Mikroökonomik B (Bachelor)

Transkript

1 Bitte eintragen: Matrikel-Nr.: MUSTERLÖSUNG Mikroökonomik B (Bachelor) Prüfung vom Wichtige Hinweise: Sie haben 90 Minuten Zeit, um die folgenden drei Aufgaben zu insgesamt 90 Punkten zu bearbeiten. Teilen Sie sich Ihre Zeit sorgfältig ein! Der Prüfungsbogen umfasst 20 Seiten einschließlich dieses Deckblatts. Überprüfen Sie Ihr Exemplar auf Vollständigkeit! Benutzen Sie nur die ausgeteilten Blätter für die Lösung der Aufgaben. Benützen Sie wenn nötig die Rückseiten der Blätter und vermerken Sie dies unbedingt. Entfernen Sie nicht die Heftklammer! Tragen Sie Ihre Matrikelnummer und Ihre Platznummer auf diesem Deckblatt sowie auf jeder beschriebenen Seite ein. Lassen Sie auf jeder Seite rechts einen Rand von ca. 3cm frei. Taschenrechner sind nicht erlaubt. Legen Sie bitte Ihren Studentenausweis sowie einen amtlichen Ausweis mit Lichtbild (z.b. Personalausweis) zur Kontrolle bereit. VIEL ERFOLG! Für Korrektur bitte frei lassen. (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) Σ Aufgabe 1 /30 Aufgabe 2 /3 /3 /6 /4 /9 /3 /3 /31 Aufgabe 3 /4 /3 /3 /4 /3 /4 /3 /5 /29 Total /90 1

2 Aufgabe 1: Multiple-Choice- und Kurz-Fragen (30 Punkte) Geben Sie zu jeder der folgenden Fragen die korrekte Antwort. Multiple-Choice-Fragen: In jedem Fall ist nur eine Antwort korrekt! Eine korrekte Antwort gibt 3 Punkte, jede falsch oder nicht beantwortete Frage gibt 0 Punkte. Kurz-Fragen: Geben Sie eine kurze und präzise Antwort (max. 3 Sätze!). Jede korrekt beantwortete Frage gibt 3 Punkte. (a) Intertemporale Budgetmenge: Konsument Peter lebt über zwei Perioden t = 1, 2. Sein Einkommen beträgt jeweils m 1 = m 2 = 5, der Preis für das einzige Konsumgut beträgt jeweils p 1 = p 2 = 1. Es existiert ein Kapitalmarkt mit Zinssatz r = 50% (für Anlagen sowie Kredite). Allerdings erhält Peter nur Zugang zu diesem Kapitalmarkt, wenn er in der ersten Periode eine Gebühr von 2 Geldeinheiten bezahlt. Welchen der nachfolgend dargestellten 5 Konsumpläne x A,...,x E kann sich Peter leisten? [Tipp: Skizzieren Sie Peters Budgetmenge.] alle alle außer x C alle außer x A x alle außer x E c x A x B x C x D (m 1,m 2 ) x E Ohne die Gebühr wäre die Budgetgerade einfach eine Gerade durch den Autarkie -Punkt (5, 5) mit Steigung 3/2. Die Gebühr verschiebt diese Gerade um 2 nach links, wobei autarke Pläne (c 1 m 1 und c 2 m 2 ) weiterhin möglich sind. c 1 2

