Aufgabe 1: Asset Allocation

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1 Aufgabe 1: Asset Allocation (40 Punkte) Ein nutzenmaximierender Akteur mit der Präferenzfunktion (, ) a verfügt in 2 einer Zwei-Zeitpunkt-Welt über Eigenkapital in Höhe von 500 Yuan (Y), das er für eine 1 Periode anlegen möchte. Der Risikoaversionsparameter a des Investors hat den Wert a=. 616 Am Markt werden zwei riskante Wertpapiere A i mit i 1, 2 gehandelt, die in t=0 in beliebiger Stückelung an der Börse erworben werden können. Gehen Sie davon aus, dass Leerverkaufspositionen in den risikotragenden Finanztiteln A 1 und A 2 erlaubt sind. Finanzanalysten prognostizieren für die Aktie A i die im folgenden Tableau angegebenen Parameter der Verteilungsfunktion des näherungsweise normalverteilten Aktienkurses in t=1. p i e i A A Es gilt folgende Notation: p i = Kurs der Aktie i zum Zeitpunkt t=0 e ~ i = stochastischer Kurs der Aktie i zum Zeitpunkt t=1 e E ~ i e i = Kovarianzmatrix mit den Elementen Cov (ẽ 1, ẽ 2 ) Beachten Sie: Alle Teilaufgaben sind ohne Rückgriff auf die Matrizenrechnung zu beantworten! a) Geben Sie den zulässigen Bereich für die Kovarianz an. Für welche Werte ist es möglich, 0-Varianz Portfolios zu konstruieren. Veranschaulichen Sie Ihre Ergebnisse im μ-σ²-koordinatensystem. b) Geben Sie den Bereich der Kovarianz an, für den das Varianzminimum des effizienten Randes zwischen den beiden Wertpapieren liegt also zwischen den Portfolios, die jeweils das komplette Anfangsvermögen in Wertpapier 1 oder Wertpapier 2 investieren. Zeichnen Sie für die Grenzen dieses Bereichs ebenfalls die Wertpapierparabel in das μ-σ²- Koordinatensystem aus Teilaufgabe a) ein! Gehen Sie für den weiteren Verlauf Ihrer Rechnung von einem Korrelationskoeffizienten von 0,5 aus! c) Ermitteln Sie die Funktionsgleichung der effizienten Kombinationen der riskanten Wertpapiere A 1 und A 2 im μ-σ²-koordinatensystem! Geben Sie die Koordinaten sowie die Stückzahlen im Varianzminimum an! Die Variable μ bezeichnet den Erwartungswert des Endvermögens in t = 1, σ² dessen Varianz.

2 d) Verdeutlichen Sie den Verlauf der Ortslinie aller risikoeffizienten Wertpapiermischungen in einer neuen Graphik! Markieren und beschriften Sie alle relevanten Punkte! e) Ermitteln Sie die optimale Anlagestrategie des Investors! Berechnen Sie den Erwartungswert sowie die Varianz seines optimal gemischten Portfolios! Geben Sie die Stückzahlen von A i im Investitionsoptimum an! Welchen Nutzenrückgang müsste der Akteur in Kauf nehmen, wenn Leerverkäufe der riskanten Finanztitel verboten wären? f) Im Unterschied zur bisherigen Aufgabenstellung existiere nun auch ein gespaltener Kapitalmarkt mit unterschiedlichem Soll- und Habenzins. Erläutern Sie, warum der Anleger bei weiter vorherrschenden Leerverkaufsverbot beider unsicheren Wertpapiere die Habenzinsparabel unabhängig vom gebotenen Zins nicht nutzen wird. Berechnen Sie die maximale Höhe des Sollzinssatzes, so dass der Anleger im Sollzinstangentialportfolio beide Wertpapiere hält. Was passiert, wenn der tatsächlich angebotene Zinssatz höher liegt. (18 Punkte) Aufgabe 2: Kapitalmarktgleichgewicht und Unternehmensbewertung (30 Punkte) Eine Investorengruppe plant die Gründung einer Unternehmung. Dafür müsste heute (t = 0) ein Investitionsaufwand in Höhe von Euro getätigt werden. Nach Ablauf eines Jahres soll die Unternehmung liquidiert werden. Der Erwartungswert des Liquidationserlöses beträgt hierbei Euro, dessen Kovarianz zum Marktportfolio Euro². Zusätzlich sind weitere Marktdaten bekannt: - Die Risikoprämie des Marktportfolios beträgt 12,5 10 Euro, dessen Varianz 5 10 Euro². - Das Grundkapital ist in Aktien mit einem Nominalwert von 4 Euro aufgeteilt, die ohne Agio an die Gründer ausgegeben werden. - Der Kapitalmarkt ist vollkommen und verzinst sichere Anlagen mit 20 %. a) Das Investitionsvolumen wird zu 100% mit Eigenkapital finanziert. (1) Wie hoch ist der Börsenwert des Eigenkapitals unmittelbar nach der Gründung? (2) Zu welchem Kurs kann die Aktie unmittelbar nach der Gründung am Kapitalmarkt verkauft werden? (3) Wie viel verdienen die Gründer pro übernommene Aktie, wenn sie ihre Aktien unmittelbar nach der Gründung verkaufen? (4) Wie viel verdienen die Anleger am Kapitalmarkt, gemessen am Erwartungswert pro erworbene Aktie, wenn sie unmittelbar nach der Gründung einsteigen und bis zum Liquidationszeitpunkt durchhalten? Wie hoch ist für sie die erwartete Aktienrendite? Wie hoch ist die Risikoprämie der Aktie?

