Kapitel 6: Spiele mit simultanen und sequentiellen Spielzügen. Einleitung. Übersicht Teil 2. Übersicht

Transkript

1 Üersiht Teil apitel 6: Spiele mit simultanen und seuentiellen Spielzügen apitel 6 apitel 5 Üersiht Teil Üersiht Einleitung Darstellung von simultanen Spielzügen in extensiver Form Normalform vs extensive Form Nashgleihgewiht und Rükwärtsinduktion Teilspielperfektes Gleihgewiht Einleitung apitel 6 Üersiht 3 apitel 6 Einleitung 4 Wir haen zwei vershiedene Sprahen zur Beshreiung und Analyse von strategishen Interaktionen kennen gelernt: Extensive Form, Spielaum, Rükwärtsinduktion... : für seuentielle Spiele mit vollkommener Information. Brauhen wir nun eine dritte Sprahe, um Situationen zu eshreien, in denen es sowohl simultane als auh seuentielle Züge git? Strategishe Form, Auszahlungsmatrix, Nashgleihgewiht,... : für Spiele mit simultanen Zügen. apitel 6 Einleitung 5 apitel 6 Einleitung 6

2 Nein! Es handelt sih um die eiden Hauptsprahen der (niht-kooperativen) Spieltheorie. Mit Hilfe einiger neuer Wörter (Informationsmenge, Teilspiel,... ) kann man die extensive Form zur Darstellung und Analyse elieiger Spiele (inkl. solher mit simultanen Zügen) nutzen. Man kann jede Spieleshreiung aus der Sprahe der extensiven Form in die Sprahe der strategishen Form üersetzen (man tut dann so, als o es nur simultane Züge gäe). Auf dieser Grundlage können wir dann unsere ereits erworenen enntnisse auf Spiele mit simultanen und seuentiellen Spielzügen anwenden... und hoffentlih einige neue Erkenntnisse gewinnen. apitel 6 Einleitung 7 apitel 6 Einleitung 8 Informationsmengen Darstellung von simultanen Spielzügen in extensiver Form Das wesentlihe an simultanen Zügen ist niht, dass sie tatsählih gleihzeitig stattfinden, sondern, dass es keine Möglihkeit für einen Spieler git, auf die simultanen Entsheidungen der anderen zu reagieren. Dieses ist der Ausgangspunkt für die Darstellung simultaner Züge in Spieläumen. apitel 6 Extensive Form 9 apitel 6 Extensive Form 0 Die Idee ist, willkürlih eine Reihenfolge der simultanen Entsheidungen festzulegen... diese im Spielaum darzustellen und... durh Informationsmengen darzustellen, dass ein Spieler üer die simultanen Züge anderer Spieler niht informiert ist. l L R L R (-, ) (, -)(, -) (-, ) Strategiemengen: S = {l, r}, S = {L, R} r Informationsmengen: Auszahlungen: (Spieler, Spieler ) apitel 6 Extensive Form apitel 6 Extensive Form

3 Identishe Darstellung L (-, ) (, -)(, -) (-, ) R l r l r Informationsmengen: Interpretation einer Informationsmenge: der Spieler kann niht untersheiden, an welhem der Entsheidungsknoten in seiner Informationsmenge er seine Aktion wählt. Strategiemengen: S = {l, r}, S = {L, R} Auszahlungen: (Spieler, Spieler ) apitel 6 Extensive Form 3 apitel 6 Extensive Form 4 Jedes Spiel in extensiver Form lässt sih in Normalform darstellen. Normalform vs Extensive Form Damit diese Üerführung gelingt, muss für jeden Spieler die Menge seiner Strategien estimmt werden. Dazu muss ermittelt werden welhe Strategiekominationen welhe Auszahlungen zur Folge haen. apitel 6 Normalform vs Extensive Form 5 apitel 6 Normalform vs Extensive Form 6 Bsp. : Strategiemengen: S = {l, r}, S = {L, R} Strategiekominationen: {(l, L), (l, R), (r, L), (r, R)} Bsp. : l r Strategiemengen: S = {l, r}, S = {L, R} Strategiekominationen: {(l, L), (l, R), (r, L), (r, R)} L l R r (0, 5) L R l 3-0 L R L R (-, ) (, -)(, -) (-, ) L l - R - (, 3) (-,0) r r - - apitel 6 Normalform vs Extensive Form 7 apitel 6 Normalform vs Extensive Form 8

