Wahrscheinlichkeitsrechnung

Transkript

1 Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Prof. Dr. Michael Havbro Faber

2 Korrektur zur letzten Vorlesung Bsp. Fehlerfortpflanzung in einer Messung c B a 2 2 E c Var c a b A b n h( x) 2 a 2 b 2 X i 2 2 a 2 2 b i1 x i a b a x μ b X C 2 2 Ec Var c Pf P( C 13.5) 1 P( C 13.5) (vergleiche Skript S. 181/182)

3 Lehrveranstaltung im Überblick

4 Überblick über die Kapitel Grafische /numerische Interpretation von Beobachtungen Modellierung und Datenbeschreibung Bayes sche Modellierung Probability desnity 0,1 Prior 0,09 Posterior 0,08 Likekihood 0,07 0,06 0,05 0,04 0,03 0,02 0, Mean value of steel yield stress Modellevaluation Wahrscheinlichkeitstheorie Verteilungsfunktionen, Momente, Extreme Zuverlässigkeits analyse Entscheidungsfindung

5 Inhalt der heutigen Vorlesung Einführung in die Entscheidungstheorie Das Problem Der Entscheidungsbaum A priori Analyse A posteriori Analyse Prä posteriori Analyse

6 Das grundlegende Ingenieurproblem Mehrere mögliche Lösungen sind denkbar Die vorhandene Information ist unsicher Eine Entscheidung muss getroffen werden!

7 Vorgehen 1. Formulierung des Entscheidungsproblems Identifizierung des Entscheidungsträgers und seiner Präferenzen Darstellen des Entscheidungsprozesses Identifizierung aller möglichen Entscheidungsalternativen Identifizierung der Unsicherheiten 2. Identifizierung potentieller Konsequenzen und ihres Nutzens (Kosten und Ertrag) 3. Beurteilung der Eintrittswahrscheinlichkeiten der Konsequenzen 4. Vergleich der unterschiedlichen Entscheidungsalternativen basierend auf dem Erwartungswert ihres Nutzens 5. Entscheidung und Dokumentation der Annahmen, auf welchen die gewählte Alternative beruht

8 Pile Pfahl Der Entscheidungsbaum Beträgt die Tiefe zur tragenden Schicht 40 oder 50 Meter? Depth of rock bed 40ft or 50ft? Entscheidungsalternativen Pfahl 40m Zustand Konsequenz Kosten Tiefe=40m Keine 0 Tiefe=50m Verbindung zweier Pfähle 400 Tiefe=40m Pfahl kürzen 100 Pfahl 50m Tiefe=50m Keine

9 Zuordnung von Nutzen Der Nutzen spiegelt die Präferenzen des Entscheidungsträgers wider. Nutzenfunktionen können als lineare Funktionen definiert werden, ausgedrückt inmonetäreneinheiten Einheiten. Alle monetären Konsequenzen sind din der Nutzenfunktion zu integrieren

10 Zuordnung von Nutzen n ua ( i) puk j ( j ) j1 ( ) ua i Nutzen (Kosten und Ertrag) der aus der Handlungsalternativen a i entsteht puk ( ) j j p j uk ( ) j Erwartungswert des Nutzens der Konsequenz Eintrittswahrscheinlichkeit der Konsequenz Nutzen der Konsequenz K j K j K j K j Potentielle Konsequenz aus der Handlungsalternativen a i

11 Die unterschiedlichen Typen der Analyse in der Entscheidungstheorie: Pile Pfahl A priori Analyse A posteriori Analyse Prä posteriori Analyse Beträgt die Tiefe zur tragenden Schicht 40 Depth of rock bed 40ft oder or 5050ft Meter?? Beispiel Welche Pfahllänge sollte eingesetzt werden?

12 Beispiel Welche Pfahllänge sollte eingesetzt werden? Alternativen: a 0 : Wahl eines Pfahls mit 40 Metern Länge a 1 : Wahl eines Pfahls mit 50 Metern Länge Pile Pfahl Beträgt die Tiefe zur tragenden Schicht 40 Depth of rock bed 40ft oder or 5050ft Meter?? Zustände der Natur (Tiefe des Untergrundes): : Untergrund in 40 Metern Tiefe P'( 0) : Untergrund in 50 Metern Tiefe P'( 1)

13 A priori Analyse : Untergrund in 40 Metern Tiefe; P'( ) : Untergrund in 50 Metern Tiefe; P'( 1) 0.3 a : Wahl eines Pfahls mit40 Metern Länge 0 a : Wahl eines Pfahls mit 50Metern Länge 1 Wenn Tiefe > Pfahllänge: Verbinden = 400 CHF Wenn Pfahllänge > Tiefe : Kürzen = 100 CHF