3 b) Abweichend von Teilaufgabe a) soll das Unternehmen nun mit 25% Eigenkapital und 75% Fremdkapital finanziert werden. Beantworten Sie die Fragen (1) - (4) aus Teilaufgabe a) unter der Voraussetzung, dass die Rückzahlung des Fremdkapitals als sicher gilt! Definieren Sie den Verschuldungsgrad und berechnen Sie ihn für obige Finanzierungsstruktur. Zeigen Sie, dass der Verschuldungsgrad in diesem Zahlenbeispiel nicht über 25% hinaus steigen kann. (12 Punkte) c) Zeigen Sie anhand eines Schaubilds, wie sich für den vorliegenden Fall die Renditen von Eigen-, Fremd- und Gesamtkapital in Abhängigkeit vom Verschuldungsgrad entwickeln. Tragen Sie die in den Teilaufgaben a) und b) berechneten Werte erkennbar ein! Beschreiben Sie in knappen Worten das hier anzuwendende Theorem zur Finanzierung und zeigen Sie, dass es hier gütig ist. Zeigen Sie auch, wie es sich in Ihrer Zeichnung widerspiegelt. (10 Punkte) Aufgabe 3: Finanzierungsvertragstheorie bei Risikoneutralität (25 Punkte) Ein Investor hat die Wahl zwischen zwei sich gegenseitig ausschließenden Investitionsprojekten IP1 und IP2. Beide Projekte erfordern im Zeitpunkt t = 0 eine Investition in Höhe von 300 Euro. Im Zeitpunkt t = 1 entstehen die in der nachfolgenden Tabelle angeführten Zahlungsüberschüsse (Z n ). Darüber hinaus hat der Investor die Möglichkeit, die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zahlungsüberschüsse durch Erhöhung seines Arbeitseinsatzes zu verbessern; die entsprechend modifizierten Projekte seien mit IP1 + und IP2 + bezeichnet. Der erhöhte Arbeitseinsatz verursacht ein Arbeitsleid mit einem monetären Gegenwert in Höhe von 50 Euro. Für einen potentiellen Kapitalgeber ist lediglich das Ergebnis der Investition beobachtbar, nicht aber die Projektwahl und der Arbeitseinsatz des Investors. Sowohl der Investor als auch seine Kapitalgeber sind risikoneutral. Der Kapitalmarkt verzinst sichere Anlagen mit 20 %. Die Zahlungsüberschüsse (Z n ) sowie die zugehörigen Eintrittswahrscheinlichkeiten p(z n ) lauten für die einzelnen Projekte wie folgt: Zn p(z n /IP1) p(z n /IP1 + ) p(z n /IP2) p(z n /IP2 + ) a) Welches Projekt wählt der Investor, falls er dieses voll aus eigenen Mitteln finanziert? b) Welchen Zinssatz muss eine Bank verlangen, damit sie sich, gemessen am Erwartungswert der Kreditrückzahlung, nicht schlechter stellt als bei einer Alternativanlage, wenn sie einen Kredit von 250 Euro zur Finanzierung des Projektes ausreicht? Die Haftung des Investors bleibt auf die Zahlungsüberschüsse aus dem Projekt begrenzt. Ist der Investor noch bereit, diesen Zins zu zahlen? Nehmen Sie dabei an, dass die Bank das Ergebnis der Investition beobachten kann! Welches Projekt wird realisiert?

