ETWR Teil B. Entscheidungen unter Risiko

Transkript

1 ETWR Teil B

2 2 Ziele Bisher Beschreibung sicherer Entscheidungen Ableitung von Wahrscheinlichkeiten Ziel dieses Kapitels Kombination beider vorangegangener Kapitel Motivation Theorie Bei wird praktische Relevanz dieser Vorlesung sehr deutlich (leider) Ökonomische Entscheidungen Entscheidungen hängen oft von Risiko ab (Risiko zu Sterben, Risiko günstige Nachfrage,...)

3 3 Agenda Einführung Entscheidungen unter Sicherheit Generierung von Wahrscheinlichkeiten Erwartungswert Erwartungsnutzentheorie Risikopräferenzen Bestimmung der Nutzenfunktion Ermittlung der optimalen Alternative Nutzentheorie und Risiko Mehrere Ziele Empirische Beobachtungen Zeitpräferenzen bei sicheren Erwartungen Deskriptive Aspekte des Entscheidens Naive Entscheidungsregeln und Heuristiken

4 4 Darstellung riskanter Entscheidungen Begriffsbestimmung Lotterie : Kombination von Ausgängen und Eintrittwahrscheinlichkeiten Riskante Alternative: Lotterie, die Entscheider wählen kann Darstellung als Vektor: (a 1, p 1 ;...; a n, p n ) a i : Ausgang i wiedergegeben als Auszahlung, Nutzenwert,... p i : Eintrittwahrscheinlichkeit des Ausgangs i Darstellung als Baum p 1 p 2... p n Darstellung als Matrix a 1 a 2 a n p 1 p 2... p n Alternative 1 a 1 a 2... a n

5 5 Darstellung riskanter Entscheidungen - Beispiel Entscheidungsproblem aus Kapitel 1 (Fahrt zur Uni, Matrixdarstellung) Konsequenz Fahrtdauer Regen (p 1 = 20%) Sonne (p 2 = 50%) Schnee (p 3 = 30%) Alternative Rad 11 Minuten 15 Minuten 20 Minuten Vektordarstellung (11 Minuten, 0.20; 15 Minuten, 0.50; 20 Minuten, 0.30;...) Baumdarstellung p 1 = 0.1 p 2 = 0.3 a 1 = 11 Minuten a 2 = 15 Minuten p 3 = 0.6 a 3 = 20 Minuten Hinweise Ein Attribut (Fahrtdauer) betrachtet: mehrere Attribute möglich! Anzahl Ausgänge ist endlich (3): unendlich viele möglich!

6 6 Entscheidung über riskante Alternativen Entscheidungen bisher Ableitung von Wertfunktionen zur Abbildung der Präferenzen basierend auf Einzelwertfunktionen Beispiel: v(bus) v(fahrrad), weil v Fahrzeit (Bus) v Fahrzeit (Fahrrad) Entscheidungen jetzt Attributausprägung (im Beispiel: Fahrzeit in Minuten) abhängig von Zufall Herausforderungen Additives Modell (siehe Kapitel 1) nicht mehr einsetzbar Wahrscheinlichkeiten unterschiedlich bewertet (siehe Kapitel 2) Menschliches Verhalten nicht konsistent (gemäß empirischer Studien) Kurz: Erwarten sie keine Eierlegende Wollmilchsau Wir werden schon glücklich sein, wenn wir einen Teil von Entscheidungen in einem festen Szenario für ein paar Entscheider verstehen können.

7 7 Bewertung von Alternativen mittels Erwartungswert Definition: Erwartungswert diskreter Zufallsvariablen Sei X eine diskrete Zufallsvariable mit Wahrscheinlichkeitsfunktion f x (x) und Träger T x. Der Erwartungswert E(X) ist definiert durch: E(X) = Idee Bewertung aller Attributausprägungen mittels Erwartungswert (E(a i )) Anwendung von Wertfunktion auf Erwartungswert (v(e(a i ))) Wahl der Alternative mit höchstem Wert der Wertfunktion (max ai v(e(a i ))) {x x T X } x f X (x) Wdh. Teil A Beispiel Entscheidung: Fahrt mit dem Rad Fahrtdauer p Regen = 20% p Sonne = 50% p Schnee = 30% E(Fahrtdauer) Alternative Rad 11 Minuten 15 Minuten 17 Minuten 14.5 Minuten Bus 15 Minuten 15 Minuten 15 Minuten 15.0 Minuten

8 8 St. Petersburg Paradoxon DAS Standardbeispiel Das Spiel Münze wird wiederholt geworfen Erscheint Zahl: Auszahlung 2 n Euro (mit n ist Anzahl der Würfe) Erscheint Kopf: Spiel geht weiter Ihre Entscheidung Wie viel zahlen Sie um das Spiel zu spielen? Spiel als Baum p Zahl = Zahl 4 Zahl 8 p Kopf = 0.5 Kopf Kopf... Was würden Sie bezahlen?

9 9 St. Petersburg Paradoxon Erwartungswert Das Spiel p Zahl = Zahl 4 Zahl 8 p Kopf = 0.5 Kopf Kopf... Naive Mathematische Lösung: Erwartungswert E(St. Petersburg Spiel) = E(St. Petersburg Spiel) = E(St. Petersburg Spiel) = Problem Sie werden (so gut wie) niemanden finden, der mehr als 20 zahlt! Erwartungswert zur Bewertung riskanter Alternativen unzuverlässig Bis heute existiert kein Modell, dass diesen Effekt für alle glaubwürdig erklärt

10 10 Agenda Einführung Entscheidungen unter Sicherheit Generierung von Wahrscheinlichkeiten Erwartungswert Erwartungsnutzentheorie Risikopräferenzen Bestimmung der Nutzenfunktion Ermittlung der optimalen Alternative Nutzentheorie und Risiko Mehrere Ziele Empirische Beobachtungen Zeitpräferenzen bei sicheren Erwartungen Deskriptive Aspekte des Entscheidens Naive Entscheidungsregeln und Heuristiken

11 11 Nutzenfunktion Definition (Nutzenfunktion) Eine Funktion u deren Erwartungswert ( Erwartungsnutzen ) die transitiven, vollständigen, stetigen und unabhängigen Präferenzen eines Entscheiders abbildet heißt Nutzenfunktion. Transitivität (vgl. Wertfunktion) Für alle Kombinationen von Lotterien a, b und c mit a b und b c folgt a c. Vollständigkeit (vgl. Wertfunktion) Für alle Paare von Lotterien a und b gilt a b. Stetigkeit Sind Lotterien a, b und c mit a b c gegeben, dann existiert eine Wahrscheinlichkeit p bei der b p a + (1 p) c Unabhängigkeit Gilt für zwei Lotterien a b, so muss auch für alle Lotterien c und alle Wahrscheinlichkeiten p gelten, dass p a + (1 p) c p b + (1 p) c.