3 (b) Intertemporale Slutsky-Zerlegung: Konsument Raymond lebt in der 2-Perioden- Welt unserer Vorlesung: Es gibt zwei Perioden t = 1,2, er hat Einkommen(m 1,m 2 ), der Preis für das einzige Konsumgut sei jeweils (p 1, p 2 ), und er hat (kostenlosen) Zugang zu einem perfekten Kapitalmarkt mit Zinssatz r. Wann wirkt gemäss dem Einkommenseffekt eine Erhöhung des Zinssatzes r gleich wie eine Erhöhung von Raymonds Einkommen? Nie. x Wenn Raymond in t = 1 spart. Wenn Raymond in t = 1 einen Kredit aufnimmt. Immer. (c) Sicherheitsäquivalent: Erwartungsnutzenmaximierer Egon hat die Bernoulli- Nutzenfunktion u(w) = w+6. Er sieht sich der Lotterie g = ( , 1 3 3) gegenüber. Wie hoch ist Egons Risikoprämie für diese Lotterie? x 2 EU(g)= =5 SÄ(g)=19 (löst 3/2 w+6=eu(g)=5) E[g]= = 4/3 3 = 21 P=E[g] SÄ(g)=21 19=2 5/4 (d) Axiome der Erwartungsnutzentheorie: In der Vorlesung wurde erwähnt, dass aus den vier Axiomen der Erwartungsnutzentheorie bestimmte Monotonieeigenschaften folgen. So z.b. folgende: Für einen Erwartungsnutzenmaximierer mit a 1 a 2 (sicheres Ergebnis a 1 wird dem sicheren Ergebnis a 2 vorgezogen) gilt: ( 1 2 a 1, 1 2 a 2) a2. Dies lässt sich mit folgender Äquivalenzkette zeigen: a 1 a 2 a ( 1 2 a 1, 1 2 a ( 2) 12 a 2, 1 2 a ) b 2 ( 1 2 a 1, 1 2 a 2) a2. Welche zwei Axiome werden in den Schritten a b bzw. verwendet? x a: Unabhängigkeit, b: Reduktion a: Unabhängigkeit, b: Stetigkeit a: Reduktion, b: Stetigkeit a: Rationalität, b: Reduktion 3

4 (e) Bertrand-Wettbewerb: Betrachten Sie das Betrand Preiswettbewerbs-Modell aus der Vorlesung: Zwei Firmen i=1,2 setzen simultan ihre Preise p 1, p 2 für ein homogenes Gut, welches beide Firmen zu (konstanten) Grenzkosten c produzieren. Die gesamte (lineare) Nachfrage trifft die Firma mit dem tieferen Preis bei identischen Preisen teilt sich die Nachfrage gleich auf. Ist für Firma 1 jeder Preis p 1 < c eine strikt dominierte Strategie? Erläutern Sie kurz. Nein. Jedes p 1 < c kann (je nach p 2 ) eine beste Antwort sein, und zwar für p 2 < p 1 < c: Für p 2 < c ergibt jedes p 1 > p 2 einen Gewinn von π 1 = 0, jedes p 1 p 2 gibt einen strikt negativen Gewinn π 1 < 0. Für p 2 < c lässt sich also mit p 1 (p 2,c) der maximale Gewinn erzielen, sodass ein Preis p 1 < c keine strikt dominierte Strategie darstellt. Etwas formeller: Dafür müsste gelten, dass es für jedes p 1 < c ein p 1 p 1 gibt, sodass für beliebiges p 2 gilt: π 1 (p 1, p 2) > π 1 (p 1, p 2 ). Für p 2 < p 1 gilt aber π 1 (p 1, p 2 )=0 und π 1 (p 1, p 2) 0für beliebiges p 1. (f) Bertrand-Wettbewerb: Betrachten Sie nochmals obiges Bertrand Preiswettbewerbs-Modell. Im folgenden Diagramm finden Sie den Strategieraum (p 1, p 2 ) dargestellt, sowie 4 mögliche Strategieprofile A, B, C, und D (p m bezeichnet den Preis, welchen ein Monopolist setzen würde). p 2 p m 45 (p 1 = p 2 ) c D B C A 0 0 c p m p 1 In welchem dieser 4 Strategieprofile spielt Firma 1 eine beste Antwort? In allen Strategieprofilen. x Nur in A und B. Nur in C und D. Nur in B. 4

5 (g) Vergleich von Gleichgewichtskonzepten (Spieltheorie): Welche der folgenden Aussagen betreffend beliebige Strategieprofile (SP) gilt nicht allgemein? Jedes SP, welches IEDS überlebt, überlebt auch EDS. x Jedes SP, welches EDS überlebt, ist auch ein Nash-Gleichgewicht. Jedes SP, welches ein teilspielperfektes Nash-Gleichgewicht ist, ist auch ein Nash-Gleichgewicht. Jedes SP, welches ein teilspielperfektes Nash-Gleichgewicht ist, überlebt auch EDS. ( EDS : Elimination strikt dominierter Strategien; IEDS : Iterierte Elimination strikt dominierter Strategien). (h) Strategien in Extensivformspielen: Uli und Sepp spielen das Gefangenendilemma (simultane Wahl von cooperate (c) oder defect (d) ) zwei Mal in Folge, wobei vor der zweiten Runde die Aktionen der ersten Runde beobachtet werden. Wie viele mögliche reine Strategien hat jeder Spieler? x 2 5 5

