Definition eines Spiels

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1 Definition eines piels 1. Einleitung 1.1 Einführung: Die mathematische pieltheorie beschäftigt sich nicht nur mit der Beschreibung und Analyse von pielen im üblichen inn, sondern allgemein mit Konfliktsituationen zwischen mehreren Beteiligten, die verschiedene Handlungsmöglichkeiten haben und damit den Ausgang des Konflikts zu ihrem jeweiligen Nutzen beeinflussen können. Es kann sich bei einer solchen Konfliktsituation um einen Markt mit konkurrierenden oder interagierenden Unternehmen, um politische Gruppen mit unterschiedlichen Zielen, aber auch um die Gegner einer chachpartie handeln. Für die mathematische Behandlung muss man ein Modell bilden, dass die ituation, die pieler, die Handlungsmöglichkeiten und Zielsetzungen möglichst real beschreibt. Bei einem Gesellschaftsspiel mit gegebenen pielregeln ist die Modellbildung in der Regel einfacher als bei einer realen ituation. Im Laufe der Zeit haben sich verschiedene formale Beschreibungen ergeben, die jeweils Vor- und Nachteile für bestimmte piele, für die Erläuterung verschiedener Beurteilungskonzepte und für die Analyse oder Lösung eines piels haben. Um verschiedene Ausgänge und trategien beurteilen und vergleichen zu können, muss der Gewinn oder der Nutzen für die pieler am Ende des piels quantifizierbar sein. Dies kann mittels absoluter oder erwarteter Auszahlungen in Form von Geld,Prestige oder Zufriedenheit berücksichtigt werden. Erwartete Auszahlungen entstehen durch Zufallsentscheidungen oder zufällige Züge, wie z.b. Würfeln. Generell können zufällige Einflüsse durch einen zusätzlichen pieler berücksichtigt werden. Ziel der pieltheorie ist neben einer Beschreibung des piels, auch eine Analyse der Gewinnmöglichkeiten für einzelne pieler und wenn möglich auch eine Empfehlung für die zu treffenden Entscheidungen des pielers, also die Entwicklung einer trategie. Falls alle pieler nur die eigenen Ziele verfolgen, können allerdings am pielende auch ituationen entstehen, die für alle pieler ungünstig sind. 2. piele in extensiver Form

2 Definition 2.1 (piel in extensiver Form) Ein piel in Extensivform bezeichnet in der pieltheorie ein piel, bei dem die pieler zu verschiedenen Zeitpunkten Entscheidungen treffen müssen und dabei zumindest teilweise die zuvor getätigten Züge ihrer Gegenspieler kennen. Damit unterscheidet sich die Extensivform von der Normalform, bei der sämtliche pieler ihre trategien gleichzeitig festlegen. Ein n-personenspiel in extensiver Form mit Auszahlungsfunktion besteht aus: (i) einem (piel-)baum Γ mit einem tartknoten A (ii) einer Auszahlungsfunktion,die jedem Endknoten von Γ eine Auszahlung für jeden pieler zuordnet (iii) einer Zerlegung der Zwischenknoten von Γ in (n+1) Mengen 0, 1,, n, die pielermengen genannt werden (iv) einer Wahrscheinlichkeitsverteilung zu jedem Knoten von 0, (v) einer Zerlegung für jedes i (i =1,,n) in disjunkte Teilmengen i j (Informationsmengen)so dass, kein Weg, der von A ausgeht, zwei oder mehr Elemente von j i enthält alle Knoten aus j i gleich viele und entsprechend übereinstimmend indizierte Nachfolgeknoten haben die Zahl der Zugpositionen von i vor allen Knoten von j i identisch ist die von i auf dem Weg zum Knoten j i gewählten Aktionen für alle solche Knoten übereinstimmen In (i) ist ein Baum im inne der Graphentheorie gemeint, also ein Kreisfreier, zusammenhängender Graph mit einem tartpunkt. (ii) ergibt die Auszahlungsfunktion. (iii)die Zerlegung der Knoten in die Mengen i gibt an, welcher pieler am Zug ist, und trennt die zufälligen Züge ( 0 ) von den pielerzügen ab( 1, i ). (iv) Definiert eine Zufallsverteilung bei jedem zufälligen Zug.(v)Diese Mengen j i werden als Informationsmengen eines pielers bezeichnet. Ihren Knoten sind aufgrund der von ihm gemachten Züge und der Information über die Züge der anderen pieler nicht unterscheidbar für den pieler. Definition 2.2 (vollständige Information)

