gut, dann bei der SV versichert zu sein.
Berufsunfähigkeit trifft jeden Vierten. Sehr gut, dann bei der SV versichert zu sein. Sparkassen-Finanzgruppe Sichern Sie mit der Berufsunfähigkeitsversicherung Ihre Existenz ab. Ihr größtes Vermögen sind
Mehr40-Tage-Wunder- Kurs. Umarme, was Du nicht ändern kannst.
40-Tage-Wunder- Kurs Umarme, was Du nicht ändern kannst. Das sagt Wikipedia: Als Wunder (griechisch thauma) gilt umgangssprachlich ein Ereignis, dessen Zustandekommen man sich nicht erklären kann, so dass
MehrIRF2000 Application Note Lösung von IP-Adresskonflikten bei zwei identischen Netzwerken
Version 2.0 1 Original-Application Note ads-tec GmbH IRF2000 Application Note Lösung von IP-Adresskonflikten bei zwei identischen Netzwerken Stand: 27.10.2014 ads-tec GmbH 2014 IRF2000 2 Inhaltsverzeichnis
MehrBasis und Dimension. Als nächstes wollen wir die wichtigen Begriffe Erzeugendensystem und Basis eines Vektorraums definieren.
Basis und Dimension Als nächstes wollen wir die wichtigen Begriffe Erzeugendensystem und Basis eines Vektorraums definieren. Definition. Sei V ein K-Vektorraum und (v i ) i I eine Familie von Vektoren
MehrGrundbegriffe der Informatik
Grundbegriffe der Informatik Einheit 15: Reguläre Ausdrücke und rechtslineare Grammatiken Thomas Worsch Universität Karlsruhe, Fakultät für Informatik Wintersemester 2008/2009 1/25 Was kann man mit endlichen
MehrDer wachsende Berufsunfähigkeitsschutz SV Start-Easy-BU.
SV STart-easy-bu Der wachsende Berufsunfähigkeitsschutz für junge Leute. SV Start-Easy-BU. Was auch passiert: Sparkassen-Finanzgruppe www.sparkassenversicherung.de Weiter mit im Leben dabei auch bei Berufsunfähigkeit.
MehrStand: 27.04.15/ V. Seiler. Erziehungsberechtigte/r. Vor- und Zuname. Geb. am: Straße: Kinder und Betreuungszeiten:
Erziehungsberechtigte/r Vor- u. Zuname: Geb. am: Straße: PLZ/Ort: Telefon: Ortsteil: Handy: Kinder und Betreuungszeiten: Vor- und Zuname Geb.-Datum Besonderheiten (z. B. Krankheiten, Allergien, besondere
MehrMelanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 1
7. Hypothesentests Ausgangssituation: Man muss sich zwischen 2 Möglichkeiten (=Hypothesen) entscheiden. Diese Entscheidung soll mit Hilfe von Beobachtungen ( Stichprobe ) getroffen werden. Die Hypothesen
MehrKorrelation (II) Korrelation und Kausalität
Korrelation (II) Korrelation und Kausalität Situation: Seien X, Y zwei metrisch skalierte Merkmale mit Ausprägungen (x 1, x 2,..., x n ) bzw. (y 1, y 2,..., y n ). D.h. für jede i = 1, 2,..., n bezeichnen
MehrTechnische Analyse der Zukunft
Technische Analyse der Zukunft Hier werden die beiden kurzen Beispiele des Absatzes auf der Homepage mit Chart und Performance dargestellt. Einfache Einstiege reichen meist nicht aus. Der ALL-IN-ONE Ultimate
Mehreinfache Rendite 0 145 85 1 160 90 2 135 100 3 165 105 4 190 95 5 210 110
