Kapitalversicherungen

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1 Kapitalversicherungen Sanela Omerovic Proseminar Versicherungsmathematik TU Graz 11. Dezember 2007 Inhaltsverzeichnis 1 Einführung 1 2 Einfache Versicherungsformen Todesfallversicherungen (Life Insurance) Erlebensfallversicherungen (Pure Endowment) Gemischte Versicherungen (Endowment) Aufgeschobene Versicherung Auszahlung unmittelbar nach dem Ableben 5

2 Kapitalversicherungen 1 1 Einführung Die Lebensversicherung spielt wirtschaftlich und auch in sozialer Hinsicht eine bedeutende Rolle. Einerseits bietet sie Schutz vor den finanziellen Folgen nach dem Tod des Versicherten, andererseits ergänzt die kapitalbildende Lebensversicherung die gesetzliche Rentenversicherung. Somit nimmt die Lebensversicherung eine wesentliche Rolle für die soziale Sicherung der Bevölkerung ein und ist gleichzeitig durch langandauernde Sparprozesse eine wichtige Quelle für die Finanzierung öffentlicher Einrichtungen und für die Kapitalmärkte. Prinzipiell können Ereignisse, wie zum Beispiel der Tod, der Eintritt einer schweren Krankheit, die Heirat, die schulische Ausbildung der Kinder, Berufsunfähigkeit etc., versichert werden. Eine Lebensversicherung kann abgeschlossen werden für den Fall des Ablebens. Diese Versicherungsvariante schützt vor allem vor finanziellen Folgen nach dem Tod des Versicherten. für den Fall des Erlebens. In diesem Fall sichert man sich eine Versorgung im Alter. für den Fall des Erlebens und Ablebens. Diese Variante kombiniert beide Fälle. Die Leistung der Versicherung kann entweder in Form einer laufenden Rente oder einer einmaligen Kapitalzahlung erfolgen. Da der Gesetzgeber die Versicherungunternehmen zu einer vorsichtigen Geldanlage verpflichtet, zählt die Kapitallebensversicherung zu einer der sichersten Geldanlagen. Das Kapital wird in Wertpapieren angelegt und darf nur zu einem bestimmten Prozentsatz in Aktien investiert werden. Bei Kapitalversicherungen erfolgt, falls der Versicherungsfall eintritt, die Bezahlung einer einzigen Summe, der Versicherungsumme. Prinzipiell unterscheidet man diskrete und stetige Kapitalversicherungen. Bei diskreten Kapitalversicherungen erfolgt die Versicherungsleistung erst am Ende des Jahres, in dem der Versicherungfall eintritt. Sie wird auch als nachschüssige Zahlung bezeichnet. Bei stetigen Kapitalversicherungen erfolgt die Auszahlung unmittelbar danach.

3 Kapitalversicherungen 2 Nach einem Vertragsabschluss verpflichtet sich der Versicherte Zahlungen zu leisten. Diese nennt man Einmaleinlagen, falls mehrere vereinbart sind, bezeichnet man sie als Prämien. Der Barwert des Kapitals wird mit Z bezeichnet und bezüglich des Zinssatzes i berechnet. Er entspricht der Einmalprämie zahlbar bei Vertragsabschluss. Der Erwartungswert E(Z) ist der Barwert künftiger Nettoeinzahlungen. Der erwartete Barwert der Leistung E(Z) wird auch als Nettoeinmalprämie (NEP) bezeichnet. Im Gegensatz dazu ist hier noch die Bruttoprämie zu erwähnen. Diese berücksichtgt anfällige Aufwände der Versicherung, wie zum Beispiel Verwaltungskosten. Die Nettoeinzahlungen werden einzeln mit Hilfe des Abzinsungsfaktors auf den Zeitpunkt Null diskontiert, ihre Barwerte werden addiert. Die einfachsten Versicherungsformen sind die Todesfallversicherung die Erlebensfallversicherung die Gemischte Versicherung.

