Graduiertenseminar Spieltheorie

Transkript

1 Syddansk Universitet Mai 2009

2 Informationen 1 Einführung, Motivation Koordinaten Phone: [email protected] URL: Auf meiner Homepage unter dem Link Personal Home Page sind gegebenenfalls relevante Dokumente zu finden: 1 Zusamenfassungen der Vorlesungen (evtl.); 2 Lösungen zu ausgewählten Aufgaben (evtl.); 3 Möglicherweise weitere Dokumente.

3 Info cont. 1 Einführung, Motivation Zertifikate Bitte wählen Sie jetzt eine der 3 folgenden Möglichkeiten zum Scheinerwerb: 1 Erfolgreiches Bearbeiten von Übungsaufgaben während des Kurses; 2 Ein Take Home Exam im Anschluss an den Kurs: Sie bekommen im Sekretariat nach einer angemessenen Vorbereitungszeit von 2 4 Wochen zu einem fixierten Zeitpunkt Aufgaben, etwa um 12 Uhr an einem Freitag (e.g., ), deren Lösungen sie binnen 24 h einreichen müssen, also bis 12 Uhr am folgenden Montag (e.g., ); 3 Eine Hausarbeit zu einem relevanten selbst gewählten, aber mit mir abgestimmten, Thema, die innerhalb einer angemessenen Frist, etwa 4 Wochen, eingereicht werden muss.

4 Spieltheorie: Vage Beschreibung des Begriffs Spieltheorie (Multi-Personelle Entscheidungstheorie) ist ein Zweig der angewandten Mathematik und wird angewendet in den Wirtschaftswissenschaften, Politik, Ethik und anderen Sozialwissenschaften, in der Evolutionsbiologie und Informatik (Stichwort künstliche Intelligenz ). Heute fasst man die Spieltheorie üblicherweise als Teilgebiet der Wirtschaftstheorie auf. Allerdings war John von Neumann ( ), der als Begründer der formalen Spieltheorie (1928) gilt und zusammen mit O. Morgenstern das Fundamentalwerk Theory of Games and Economic Behavior (1944) veröffentlichte, eher ein Mathematiker, der unter anderem wichtige Beiträge zur Logik, Quantenmachanik und Informatik geliefert hat.

5 Spieltheorie: Vage Beschreibung des Begriffs cont. Zentale Voraussetzung: Jeder der beteiligten Spieler (mitunter auch Wirtschafts-Subjekt, -Agent oder Entscheidungsträger genannt) ist rational und versteht es, sein Wissen und seine Erwartungen über das Verhalten der anderen Spieler (Stichwort beliefs) zu nutzen. Regel: Man betrachtet nur Spiele mit mindestens 2 Spielern, da Einpersonenspiele als Optimisierungsprobleme angesehen werden. Technische Voraussetzung: Jeder Spieler verfügt über eine Präferenzrelation (d.h., eine reflexive, transitive und vollständige binäre Relation) auf der Menge der möglichen Ergebnisse (outcomes), die seine Vorlieben repräsentiert. Also sind Arbitrage-Gewinne ausgeschlossen.

6 Einige Abwendungen der Spieltheorie Strategische Spiele und Nash Gleichgewichte werden unter anderem benutzt, um oligopolistischen Wettbewerb zu modellieren und zu lösen; die Evolution in der Biologie zu erklären. Wiederholte Spiele und deren Gleichgewichte können Drohungen und Versprechen erklären. Kooperative Spiele und das Core erklären die Stabilität von bindenden Verträgen (binding contracts) und von Allokationen in Märkten bei gegebenem Preissystem; werden benutzt, um Kostenaufteilungsprobleme zu modellieren und in fairer Weise zu lösen.

7 Einige Objekte der Mathematischen Wirtschaftstheorie Spiele

8 Einige Objekte der Mathematischen Wirtschaftstheorie Spiele nicht kooperative kooperative

9 Einige Objekte der Mathematischen Wirtschaftstheorie Abstrakte Ökonomien Spiele nicht kooperative kooperative

10 Einige Objekte der Mathematischen Wirtschaftstheorie Abstrakte Ökonomien Spiele Ökonomien nicht kooperative kooperative

11 Einige Objekte der Mathematischen Wirtschaftstheorie Abstrakte Ökonomien Spiele Ökonomien nicht kooperative kooperative

12 Einige Objekte der Mathematischen Wirtschaftstheorie Abstrakte Ökonomien Spiele Ökonomien nicht kooperative kooperative strategische extensive