12 12 Annahmen Stetigkeit Definition (Stetigkeit) Sind Lotterien a, b und c mit a b c gegeben, dann existiert eine Wahrscheinlichkeit p bei der b p a + (1 p) c Lotterie 0.5 a c mit a = (100, 0.8; 0, 0.2) und c = (200, 1) formal äquivalent zu Verletzung der Stetigkeit Lotterien a = (1000, 0.8; 0, 0.2) b = ( 100, 0.8; 0, 0.2) c = ( Tod, 0.8; 0, 0.2) Finden Sie ein p, so dass gilt b p a + (1 p) c? Also, ich nicht!

13 13 Annahmen Unabhängigkeit Definition (Unabhängigkeit) Gilt für zwei Lotterien a b, so muss auch für alle Lotterien c und alle Wahrscheinlichkeiten p gelten, dass p a + (1 p) c p a + (1 p) c. Lotterien: a = (1000, 0.8; 0, 0.2), b = ( 100, 0.8; 0, 0.2) und c = (200, 1) a b c Verletzung der Unabhängigkeit a = (iphone 6, 0.8; 0, 0.2), b = (Galaxy S 5, 0.8; 0, 0.2) und c = (nicht übertragbarer itunes Gutschein über 10000, 1) a b

14 14 Nutzenfunktion vs. Wertfunktion Hinweis Literatur: Definition von Wertfunktion und Nutzenfunktion quasi wortgleich Unterschiede der Konzepte Betrachtungsgegenstand Wertfunktion definiert auf sicheren Ergebnisse Nutzenfunktion definiert auf riskanten Ergebnissen Voraussetzungen Wertfunktion: Vollständigkeit, Transitivität der Präferenzen Nutzenfunktion: Vollständigkeit, Transitivität, Stetigkeit, Unabhängigkeit Folglich: Nutzenfunktion deutlich restriktiver Aber: In der Literatur ist... Trennung nicht immer konsistent Konzepte werden äquivalent benutzt Voraussetzungen selten geprüft Nur Benennung mit u und v ist konsistent!

15 15 Erwartungsnutzen Definition (Erwartungsnutzen) Der erwartete Nutzen einer riskanten Alternative a ist definiert als n EU(a) = p i u(a i ) Unterschied zum bisherigen Vorgehen: n v(e(x)) = v( p i a i ) Anwendung der Nutzen-/Wertfunktion auf Attributwert, nicht mehr auf Erwartungswert des Attributs Beispiel Entscheidung: Fahrt mit dem Bus i=1 i=1 Fahrtdauer p Regen =0.2 v(a Regen ) p Sonne =0.5 v(a Sonne ) p Schnee =0.3 v(a Schnee ) EU(a) Rad 11 Min Min Min Bus 15 Min Min Min

16 16 Dreieck-Ergebnis-Diagramm Lotterie a = (p 1, x 1 ; p 2, x 2 ; p 3, x 3 ) mit x 1 x 2 x 3 Nicht in der Vorlesung behandelt Darstellung für Erwartungsnutzentheorie (p 1 =0, p 3 =1) p 1 =0.1, p 2 =0.2, p 3 =0.7 Indifferenzkurven (p 1 =0, p 3 =0) (p 1 =1, p 3 =0) Warum stimmt das Diagramm? Angabe von p 2 : nicht nötig, da gilt p 2 = 1 p 1 p 3 Stärke Präferenz: Da x 1 x 2 x 3 gilt Alternative (0, x 1 ; 0, x 2 ; 1, x 3 ) am Besten Fehlt noch: Form der Indifferenzkurven (Gerade, identische Steigung)

17 17 Dreieck-Ergebnis-Diagramm Form Indifferenzkurven Nicht in der Vorlesung behandelt Es gilt (aus der Definition) Für drei Lotterien: EU(a) = p 1 u(a 1 ) + p 2 u(a 2 ) + p 3 u(a 3 ) Weiterhin gegeben: Indifferenzkurve : EU(a) ist konstant p 2 definiert durch p 1 und p 3, da gilt p 2 = 1 p 1 p 3 Damit gilt: EU(a) = p 1 u(a 1 ) + (1 p 1 p 3 ) u(a 2 ) + p 3 u(a 3 ) EU(a) = p 1 (u(a 1 ) u(a 2 )) + p 3 (u(a 3 ) u(a 2 )) + u(a 2 ) [Durch Ausmultipl.] p 3 = EU(a) u(a 2) u(a 3 ) u(a 2 ) + u(a 2) u(a 1 ) u(a 3 ) u(a 2 ) p 1 EU(a) = p i u(a i ) n i=1 [Durch Umstellen] Achsenabschnitt Steigung

18 18 St. Petersburg Paradoxon Erwartungsnutzen Das Spiel p Zahl = Zahl 4 Zahl 8 p Kopf = 0.5 Kopf Kopf... Sei Nutzenfunktion u(x) = ln(x) EU(St. Petersburg Spiel) = 0.5 ln(2) ln(2 2 ) ln(2 3 ) ln(2 4 ) +... E(S t. Petersburg Spiel) = ln(2) [ ] Für geometrische Reihe gilt: EU(St. Petersburg Spiel) n k=0 q k k = nqn+2 (n +1)q n+1 + q (q 1) 2 % n(1/ 2) n+2 (n +1)(1/ 2) n+1 +1/ 2 ( 1/ 2 = ln(2) lim' * = ln(2) = 2ln(2) = ln(4) 1.39 n & (1/ 2 1) 2 2 ) ( 1/ 2) Geht man vom Erwartungsnutzen und Nutzenfunktion u(x) = ln(x) aus, so ist Wert des St. Petersburg Spiels nur 1.39 (und damit realistisch )

19 19 Subjektiver Erwartungsnutzen Erkenntnisse aus der Generierung von Wahrscheinlichkeiten (Kapitel 2) Wahrscheinlichkeiten sind nicht per se gegeben (wie in der Erwartungsnutzentheorie angenommen) Wahrscheinlichkeiten sind subjektiv (d.h. jeder Entscheider bewertet Wahrscheinlichkeiten anders) Idee: Berücksichtigung subjektiver Wahrscheinlichkeiten Definition (subjektiver Erwartungsnutzen) Der subjektive, erwartete Nutzen einer riskanten Alternative a ist definiert als SEU(a) = p(s) u(a(s)) Entscheider wählt folglich zwischen Alternativen a die vom Zustand der Natur s S sind und zu Attributausprägungen a(s) führen, dabei berücksichtigt er seine subjektive Einschätzung er seine persönliche Glaubwürdigkeit des Eintretens der Zustände s S