4 Kapitalversicherungen 3 2 Einfache Versicherungsformen 2.1 Todesfallversicherungen (Life Insurance) Diese Versicherungsform dient der Hinterbliebenenvorsorge und zur Absicherung von Krediten. Bei lebenslangen Versicherungen oder Versicherungen auf das Alter von 85 Jahren ist die Prämie wegen der langen Laufzeit im Verhältnis zur Versicherungssumme gering. Ein Kapital von 1 sei am Ende des Todesjahres zahlbar. Der Zeitpunkt ist zufällig, wird bezeichnen ihn mit K+1. Der Barwert Z wird bei der lebenslänglichen Deckung mittels folgender Formel berechnet: Z = v K+1 mit dem Abzinsungsfaktor v = 1+i 1 p wobei i der Zinsatz 100 ist. Die NEP wird auch als A x bezeichnet. wobei die Verteilung von Z A x = E[v K+1 ] = k=0 v k+1 np x q x+k Pr(Z = v K+1 ) = Pr(K = k) = n p x q x+k aus der Verteilung von K folgt. (Lebensdauer eines x-jährigen) Wahrscheinlichkeit, dass ein x-jähriger innerhalb von n Jahren verstirbt: n q x Wahrscheinlichkeit, dass ein x-jähriger die nächsten n Jahre überlebt: n p x Bei temporären Todesfallversicherungen (Term Insurance) wird ein Zeitraum n festgelegt, in dem der Tod erfolgt. Die Versicherungssumme wird nur dann ausbezahlt, wenn der Tod innerhalb dieser n Jahre erfolgt, das bedeutet, dass nach n Jahren die Versicherung abläuft. Der Barwert Z wird bei der temporären Deckung wie folgt ermittelt: Z = { v K+1 f ür K = 0, 1,.., n 1 0 f ür K = n, n + 1, n + 2,..

5 Kapitalversicherungen 4 Die Notation für die NEP ist A 1 x:n. A 1 x:n = n 1 k=0 v k+1 np x q x+k 2.2 Erlebensfallversicherungen (Pure Endowment) Die Erlebensfallversicherung bietet eine Möglichkeit zur Vermögensbildung ohne Ablebensschutz. Zum Zeitpunkt K, das bedeutet K + 1 Jahre nach Vertragsbeginn werde das Kapital 1 ausbezahlt, falls die versicherte Person diesen Zeitpunkt erlebt, bei frühzeitigem Ableben wird nichts ausbezahlt. Der Barwert Z lässt sich wie folgt ermitteln: { 0 f ür K = 0, 1,.., n 1 Z = v n f ür K = n, n + 1, n + 2,.. Die NEP lautet somit: A 1 x:n = vn np x 2.3 Gemischte Versicherungen (Endowment) Diese Versicherungsvariante kombiniert eine Todesfallversicherung und eine Erlebensfallversicherung. Sie bietet eine Altersvorsorge und Versicherungsschutz im Falle des Ablebens des Versicherten. Bei Ablauf der Vertragsdauer zahlt das Versicherungsunternehmen die vereinbarte Summe zuzüglich des erwirtschafteten Gewinns aus, bei vorzeitigem Ableben des Versicherten wird mindestens der vereinbarte Betrag ausbezahlt. Das Kapital 1 wird bei Ableben der versicherten Person, spätestens jedoch zum Ende der vereinbarten Versicherungsdauer n ausbezahlt. Der Barwert ist wie folgt zu berechnen: { v K+1 f ür K = 0, 1,.., n 1 Z = v n f ür K = n, n + 1, n + 2,.. Der Barwert Z setzt sich aus den einzelnen Barwerten der temporären Todesfallversicherung Z 1 und der Erlebensfallversicherung Z 2 zusammen: Die NEP ist folglich: Z = Z 1 + Z 2 A x:n = A 1 x:n + A 1 x:n