4 Bsp. 3: a N, Strategiemenge {,} Strategiemenge {(, ), (,N), (N,), (N,N)} (, ) (, ) (, ) N, N, 4 4, a N, 4 4, Copyright 000 y W.W. Norton & Company apitel 6 Normalform vs Extensive Form 9 apitel 6 Normalform vs Extensive Form 0 Reine Strategiekominationen {(,(, )), (,(,N)), (,(N,)), (,(N,N)), (,(, )), (,(,N)), (,(N,)), (,(N,N))} (a, (, )) (a, (, )), N a, 4 N 4, Normalform: Auszahlungstaelle für alle reinen Strategiekominationen. Daraus resultiert für unser Wahlkampf-Beispiel eine x 4 (niht x ) Matrix mit 8 Zellen. apitel 6 Normalform vs Extensive Form apitel 6 Normalform vs Extensive Form, N a N, 4 4, Nashgleihgewiht vs Rükwärtsinduktion,, N N, N, N,, 4, 4,, 4 4, apitel 6 Normalform vs Extensive Form 3 apitel 6 Nash GG und Rükwärtsinduktion 4

5 Nashgleihgewihte Strategishe Form Jedes Spiel in extensiver Form lässt sih in Normalform darstellen.,, N N, N, N Damit hat das Spiel in extensiver Form natürlih auh die gleihen Nashgleihgewihte wie das Spiel in Normalform.,, 4, 4,, 4 4, Nashgleihgewiht : (,(N,)) Nashgleihgewiht : (,(, )) apitel 6 Nash GG und Rükwärtsinduktion 5 apitel 6 Nash GG und Rükwärtsinduktion 6 Nashgleihgewihte Rükwärtsinduktion, Das Spiel hat also Nashgleihgewihte in reinen Strategien. N a Welhe Lösung git und die Rükwärtsinduktion?, 4 Lösung: (,(N,)) N 4, apitel 6 Nash GG und Rükwärtsinduktion 7 apitel 6 Nash GG und Rükwärtsinduktion 8 Wieso git es zwei Nashgleihgewihte aer nur eine Rükwärtsinduktionslösung? Der Grund ist, dass das Nashgleihgewiht (,(, )) auf einer unglauwürdigen Drohung eruht. apitel 6 Nash GG und Rükwärtsinduktion 9 apitel 6 Nash GG und Rükwärtsinduktion 30

6 Unglauwürdige Drohung, a N, 4 Theorem. Jede Rükwärtsinduktionslösung in einem Spiel mit perfekter Information ist auh ein Nashgleihgewiht. Aer niht jedes Nashgleihgewiht in einem solhen Spiel ist auh eine Rükwärtsinduktionslösung. Gleihgewiht: (,(,)) N 4, Copyright 000 y W.W. Norton & Company apitel 6 Nash GG und Rükwärtsinduktion 3 apitel 6 Nash GG und Rükwärtsinduktion 3 Die Analyse in der strategishen Form geht davon aus, dass die Spieler sih zu Beginn des Spieles auf ihre Strategien festlegen. In einem Nashgleihgewiht hat kein Spieler einen Anreiz von seiner Strategiewahl azuweihen falls alle Spieler sih an ihre Strategien halten. In einer Rükwärtsinduktionslösung wird zusätzlih üerprüft, o die Entsheidungen der Spieler nah jedem möglihen erlauf des Spieles optimal sind. Welhes Lösungskonzept sollte man nun verwenden? Es git untershiedlihe Ansihten: Nashgleihgewihte, die niht einer Rükwärtsinduktionslösung entsprehen, eruhen auf unglauwürdigen Drohungen. Rationale Spieler werden die Unglauwürdigkeit solher Drohungen durhshauen. Shlussfolgerung: Betrahte nur die Rükwärtsinduktionslösung. apitel 6 Nash GG und Rükwärtsinduktion 33 apitel 6 Nash GG und Rükwärtsinduktion 34 Das onzept der Rükwärtsinduktion unterstellt ein Üermass an Rationalität und enntnis der Spielsituation. Das onzept des Nashgleihgewihtes ist hier rouster. Shlussfolgerung: Betrahte alle Nashgleihgewihte und entsheide im Einzelfalle, o es gute Argumente git, eines oder mehrere zu eliminieren. Teilspielperfektes Nashgleihgewiht apitel 6 Nash GG und Rükwärtsinduktion 35 apitel 6 Teilspielperfektes Nashgleihgewiht 36

7 Die Rükwärtsinduktion lässt sih niht auf Spiele mit niht perfekter Information anwenden: l r Eine vergleihare Lösungsmethode (Teilspielperfektheit) kann jedoh angewandt werden, wenn ein seuentielles Spiel in seine Teilspiele zerlegt wird.? (, 0) l L R L R r (0, ) (, 3) (3, ) (0, 5) Wie die Rükwärtsinduktionslösung eliminiert Teilspielperfektheit alle Nashgleihgewihte, welhe auf unglauwürdigen Drohungen eruhen. apitel 6 Teilspielperfektes Nashgleihgewiht 37 apitel 6 Teilspielperfektes Nashgleihgewiht 38 Beispiel 3: Teilspiele Teilspiel: Teil eines Spiels Beginnt an irgendeinem Entsheidungsknoten und endet ei den Ergenissen. a N, Ganzes Spiel ist auh ein Teilspiel N, 4 4, apitel 6 Teilspielperfektes Nashgleihgewiht 39 apitel 6 Teilspielperfektes Nashgleihgewiht 40 Beispiel 3: Teilspielperfektes Nashgleihgewiht Nashgleihgewiht (,(N,)) a verhält sih optimal in diesem Teilspiel Teilspielperfektes Gleihgewiht, apitel 6 Teilspielperfektes Nashgleihgewiht 4 N N,, 4 Dieses Teilspiel wird im NG niht erreiht. 4, Beispiel 3: Niht teilspielperfektes Nashgleihgewiht SP verhält sih niht optimal in diesem Teilspiel: ein Teilspielperfektes Gleihgewiht CP a Nashgleihgewiht (,(,)), apitel 6 Teilspielperfektes Nashgleihgewiht 4 N N, Dieses Teilspiel wird im NG niht erreiht., 4 4,

