Spieltheorie Übungsblatt 5

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1 Spieltheorie Übungsblatt 5 Tone Arnold Universität des Saarlandes 16. Juni 2008 Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Musterlösung Übungsblatt Juni / 19

2 Aufgabe 1 (a) Betrachten Sie das folgende Spiel in Normalform. A B A 2, 2 4, 1. B 1, 4 3, 3 Bestimmen Sie das Nash Gleichgewicht des Stufenspiels. Lösung: Das Nash GG ist (A, A). Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Musterlösung Übungsblatt Juni / 19

3 Aufgabe 1 (b) Angenommen, das Spiel wird unendlich oft wiederholt. Zeigen Sie, dass die Strategiekombination (B, B) durch ein Paar von Trigger Strategien als Nash Gleichgewicht des wiederholten Spiels erreicht werden kann, wenn der Diskontfaktor hinreichend hoch ist. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Musterlösung Übungsblatt Juni / 19

4 Aufgabe 1 (b) Lösung: Es ist zu prüfen, ob einer der Spieler sich durch Abweichen in einer Periode t besser stellen kann, gegeben der andere hält sich an die Trigger Strategie. Angenommen Spieler 2 hält sich an die Trigger Strategie. Die Auszahlung des Spielers 1 bei der Trigger Stragegie ist V T = 3 1 δ. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Musterlösung Übungsblatt Juni / 19

5 Aufgabe 1 (b) Die Auszahlung des Spielers 1 bei Abweichen (zu A) in Periode t ist V A = 4 2δ 1 δ. Abweichen lohnt nicht, falls V T V A, also falls 3 4 2δ δ 0.5. Zwei Trigger Strategien bilden demnach ein GG, wenn der Diskontfaktor mindestens 0.5 beträgt. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Musterlösung Übungsblatt Juni / 19

6 Aufgabe 1 (c) Das Spiel wird wie folgt modifiziert: A B C A 2, 2 4, 1 2, 2 B 1, 4 3, 3 2, 2 C 2, 2 2, 2 6, 6. Dieses Spiel wird zweimal hintereinander gespielt. Entwerfen Sie eine Strategiekombination, die ein Nash Gleichgewicht des Spiels darstellt, bei der in der ersten Runde (B, B) gespielt wird. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Musterlösung Übungsblatt Juni / 19

7 Aufgabe 1 (c) Lösung: Die Strategie lautet Spiele B in der ersten Runde. In der zweiten Runde spiele A, falls in der ersten Runde (B, B) gespielt wurde, und spiele C sonst. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Musterlösung Übungsblatt Juni / 19

8 Aufgabe 1 (c) Die Auszahlung eines Spielers bei dieser Strategiekombination ist = 5. Weicht z.b. Spieler 1 ab und spielt in beiden Runden A, während sich Spieler 2 an die Strategie hält, dann ist die Auszahlung des Spielers = 2 < 5. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Musterlösung Übungsblatt Juni / 19

9 Aufgabe 1 (c) Abweichen lohnt sich also nicht. Spielen beide Spieler die angegebene Strategie, so ist dies ein Nash GG, bei dem in der ersten Runde (B, B) gespielt wird. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Musterlösung Übungsblatt Juni / 19

10 Aufgabe 2 (a) Gegeben sei das folgende Spiel in Normalform: L R O 1, 1 5, 0 U 0, 5 4, 4 Wie lautet das Nash Gleichgewicht des Spieles, wenn das Spiel nur einmal gespielt wird? Lösung: (O, L). Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Musterlösung Übungsblatt Juni / 19

11 Aufgabe 2 (b) Jetzt nehmen Sie an, das Spiel werde unendlich oft wiederholt, und die Spieler verwenden die folgende Strategie: Spiele U bzw. R in der ersten Periode. In Periode t 2 spiele U bzw. R, falls die Kombination (U, R) in der vergangenen Periode (t 1) gespielt wurde. Ansonsten spiele O bzw. L. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Musterlösung Übungsblatt Juni / 19

12 Aufgabe 2 (b) Der gemeinsame Diskontfaktor sei δ [0, 1]. Wie lautet die notwendige Bedingung an den Diskontfaktor dafür, dass diese Strategiekombination ein teilspielperfektes Nash Gleichgewicht des Superspiels darstellt? Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Musterlösung Übungsblatt Juni / 19

13 Aufgabe 2 (b) Bezeichne a 1 bzw. a 2 die Aktion des Spielers 1 bzw. 2. Angenommen, Spieler 1 weicht in Periode t von der vorgegebenen Strategie ab und spielt O. Der Spielverlauf lässt sich wie folgt skizzieren. t 1 2 t t + 1 t a 1 U U O O O O a 2 R R R L L L Dies impliziert einen Spielverlauf analog zur Trigger Strategie: Nach einmaligem Abweichen wird nie wieder (U, R) gespielt. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Musterlösung Übungsblatt Juni / 19

14 Aufgabe 2 (b) Die diskontierte Auszahlung der Strategie Trigger (V T 1 ) ist V T 1 = 4 1 δ. Die diskontierte Auszahlung, falls Spieler 1 in Periode t abweicht (V A 1 ), ist V A 1 = 5 4δ 1 δ. Die Kombination zweier Trigger Strategien ist ein Nash GG, falls V1 T V 1 A: 4 1 δ 5 4δ δ 1/4. 1 δ Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Musterlösung Übungsblatt Juni / 19

15 Aufgabe 2 (b) Die Kombination zweier Trigger Strategien ist ein Nash GG für δ 1/4. Dieses GG ist auch teilspielperfekt, da in jedem der Abweichung folgendem Teilspiel ein Nash GG gespielt wird. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Musterlösung Übungsblatt Juni / 19

16 Aufgabe 2 (c) Wie ändert sich die notwendige Bedingung an den Diskontfaktor, wenn die Spieler die folgende Strategie im unendlich oft wiederholten Spiel verwenden: Spiele U bzw. R in der ersten Periode. In Periode t 2 spiele U bzw. R, falls in der Vorperiode (t 1) entweder die Kombination (U, R) oder die Kombination (O, L) gespielt wurde. Ansonsten spiele O bzw. L für eine Periode. Eräutern Sie das Ergebnis. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Musterlösung Übungsblatt Juni / 19

17 Aufgabe 2 (c) Dies ist nicht Tit for Tat: Nach Spielen des Nash GGs (O, L) wird wieder zum Pareto Optimum (U, R) zurückgekehrt. Weicht Spieler 1 nur in Periode t ab, lässt sich der Spielverlauf wie folgt skizzieren. t 1 2 t t + 1 t a 1 U U O O U U a 2 R R R L R R Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Musterlösung Übungsblatt Juni / 19

18 Aufgabe 2 (c) Die Auszahlungen der angegebenen Strategie unterscheiden sich von denen beim Abweichen nur in den Perioden t und t + 1. Die Auszahlungen bei der angegebenen Strategie sind 4 + 4δ, die beim Abweichen 5 + δ. Auflösen nach δ ergibt δ = 1/3. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Musterlösung Übungsblatt Juni / 19

19 Aufgabe 2 (c) Erläuterung Der Diskontfaktor ist grösser als bei der Trigger Strategie, d.h. es ist schwieriger, das Pareto Optimum in jeder Periode zu erreichen, da der Anreiz zum Abweichen gestiegen ist. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Musterlösung Übungsblatt Juni / 19