Übungsbeispiele 1/6 1) Vervollständigen Sie folgende Tabelle: Nr. Aktie A Aktie B Schlusskurs in Schlusskurs in 0 145 85 1 160 90 2 135 100 3 165 105 4 190 95 5 210 110 Arithmetisches Mittel Standardabweichung
MehrUnterrichtsmaterialien in digitaler und in gedruckter Form. Auszug aus: Übungsbuch für den Grundkurs mit Tipps und Lösungen: Analysis
Unterrichtsmaterialien in digitaler und in gedruckter Form Auszug aus: Übungsbuch für den Grundkurs mit Tipps und Lösungen: Analysis Das komplette Material finden Sie hier: Download bei School-Scout.de
MehrR ist freie Software und kann von der Website. www.r-project.org
R R ist freie Software und kann von der Website heruntergeladen werden. www.r-project.org Nach dem Herunterladen und der Installation von R kann man R durch Doppelklicken auf das R-Symbol starten. R wird
MehrNews Aktuelles aus Politik, Wirtschaft und Recht 08.05.12 Velovignette Verlag Fuchs AG
News Aktuelles aus Politik, Wirtschaft und Recht 08.05.12 Velovignette Die Velovignette ist tot wer zahlt jetzt bei Schäden? Seit 1. Januar 2012 ist die Velovignette nicht mehr nötig. Die Vignette 2011
MehrDamit auch Sie den richtigen Weg nehmen können die 8 wichtigsten Punkte, die Sie bei der Beantragung Ihrer Krankenversicherung beachten sollten:
Damit auch Sie den richtigen Weg nehmen können die 8 wichtigsten Punkte, die Sie bei der Beantragung Ihrer Krankenversicherung beachten sollten: Herzlich Willkommen bei der mehr-finanz24 GmbH Mit uns haben
MehrInhalt 1. Was wird gefördert? Bausparverträge
Inhalt 1. Was wird gefördert? 2. Wie viel Prozent bringt das? 3. In welchem Alter ist das sinnvoll? 4. Wie viel muss man sparen? 5. Bis zu welchem Einkommen gibt es Förderung? 6. Wie groß sollten die Verträge
MehrProfil A 49,3 48,2 50,7 50,9 49,8 48,7 49,6 50,1 Profil B 51,8 49,6 53,2 51,1 51,1 53,4 50,7 50 51,5 51,7 48,8
1. Aufgabe: Eine Reifenfirma hat für Winterreifen unterschiedliche Profile entwickelt. Bei jeweils gleicher Geschwindigkeit und auch sonst gleichen Bedingungen wurden die Bremswirkungen gemessen. Die gemessenen
MehrWas bedeutet Inklusion für Geschwisterkinder? Ein Meinungsbild. Irene von Drigalski Geschäftsführerin Novartis Stiftung FamilienBande.
Was bedeutet Inklusion für Geschwisterkinder? unterstützt von Ein Meinungsbild - Irene von Drigalski Geschäftsführerin Novartis Stiftung FamilienBande Haben Sie Kontakt zu Geschwistern schwer chronisch
MehrNISSAN FINANCE MIT NISSAN FINANCE BRINGEN SIE AUCH UNERWARTETE EREIGNISSE NICHT AUS DER RUHE
NISSAN FINANCE MIT NISSAN FINANCE BRINGEN SIE AUCH UNERWARTETE EREIGNISSE NICHT AUS DER RUHE HERZLICHEN GLÜCKWUNSCH! Sie interessieren sich für ein innovatives Fahrzeug und die dazu passende, erstklassige
MehrInhaltsübersicht Produktinformationsblatt zur Jahres-Reiserücktritts-Versicherung der Europäische Reiseversicherung AG
Inhaltsübersicht Produktinformationsblatt zur Jahres-Reiserücktritts-Versicherung der Europäische Reiseversicherung AG 1. Produktinformationsblatt zur Jahres-Reiserücktritts-Versicherung mit Selbstbeteiligung