13 Einige Objekte der Mathematischen Wirtschaftstheorie Abstrakte Ökonomien Spiele Ökonomien nicht kooperative kooperative strategische extensive TU NTU

14 Einige Objekte der Mathematischen Wirtschaftstheorie Abstrakte Ökonomien Spiele Ökonomien nicht kooperative kooperative Tauschwirtschaften strategische extensive TU NTU

15 Einige Objekte der Mathematischen Wirtschaftstheorie Wir werden wohl nur und höchstens die grünen Objekte betrachten: Abstrakte Ökonomien Spiele Ökonomien nicht kooperative kooperative Tauschwirtschaften strategische extensive TU NTU

16 Objekte und Lösungskonzepte Grüne Objekte werden in diesem Kurs betrachtet werden Objekt Lösungskonzept

17 Objekte und Lösungskonzepte Grüne Objekte werden in diesem Kurs betrachtet werden Objekt Abstrakte Ökonomie Lösungskonzept soziales Gleichgewicht

18 Objekte und Lösungskonzepte Grüne Objekte werden in diesem Kurs betrachtet werden Objekt Lösungskonzept Abstrakte Ökonomie soziales Gleichgewicht (Tausch-)Ökonomie Walras (Wettbewerbs-)Gleichgewicht

19 Objekte und Lösungskonzepte Grüne Objekte werden in diesem Kurs betrachtet werden Objekt Lösungskonzept Abstrakte Ökonomie soziales Gleichgewicht (Tausch-)Ökonomie Walras (Wettbewerbs-)Gleichgewicht Nash Gleichgewicht strategisches Spiel

20 Objekte und Lösungskonzepte Grüne Objekte werden in diesem Kurs betrachtet werden Objekt Abstrakte Ökonomie (Tausch-)Ökonomie strategisches Spiel Lösungskonzept soziales Gleichgewicht Walras (Wettbewerbs-)Gleichgewicht Nash Gleichgewicht (NE) und Verfeinerungen: NE perfekt, strong, coalition proof...

21 Objekte und Lösungskonzepte Grüne Objekte werden in diesem Kurs betrachtet werden Objekt Lösungskonzept Abstrakte Ökonomie soziales Gleichgewicht (Tausch-)Ökonomie Walras (Wettbewerbs-)Gleichgewicht Nash Gleichgewicht (NE) und Verfeinerungen: strategisches Spiel perfekt, strong, coalition proof... NE extensives Spiel NE, teilspiel perfekt, sequentiell,...

22 Objekte und Lösungskonzepte Grüne Objekte werden in diesem Kurs betrachtet werden Objekt Lösungskonzept Abstrakte Ökonomie soziales Gleichgewicht (Tausch-)Ökonomie Walras (Wettbewerbs-)Gleichgewicht Nash Gleichgewicht (NE) und Verfeinerungen: strategisches Spiel perfekt, strong, coalition proof... NE extensives Spiel NE, teilspiel perfekt, sequentiell,... NTU Spiel core, bargaining sets, Shapley NTU Wert

23 Objekte und Lösungskonzepte Grüne Objekte werden in diesem Kurs betrachtet werden Objekt Lösungskonzept Abstrakte Ökonomie soziales Gleichgewicht (Tausch-)Ökonomie Walras (Wettbewerbs-)Gleichgewicht Nash Gleichgewicht (NE) und Verfeinerungen: strategisches Spiel perfekt, strong, coalition proof... NE extensives Spiel NE, teilspiel perfekt, sequentiell,... NTU Spiel core, bargaining sets, Shapley NTU Wert TU Spiel viele: core, bargaining sets, kernel, nucleolus, Shapley Wert,...

24 Bimatrix Spiele Sei N = {1,...} die Menge der natürlichen und R die der reellen Zahlen. Ein Bimatrix Spiel ist ein Tupel Γ = (I, J, A, B) mit I = {1,..., m}, J = {1,..., n} für m, n N, so dass A, B reelle m n Matrizen sind. Interpretation: Es gibt 2 Spieler, den Zeilen- und den Spalten-Spieler, deren Strategieen die Mengen I und J sind und deren Auszahlungen den Matrizen A und B entnommen werden.

25 Beispiele 1 Einführung, Motivation Gefangenendilemma: Sei I = {1, 2} = J und die Auszahlungen durch 1, 1 3, 0 0, 3 2, 2 ( ) ( A = und B = erzählen!! Ein Koordinationsspiel ( ) 1 0 A = = B. 0 1 Krieg der Geschlechter ( ) 2 0 A = and B = 0 1 ( , gegeben, d.h., ). Evtl. Geschichte ). Evtl. Geschichte erzählen!!

