5. Vorlesung Spieltheorie in der Nachrichtentechnik

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1 5. Vorlesung Spieltheorie in der Nachrichtentechnik Vorlesung: Eduard Jorswieck Übung: Rami Mochaourab Sommersemester 2010

2 Lösungskonzepte bei unvollständiger Information Wenn Spieler private Informationen besitzen, die den Mitspielern nicht verfügbar sind, kann ein Spiel durch die strategische Form nicht vollständig beschrieben werden. Allgemeinere Klasse von Spielen wird als Bayes sche Spiele bezeichnet. John Charles Harsanyi (* 29. Mai 1920 in Budapest; 9. August 2000 in Berkeley/Kalifornien) war ein ungarischamerikanischer Wirtschaftswissenschaftler. An der University of California, Los Angeles (UCLA) übernahm er zwischen 1964 und 1990 eine Lehrtätigkeit und bekam 1994 (zusammen mit John F. Nash, Princeton University und Reinhard Selten, Rheinische Friedrich-Wilhelms- Universität Bonn) den Nobel-Preis für Wirtschaftswissenschaften, womit seine Verdienste in Sachen der nichtkooperativen Spieltheorie geehrt wurden. 1

3 Wir führen die Menge T i des i-ten Spielers ein. Sie enthält alle denkbaren Typen t i (Informationszustände). DerTyp t i einesspielersistenthältdieprivaten Informationen (etwa seine Präferenzen). Der Typ der anderen Spieler ist normalerweise nicht bekannt. Daher, benötigt man eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, die die a-priori Annahme oder Schätzung des Spielers i modelliert, i.e. p(t i t i ). Diese Schätzungen werden im Vektor π gesammelt. Ein Bayes sches Spiel hat dann die Form Γ = (N,S,T,π,u). 2

4 Wir nehmen an, dass Γ = (N,S,T,π,u) gemeinsames Wissen aller Spieler ist. Spieler i kennt seinen eigenen Typ t i. Die Nutzenfunktion von Spieler i ist ũ i (t i ) = t i p(t i t i )u i (s 1 (t 1 ),...,s n (t n ),t 1,...,t n ). Das ist der erwartete Nutzen (nach den a-priori Informationen des i-ten Spielers p(t i,t i )). StrategieeinesSpielershängtvon seinenprivaten Informationenab s i (t i ). 3

5 Eine Strategiekombination s = [s 1(t 1 ),...,s n(t n )] ist ein Bayes sches Gleichgewicht, wenn für alle i,s i und t i gilt ũ i (s i(t i ),s i(t i ),t i ) ũ i (s i (t i ),s i(t i ),t i ). Das Bayes-Nash-Gleichgewicht mit unvollständiger Information ist demnach äquivalent zu einem Nash-Gleichgewicht eines entsprechend modifizierten Spiels vollständiger Information und daher können die Aussagen über Existenz und Eindeutigkeit des Gleichgewichts direkt angewendet werden. Die Wahl oder Modellierung der p(t i t i ) ist entscheidend! 4

6 Die Common Prior Annahme spielt eine wesentliche Rolle bei der Analyse von Bayes schen Spielen. Es gibt eine gemeinsame a priori Wahrscheinlichkeitsverteilung p, Common Prior genannt, wenn die bedingten Einschätzungen p(t i,t i ) aller Spieler aus einer Wahrscheinlichkeitsverteilung p über der Menge T für alle t i T i und für alle t i T i abgeleitet werden können: p(t i t i ) = p(t i,t i ) t i T i p(t i,t i ). Alle Spieler haben eine gemeinsame objektive Vorstellung über die Wahrscheinlichkeiten, mit denen die Natur ihre Spielzüge wählt. (bevor die Spieler ihre privaten Informationen erhalten) 5

7 Beispiel: (Erinnere Cournot-Nash-Gleichgewicht) Zwei Erdbeerfarmer ernten (x Kilo) mit den Arbeitskosten K i (x i ). Es gibt eine maximale Gesamternte x i x max i. Marktpreis richtet sich nach Angebot und Nachrfrage p = 120 2x. Jeder Farmer max. Gewinn G i (x i,x i ) = p(x i +x i )x i K i (x i ). Cournot-Verhalten: G i (x i,x i ) x i = 0. Für K i (x i ) = x 2 i x i = x i. 6

8 Jetzt mit unvollständiger Information: Die Kosten K i (x i ) seien nur dem jeweiligen Unternehmen bekannt. Angenommen es gibt hohe K i1 (x i ) = 2x 2 i und niedrige K i2(x i ) = x 2 i Jeder Erdbeerfarmer hat bestimmte Vorstellungen darüber, wie wahrscheinlich die Kosten des anderen hoch oder niedrig sind: p(t j1 t i ). Common Prior - in Matrix: [[0.4,0.2];[0.1,0.3]]; Daraus leiten wir die bedingten Wkt ab = Tafel. Berechnung der besten Antworten = Tafel. (Zeichnen der Reaktionsfunktion) 7