6 (i) Teilspielperfektion: Betrachten Sie folgende Variante des Spiels Kampf der Geschlechter zwischen Chris und Pat, in welchem Chris sich in einem vorgelagerten Schritt entscheiden kann, Migräne zu haben ( out ) oder nicht ( in ): out 2 0 C in C f o P P f o f o 1 3 (der jeweils obere Payoff gehört Chris, der untere Pat). Beschreiben Sie alle teilspielperfekten Nash-Gleichgewichte in reinen Strategien. TspNGG #1:{Chris : out, f; Pat : f} TspNGG #2:{Chris : in, o; Pat : o} Entscheidend ist hier, dass es im einzigen echten Teilspiel die üblichen zwei Nash-Gleichgewichte gibt. Rückwärtsinduktion mit den beiden Möglichkeiten liefert dann sofort die obigen beiden TspNGG (j) Verhandlungsspiel: Anna (A) und Berta (B) verhandeln über die Aufteilung eines Kuchens. Das Spiel läuft über N Runden n=1,2,...,n mit alternierenden Angeboten: Anna macht in n=1,3,5,... ein Angebot, Berta in n=2,4,... Der andere Spieler kann das Angebot jeweils annehmen oder ablehnen. Sobald ein Angebot angenommen wird, endet das Spiel, ansonsten geht es in die nächste Runde. Falls in der letzten Runde N keine Einigung erzielt wird, endet das Spiel mit Payoff 0 für beide. Der Wert des Kuchens beträgt in jeder Runde 1, und die Spieler diskontieren nicht (δ = 1). Wie lauten die Payoffs im teilspielperfekten Nash-Gleichgewicht, wenn das Spiel über N = 31 Runden läuft? Anna Berta x In Verhandlungsspielen mit alternierenden Angeboten und ohne Diskontieren erhält jeweils jener Spieler den gesamten Kuchen, welcher das letzte Angebot machen kann. Für N = 31 kann hier Anna das letzte Angebot machen und dabei den ganzen Kuchen für sich haben. 6

7 Aufgabe 2: Cournot Stackelberg Wettbewerb (31 Punkte) Betrachten Sie das folgende Oligopolmodell: Die Gewinn maximierenden Firmen 1, 2 und 3 produzieren ein homogenes Gut. Zuerst wählen die Firmen 1 und 2 ihre Mengen q 1 und q 2 simultan. Firma 3 beobachtet q 1 und q 2 und wählt daraufhin ihre Menge q 3. Die Kostenfunktionen der Firmen sind gegeben durch c i (q)=c i q i, i {1,2,3}, mit c 1 = c 2 = c>0 und c 3 = 0. Die inverse Marktnachfrage ist gegeben durch P=A (q 1 + q 2 + q 3 ) mit A>2c. (a) Formulieren Sie für gegebene Mengen q 1 und q 2 das Optimierungsproblem von Firma 3. (3 Punkte) max q 3 Π 3 = ( A (q 1 + q 2 + q 3 ) ) q 3 (b) Bestimmen Sie die Reaktionsfunktion von Firma 3 auf die Mengen der beiden Wettbewerber. (3 Punkte) q 3 (q 1 + q 2 )= 1 2 (A q 1 q 2 ) 7

8 (c) Formulieren Sie das Optimierungsproblem von Firma 1 für eine gegebene Menge q 2 und gegeben die Reaktionsfunktion von Firma 3. (6 Punkte) Π 1 = ( A q 1 q 2 q 3 (q 1 + q 2 ) c ) q 1 = 1 2 (A q 1 q 2 2c)q 1 8

9 (d) Bestimmen Sie die Reaktionsfunktionen der Firmen 1 und 2. (4 Punkte) Π i q i = 1 2 A q i 1 2 q j c=0 q i (q j )= 1 2 (A q j 2c) i=1,2 j = 3 i 9

10 (e) Bestimmen Sie die Mengen, welche die Firmen im Gleichgewicht produzieren, sowie die Gesamtmenge im Gleichgewicht und den Gleichgewichtspreis. (9 Punkte) q 1 = 1 2 (A q 2(q 1 ) 2c)= 1 2 (A 1 2 (A q 1 2c) 2c) 3 4 q 1 = 1 4 (A 2c) q 1 =(A 2c)/3=q 2 q 3 = 1 2 (A q 1 q 2 )= 1 2 (A 2 3 (A 2c))= A c P(q 1 + q 2 + q 3 )=A 2 3 (A 2c) A c= 1 6 A+ 2 3 c 10