20 20 Subjektiver Erwartungsnutzen Unabhängigkeit Definition (Unabhängigkeit der subjektiven Erwartungsnutzentheorie) Seien a, b, a und b Alternativen und sei S eine Teilmenge der Zustände S und a(s) = a (s) sowie b(s) = b (s) für s S und a(s) = b(s) sowie a (s) = b (s) für s S\S, so gilt a b genau dann, wenn a b. Sprechend Haben zwei Alternativen für bestimmte Umweltzustände identische Konsequenzen, so dürfen die Umweltzustände keinen Einfluss auf die Präferenzen über die beiden Alternativen haben. Beispiel Würfelwurf a B B B B B B b B B B B B A a A A A A A B b A A A A A A a b a b

21 21 Agenda Einführung Entscheidungen unter Sicherheit Generierung von Wahrscheinlichkeiten Erwartungswert Erwartungsnutzentheorie Risikopräferenzen Bestimmung der Nutzenfunktion Ermittlung der optimalen Alternative Nutzentheorie und Risiko Mehrere Ziele Empirische Beobachtungen Zeitpräferenzen bei sicheren Erwartungen Deskriptive Aspekte des Entscheidens Naive Entscheidungsregeln und Heuristiken

22 22 Sicherheitsäquivalent Definition (Sicherheitsäquivalent) Das Sicherheitsäquivalent ist die sichere Konsequenz bei welcher der Entscheider indifferent zwischen SÄ(a) und der zu beurteilenden Lotterie a ist. Es gilt u(sä(a)) = EU(a) Beispiel: St. Petersburg Paradoxon Gegeben das die Nutzenfunktion u(x) = ln(x) So gilt für EU(St. Petersburg Spiel) = 1.39 Damit gilt u(sä(a)) = und das Sicherheitsäquivalent: SÄ(a) = e 1.39 = 4.01 Interpretation 1: Entscheider ist indifferent zwischen Spielen des St. Petersburg Spiels und... Dem Erhalt (der sicheren Auszahlung ) von 4.01 Interpretation 2: Entscheider wäre bereit (die sichere Auszahlung ) 4.01 zu opfern um... das St. Petersburg Spiel zu spielen Sicherheitsäquivalent ist nicht immer gegeben. Beispiele?

23 23 Krümmung der Nutzenfunktion Unterschiedliche Formen der Nutzenfunktion 1.00 Lineare Nutzenfunktion Konvkave Nutzenfunktion Konvexe Nutzenfunktion 0.75 Nutzen u(x) Auszahlung x Nennen Sie Beispiele! Spannende Frage Erlaubt Nutzenfunktion Rückschlüsse auf grundlegendes Risikoverhalten?

24 24 Krümmung der Nutzenfunktion Risikoprämie Bisher (am Beispiel der Lotterie: a = (0.5, 100 ; 0.5, 10 )) Erwartungswert: E(a) = = 55 Erwartungsnutzen: EU(a) = 0.5 ln(100) ln(10) = 3.45 mit u(x)=ln(x) Sicherheitsäquivalent: SÄ(a) = u -1 (EU(a)) = Wir wissen damit: Mit welcher Auszahlung aus der Lotterie ein Mathematiker rechnen würde (Erwartungswert: ) Welchen Betrag der Entscheider für das Spielen der Lotterie zahlen würde (Sicherheitsäquivalent: ) Definition (Risikoprämie) Für die Risikoprämie RP(a) einer Alternative a gilt RP(a) = E (a) SÄ(a) Im Beispiel: RP(a) = E(a) SÄ(a) = = D.h. der Entscheider würde für das Spielen der Lotterie weniger zahlen als der Erwartungswert der Lotterie ist Der Entscheider scheut also das Risiko! Klar?

25 25 Krümmung der Nutzenfunktion Risikoeinstellung Zurück zur Visualisierung Nutzen u(x) Lineare Nutzenfunktion Konvkave Nutzenfunktion Konvexe Nutzenfunktion SÄ lin (a) = E(a) SÄ kvex (a) 0 2 SÄ kkav (a) Auszahlung x Implikationen der Form der Nutzenfunktion Lineare Nutzenfunktion: RP(a) = E (a) SÄ(a) = 0 (risikoneutral) Konkave Nutzenfunktion: RP(a) = E (a) SÄ(a) > 0 (risikoavers) Konvexe Nutzenfunktion: RP(a) = E (a) SÄ(a) < 0 (risikofreudig)

26 26 Risikoeinstellung Beispiele Billige iphone Apps (bei mir < 10 ): RP(a) = E (a) SÄ(a) = 0 (risikoneutral) Bereitschaft das Risiko einzugehen, eine unbrauchbare App zu kaufen wenn erwarteter Nutzen gleich dem Preis Meiste Entscheidungen: RP(a) = E (a) SÄ(a) > 0 (risikoavers) St. Petersburg Spiel (siehe vorangegangen Folien) Lotto: RP(a) = E (a) SÄ(a) < 0 (risikofreudig) Erwartungswert: ca Sicherheitsäquivalent: 0.75 (so viel kostet aktuell ein Feld) 2+S 3 3+S 4 4+S 5 5+S 6 6+S Wahrscheinlichkeit 1.32% 1.59% 0.18% 0.087% % % % % % Auszahlung ( )

27 27 Nicht in der Vorlesung behandelt Risikopräferenzen im Dreieck-Ergebnis-Diagramm Lotterie a = (p 1, x 1 ; p 2, x 2 ; p 3, x 3 ) Interessant: Steigung: mit x 1 x 2 x 3 (p Annahme: 1 =0, p 3 =1) u(a 1 ) und u(a 3 ) sind konstant Erhöhung (Senkung) von u(a 2 )... Indifferenzkurven (p 1 =0, p 3 =0) (p 1 =1, p 3 =0) Indifferenzkurven (formal) p 3 = EU(a) u(a 2) u(a 3 ) u(a 2 ) + u(a 2) u(a 1 ) u(a 3 ) u(a 2 ) p 1 u(a 3 ) u(a 2 ) u(a 2 ) u(a 1 )... dann höhere (kleinere) Steigung Nutzen u(x) u(a 3 ) u(a 2 ) u(a 1 ) 0.00 a 2 risikoaverser risikofreudiger 0 a 1 a Auszahlung x Je steiler die Indifferenzkurve, umso risikoaverser Entscheider

28 28 Arrow-Pratt Maß Bisher Entscheider unterscheiden sich in ihrer Risikoeinstellung Risikoeinstellung spiegelt sich in Form der Nutzenkurve wieder Idee Ermittlung einer Kennzahl zur Abbildung der Risikoeinstellung Abbildung über eine Funktion Motivation für Darstellung als Funktion Nutzen u(x) Konsum von Bier Bierkonsum Initial geringer Nutzen (schmeckt übel, unlustig) Phase hoher Steigung (schmeckt gut, alles lustig) Final geringer Nutzen (Übelkeit, Kopfschmerzen) Steigung kann sich ändern!

