Konzepte der Statistik für die Messdatenanalyse

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1 Konzepte der Statistik für die Messdatenanalyse Modelle Beispiel: optische Abbildung im Fernfeld (Fraunhoferbeugung) indirekte Messgröße: Abstand der beiden Spalte D Modell inverses Problem direkte Messgrößen: Koordinatenpaare der lateralen Positionen (x,y) Intensitätswerte I

2 indirekte Messgrößen Y 1,, Y k,, Y M ihr Wert bleibt verborgen approximieren Modell physikalisches Modell: f(p k, X i ) p k Y k Modellparameter statistisches Modell: Streuungen σ i der X i Abweichungen durch Streuung der direkten Messgrößen approximativen Charakter des Modells direkte Messgrößen X 1,, X i,, X N Beobachtungen Messvorgang Streuung durch Einflussfaktoren beim Messvorgang

3 Konzept der Maximum-Likelihood-Methode: Residuen Differenzen zwischen Modell und Beobachtungen Residuen sind unabhängig und identisch verteilt: Jeder Messpunkt wurde unabhängig von allen anderen gewonnen. Jeder Messpunkt ist identisch verteilt (sie haben die gleiche Streuung) Wahrscheinlichkeit p des Eintretens des Ereignisses ε gegeben die Parameter θ 1,, θ M und σ

4 Konzept der Maximum-Likelihood-Methode: Residuen Funktion der Modellparameter und der direkten Messgrößen (bzw der Regressanden und Regressoren) lineare Regression einzelne Zufallsgröße linearer Zusammenhang zweier Zufallsgrößen

5 Konzept der Maximum-Likelihood-Methode: Residuen Gesamtwahrscheinlichkeitsdichte: joined probability density Likelihood ist die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion l: p, σ l(p, σ) gegeben die Beobachtungen

6 Konzept der Maximum-Likelihood-Methode: Residuen Gesamtwahrscheinlichkeitsdichte maximieren: max p { l p } Summe der Quadrate der Residuen minimieren:

7 X 2,j X Modell,2,j ε j ε j sin α ε j cos α α σ 1 σ 2 2 Messgrößen mit unterschiedlichen Varianzen σ 1 und σ 2 Residuum als Vektor j d X 1,j X Modell,1,j

8 Konzept der Maximum-Likelihood-Methode: direkte Messgrößen X i mit verschiedenen Varianzen σ i 2 = σ i,i - und sogar Kovarianzen σ i,k

9 Konzept der Maximum-Likelihood-Methode: Likelihood für direkte Messgrößen X i mit verschiedenen Varianzen σ i 2 = σ i,i - und mit Kovarianzen σ i,k max p { l p }

10 Konzept der bayesischen Verfahren indirekte Messgrößen Y 1,, Y M Physik des Messvorgangs direkte Messgrößen X 1,, X N klassisch frequentistisch unbekannt konstant / fest, wahr Zufallsgrößen (Einflüsse vom Messvorgang) bayesisch Zufallsgrößen (Mangel an Erkenntnis) Informationszuwachs durch Beobachtungen Beobachtungen sind bekannte feste, konkrete Werte

11 Konzept der bayesischen Verfahren indirekte Messgrößen Y 1,, Y M P 1,, P M Messvorgang Lösen eines inversen Problems direkte Messgrößen X 1,, X N klassisch frequentistisch Likelihood l(p) Möglichkeit bayesisch Degree of Belief p(y) vernünftige Glaubwürdigkeit Grad der Erkenntnis

12 Konzept der bayesischen Verfahren

13 letztlich läuft es dennoch auf ein Update von Modellparameter hinaus, weil die physikalische Modellierung immer begrenzt bleiben wird und niemals alle Einflussfaktoren beschrieben werden können Erkenntniszuwachs neue Beobachtungen Verfeinerung des Modells

14 Grundidee der bayesischen Verfahren für Parameterschätzung anhand je 1 indirekten und 1 direkten Messgröße einzelne Zufallsgröße à priori Informationen zur Modellgröße Schätzwert y 0 der Modellgröße Schätzwert s 2 seiner Varianz Modellparameter, der Schätzwert sei normalverteilt indirekte Messgröße approximiert abstrakt die Zufallsgrößen indirekte Messgröße μ y s Variablen zum Variieren im Schätzvorgang