3 Bei pielen mit perfekter Information ist jedem pieler zum Zeitpunkt einer Entscheidung stets das vorangegangene pielgeschehen, d.h. die zuvor getroffenen Entscheidungen seiner Mitspieler sowie die zuvor getroffenen Zufallsentscheidungen, vollständig bekannt. Beispiele für piele mit perfekter Information sind Brettspiele wie chach, Mühle und Backgammon. Gegenbeispiele sind Kartenspiele wie kat und Poker sowie piele mit simultanen Zügen wie chere-tein-papier. ei Γ ein n-personenspiel in extensiver Form. (i) Ein pieler i hat vollständige (perfekte) Information, wenn j i = 1 gilt. Das piel Γ ist ein piel mit vollständiger Information wenn alle vollständige (perfekte) Informationen besitzen pieler in Γ Beispiel 2.3 (Verteilungsspiel). Zwei gleiche Objekte sollen auf zwei pieler verteilt werden. pieler 1 schlägt die Aufteilung vor, pieler 2 akzeptiert den Vorschlag oder lehnt ihn ab. Wenn pieler 2 akzeptiert, werden die Objekte so aufgeteilt, wie von pieler 1 vorgeschlagen, ansonsten erhält keiner der pieler etwas. Darstellung als pielbaum: pieler 1 A (2,0) (1,1) (0,2) pieler 2 B1 B2 B3 j n j n j n (2,0) (0,0) (1,1) (0,0) (0,2) (0,0) - Anfangspunkt des Baumes: A - pielermengen: 1 = {A} 2 = {B 1,B 2,B 3 } - Informationsmengen: 1 1 ={A} 1 2 ={B 1 }; 2 2 ={B 2 } ; 3 2 ={B 3 }

4 3. piele in Normalform Definition 3.1 (Normalform) In der pieltheorie bezeichnen piele in Normalform diejenigen piele, bei denen alle pieler ihre trategien zeitgleich und ohne Kenntnis der Wahl der anderen pieler festlegen. ie unterscheiden sich von den pielen in Extensivform, bei denen die pieler ihre Entscheidungen zu unterschiedlichen Zeitpunkten treffen müssen und dabei teilweise oder vollständige Kenntnis der bereits getätigten Züge der Mitspieler haben können. Ein n-personen-piel in Normalform ist gegeben durch: (i) eine pielermenge I = {1,..., n} bzw. I = {0, 1,..., n}, falls es Zufallseinflüsse gibt (pieler 0). (ii) die trategiemengen 1,..., i der einzelnen pieler und 0, die trategiemenge für pieler 0 mit ihren Verwirklichungswahrscheinlichkeiten. (iii) eine Auszahlungsfunktion mit π((σ0), σ1,..., σn) = (π1((σ0), σ1,..., σn),..., πn((σ0), σ1,..., σn)), die jeder trategienkombination ((σ0), σ1,..., σn) einen Erwartungswert der Auszahlungsfunftion πi((σ0), σ1,..., σn)) für jeden pieler i = 1,,n zuordnet Die Durchführung eines piels besteht darin, dass jeder pieler eine trategie aus seiner trategiemenge i wählt ohne die Entscheidung der Mitspieler zu kennen. Die sich ergebende trategienkombination beurteilt dann jeder pieler entsprechend seiner Auszahlungsfunktion. Folgerung 3.2 Ein piel Γ lässt sich als n-dimensionale Anordnung mit n-dimensionalen Auszahlungsvektoren darstellen. Diese Darstellung heißt Normalform des piels Γ. Beispiel 3.3 (ohne) Wahrscheinlichkeiten