29 29 Arrow-Pratt Maß Formal Definition (Arrow-Pratt Maß) Die Risikoeinstellung eines Entscheiders lässt sich über folgende Funktion abbilden: r(x) = u''(x) u'(x) Definition (Relative Risikoeinstellung) Die relative Risikoeinstellung ist r *(x) = u''(x) u'(x) x Voraussetzungen für die Anwendung Nutzenfunktion 2x differenzierbar 1. Ableitung ist ungleich 0 Wichtige Kernaussagen mit Bezug auf Geldbeträge Grenznutzen ist positiv Grenznutzen nimmt mit steigenden Beträgen ab Nicht steigende absolute Risikoaversion

30 30 Arrow-Pratt Maß Eigenschaften Arrow-Pratt Maß: r(x) = u''(x) u'(x) Steigende Nutzenfunktion u (x) > 0 Risikoaversion: r(x) > 0, da u (x) < 0 (rechtsgekrümmt) Risikofreude: r(x) < 0, da u (x) > 0 (linksgekrümmt) Fallende Nutzenfunktion u (x) < 0 Risikoaversion: r(x) < 0, da u (x) > 0 (linksgekrümmt) Risikofreude: r(x) > 0, da u (x) < 0 (rechtsgekrümmt) Sind fallende Nutzenfunktionen relevant? Fallende Nutzenfunktionen in steigende kodierbar Zur Erhöhung der Verständlichkeit steigende wünschenswert Risikoeinstellung von Entscheidern auch heute hippes Forschungsthema

31 31 Typische Nutzenfunktionen Bisher Bedeutung der Nutzenfunktion für Verständnis Entscheidungsverhalten Forderung nach stetiger, differenzierbarer Nutzenfunktion Idee (konkrete Umsetzung in diesem Kapitel weiter hinten) Ermittlung einiger Punkte der Nutzenfunktion Schätzung der gesamten Nutzenfunktion durch Näherung an diese Punkte (Bsp.: Minimierung der Abweichungsquadrate) Voraussetzung hierfür: Allgemeine Form für Nutzenfunktion Standardform für Funktionen Lineare Funktion: f(x) = α + β x Quadratische Funktion: f(x) = α + β x + γ x 2 Exponentielle Funktion: f(x) = α + β e γx Logarithmische Funktion: f(x) = α + β log(x) Welche Art der Funktion ist für Nutzenfunktionen geeignet?

32 32 Typische Nutzenfunktionen Linear Form der Nutzenfunktion: u(x) = α + β x Steigung: u (x) = β Krümmungsverhalten: u (x) = 0 Arrow-Prat Maß: r(x) = 0 ß = 0 Art der abgebildeten Entscheider Steigung: positiv, wenn β > 0 Risikoeinstellung: nie risikoavers Praktische Anwendbarkeit Entsprechende Entscheider sind unwahrscheinlich, da Risikoaversion nicht abbildbar Dennoch theoretisch sehr relevant, da Abbildung des risikoneutralen Entscheiders Klar? Dient als Benchmark für andere funktionale Formen

33 33 Typische Nutzenfunktionen Quadratisch Form der Nutzenfunktion: u(x) = α + β x + γ x 2 Steigung: u (x) = β + 2γx Krümmungsverhalten: u (x) = 2γ 2γ Arrow-Prat Maß: r(x) = ß + 2γ x Art der abgebildeten Entscheider Steigung: positiv, wenn β + 2γx > 0 (typische Annahme: β>0, γ<0) 2γ Risikoeinstellung: risikoavers, wenn r(x) = ß + 2γ x < 0 ß + 2γ x > 0 x > ß 2γ Praktische Anwendbarkeit Entsprechende Entscheider sind unwahrscheinlich, da Risikoaversion steigt, wenn x steigt Sollte nicht zur Abbildung menschlichen Verhaltens genutzt werden Nutzen u(x) Auszahlung x

34 34 Typische Nutzenfunktionen Exponentiell Form der Nutzenfunktion: u(x) = α + β e γx Steigung: u (x) = γβ e γx Krümmungsverhalten: u (x) = γ 2 β e γx Arrow-Prat Maß: r(x) = γ 2 βe γ x = γ γβe γ x Art der abgebildeten Entscheider Risikoeinstellung: risikoavers, wenn γ < 0 (sogar konstant!) Steigung: positiv, wenn γβ e γx > 0 (typische Annahme: β < 0) Klar? Praktische Anwendbarkeit Entsprechende Entscheider sind möglich, da Risikoaversion konstant, wenn x steigt Kann zur Modellierung von Verhalten genutzt werden Nutzen u(x) Auszahlung x

35 35 Typische Nutzenfunktionen Logarithmisch Form der Nutzenfunktion: u(x) = α + β log(x) Steigung: u (x) = β / x Krümmungsverhalten: u (x) = -β / x 2 Arrow-Prat Maß: r(x) = βx βx = 1 2 x r *(x) = x x =1 Art der abgebildeten Entscheider Risikoeinstellung: risikoavers, wenn x > 0 (konstantes r*(x)!) Steigung: positiv, wenn β / x > 0 x > 0 Praktische Anwendbarkeit Entsprechende Entscheider sind möglich, da relative Risikoaversion konstant Kann zur Modellierung von Verhalten genutzt werden Nutzen u(x) Auszahlung x

36 36 Typische Nutzenfunktionen Prospekt Theorie (Exkurs) Form der Nutzenfunktion: u(x) = x α Steigung: u (x) = α x α-1 Krümmungsverhalten: u (x) = α (α - 1) x α-2 (α 1)αxα 2 Arrow-Prat Maß: r(x) = αx α 1 = α 1 x Art der abgebildeten Entscheider Risikoeinstellung: risikoavers, wenn x > 0 und α 1 < 0 α < 1 Steigung: positiv, wenn α x α-1 > 0 x > 0 und α > 0 Praktische Anwendbarkeit Entsprechende Entscheider sind möglich, da relative Risikoaversion konstant Ist aktuell populäre Form der Nutzenfunktion (Prospekt Theorie) Nutzen u(x) Auszahlung x

37 37 Agenda Einführung Entscheidungen unter Sicherheit Generierung von Wahrscheinlichkeiten Erwartungswert Erwartungsnutzentheorie Risikopräferenzen Bestimmung der Nutzenfunktion Ermittlung der optimalen Alternative Nutzentheorie und Risiko Mehrere Ziele Empirische Beobachtungen Zeitpräferenzen bei sicheren Erwartungen Deskriptive Aspekte des Entscheidens Naive Entscheidungsregeln und Heuristiken

38 38 Bestimmung der Nutzenfunktion Bisher Stetige Nutzenfunktion für verschiedene Aufgaben nötig (z.b. Bestimmung des Arrow-Pratt Maß) Abfrage aller (unendlich vieler) Nutzenwerte nicht möglich Allgemeine Formen von Nutzenfunktionen gegeben (exponentiel, logarithmisch, Prospect Theorie) Jetzt Vorstellung verschiedener Methoden zur Bestimmung der Nutzenfunktion Diskussion zweier Aspekte pro Methode Theoretische Methodik Praktische Anwendbarkeit Nutzen des Vorgehens (vgl. Kapitel 2) Theorie oft inkompatibel mit tatsächlichen Entscheidungen Erhebungsmethode beeinflusst Ergebnis