6 Kapitalversicherungen Aufgeschobene Versicherung Bei einer aufgeschobenen Versicherungsform zahlt der Versicherte entweder regelmäßig Beträge oder eine einmalige Summe an die Versicherungsgesellschaft. Das Zeitintervall, in dem die Zahlungen erfolgen, nennt man Aufschubzeit. Diese wird vertraglich festgesetzt. Vor Vertragsende kann der Versicherte dann entscheiden, ob er die Versicherungssumme als regelmäßige Rentenzahlungen, deren Betrag schon zu Vertragabschluss vom Versicherungsunternehmen festgelegt wurde, oder als einmalige Kapitalzahlung erhalten möchte. Der erste Fall stellt eigentlich ein aufgeschobene Rentenversicherung dar, der zweite eine Kapitalversicherung. Wir haben also ein Kapital 1 und eine unbegrenzte Dauer vorliegen. Der Barwert einer um m Jahre aufgeschobenen Versicherung wird wie folgt ermittelt: { 0 f ür K = 0, 1,.., m 1 Z = v K+1 f ür K = m, m + 1, m + 2,.. Das bedeutet, wenn man m Jahre überlebt, beginnt ab diesem Zeitpunkt die Versicherung. Die NEP wird hier mit m A x bezeichnet und berechnet sich folgendermaßen: m A x = m p x v m A x+m = A x A 1 x:n 3 Auszahlung unmittelbar nach dem Ableben Unsere Annahme war bis zu diesem Zeitpunkt immer, dass das Kapital am Ende des Jahres, in dem der Tod eintritt, ausbezahlt wird. Falls das Versicherungsunternehmen das Kapital zum Zeitpunkt des Todes T ausbezahlt, lässt sich der Barwert, auf ein Kapital 1 mit unbegrenzter Dauer folgendermaßen berechnen: Z = v T wobei T das Restalter eines x-jährigen bezeichnet. T = K + S K sind die vollen Jahre, die der Versicherte überlebt, und S stellt den Bruchteil des Jahres dar, den der Versicherte noch vor seinem Tod überlebt. Die NEP ist A x und lässt sich wie folgt berechnen: A x = 0 v t tp x µ x+t dt

7 Kapitalversicherungen 6 wobei µ x+t die bereits erwähnte Sterblichkeitsintensität darstellt Wir werden jetzt die Berechnung von A x auf die Berechnung von A x zurückführen. Mithilfe der zwei Formeln aus den vorigen Kapiteln kommen wir auf die Berechnung von A x : T = K + S = (K + 1) (1 S) Unter der Voraussetzung, dass K und S unabhängig voneinander sind, können wir den Erwartungswert anders schreiben: E[v T ] = E[v (K+1) (1 S) ] = E[v K+1 v (1 S) ] = E[v K+1 ]E[v (1 S) ] wobei: ( v (1 S) 1 ) (1 S) = = (1 + i) (1 S) 1 + i ist. Falls der Eintritt des Todes zu jedem Zeitpunkt gleich wahrscheinlich ist,das bedeutet, dass S gleichverteilt im Intervall [0,1] ist, dann ist: E[(1 + i) 1 S ] = Somit erhalten wir folgende Formel: 1 0 (1 + i) 1 S ds = A x = E[v K+1 ]E[(1 + i) 1 S ] = i ln(1 + i) i ln(1 + i) A x Bei der gemischten Versicherung wird die NEP folgendermaßen errechnet: A x:n = A 1 x:n + A 1 x:n = i δ A1 x:n + A 1 x:n = A x:n + ( i δ 1)A1 x:n

8 Kapitalversicherungen 7 Bei der Todesfallversicherung auf unbegrenzte Dauer ist, bei der Annahme, dass das Kapital nach K Jahren plus dem m-ten Teil des Todesjahres, das heißt K + S (m), der Barwert folgendermaßen definiert: wobei S (m) wie folgt definiert ist: Z = v K+S(m) S (m) = ms + 1 /m Um die NEP A (m) x berechnen zu können brauchen wir folgende Formeln, sowie die Annahme, dass K und S unabhängig voneinander sind: K + S (m) = (K + 1) (1 S (m) ) E[(1 + i) 1 S(m) ] = i (m) stellt den nominellen Zinssatz dar: i i (m) i (m) = m[(1 + i) 1/m 1] Damit ermitteln wir folgende Formel für die NEP A (m) x auf unbegrenzte Dauer: A (m) x = E[v K+1 ] E[(1 + i) 1 S(m) ] = i i (m) A x einer Todesfallversicherung

9 Kapitalversicherungen 8 Literatur [1] Gerber: Lebensversicherungmathematik, Springer-Verlag (1986) [2] Isenbart, Münzner: Lebensversicherungsmathematik für Praxis und Studium Gabler (1994) [3] May: Lebensversicherungsmathematik, (2004) [4] Saß: Skript zu Versicherungsmathematik: Personenversicherung, JKU Linz(2005) [5] Schmidt: Versicherungsmathematik, Springer-Verlag (2002) [6] Schradin, Pohl, Koch: Herausforderungen für die Lebensversicherung in Deutschland, Institut für Versicherungswissenschaft an der Universität zu Köln (2006) [7] Vock: Lebensversicherungsmathematik, Bildungswerk der österreichischen Versicherungwirtschaft (2004)