14 A priori Analyse P'( ) P'( ) ' 0 ' ' ' E ' u min{ u a, u a } min{ P 0 u a0 P 1 u 1 a 0, P 0 u 0 a1 P 1 u 1 a1 } min{ , } min{120, 70} 70 Decision Entscheidung for für a 1a 1 (50ft : Pfahl Pile) 50 m

15 A posteriori Analyse P''( ) i Pz [ k i ] P'[ i ] Pz [ k j ] P'[ j ] j A posteriori Wahrscheinlichkeit für Zustand i gegebene die Beobachtung = A priori iwh Wahrscheinlichkeit für Zustand Normierungsfaktor Likelihood der Beobachtung gegeben Zustand i i

16 A posteriori Analyse A Priori A posteriori i Likelihood A Priori A posteriori Likelihood A Priori Likelihood A posteriori

17 A posteriori Analyse Beispiel Ultraschalltests werden durchgeführt, um die Tiefe des Untergrundes festzustellen. Wahrer Zustand 0 1 Testresultat 40 m Tiefe 50 m Tiefe Pz [ k i ] P'[ i ] P''( i ) Pz [ k j] P'[ j] j z 0 z 1 z 2 40 m Indikation m Indikation m Indikation Likelihoods der verschiedenen Indikationen (Testresultate) je Zustand der Natur

18 A posteriori Analyse Beispiel Nehmen wir an, der Test zeigt 45 Meter an: Pz [ k i ] P'[ i ] P''( i ) Pz [ k j] P'[ j] P'' 0 P 0 z2 P z2 0 P = 0.21 P'' 1 P 1 z2 P z2 1 P = 0.06 P'' = 0.78 z j P ' ' 006. z =

19 A posteriori Analyse Beispiel Test zeigt 45 Meter an(z 2 ) Entscheidung für a 1 : Pfahl 50 m

20 A posteriori Analyse Beispiel E '' uz min{ E'' ua z 2 ( j ) 2 } j min{ P'' 0 P'' 400, P'' 100 P'' 0} min{ , } min{88, 78} 78 Entscheidung für a 1 : Pfahl 50 m

21 Prä Posteriori Analyse Betrachten wir das gleiche lih Beispiel i Pfähle fhl Nun hat der Ingenieur die Möglichkeit im Vorfeld zwischen verschiedenen Untersuchungsoptionen ngsoptionen zu wählen, z.b.: e 0 keine Untersuchungen > keine Kosten e 1 Ultraschall > > 20CHF Probeborung > 50 CHF e 2 Die Möglichen Zusatzuntersuchungen beinhalten Kosten Wie kann nun entschieden werden, welche Option die grösste Kosteneffizienz hat?

22 n Prä Posteriori Posteriori Analyse ' i1 E u P zi E '' u zi n i 1 P ' z min{ E '' u( a ) z } i j i j 1, m i i 0 ' 0 Pz P' P' z P z P i

23 Prä Posteriori Posteriori Analyse P' z Pz P' Pz P' P' z P z P' P z P' P' z Pz P' Pz P'

24 Prä Posteriori Posteriori Analyse P' z Pz P' Pz P' P' z Pz P' Pz P' P' z Pz P' Pz P'

25 Prä Posteriori Posteriori Analyse E '' uz 0 min{ E'' ua ( j) z 0 } j Nichts tun a 0 verbinden min{ P'' 0 z0 0 P '' 1 z0 400, P'' z 100 P'' z 0} Kürzen nichts tun a 1 min{ , }

26 Prä Posteriori Posteriori Analyse Minimal erwartete Kosten, basierend auf Prä posteriori Analyse zur Entscheidungsfindung (Kosten der Versuche nicht beinhaltend) n ' Eu P zi E'' uzi i Zulässige Kosten für die Versuche E' u Eu

27 Zusammenfassung Je nach Problemstellung ll kommen verschiedene Entscheidungsanalysen zum Einsatz. A priori Analyse: Bei gegebener (Ist )Information A posteriori Analyse: Bei neuer Information Prä posteriori Analyse: Bei mehreren möglichen Zusatzuntersuchungen. Es wurden hier die einfachen Grundprinzipien dieser Entscheidungsmodelle hid dll vorgestellt. Die Prinzipien lassen sich auf beliebig komplexe Problemstellung erweitern

28 Zusammenfassung der Vorlesung Unsicherheiten h i im Ingenieurwesen Zusammenfassung von Daten nummerisch, graphisch Ereignisse und ihre Wahrscheinlichkeiten bedingte Wahrscheinlichkeit, Satz von Bayes Zufallsvariablen und Prozesse Momente, Parameter und deren Schätzung Hypothesentests t t und Konfidenz, für Stichprobenstatistiken t tik und Verteilungen Methoden der Zuverlässigkeit Grenzzustände und Wahrscheinlichkeiten Entscheidungstheorie

29 Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Prof. Dr. Michael Havbro Faber