39 39 Basisreferenzlotterie Idee Beschreibung der Lotterie mit bestem und schlechtesten Ergebnis p x max SÄ* 1- p x min Basisreferenzlotterie Mathematische Implikation Normierung (wie bisher): u(x max ) = 1 und u(x min ) = 0 EU(Basisreferenzlotterie) = p u(x max ) = (1-p) u(x min ) = p = u(sä*) Definition (Basisreferenzlotterie) Die Basisreferenzlotterie sei die Lotterie BRL bei der die bestmögliche Auszahlung x max mit Wahrscheinlichkeit p und die schlechtmöglichste x min mit (1-p) auftritt. Für diese Lotterie gilt EU(BRL) = p = u(sä*)

40 40 Ableitung Nutzenfunktion (Erwartungsnutzentheorie) Allgemeines Vorgehen Betrachtung der Basisreferenzlotterie (EU(BRL) = p = u(sä*)) Visualisierung von u(x min ) und u(x max ) Ermittlung von SÄ* oder u(sä*) [Details später] Bestimmung weiterer Datenpunkte (analog SÄ*) Interpolation der gesamten Nutzenfunktion Illustration Nutzen u(x) Auszahlung x Welches Vorgehen bei nicht monotonen Nutzenfunktionen?

41 41 Mittelwertkettungsmethode Idee Bestimmen der Sicherheitsäquivalente für p = 0.5 (analog Halbierungsmethode: Wahl von SÄ auf Basis vorangegangener SÄ) Schrittweises Vorgehen Visualisierung von u(x min ) und u(x max ) Entscheider nennt SÄ* für Lotterie (x min, 0.5; x max, 0.5) Entscheider nennt SÄ für (x min, 0.5; SÄ*, 0.5); (SÄ*, 0.5; x max, 0.5) Fortführen des obigen Vorgehens bis ausreichen Datenpunkte vorhanden Interpolation der gesamten Nutzenfunktion Illustration 0.5 x max 0.5 SÄ* 0.5 x max 0.5 x min SÄ* 0.5 x min x SÄ* x Schritt 2. Schritt 3. Schritt

42 42 Mittelwertkettungsmethode Beispiel I Beispiel Erwartetes Einkommen x min x max Schritt 1 Visualisierung von u(x min ) und u(x max ) Nutzen u(x) Auszahlung x

43 43 Mittelwertkettungsmethode Beispiel I Beispiel Erwartetes Einkommen x min x max Schritt 2 Entscheider nennt SÄ* für Lotterie (10.000, 0.5; , 0.5) [hier: ] Nutzen u(x) Auszahlung x

44 44 Mittelwertkettungsmethode Beispiel I Beispiel Erwartetes Einkommen x min x max Schritt 3 Fortführen des obigen Vorgehens bis ausreichen Datenpunkte vorhanden Nutzen u(x) Auszahlung x

45 45 Mittelwertkettungsmethode Beispiel I Beispiel Erwartetes Einkommen x min x max Schritt 4 Interpolation der gesamten Nutzenfunktion Nutzen u(x) Auszahlung x

46 46 Mittelwertkettungsmethode Diskussion Hinweis: Interpolation Im vorliegenden Fall Interpolation mit logarithmischer Nutzenfunktion Interpolation auch linear,... usw. möglich Vorteil: Art der genutzten Lotterien Bisher: Verarbeitung Wahrscheinlichkeiten für Entscheider schwierig Hier: Ausschließlich Abfrage einfacher 50% / 50% Lotterien Vorteil: Einfache Konsistenzprüfung Bei Inkonsistenzen Normierung von x min und x max auf andere Werte Erhebung dieser neuen Lotterien (0.5, x min; 0.5, x max ) Nachteil: Potentielle Fehlerfortpflanzung In spätere Lotterien gehen Sicherheitsäquivalente voriger Lotterien ein Inkonsistente Angaben am Anfang können sich potenzieren

47 47 Fraktilmethode Idee Bestimmen der Sicherheitsäquivalente für verschiedene p (anders als Mittelwertverkettungsmethode: x min und x max bleiben unverändert) Schrittweises Vorgehen Visualisierung von u(x min ) und u(x max ) Entscheider nennt SÄ für Lotterie (x min, 0.8; x max, 0.2) Entscheider nennt SÄ für (x min, 0.6; x max, 0.4); (x min, 0.4; x max, 0.6);... Fortführen des obigen Vorgehens bis ausreichen Datenpunkte vorhanden Interpolation der gesamten Nutzenfunktion Illustration 0.8 x max 0.6 x max 0.4 x max 0.2 x min x x min x x min x Schritt 2. Schritt 3. Schritt

48 48 Fraktilmethode Beispiel I Beispiel Erwartetes Einkommen x min x max Schritt 1 Visualisierung von u(x min ) und u(x max ) Nutzen u(x) Auszahlung x

49 49 Fraktilmethode Beispiel II Beispiel Erwartetes Einkommen x min x max Schritt 2 Entscheider nennt SÄ für Lotterie (x min, 0.8; x max, 0.2) Nutzen u(x) Auszahlung x

50 50 Fraktilmethode Beispiel III Beispiel Erwartetes Einkommen x min x max Schritt 3 Entscheider nennt SÄ für (x min, 0.6; x max, 0.4); (x min, 0.4; x max, 0.6); Nutzen u(x) Auszahlung x

51 51 Fraktilmethode Beispiel IV Beispiel Erwartetes Einkommen x min x max Schritt 4 Interpolation der gesamten Nutzenfunktion Nutzen u(x) Auszahlung x

52 52 Fraktilmethode Diskussion Hinweis: Wahl der Stützstellen Die Wahrscheinlichkeiten p werden über Intervall [0; 1] gleichverteilt Anzahl der Stützstellen damit zu Beginn der Erhebung bekannt Erfahrener Befrager kann auch p frei wählen Konsistenzprüfung Einfachstes Vorgehen: Mittelwerte zwischen erhobenen Punkten Beispiel: x 0.4 und x 0.6 bekannt, dann Abfrage von x 0.5 Vorteil: Konsequenzen unverändert x min und x max bleiben während gesamter Abfrage unverändert Nur Wahrscheinlichkeiten ändern sich Vorteil: Keine Fehlerfortpflanzung In spätere Lotterien gehen keine Ergebnisse voriger Abfragen ein Inkonsistente Angaben am Anfang können sich nicht potenzieren Nachteil: Komplexe Lotterien Wahrscheinlichkeit p wird variiert Potentielle Schwierigkeit bei Bewertung für Entscheider (Kapitel 2!)