26 Nichtkooperative Spiele allgemein: Erste Beispiele und Definitionen Definition: Ein strategisches Spiel ist ein Tripel G = (N, (A i ) i N, ( i ) i N ) mit N ist eine endliche nichtleere Menge; A i für i N; i ist Präferenzrelation auf A = j N A j für i N. Typische Annahme : i kann durch u i : A R repräsentiert werden, d.h., x i y u i (x) u i (y) x, y A. Interpretation: N ist die Menge der Spieler (Firmen, Tiere, Blumen, Personen, je nach Zusammenhang); A i....

27 Beispiel: Bertrand- und Cournot-Wettbewerb Sei N die Menge der Firmen. Jede Firma i kann ein homogenes Gut produzieren und hat eine Kostenfunktion C i : R + R + (die etwa der Vorschrift C i (y) = c i y gehorcht). Bertrand Falls jede Fima i N einen Preis p i festlegt, so sieht sie sich einer individuellen Nachfrage D i ( (p j ) j N ) gegenüber.... Cournot Falls jede Firma i N die Produktion q i festlegt, ergibt sich der Preis aufgrund der inversen Nachfrage P : R + R + von selbst.... Hier könnten Übungsaufgaben erwähnt werden!!

28 2 Konzepte für Strategische Spiele Sei G = (N, (A i ) i N, ( i ) i N ) ein strategisches Spiel. Definition (Nash Gleichgewicht, beste Antwort): Für i N sei A i = j N\{i} A j und für a i A i sei B i (a i ) = {b i A i (b i, a i ) i (a i, a i ) a i A i } (die Menge der besten Antworten von i auf a i ). Ein Nash Gleichgewicht (NE) von G ist ein Strategieprofil â A, das folgende Bedingung für alle i N erfüllt: â i (a i, â i ) a i A i. Bemerkung: Eine Stratgienprofil a ist NE genau dann, wenn a i B i (a i ) für alle i N. Überprüfe, ob wir NEs für unsere Beispiele finden!! Frage, ob jedes strategische Spiel ein NE hat!!

29 Ein reines Verhandlungsspiel 2 Spieler 1 und 2: 1, die Firma, ist Monopolist bezüglich eines Gutes und Monopsonist bezüglich Arbeit; 2, die Gewerkschaft, ist Monopolist bezüglich Arbeit und hat die Nutzenfunktion u, definiert durch u(l, w) = lw. Weiters sei durch P(q) = (100 q) + die inverse Nachfrage und durch Q(l) = l die Produktion definiert. Dann ist der Profit der Firma π(l, w) = l(100 l) wl, wobei l = min{l, 50}.... (siehe Manuskript s. 7). Also ist (0, 0) der Drohpunkt und V = {(π(l, w), u(l, w)) l, w 0, l 50} die Menge der erreichbaren Nutzenvektoren. Man überzeugt sich, dass V R N + = {(π, u) 0 π 2500 u 2, 0 u 50}. Diskutiere (schwache) Pareto Optimalität und individuelle Rationalität!!

30 Ein reines Verhandlungsspiel cont. Definition (reines Verhandlungsproblem): Ein reines Verhandlungsproblem ist ein Tripel (N, V, d) mit endlichem N derart, dass d R N, V d + R N + kompakt, konvex und komprähensiv (x V, y R N, d y x y V ). Definition (Nash Menge): Sei (N, V, d) ein Verhandlungsproblem. Ein Vektor x V, der das Nash-Produkt, i N (x i d i ) maximiert, wird Nash Lösung genannt. In unserm Beispiel... ist u 2 = 2500/3, π = 5000/3. Theorem (Nash (1950)) Jedes Verhandlungsproblem besitzt genau eine Nash Lösung. Bemerkung: Unser Beispiel kann auch als strategisches Spiel aufgefasst ( implementiert ) werden!!

31 NTU und TU Spiel Ist N endlich, so ist X R N komprähensiv, falls X = X R N +. Definition (NTU Spiel): Ein NTU Spiel ist ein Paar (N, V ) mit endlichem N, so dass für jedes S N stets V (S) R S abgeschlossen und komprähensiv und V (S) (x S + R S +) beschränkt sind für x S R S. Definition (TU Spiel): Ein TU Spiel ist ein Paar (N, v) mit endlichem N so dass v : 2 N R, v( ) = 0. Hier könnten gewichtete Mehrheitsspiele diskutiert werden!!