5 pieler 1 1 chere tein Papier pieler chere Papier ch.. Pap. Pap t. ch. tein t. (0,0) (-1,1) (1,-1) (1,-1) (0,0) (-1,1) (-1,1) (1,-1) (0,0) - Anzahl der pieler : I = {1,2} - trategiemengen: 1 = {chere,tein,papier} 2 ={chere,tein,papier } - trategie: σ i ist die gespielte trategie des pielers i σ i i - Auszahlungsfunktion: z.b. π(chere,chere ) = ( π 1 (chere,chere ), π 2 (chere,chere ) (0,0) = ( 0, 0 ) Dazugehörige Normalform: pieler 2 chere tein Papier pieler 1 chere (0,0) (-1,1) (1,-1) tein (1.-1) (0,0) (-1,1) Papier (-1,1) (1,-1) (0,0) Beispiel 3.4 (mit Wahrscheinlichkeiten)

6 pieler 1 1 1/4 1/4 1/2 chere tein Papier pieler chere 1/3 tein 2/3 0 2/3 0 Papier ch.. 2/3 1/3 Pap. Pap 1/3 t. ch. t. (0,0) 1/12(-1,1) 1/6 (1,-1) (0,0) (0,0) 1/3 (-1,1) (0,0) 1/12(1,-1) (0,0) Dazugehörige Normalform pieler 2 chere tein Papier pieler 1 chere (0,0) (-1/12,1/12) (1/6,-1/6) tein (0,0) (0,0) (-1/3,1/3) Papier (0,0) (1/12,-1/12) (0,0) Definition 3.5 (endliche piele) Ein n-personen-piel heißt endlich, wenn alle i kompakte Teilmengen sind d.h. wenn Γ nur endlich viele Knoten enthält 4. Equilibrium

7 Zur Beurteilung eines piels kann man die Menge aller trategienkombinationen analysieren, da der Ausgang des piels durch die gewählte trategienkombination festgelegt ist. Aus icht eines einzelnen pielers ist es interessant die Wahl der eigenen trategie im Vergleich zu einer Festlegung der trategien der Mitspieler zu beurteilen. Das Equilibrium ist ein zentraler Begriff der mathematischen pieltheorie. Es beschreibt in pielen einen Zustand eines strategischen Gleichgewichts, von dem ausgehend kein einzelner pieler für sich einen Vorteil erzielen kann, indem er allein seine trategie verändert. Definition 4.1 Eine trategienkombination σ * = (σ1 *, σ2 *,,σ n * ) heißt im Gleichgewicht oder Equilibrium n - Tupel, wenn für jedes i = 1,,n und für jedes σ i * i gilt: πi (σ1 *,, σn * ) πi ( σ1 *,, σi-1 *, σi, σi+1 *,,σn * ) Ein n-tupel von trategien ist im Gleichgewicht, wenn das Abweichen von der trategie zu keiner Verbesserung führt, wobei die anderen pieler stets ihre trategien beibehalten. Nicht jedes piel besitzt ein Gleichgewichts n-tupel in solchen pielen wollen die pieler ihre trategie sehr geheim halten.dies lässt vermuten,dass in pielen mit vollständiger Information Gleichgewichts n-tupel existieren. Definition 4.2 (Zerlegung eines piels) Ein piel Γ heißt am Knoten X zerlegt, wenn es keine Informationsmenge gibt, die sowohl X oder Nachfolgerknoten als auch andere Knoten enthält. Dann lässt sich Γalso zerlegen in: - Teilspiel Γ x mit tartknoten X und dessen Nachfolgern - Quotientenspiel Γ/X mit Endknoten X und dem Restbaum. Die Auszahlung an X ist die Auszahlung beim Ausspielen von Γ x atz 4.3 ei Γ zerlegt an X. Für σ i i sei π x (σ 1 Γx,, σ n Γx ) die Auszahlung am Endknoten X des Quotientenspiels Γ/X Dann gilt:

8 π(σ 1,..., σ n ) = π Γ/X ( σ 1 Γ/X,, σ n Γ/X ) Beweis: ei p x = p x (σ 1,..., σ n ) die Wahrscheinlichkeit, dass Knoten X mit trategien σ i erreicht wird. Dann gilt: π(σ 1,..., σ n ) = p x *π(σ 1,..., σ n ) + (1-p x ) π(σ 1,..., σ n ) = p x * π x (σ 1 Γx,, σ n Γx ) + (1-p x ) π ( σ 1 Γ/X,, σ n Γ/X ) = π Γ/X ( σ 1 Γ/X,, σ n Γ/X ) atz 4.4 ei Γ zerlegt an X und seien σ i i i so gewählt, dass i) (σ 1 Γx,, σ n Γx ) ein Equilibrium von Γ x und ii) ( σ 1 Γ/X,, σ n Γ/X ) ein Equilibrium von Γ/X ist. Dann gilt: (σ 1,..., σ n ) ist ein Equilibrium von Γ Beweis: ei σ i * i dann gilt: π i ( σ 1,, σ i-1, σ i *, σ i+1,,σ n ) = π ( σ 1 Γ/X,, σ i * Γ/X,, σ n Γ/X ) mit Auszahlung π i ((σ 1 Γx,, σ i * Γx, σ n Γx ) an X (atz 4.3) <=π ( σ 1 Γ/X,, σ i * Γ/X,,σ n Γ/X ) mit Auszahlung π i ((σ 1 Γx,, σ i Γx, σ n Γx ) an X (nach i) <=π ( σ 1 Γ/X,, σ n Γ/X ) mit Auszahlung π i ((σ 1 Γx,, σ i Γx, σ n Γx ) an X (nach ii) = π i (σ 1,..., σ n ) (nach atz 4.3) atz 4.5 Jedes endliche piel mit vollständiger Information besitzt ein Equilibrium. Beweis: Durch Induktion über die Höhe h des pielbaums Γ - h = 1: Höchstens ein pieler macht einen Zug und wählt die für ihn beste Alternative.

9 - Ist h > 1: lässt sich Γ wegen vollständiger Information in kleinere pielbäume zerlegen. Diese besitzen nach Induktionsvoraussetzung Equilibiria. Damit besitzt nach atz 4.4 auch Γ ein Equilibrium. Ein einfacher Algorithmus zur Identifizierung von Gleichgewichten: Liegt ein piel in strategischer Form vor, so lassen sich alle Equilibria in reinen trategien durch folgenden Algorithmus bestimmen: - Optimiere die Entscheidung von pieler i=1,...,n bei (beliebig) fixierten trategien aller anderen pieler: Markiere die unter diesen Umständen erreichbaren höchsten Auszahlungen für pieler i. Wiederhole dies für alle möglichen trategiekombinationen der anderen pieler. - Führe 1. für alle pieler durch. Dann sind genau die trategienkombinationen Equilibria, bei denen alle Auszahlungen markiert sind. pieler2 pieler2 pieler2 links mitte rechts pieler1 oben 4,2 1,1 2,0 pieler1 mitte 2,3 1,1 1,4 pieler1 unten 3,0 0,2 1,3 Dann funktioniert der Algorithmus wie folgt: i = 1: gegeben pieler 2 spielt Rechts: Für pieler 1 ist oben optimal markiere die 2 gegeben pieler 2 spielt Mitte: oben und mitte ist optimal markiere die beiden 1en gegeben pieler 2 spielt Links: oben ist optimal markiere die 4

10 i = 2: gegeben pieler 1 spielt oben: Für pieler 2 ist Links optimal markiere die 2 gegeben pieler 1 spielt mitte: Rechts ist optimal markiere die 4 gegeben pieler 1 spielt unten: Rechts ist optimal markiere die 3 Das eindeutige Equilibrium n-tupel ist also die trategie die zur Auszahlung 4, 2 führt

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