53 53 Methode variabler Wahrscheinlichkeiten Idee Bestimmen von p für gegebene SÄ, x min und x max (gehört zu Klasse der Wahrscheinlichkeitsäquivalent-Methoden) Schrittweises Vorgehen Visualisierung von u(x min ) und u(x max ) Entscheider nennt p für (x min, p; x max, (1-p)) SÄ 1 = x min (x max x min ) Fortführen des obigen Vorgehens bis ausreichen Datenpunkte vorhanden Interpolation der gesamten Nutzenfunktion Illustration p 0.5 x max p 0.5 x max p 0.75 x max 1-p 0.5 x min 1-p 0.25 x min +0.5(x max x min ) x min +0.25(x max x min ) x min +0.75(x max x min ) 1. Schritt 2. Schritt 3. Schritt x min 1-p 0.75 x min

54 54 Methode variabler Wahrscheinlichkeiten Beispiel I Beispiel Erwartetes Einkommen x min x max Schritt 1 Visualisierung von u(x min ) und u(x max ) Nutzen u(x) Auszahlung x

55 55 Methode variabler Wahrscheinlichkeiten Beispiel II Beispiel Erwartetes Einkommen x min x max Schritt 2 Entscheider nennt p für (x min, p; x max, (1-p)) SÄ 1 = x min (x max x min ) Nutzen u(x) Auszahlung x

56 56 Methode variabler Wahrscheinlichkeiten Beispiel III Beispiel Erwartetes Einkommen x min x max Schritt 3 Fortführen des obigen Vorgehens bis ausreichen Datenpunkte vorhanden Nutzen u(x) Auszahlung x

57 57 Methode variabler Wahrscheinlichkeiten Beispiel IV Beispiel Erwartetes Einkommen x min x max Schritt 4 Interpolation der gesamten Nutzenfunktion Nutzen u(x) Auszahlung x

58 58 Methode variabler Wahrscheinlichkeiten Diskussion Hinweis: Wahl der Stützstellen Die abgefragten Sicherheitsäquivalente können beliebig gewählt werden Anzahl der Sicherheitsäquivalente bis Nutzenfunktion interpolierbar Konsistenzprüfung Hier: Essentiell wichtig, da Abfrage als schwer wahrgenommen Einsatz der bisherigen Abfragetechniken mögliche Vorteil: Für nicht-kontinuierliche Daten möglich Sollte x nicht-kontinuierlich sein,... Kann als SÄ beliebiger zulässiger Wert gewählt werden Vorteil: Keine Fehlerfortpflanzung In spätere Lotterien gehen keine Ergebnisse voriger Abfragen ein Inkonsistente Angaben am Anfang können sich nicht potenzieren Nachteil: Komplexe Lotterien Angabe von Indifferenzwahrscheinlichkeiten als schwer wahrgenommen Variation der Lotterien schwierig

59 59 Agenda Einführung Entscheidungen unter Sicherheit Generierung von Wahrscheinlichkeiten Erwartungswert Erwartungsnutzentheorie Risikopräferenzen Bestimmung der Nutzenfunktion Ermittlung der optimalen Alternative Nutzentheorie und Risiko Mehrere Ziele Empirische Beobachtungen Zeitpräferenzen bei sicheren Erwartungen Deskriptive Aspekte des Entscheidens Naive Entscheidungsregeln und Heuristiken

60 60 Identifikation der optimalen Alternative Bisher n Definition des Erwartungsnutzens: i=1 Methoden zur Ableitung der Nutzenfunktion Jetzt Vorgehen zur Ableitung der Nutzenfunktion Entscheidungssituation EU(a) = p i u(a i ) Konsequenz p 1 p 2 p 3 E(a) Alternative Entscheidungsmatrix Alternative a a 1 a 2 a 3 p 1 a 1 +p 2 a 2 +p 2 a 3 b b 1 b 2 b 3 p 1 b 1 +p 2 b 2 +p 2 b 3 Konsequenz p 1 p 2 p 3 EU(a) a u(a 1 ) u(a 2 ) u(a 3 ) p 1 u(a 1 )+p 2 u(a 2 )+p 2 u(a 3 ) b u(b 1 ) u(b 2 ) u(b 3 ) p 1 u(b 1 )+p 2 u(b 2 )+p 2 u(b 3 )

61 61 Identifikation der optimalen Alternative Beispiel Entscheidungssituation Fahrtdauer p Regen = 20% p Sonne = 50% p Schnee = 30% E(Fahrtdauer) Rad 11 Minuten 15 Minuten 20 Minuten 14.5 Minuten Alternative Bus 15 Minuten 15 Minuten 15 Minuten 15.0 Minuten Auto 17 Minuten 10 Minuten 20 Minuten 14.4 Minuten Wertfunktion: e 0.02x Warum ist Exponent hier positiv? Entscheidungsmatrix p Regen = 20% p Sonne = 50% p Schnee = 30% EU(Fahrtdauer) Rad Alternative Bus Auto Entscheidung: Fahrt mit dem Auto

62 62 Visualisierung von Entscheidungssituationen Problem Oft beeinflusst Entscheidung künftige Entscheidungen Darstellung als Baum möglich Beispiel Minuten Minuten Minuten Liegen bleiben Minuten 0.0 Minuten Im Folgenden Bestimmung von optimalen Alternativen für Entscheidungsbäume

63 63 Roll-Back-Verfahren Vorgehen Bewertung der Konsequenzen mittels Nutzenfunktion Rückwärtstraversion durch die Entscheidungspunkte Ermittlung des Erwartungsnutzen für alle Handlungsalternativen Streichen aller nicht maximalen Handlungsalternativen Ergebnis der Rückwärtstraversion: Optimale Handlungsalternative Beispiel Minuten Minuten Minuten 0.90 Liegen bleiben Minuten Minuten 1.50

64 64 Roll-Back-Verfahren Beispiel Entscheidung über Ölbohrung Bohren mit Test Wertfunktion Es wird getestet und dann entschieden

65 65 Roll-Back-Verfahren Anmerkungen Vorteile Schnell Die Entscheidung lässt sich mit wenigen Berechnungen bestimmen Verständlich Die Vorgehensweise lässt sich einfach erklären / verstehen Nachteile Nur optimale Alternative wird identifiziert Keine Ordnung der übrigen Alternativen Vergleich bester mit zweitbester Alternative nicht möglich Eingeschränkte Anwendbarkeit Kein Einsatz, wenn wenn Wahrscheinlichkeiten nicht multiplizierbar (Reduction of compound lotteries axiom) Kein Einsatz, wenn Äste nicht vernachlässigbar (Unabhängigkeitsaxiom)

66 66 Agenda Einführung Entscheidungen unter Sicherheit Generierung von Wahrscheinlichkeiten Erwartungswert Erwartungsnutzentheorie Risikopräferenzen Bestimmung der Nutzenfunktion Ermittlung der optimalen Alternative Nutzentheorie und Risiko Mehrere Ziele Empirische Beobachtungen Zeitpräferenzen bei sicheren Erwartungen Deskriptive Aspekte des Entscheidens Naive Entscheidungsregeln und Heuristiken

67 67 Aussagekraft der Nutzenfunktion Nutzen u(x) Auszahlung x Was sagt uns diese Funktion über die Risikopräferenzen des Entscheiders?