11 Die Firmen 1 und 2 beschließen zu fusionieren. Im veränderten Spiel wählt also die fusionierte Firma ihre Menge (q f ) bevor Firma 3 ihre wählt. Die fusionierte Firma produziert zu Grenzkosten von c, während Firma 3 weiterhin mit Grenzkosten von Null produziert. Die inverse Nachfrage ist wie oben gegeben durch P(Q)=A Q=A q f q 3. (f) Bestimmen Sie die besten Antworten von Firma f und von Firma 3 (3 Punkte) Die beste Antwort von Firma 3 ist unverändert sofern q f für q 1 + q 2 eingesetzt wird, und die Menge von Firma f erhält man durch setzen von q 2 = 0 in der BEO von Firma 1: q f = 1 2 (A 2c) q 3 = 1 2 (A q f)= 1 2 (1 2 A+c)= 1 4 (A+2c) 11

12 (g) Wie wird Firma 3 ihre Menge im Vergleich zur Situation vor der Fusion anpassen? Begründen Sie Ihre Antwort. (3 Punkte) Im neuen Gleichgewicht werden die beiden fusionierten Firmen ihre (kombinierte) Menge reduzieren, als Folge wird Firma 3 ihre Menge erhöhen. Die Mengen im Gleichgewicht sind q f = 1 2 (A 2c) q 3 = A c Wegen der Annahme A>2c ist die Menge von Firma 3 tatsächlich höher. 12

13 Aufgabe 3: Entscheidung unter Unsicherheit & Intertemporale Optimierung (29 Punkte) Spieler S befindet sich im Kasino und möchte Roulette spielen. Bei Roulette bleibt eine Kugel mit gleicher Wahrscheinlichkeit auf einer der 37 Zahlen von 0 36 liegen. Spieler S ist Erwartungsnutzenmaximierer und hat eine zugrundeliegende Nutzenfunktion über Geld (x) der Form u(x)=x 2. S überlegt sich, in welche der beiden folgenden Wetten er seinen kompletten Einsatz w investieren möchte: - Setzt S auf ungerade Zahlen, so gewinnt er, falls die Kugel auf einer ungeraden Zahl (größer als 0) liegen bleibt. Falls S gewinnt, erhält er in dieser Wette als Auszahlung den doppelten Wetteinsatz. - Setzt S auf seine Lieblingszahl 23, so gewinnt er nur, falls die Kugel auf genau dieser Zahl liegen bleibt. Im Gewinnfall erhält er als Auszahlung 36 mal seinen Wetteinsatz. (a) Geben Sie die induzierten Einkommens-Lotterien der beiden Wetten an. Bestimmen Sie außerdem deren Erwartungswerte. (4 Punkte) die Lotterien sind: ( 18 L u = 37 L 23 = 2w ) ( 1 36 ) 36w E(L u )=E(L 23 )= w 13

14 (b) Welche der beiden Wetten wird S wählen? (3 Punkte) Wegen der Konvexität der Nutzenfunktion ist S risikofreudig. L 23 ist ein MPS von L u, S wird also auf die Zahl 23 wetten. Zu zeigen bzw. zu argumentieren ist hier entweder dass die Lotterie tatsächlich ein MPS der anderen ist, alternativ Lösung über Nutzenfunktion. 14

15 (c) Bestimmen Sie den Koeffizienten der absoluten Risikoaversion für S. Weist die Nutzenfunktion von S steigende, fallende oder konstante absolute Risikoaversion auf? (3 Punkte) R a (w)= u (w) u (w) = 1/x Der Koeffizient der absoluten Risikoaversion ist negativ und steigend in x. 15

16 S hat jetzt nicht nur die Wahl zwischen der Wette auf ungerade Zahlen und auf eine bestimmte Zahl, sondern er kann eine Wette auf eine beliebige Kombination von n {1,2,...,36} Gewinnzahlen abschließen. Setzt S seinen Einsatz w auf n Zahlen und die Kugel bleibt auf einer der Gewinnzahlen liegen, erhält S eine Auszahlung von 36/n. (d) Geben Sie die Lotterie an, die durch eine Wette auf n Zahlen induziert wird. Auf wie viele Zahlen wird S seinen Einsatz setzen? (4 Punkte) Jede Wahl n induziert eine Lotterie der Form ( n L n = n + 37 n ) 0 37 Alle Lotterien haben den gleichen Erwartungswert und Lotterie L n ist ein MPS von L n+1 für alle zulässigen n. S wird also n=1 wählen. Anmerkung: Aufgabentext hätte korrekt lauten sollen..., erhält S eine Auszahlung von (36/n) w, was die Lotterie entsprechend um w skaliert. Abgesehen von der Skalierung sind Lösung und Lösungsweg die selben es gab mit oder ohne Skalierung die volle Punktzahl. 16

