vorschüssige, lebenslängliche Leibrente (whole life annuity-due) Vorschüssige jährliche Zahlungen von 1, solange die versicherte Person am Leben ist.

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1 4. Leibrenten vorschüssige, lebenslängliche Leibrente (whole life annuity-due) Vorschüssige jährliche Zahlungen von 1, solange die versicherte Person am Leben ist. NEP ä x : Y = 1 + v + v v K = ä K+1 ä x = E[Y ] = ä k+1 P (K = k) = ä k+1 kp x q x+k Y kann auch so geschrieben werden: Y = v k 1I {K k}, also ä x = v k kp x Weiters gilt, daß Y = 1 vk+1 d. 1

2 temporär, Dauer n (n temporary life annuitydue) Vorschüssige jährliche Zahlungen von 1, solange die versicherte Person am Leben ist. Y = ä K+1 1I {K n 1} + ä n 1I {K>n 1} NEP ä x:n : ä x:n = E[Y ] = n 1 ä k+1 kp x q x+k + ä n np x Und es gilt analog zum lebenslänglichen Fall ä x:n = n 1 v k kp x Weiters gilt ä x:n = 1 vmin(k+1,n) d. 2

3 m Jahre aufgeschoben (m year deferred life annuity-due) NEP m ä x : Y = ( v m + v m v K) 1I {K m} und m ä x = ä x ä x:m m ä x = m p x v m ä x+m 3

4 nachschüssig, ewig Jährliche nachschüssige Zahlungen von 1, solange die versicherte Person am Leben ist. Y = v + v v K = a K Es gilt für die NEP a x : a x = ä x 1 4

5 allgemeine Leibrente Zahlungen von r 0, r 1, r 2,... zu den Zeitpunkten 0, 1,..., K. Y = v k r k 1I {K k} NEP E[Y ] = v k r k k p x Spezialfall r k = k + 1: NEP (Iä) x (Iä) x = v k (k + 1) k p x 5

6 5) Nettoprämien Versicherung definiert: Leistungen, die der Versicherer erbringt Prämien, die vom Versicherten bezahlt werden 3 Möglichkeiten für die Prämien: 1. Einmalprämie 2a. periodische Prämien in konstanter Höhe 2b. periodische Prämien in variabler Höhe Prämien werden vorschüssig bezahlt. L...Verlust, den der Versicherer erleidet = Differenz zwischen BW der Leistungen und BW der Prämien Nettoprämien, falls E[L] = 0. Fall 1. siehe NEP. 6

7 Beispiel: Temporäre Ablebensversicherung für (40). Dauer: 10 Jahre, versicherte Summe: C, zahlbar am Ende des allfälligen Todesjahres. Jährliche Prämie: Π zahlbar am Anfang jedes Jahres, solange der Versicherte lebt und maximal 10 Jahre lang. L = ) (Cv K+1 Πä K+1 1I {K 9} Πä 10 1I {K 10} Es gilt: P (L = Cv k+1 Πä k+1 ) = k p 40 q 40+k für k = 0,..., 9 und P (L = Πä 10 ) = 10 p 40. Jährliche Nettoprämie: E[L] = 0 ergibt CA 1 40:10 Πä 40:10 = 0 A 1 40:10 Π = C ä 40:10 7

8 Ablebensversicherung (Life Insurance): a) Lebenslänglich (whole life): jährliche Nettoprämie wird mit P x gilt: bezeichnet, und es L = v K+1 P x ä K+1 E[L] = 0 P x = A x ä x b) Temporär (term insurance): jährliche Nettoprämie: P 1 x:n und L = ( ) v K+1 Px:n äk+1 1 1I {0 K n 1} Px:n än 1I 1 {K n} E[L] = A 1 x:n P 1 x:n äx:n = 0 P 1 x:n = A1 x:n ä x:n 8

9 Erlebensversicherung (Pure endowment): jährliche NP: P 1 x:n ( ) L = Px:n äk+1 1 1I {0 K n 1} + v n Px:n än 1 1I {K n} E[L] = 0 Px:n 1 = A x:n 1 ä x:n Er- und Ablebensversicherung (Endowment): jährliche NP: P x:n P x:n = A x:n ä x:n P x:n = P 1 x:n + P 1 x:n 9

10 allgemeine Ablebensversicherung: c j Versicherungssumme im Jahr j. Jährliche Prämien Π 0, Π 1, Π 2,..., wobei Π k die Prämie ist, die zur Zeit k fällig ist. L = c K+1 v K+1 K Π k v k Die Prämien sind Nettoprämien, falls E[L] = 0, d.h. falls: c k+1 v k+1 kp x q x+k = Π k v k kp x 10

11 6. Nettodeckungskapital (net premium reserves) Betrachte durch Nettoprämien finanzierte Versicherung. Äquivalenzprinzip: zum Zeitpunkt des Abschlusses ist E[L] = 0. Zu einem späteren Zeitpunkt besteht im allgemeinen keine Äquivalenz mehr zwischen zukünftigen Prämien und Leistungen. tl... Differenz zwischen BW zukünftiger Leistungen und BW zukünftiger Prämien zum Zeitpunkt t Nettodeckungskapital tv = Erwartungswert von t L gegeben, daß T > t. In der Praxis: tv 0 11

12 Er- und Ablebensv.: Dauer n, Versicherungssumme 1 Deckungskapital am Ende des Jahres k... kv x:n kv x:n = A x+k:n k P x:n ä x+k:n k, k = 0, 1,..., n 1 12

13 Ablebensversicherung (Life Insurance): a) Lebenslänglich (whole life): Deckungskapital am Ende des Jahres k kv x = A x+k P x ä x+k b) Temporär (term insurance): Deckungskapital am Ende des Jahres k kv 1 x:n = A1 x+k:n k P 1 x:n äx+k:n k 13

14 Rekursion: Betrachte allgemeine Ablebensversicherung, dann ist wieder K L = c K+1 v K+1 Π k v k. Es gilt für k V : kv = c k+j+1 v j+1 jp x+k q x+k+j Π k+j v j jp x+k j=0 j=0 Umformung durch Einsetzen von j p x+k = p x+k j 1 p x+k+1 ergibt folgende Relation zwischen k V und k+1 V : kv + Π k = v (c k+1 q x+k + p x+k k+1 V ) 14

15 Es gilt auch kv + Π k = v [ k+1 V + (c k+1 k+1 V )q x+k ]. wobei Π k = Π s k + Πr k, Π s k = v k+1v k V Π r k = v(c k+1 k+1 V )q x+k. Π s k... Sparprämie, Πr k... Risikoprämie Es gilt: jv = j 1 (1 + i) j k Π s k 15

16 Umwandlung einer Versicherung: Beispiel: Umwandlung einer Versicherung in eine prämienfreie Versicherung. Betrachte lebenslängliche Todesfallversicherung für (x), Versicherungssumme 1, finanziert durch jährliche Prämien P x. Angenommen die versicherte Person ist zur Zeit k am Leben und möchte ab diesem Zeitpunkt keine Prämien mehr zahlen. Dann kann k V x als NEP für eine lebenslängliche Todesfallversicherung verwendet werden, die Versicherungssumme ist dann: kv x A x+k = 1 P x P x+k. 16