68 68 Aussagekraft der Nutzenfunktion Beispiel Richtig: Erst mal nichts! Krümmung als Konsequenz der Risikopräferenzen möglich, aber auch als Konsequenz der Wertfunktion Präferenzen über Orangen Abfrage der Nutzenfunktion ergibt (0 Orangen, 0.5; 8 Orangen, 0.5) (2 Orangen, 1.0) SÄ = 2 < E(x) = 4 (risikoavers) Illustration des Entscheiders (rechts) Abfrage der Wertfunktion (1. Fall) (0 Orangen 2 Orangen) (2 Orangen 8 Orangen) Wertfunktion und Risikofunktion sind identisch Relativ zur Wertfunktion risikoneutral ( intrinsisch risikoneutral ) Abfrage der Wertfunktion (2. Fall) (0 Orangen 4 Orangen) (4 Orangen 8 Orangen) Wertfunktion und Risikofunktion nicht identisch ( intrinsisch risikoavers ) u(x) v(x) v(x) 100% 75% 50% 25% 0% 100% 75% 50% 25% 0% 100% 75% 50% 25% 0% Anzahl Orangen Anzahl Orangen Anzahl Orangen

69 69 Agenda Einführung Entscheidungen unter Sicherheit Generierung von Wahrscheinlichkeiten Erwartungswert Erwartungsnutzentheorie Risikopräferenzen Bestimmung der Nutzenfunktion Ermittlung der optimalen Alternative Nutzentheorie und Risiko Mehrere Ziele Empirische Beobachtungen Zeitpräferenzen bei sicheren Erwartungen Deskriptive Aspekte des Entscheidens Naive Entscheidungsregeln und Heuristiken

70 70 Additives Modell Motivation Bisher Multiattributive Wertfunktion (siehe Kapitel 1) Wertfunktion berücksichtigt mehrere Attribute Nutzenfunktion für ein Ziel (dieses Kapitel) Nutzenfunktion wird für ein Attribut ermittelt Jetzt Kombination beider Ansätze um In Nutzenfunktion mehrere Attribute abbilden zu können Notation Sichere Alternative a i = (a i1,..., a in ) mit Attributwert a ij für Attribut X j Unsichere Alternative a = [p 1, (a 11,..., a 1m );...; p n, (a n1,..., a nm )] = [p 1, a 1 ;...; p n, a n ] Notation (in Worten) Alternative a führt mit Wahrscheinlichkeit p i zum Ereignis i und damit zur Konsequenz (a i1,..., a im ). Dabei ist a ij der Attributwert des Attributs X j bei der Wahl der Alternative a und Eintritt von Ereignis i.

71 71 Additives Modell Vorteile Ziel: Wird Alternative a gegenüber b vorgezogen, dann sollte der Erwartungsnutzen von a größer als der Erwartungsnutzen von b sein, d.h. es soll gelten: a b EU(a) > EU(b) Wünschenswert (Nutzenfunktion im Sinne des Dekompositionsprinzips) Additive Nutzenfunktion u(a i ) = Σ m j=1 k j u j (a ij ) mit k j > 0 und Σ k j = 1 Vorteil einer Nutzenfunktion im Sinne des Dekompositionsprinzips Erwartungswert über Addition (formal) bestimmbar EU(a) = Σ n i=1 p i u(a i ) = Σn i=1 p i [Σm j=1 k j u j (a ij )] bzw. = Σ m j=1 k j [Σn i=1 p i u j (a ij )] = Σm j=1 EU(a i ) Erwartungswert über bisherige Methoden empirisch ermittelbar Eindimensionale Nutzenfunktion u j (a ij ) (vgl. Beginn des Kapitels) Gewichtungsfaktoren k j über Trade-off Verfahren (vgl. Kapitel 2)

72 72 Randwahrscheinlichkeiten Diskrete Zufallsvariable Münzwurf (3x wiederholt) (forts.) Zufallsvariable X: Anzahl Z bei den ersten beiden Würfen Zufallsvariable Y: Anzahl Z bei den letzten beiden Würfen Wahrscheinlichkeitstabelle X Y /8 1/8 0 1/4 1 1/8 1/4 1/8 1/ /8 1/8 1/4 ( ) ( ) ( ) = P X = 0 = P X =1 = P X = 2 1/4 1/2 1/4 = P( Y = 0) = P( Y =1) = P( Y = 2) Randwahrscheinlichkeiten lassen sich über Zeilen- bzw. Spaltensummen der Wahrscheinlichkeitstabellen ermitteln Wiederholung Teil A

73 73 Additives Modell Voraussetzungen I Definition (Additive Nutzenunabhängigkeit) Die Attributmenge X 1,..., X m heißt additiv nutzenunabhängig, falls die Präferenzen über Lotterien nur von den Verteilungen der Ausprägungen der einzelnen Attribute abhängen, nicht jedoch von Verteilungen von Attributkombinationen. Beispiel: Winterurlaub Zugspitze Harz Was ist besser (Zugspitze oder Harz)? Sonne Schnee ja nein ja nein Top Wetter /2 Flop Wetter /2 Top Wetter /2 Flop Wetter /2 1/2 1/2 1/2 1/2

74 74 Additives Modell Beispiel Winterurlaub Zugspitze Harz Sonne Schnee ja nein ja nein Top Wetter /2 Flop Wetter /2 Top Wetter /2 Flop Wetter /2 1/2 1/2 1/2 1/2 Additives Modell EU(Zugspitze) = 0.5 [0.5 u so (1) u so (0) u sc (1) u sc (0)] [0.5 u so (0) u so (1) u sc (0) u sc (1)] = 0.5 u so (1) u so (0) u sc (1) u sc (0) EU(Harz) = 0.5 [0.5 u so (1) u so (0) u sc (1) u sc (0)] [0.5 u so (1) u so (0) u sc (1) u sc (0)] = 0.5 u so (1) u so (0) u sc (1) u sc (0) EU(Zugspitze) = EU(Harz) Ist das intuitiv?

75 75 Additives Modell Voraussetzungen II Problem: Komplementäre Attributbeziehungen Additives Modell nicht anwendbar bei Attributen die bei bestimmten Attributwerten höheren Nutzen bewirken als alleine Beispiele Winterurlaub Ski bei Sonne ist besser als Wandern bei Sonne + Ski ohne Sonne Schuhkauf Passendes Paar Schuhe ist besser als passender linker / rechter Schuh Problem: Substitutive Attributbeziehungen Additives Modell nicht anwendbar bei Attributen die bei bestimmten Attributwerten andere kompensieren Beispiel: Winterurlaub Schnee: Ski (und Wetter egal) + Sonne: Wandern (und Schnee unnötig) Getränke Ist der Wein aus, saufen wir eben Bier!