MehrSenkung des technischen Zinssatzes und des Umwandlungssatzes
Senkung des technischen Zinssatzes und des Umwandlungssatzes Was ist ein Umwandlungssatz? Die PKE führt für jede versicherte Person ein individuelles Konto. Diesem werden die Beiträge, allfällige Einlagen
MehrEva Douma: Die Vorteile und Nachteile der Ökonomisierung in der Sozialen Arbeit
Eva Douma: Die Vorteile und Nachteile der Ökonomisierung in der Sozialen Arbeit Frau Dr. Eva Douma ist Organisations-Beraterin in Frankfurt am Main Das ist eine Zusammen-Fassung des Vortrages: Busines
MehrJAN HÖNLE. Checkliste Tierversicherungen
JAN HÖNLE Checkliste Tierversicherungen Auf diese Insider Tipps müssen Sie achten, um Ihr Haustier richtig, gut und günstig zu versichern Die Checkliste für Ihre Tierversicherungen Auf diese Insider-Tipps
MehrBewertung von Barriere Optionen im CRR-Modell
Bewertung von Barriere Optionen im CRR-Modell Seminararbeit von Susanna Wankmueller. April 00 Barriere Optionen sind eine Sonderform von Optionen und gehören zu den exotischen Optionen. Sie dienen dazu,
MehrPhysik 4, Übung 8, Prof. Förster
Physik 4, Übung 8, Prof. Förster Christoph Hansen Emailkontakt Dieser Text ist unter dieser Creative Commons Lizenz veröffentlicht. Ich erhebe keinen Anspruch auf Vollständigkeit oder Richtigkeit. Falls
Mehr8. Cash flow. Lernziele: Den Cash flow mit der Grundformel (Praktikerformel) berechnen können.
8. Cash flow Lernziele: Den Begriff Cash flow definieren und erläutern können. Lernziele Den Cash flow mit der Grundformel (Praktikerformel) berechnen können. Der Cash flow gehört zweifelsfrei zu den am
MehrLebensversicherung. http://www.konsument.at/cs/satellite?pagename=konsument/magazinartikel/printma... OBJEKTIV UNBESTECHLICH KEINE WERBUNG
Seite 1 von 6 OBJEKTIV UNBESTECHLICH KEINE WERBUNG Lebensversicherung Verschenken Sie kein Geld! veröffentlicht am 11.03.2011, aktualisiert am 14.03.2011 "Verschenken Sie kein Geld" ist der aktuelle Rat
MehrIhre Joker für eine entspannte Vorsorge
Ihre oker für eine entspannte Vorsorge GarantiePlus Pflegeption GarantiePlus Ihr Vorsorge-oker in oker ist immer etwas Besonderes, denn damit haben Sie einen Trumpf in der Hand. So wie unsere neue Leistung
MehrGrundlagen der Theoretischen Informatik, SoSe 2008
1. Aufgabenblatt zur Vorlesung Grundlagen der Theoretischen Informatik, SoSe 2008 (Dr. Frank Hoffmann) Lösung von Manuel Jain und Benjamin Bortfeldt Aufgabe 2 Zustandsdiagramme (6 Punkte, wird korrigiert)
MehrWichtiges Thema: Ihre private Rente und der viel zu wenig beachtete - Rentenfaktor
Wichtiges Thema: Ihre private Rente und der viel zu wenig beachtete - Rentenfaktor Ihre private Gesamtrente setzt sich zusammen aus der garantierten Rente und der Rente, die sich aus den über die Garantieverzinsung
MehrZwischenablage (Bilder, Texte,...)