4 c) Nehmen Sie im Folgenden an, dass der Investor alternativ zum obigen Kreditvertrag 250 Euro durch einen Beteiligungsvertrag finanzieren kann. Der Beteiligungsvertrag sieht vor, dass der Kapitalgeber in t=1 eine Quote von 64 % der Zahlungsüberschüsse erhält. Für welches Projekt und welcher Finanzierung wird sich der Investor entscheiden? Wie hoch sind die Agency-kosten in diesem Fall? (9 Punkte) d) Nehmen Sie an, dass die Zahlungsüberschüsse nicht mehr kostenfrei beobachtbar seien. Welche Art der Finanzierung würde dies tendenziell begünstigen und aus welchem Grund? Trifft diese Argumentation auch auf die in b) und c) verglichenen Verträge? Weshalb? Aufgabe 4: Nicht-triviale Risikoallokation (25 Punkte) Ein Investor hat die Wahl zwischen zwei sich gegenseitig ausschließenden Investitionsobjekten IP1 und IP2. Beide Objekte erfordern eine Anfangsinvestition von 500. Der Zins am Kapitalmarkt beträgt 25%. Die Zahlungsüberschüsse sind mit folgenden Wahrscheinlichkeiten auf drei Umweltzustände verteilt: Zn p(z n /IP1) 0,3 0,4 0,3 p(z n /IP2) 0,25 0,5 0,25 Das Vermögen des Agenten sei 0. Aufgrund der Verhandlungssituation muss dem Prinzipal nur sein Reservationsnutzen zugestanden werden. a) Nehmen Sie an, der Prinzipal sei risikoavers und der Agent risikoneutral. Wie sieht in diesem Fall die optimale Finanzierungsstruktur aus und welches Projekt wird gewählt, wenn die Haftung/Zahlungen nicht auf die Projektüberschüsse beschränkt sind? Beschreiben Sie diese nur verbal und begründen Sie Ihre Antworten kurz! b) Der Prinzipal habe die Nutzenfunktion U P und der Agent die Nutzenfunktion U A und 2, Welches Projekt wird gewählt? Beschreiben Sie die Partenteilung verbal. Kann es hier zu einer Anreizproblematik aufgrund der Projektwahl kommen? Begründung! c) Der Agent führt auch Verhandlungen mit einem anderen Prinzipal mit der Nutzenfunktion: und 2.

5 Welcher (zunächst noch vom Lagrangemultiplikator λ abhängige) funktionale Zusammenhang besteht zwischen Z P und Z ( Prämienfunktion ), wenn die Parteien eine optimale Risikoallokation realisieren wollen? Kann sich der Investor im Vergleich zu Teilaufgabe f) verbessern, falls die Projektwahl beobachtbar ist? Welches Nutzenniveau kann er dann bestenfalls erreichen? Wie werden die Zahlungsüberschüsse in den einzelnen Umweltzuständen auf den Investor und den externen Kapitalgeber verteilt, wenn der optimale Finanzierungsvertrag gewählt wird? Kann in einer solchen Situation allgemein ausgeschlossen werden, dass eine Projektwahlproblematik vorliegt? Begründung! Hinweis: Nach Einsetzen der Prämienfunktion in die Wettbewerbsnebenbedingung ergibt sich eine Gleichung für den Lagrangemultiplikator, die nicht auf analytischem Wege gelöst werden kann. Führen Sie deshalb einen Iterationsschritt durch und verwenden Sie folgende Iterationsgrenzen: = 0,115 bzw. = 0,12. (15 Punkte)