76 76 Additives Modell Voraussetzungen III Problem: Intrinsische, multiattributive Risikoaversion (-freude) Risikofreude: Alles riskieren,... um das meiste rauszuholen Risikoaversion: Schlechtes Ergebnis sollte noch akzeptabel sein Unterschied zu bisher Nutzen der Attribute kann unabhängig sein Nutzen von Sonne unabhängig von Schnee (immer schönes Wetter) Nutzen von Schnee unabhängig von Sonne (immer Skifahren möglich) Zugspitze Harz Sonne Schnee ja nein ja nein Top Wetter /2 Flop Wetter /2 Top Wetter /2 Flop Wetter /2 1/2 1/2 1/2 1/2 Zugspitze Harz: Risikoaversion Harz Zugspitze: Risikofreude

77 77 Additives Modell Prüfen der Voraussetzungen Konstruktion von Lotterien (analog Beispiel) Für Alternativen bester und schlechtester Ausgang gleich wahrscheinlich Alternative 1: Bester und schlechtester Ausgang tritt gemeinsam auf Alternative 2: Bester und schlechtester Ausgang treten abwechselnd auf Prüfung auf Indifferenz zwischen den Alternativen Bei weitestgehend Indifferenz: Additives Modell anwendbar Bei mangelnder Indifferenz: Keine Anwendung des additiven Modells Additives Modell ist einfach Notfalls versuchen Voraussetzung herzustellen Komplementäre oder substitutive Attributbeziehungen Umdefinieren der Ziele Beispiel: Zuverlässigkeit und Servicequalität (Substitute) Umwandlung in Ziel Reparaturkosten Intrinsische, multiattributive Risikoaversion (-freude) Herstellen der Voraussetzungen schwierig Anwendung alternatives Modell

78 78 Agenda Einführung Entscheidungen unter Sicherheit Generierung von Wahrscheinlichkeiten Erwartungswert Erwartungsnutzentheorie Risikopräferenzen Bestimmung der Nutzenfunktion Ermittlung der optimalen Alternative Nutzentheorie und Risiko Mehrere Ziele Empirische Beobachtungen Zeitpräferenzen bei sicheren Erwartungen Deskriptive Aspekte des Entscheidens Naive Entscheidungsregeln und Heuristiken

79 79 Ellsberg-Paradoxon I Experiment (Ellsberg, 1961) Urne enthält 30 rote Bälle und schwarze oder gelbe Bälle Verhältnis schwarzer zu gelben Bällen unbekannt Zwei Entscheidungssituationen Alternative a b Beschreibung Gewinn falls roter Ball gezogen Gewinn falls schwarzer Ball gezogen Alternative a' b' Beschreibung Gewinn falls roter oder gelber Ball gezogen Gewinn falls schwarzer oder gelber Ball gezogen Typisches Ergebnis 1. Entscheidung a b 2. Entscheidung b a

80 80 Ellsberg-Paradoxon II Verletzung des Sure Thing Principle Unterschied zwischen a, b und a, b : a und b treten auch dann ein wenn Kugel gelb Präferenz sollte identisch sein Illustration Gewinnwkt. a (a ) Gewinnwkt. b (b ) sicherer Gewinn 1 p a p b - 2 p a + p c p b + p c - p a p b p c Situationen sind mit Ausnahme der sicheren Auszahlung gleich Präferenz sollte identisch sein Erklärungsansätze Ambiguitätsaversion: Entscheider favorisieren hohe Glaubwürdigkeit Weiterer Risikofaktor: Nichtwissen der Wkt. als zusätzliches Risiko

81 81 Allais Paradoxon I Wahl zwischen je zwei Lotterien (visualisiert als Baum) a 1.00 (3.000) 0.25 (3.000) a' b 0.75 (0) 0.8 (4.000) Entscheider wählen meist Situation 1: a b Situation 2: b a Aber: 1.0 : 0.8 = 5 : 4 = 0.25 : 0.20 (Verhältnis der Gewinnwkt. Identisch) Übergang von 100% auf 80% stärker gewichtet als 25% zu 20% 0.2 E(a) = E(b) = (0) 0.2 (4.000) 0.8 E(a ) = 750 E(b ) = 800 b (0)

82 82 Allais Paradoxon II Wahl zwischen je zwei Lotterien (Allais, 1953) Situation 1 Wahl A Wahl B 100%, 1 Mio 10%, 5 Mio 1%, 0 Mio 89%, 1 Mio Entspricht: 11%, 1 Mio 89%, 1 Mio 10%, 5 Mio 1%, 0 Mio 89%, 1 Mio Situation 2 Wahl A Wahl B Vorhersage Erwartungsnutzentheorie (wg. Unabhängigkeit) Situation 2 unterscheidet sich von Situation 1 durch hinzufügen von Mio mit Wahrscheinlichkeit 89% Wer A B wählt sollte damit auch A B wählen Typisches Ergebnis Situation 1: A B Situation 2: B A 11%, 1 Mio 89%, 0 Mio 10%, 5 Mio 90%, 0 Mio

83 83 Isolationsprinzip Noch etwas deutlicher... Nicht in der Vorlesung behandelt Wahl zwischen je zwei identischen Lotterien in unterschiedlicher Darstellung Normale Lotterie Situation 1 Wahl A Wahl B 25%, %, 0 20%, %, 0 Darstellung als Baum, wobei Teilnehmer entscheidet vor Zug der Natur, wobei A (3.000) 0, (4.000) B 0, (0) (0) Situation 2 Wahl A Wahl B 100%, %, %, 0 Entspricht 25%, %, 0 20%, %, 0 Typisches Ergebnis: B A (65% der Teiln.) und A B (78% der Teiln.)

84 84 Nicht in der Vorlesung behandelt Dreieck-Ergebnis-Diagramm Bisherige Darstellung Indifferenzkurven sind Parallelen, da... Angabe von p 2 : nicht nötig, da gilt p 2 = 1 p 1 p 3 Stärke Präferenz: Da x 1 x 2 x 3 gilt Alternative (0, x 1 ; 0, x 2 ; 1, x 3 ) am Besten Fehlt noch: Form der Indifferenzkurven (Gerade, identische Steigung p 1 =0.1, p 2 =0.2, p 3 =0.7 Indifferenzkurven (p 1 =0, p 3 =1) Wiederholung vorn (p 1 =0, p 3 =0) (p 1 =1, p 3 =0)

85 Nicht in der Vorlesung behandelt Dreieck-Ergebnis-Diagramm Darstellung unter Berücksichtigung des Allais-Paradoxons Indifferenzkurven bilden Fächer, da... Geraden: a b a p a + (1-p) b b Fächer: Abstände nahe 0 und 1 werden größer Indifferenzkurven (p 1 =0, p 3 =1) (p 1 =0, p 3 =0) (p 1 =1, p 3 =0)