15 Grundidee der bayesischen Verfahren für Parameterschätzung anhand je 1 indirekten und 1 direkten Messgröße Likelihood Normierungsfaktor Prior Verteilung der Varianzen Posterior

16 Grundidee der bayesischen Verfahren für Parameterschätzung anhand je 1 indirekten und 1 direkten Messgröße p: y, s p(y, s)

17 Grundidee der bayesischen Verfahren für Parameterschätzung anhand je 1 indirekten und 1 direkten Messgröße p: y, s p(y, s) Integration über s p: y p(y) Marginal- oder Randverteilung Gegeben zwei Zufallsgrößen A und B mit gemeinsamer Verteilungsdichte p(a, B) dann heißen die Verteilungen der einzelnen Zufallsgrößen A und B die Randverteilungen/Marginalverteilungen des Zufallsvektors (A, B).

18 Grundidee der bayesischen Verfahren für Parameterschätzung anhand je 1 indirekten und 1 direkten Messgröße Schätzwert für indirekte Größe Y Erwartungswert des Modellparameters μ y 1 = න y p y X 1,1,, X 1,J, y 0, s 0 ) dy Revision der Schätzung der Modellparameters μ Y der die indirekte Messgröße approximiert

19 Konzept des (vollständigen) Messergebnisses Ein Schätzwert (Größenwert) y 0 oder y 1 allein ist noch kein Messergebnis auch nach beliebig vielen Revisionen κ ist y κ noch kein Messergebnis VIM 2.9 Messergebnis: Menge von Größenwerten, die einer Messgröße zugewiesen sind, zusammen mit jeglicher verfügbarer relevanter Information Wahrscheinlichkeitsdichteverteilung Messunsicherheit

20 Konzept des (vollständigen) Messergebnisses Schätzwert (Größenwert) E y = න y p y dy Wahrscheinlichkeitsdichteverteilung p(y) Messunsicherheit u(y) definiert durch ein Intervall, das Bereich für spezifizierte Wahrscheinlichkeit abdeckt

21 Konzept des (vollständigen) Messergebnisses Überdeckungsintervall Vertrauensniveau 1 α Confidence level Signifikanzniveau α Vertrauensintervall Confidence interval y ist nur aufgrund der Modellierung und Schätzvorgangs eine Zufallsgröße frequentistische Statistik Glaubwürdigkeitssintervall Credible interval y ist intrinsisch eine Zufallsgröße bayesische Statistik

22 Konzept des (vollständigen) Messergebnisses α Wahrscheinlichkeitsfunktion = kumulative Wahrscheinlichkeitsdichteverteilung inverse Funktion (=Umkehrfunktion) der Wahrscheinlichkeitsfunktion P 1 P 1 (α) zu vorgegebenen Wahrscheinlichkeiten entsprechende Überdeckungsintervalle ermitteln

23 Konzept des (vollständigen) Messergebnisses Posterior kumulierte Posterior Student-t Vertrauensintervall Credible interval Erweiterungsfaktor Vertrauensintervall} Credible interval Überdeckungssintervall

24 Messergebniss durch lineare Regression Beispiel: Regressionsgerade die Modellparameter und deren Unsicherheit schätzen Regressormatrix Regressionsgerade

25 Messergebniss durch lineare Regression Modellparameter und deren Unsicherheit schätzen Beispiel: Regressionspolynom vom Grad M 1 1 Regressor M Regressoren

26 Messergebniss durch lineare Regression Modellparameter und deren Unsicherheit schätzen ganz allgemein beliebige M Regressoren (müssen linear unabhängig sein) Regressormatrix

27 Messergebniss durch lineare Regression Modellparameter und deren Unsicherheit schätzen X = [x1 x2 x3]; XTX = X' * X; b = X * y; lineares Gleichungssystem lösen Schätzung der Parameter theta = XTX \ b; Schätzwerte

28 Messergebniss durch lineare Regression Modellparameter und deren Unsicherheit schätzen Varianz der Residuen epsilon = y - X * theta; var_eps = (epsilon' * epsilon) / (J-3);

29 Messergebniss durch lineare Regression Modellparameter und deren Unsicherheit schätzen Ko-Varianz der Modellparameter Kovarianz = inv(xtx) * var_eps; var_eps = (epsilon' * epsilon) / (J-3); XTX = X' * X; Überdeckungsintervall [ θ m k σ 2 m, θ m + k σ 2 m ] Erweiterungsfaktor