Zwischenablage was ist das? Informationen über. die Bedeutung der Windows-Zwischenablage Kopieren und Einfügen mit der Zwischenablage Vermeiden von Fehlern beim Arbeiten mit der Zwischenablage Bei diesen
MehrDas Persönliche Budget in verständlicher Sprache
Das Persönliche Budget in verständlicher Sprache Das Persönliche Budget mehr Selbstbestimmung, mehr Selbstständigkeit, mehr Selbstbewusstsein! Dieser Text soll den behinderten Menschen in Westfalen-Lippe,
MehrLeichte-Sprache-Bilder
Leichte-Sprache-Bilder Reinhild Kassing Information - So geht es 1. Bilder gucken 2. anmelden für Probe-Bilder 3. Bilder bestellen 4. Rechnung bezahlen 5. Bilder runterladen 6. neue Bilder vorschlagen
MehrHIER GEHT ES UM IHR GUTES GELD ZINSRECHNUNG IM UNTERNEHMEN
HIER GEHT ES UM IHR GUTES GELD ZINSRECHNUNG IM UNTERNEHMEN Zinsen haben im täglichen Geschäftsleben große Bedeutung und somit auch die eigentliche Zinsrechnung, z.b: - Wenn Sie Ihre Rechnungen zu spät
MehrGibt es einen Geschmacksunterschied zwischen Coca Cola und Cola Zero?
Gibt es einen Geschmacksunterschied zwischen Coca Cola und Cola Zero? Manche sagen: Ja, manche sagen: Nein Wie soll man das objektiv feststellen? Kann man Geschmack objektiv messen? - Geschmack ist subjektiv
MehrVorsorgestiftung für Gesundheit und Soziales. Reglement über die Bildung und Auflösung von technischen Rückstellungen
Vorsorgestiftung für Gesundheit und Soziales Reglement über die Bildung und Auflösung von technischen Rückstellungen Sarnen, 1. Januar 2006 Inhaltsverzeichnis 1. Grundsätze und Ziele 1 1.1 Einleitung 1
MehrZinseszins- und Rentenrechnung
Zinseszins- und Rentenrechnung 1 Berechnen Sie den Zeitpunkt, an dem sich das Einlagekapital K bei a) jährlicher b) monatlicher c) stetiger Verzinsung verdoppelt hat, wobei i der jährliche nominelle Zinssatz
MehrAZK 1- Freistil. Der Dialog "Arbeitszeitkonten" Grundsätzliches zum Dialog "Arbeitszeitkonten"
AZK 1- Freistil Nur bei Bedarf werden dafür gekennzeichnete Lohnbestandteile (Stundenzahl und Stundensatz) zwischen dem aktuellen Bruttolohnjournal und dem AZK ausgetauscht. Das Ansparen und das Auszahlen
MehrInfo zum Zusammenhang von Auflösung und Genauigkeit
Da es oft Nachfragen und Verständnisprobleme mit den oben genannten Begriffen gibt, möchten wir hier versuchen etwas Licht ins Dunkel zu bringen. Nehmen wir mal an, Sie haben ein Stück Wasserrohr mit der
MehrACDSee Pro 2. ACDSee Pro 2 Tutorials: Übertragung von Fotos (+ Datenbank) auf einen anderen Computer. Über Metadaten und die Datenbank
Tutorials: Übertragung von Fotos (+ ) auf einen anderen Computer Export der In dieser Lektion erfahren Sie, wie Sie am effektivsten Fotos von einem Computer auf einen anderen übertragen. Wenn Sie Ihre
MehrAnleitung über den Umgang mit Schildern
Anleitung über den Umgang mit Schildern -Vorwort -Wo bekommt man Schilder? -Wo und wie speichert man die Schilder? -Wie füge ich die Schilder in meinen Track ein? -Welche Bauteile kann man noch für Schilder
MehrFalten regelmäßiger Vielecke
Blatt 1 Gleichseitige Dreiecke Ausgehend von einem quadratischen Stück Papier kann man ohne weiteres Werkzeug viele interessante geometrische Figuren nur mit den Mitteln des Papierfaltens (Origami) erzeugen.
Mehr1 topologisches Sortieren
Wolfgang Hönig / Andreas Ecke WS 09/0 topologisches Sortieren. Überblick. Solange noch Knoten vorhanden: a) Suche Knoten v, zu dem keine Kante führt (Falls nicht vorhanden keine topologische Sortierung
Mehr