9 Bayes Gleichgewicht und gemischten Strategien s 21 s 22 Beispiel: s 11 (1+ǫα,1+ǫβ) (1+ǫα,0) s 12 (2,1+ǫβ) (0,4) α und β sind unabhängige ZV, gleichverteilt über [0,1]. α ist Typ von Spieler 1 p(α ˆα) = ˆα Der Parameter ǫ ist beiden Spielern bekannt. Mit ǫ kann die Unsicherheit beliebig klein gemacht werden. Spieler 1 wählt seine erste Strategie s 11 falls 1+ǫ 2E[s 21 ]+0[1 E[s 21 ]]. ˆα = (2+ǫ)/(8+ǫ 2 ) und ˆβ = (4 ǫ)/(8+ǫ 2 ). 8

10 Gleichgewicht in korrelierten Strategien Bisher waren weder bindende Verträge zwischen den Spielern noch irgendeine Kommunikation vor Entscheidungsfindung möglich. Falls die Spieler miteinander Kontakt aufnehmen können, kann es durchaus im Eigeninteresse aller Spieler liegen, ihre Strategien gegenseitig abzustimmen (zu korrelieren). Israel Robert John Aumann (* 8. Juni 1930 in Frankfurt am Main) ist ein Mathematiker deutscher Abstammung mit israelischer und US-amerikanischer Staatsbürgerschaft wurde er mit dem Wirtschaftsnobelpreis ausgezeichnet. Aumann war der erste der das Konzept des korrelierenden Gleichgewichts in der Spieltheorie beschrieb. Diese Art Gleichgewicht in nicht-kooperativen Spielen ist flexibler als das klassische Nash-Gleichgewicht. Weiterhin untersuchte Aumann die Idee des Common Sense in der Spieltheorie auf eine drastische Art und Weise. 9

11 Gleichgewicht in korrelierten Strategien: Jeder Spieler macht seine Strategiewahl von der Beobachtung einer Zufallsvariable abhängig - diese ZV können korreliert sein. Beispiel: Kampf der Geschlechter s 21 s 22 s 11 (3,1) (0,0) s 12 (0,0) (1,3) Die korrelierte Strategie kann zum Beispiel durch die Einschaltung eines Vermittlers realisiert werden, der - abhängig von der Realisierung einer ZV - entweder empfiehlt (s 11,s 21 ) oder (s 12,s 22 ) zu spielen. Eine korrelierte Strategie ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung w(s) über der Menge S aller reinen Strategiekombinationen. Diese Verteilung ist gemeinsames Wissen aller Spieler. Beispiele für korrelierte Strategien im Spiel oben sind = Tafel 10

12 Die Korrelation der Strategien kann den Spieler u.u. Auszahlungen ermöglichen, die sogar höher sind als bei jeder konvexen Kombination von Nash Gleichgewichten. Beispiel: Chicken-Game s 21 s 22 s 11 (6,6) (2,8) s 12 (8,2) (0,0) u2 8 16/ /3 6 8 u1 11

13 Rationalisierbare Strategien Angenommen, die Spielstruktur und die Tatsache, dass alle Spieler rational sind, ist gemeinsames Wissen. Dann muss die Strategiewahl mit diesem Wissen konsistent sein: Eine Strategie ist rationalisierbar, wenn sie beste Antwort in Bezug auf eine andere rationalisierbare Strategie ist. Jede Strategie, die Bestandteil des NE ist, ist demnach rationalisierbar. Beispiel von Bernheim 1984: b 1 b 2 b 3 b 4 a 1 (0,7) (2,5) (7,0) (0,1) a 2 (5,2) (3,3) (5,2) (0,1) a 3 (7,0) (2,5) (0,7) (0,1) a 4 (0,0) (0, 2) (0,0) (10, 1) 12

14 Verfeinerungen des Nash-Gleichgewichts Angenommen Spieler können Fehler machen. Sie wählen mit zitternder Hand nicht immer die beabsichtigte Strategie. Wenn selbst bei einer extrem geringen Wkt dafür, daß die Spieler Fehler machen, ein Gleichgewicht nicht mehr erhalten bleibt, sagen wir, Selten folgend, daß es nicht trembling-hand-perfekt ist. Reinhard Selten (* 5. Oktober 1930 in Breslau) ist ein deutscher Volkswirt und Mathematiker. Im Jahr 1994 erhielt er als bisher einziger Deutscher zusammen mit John Forbes Nash und John Harsanyi den Nobel Preis für Wirtschaftswissenschaften für die gemeinsamen Leistungen auf dem Gebiet der Spieltheorie. Selten entwickelte 1965 das Konzept des teilspielperfekten Gleichgewichts und 1975 das Konzept des trembling-handperfekten Gleichgewichts. 13

15 Beispiel: s 21 s 22 s 11 (5,5) (0,5) s 12 (5,0) (1,1) Beispiel: s 21 s 22 s 23 s 11 (1,1) (0,0) ( 6, 4) s 12 (0,0) (0,0) ( 4, 4) s 13 ( 4, 6) ( 4, 4) ( 4, 4) Ein Überblick über weitere Verfeinerungen des Nash-Gleichgewichts bietet: E. Van Damme, Stability and Perfection of Nash Equilibria, Springer Verlag, Berlin,