17 Nach der Wette auf seine Glückszahl hat S seinen Einsatz verloren und bittet seinen Freund F um einen Kredit. Da S leidenschaftlicher Spieler ist, wird er den größtmöglichen (positiven) Kredit, den F ihm anbietet, annehmen. S bietet F an, in der nächsten Periode die ausgeliehene Summe verzinst mit einem Zins von (1+r) zurückzuzahlen. F erhält in Periode 1 ein Einkommen von y, in Periode 2 erhält er kein zusätzliches Einkommen. F hat eine Nutzenfunktion über Konsum in den Perioden 1 und 2 der Form U(x 1,x 2 )=u(x 1 )+δu(x 2 ), wobei die Perioden Nutzenfunktion u( ) streng konkav ist und δ (0,1) gilt. Der Preis des Konsumguts in den Perioden 1 und 2 beträgt p 1 bzw. p 2. (e) Stellen Sie F s Budgetrestriktion und sein Optimierungsproblem auf. (3 Punkte) maxu(x 1,x 2 ) s.d. p 1 x 1 (1+r)+ p 2 x 2 = y(1+r) p 1 x 1 y 17

18 (f) Stellen Sie für das Optimierungsproblem die Lagrangefunktion auf und bestimmen Sie aus den Bedingungen erster Ordnung das Verhältnis des Konsums in beiden Perioden in Abhängigkeit der Parameter. [Hinweis: Sie können hier von einer inneren Lösung ausgehen.] (4 Punkte) Wegen der Konkavität der Periodennutzenfunktion und des EK von Null in Periode 2 wird F nicht sein ganzes Vermögen in Periode 1 konsumieren, wir können also die zweite Nebenbedingung ingnorieren. Die BEOs sind L =u(x 1 )+δu(x 2 ) λ(p 1 x 1 (1+r)+ p 2 x 2 y(1+r)) u (x 1 )=λ p 1 (1+r) δu (x 2 )=λ p 2 Zusammengefasst u (x 1 ) u (x 2 ) = p 1 p 2 (1+r)δ 18

19 (g) In welcher Periode wird F mehr konsumieren, falls eine positive Inflationsrate vorherrscht und δ < 1/(1 + r) gilt? (3 Punkte) u (x 1 ) u (x 2 ) = p 1 p 2 (1+r)δ <(1+r)δ < 1 u (x 1 )<u (x 2 ) x 1 > x 2 19

20 (h) Wie würde F s optimaler Konsumplan in Abhängigkeit von δ, r, p 1 und p 2 aussehen, wenn F s Präferenzen statt obiger Nutzenfunktion durch eine Nutzenfunktion der Form U(x 1,x 2 )=x 1 + δx 2 beschrieben werden? Begründen Sie Ihr Ergebnis. (5 Punkte) Mit der gegebenen Nutzenfunktion und der Budgetrestriktion x 2 = 1+r p 2 (y p 1 x 1 ) ergibt sich das Optimierungsproblem zu [ max x 1 + δ 1+r y δ (1+r)p ] 1 x 1. x 1 p 2 p 2 Je nach dem, ob δ (1+r)p 1 p 2 1 ist diese Funktion immer fallend/steigend/konstant in x 1. Wir erhalten somit: Für δ (1+r)p 1 p 2 < 1 (Funktion steigend): F konsumiert nur in der ersten Periode (x 2 = 0, x 1 = y/p 1 ); Für δ (1+r)p 1 p 2 > 1 (Funktion fallend): F konsumiert nur in der zweiten Periode (x 1 = 0, x 2 =(1+r)y/p 2. Für δ (1+r)p 1 p 2 = 1 (Funktion konstant): Jeder Konsumplan mit (1+ r)p 1 x 1 + p 2 x 2 =(1+r)y ist optimal. Konsum in den beiden Perioden sind in diesem Fall perfekte Substitute. 20