8 Beispiel 3 Das Nashgleihgewiht (, (, )) ist niht teilspielperfekt. Wegen der Drohung, wählt. Definition. Eine Strategienkomination ist ein teilspielperfektes Nashgleihgewiht wenn sie in jedem Teilspiel ein Nashgleihgewiht induziert. Aer diese Drohung ist niht glauwürdig. apitel 6 Teilspielperfektes Nashgleihgewiht 43 apitel 6 Teilspielperfektes Nashgleihgewiht 44 Nashgleihgewiht Strategien müssen sogar ausserhal des Gleihgewihtspfades optimal sein. Die Weiterführung der Strategie muss für jeden Spieler in jedem Teilspiel eine este Antwort auf die Strategien seiner Mitspieler sein. In einem Nashgleihgewiht ist die Strategie jedes Spielers optimal, gegeen die Strategien der anderen Spieler im gesamten Spiel. Optimal in allen Teilspielen, welhe erreiht werden, wenn die Spieler ihre Strategien efolgen. In Teilspielen, welhe niht erreiht werden, wenn die Spieler ihre Strategien efolgen, muss sie niht optimal sein. apitel 6 Teilspielperfektes Nashgleihgewiht 45 apitel 6 Teilspielperfektes Nashgleihgewiht 46 Teilspielperfektes Nashgleihgewiht In einem teilspielperfekten Nashgleihgewiht ist die Strategie jedes Spielers optimal, gegeen die Strategien der anderen Spieler im gesamten Spiel. Optimal in allen Teilspielen, welhe erreiht werden, wenn die Spieler ihre Strategien efolgen. Optimal auh in allen Teilspielen, welhe niht erreiht werden, wenn die Spieler ihre Strategien efolgen. THEOREM Jedes endlihe extensive Spiel mit perfekter Information hat ein teilspielperfektes Nashgleihgewiht. apitel 6 Teilspielperfektes Nashgleihgewiht 47 apitel 6 Teilspielperfektes Nashgleihgewiht 48

9 Beispiel: ampf der Geshlehter Zwei Spieler: Hannes, Evelyn Sie müssen wählen, was sie am Aend unternehmen. Hannes kommt als erster zum Zuge und entsheidet, o er Zuhause fernsieht oder ausgeht. Wenn er entsheidet auszugehen, müssen eide Spieler simultan entsheiden, o sie ein Fussallspiel oder das Ballet esuhen. apitel 6 Teilspielperfektes Nashgleihgewiht Bsp: Markteintrittsspiel 49 apitel 6 Teilspielperfektes Nashgleihgewiht Bsp: ampf der Geshlehter 50 T Ausgang Strategishe Form F B, F B (Ausgang,, F) 3, 0, 0 F B F B (Ausgang,, B) 0, 0, 3 3, 0, 0 0, 0, 3 (T, F),, Informationsmenge (T, B),, apitel 6 Teilspielperfektes Nashgleihgewiht Bsp: ampf der Geshlehter 5 apitel 6 Teilspielperfektes Nashgleihgewiht Bsp: ampf der Geshlehter 5 Drei Nashgleihgewihte: {(Ausgang, F), F), ((T, F), B), ((T, B), B)} Sind alle diese Nashgleihgewihte glauwürdig? Anwendung der Teilspielperfektheit., T Ausgang F B F B F B 3, 0, 0 0, 0, 3 Teilspiel apitel 6 Teilspielperfektes Nashgleihgewiht Bsp: ampf der Geshlehter 53 apitel 6 Teilspielperfektes Nashgleihgewiht Bsp: ampf der Geshlehter 54

10 Ergenis im letzten Teilspiel (F, F) F B F 3, 0, 0 B 0, 0, 3 T Ausgang, 3, ((Ausgang,F),F) ist ein teilspielperfektes Gleihgewiht apitel 6 Teilspielperfektes Nashgleihgewiht Bsp: ampf der Geshlehter 55 apitel 6 Teilspielperfektes Nashgleihgewiht Bsp: ampf der Geshlehter 56 Ergenis im letzten Teilspiel (B, B) Finden teilspielperfekter Gleihgewihte T Ausgang Es git zwei teilspielperfekte Gleihgewihte: ((Ausgang, F), F) und (T, B), B).,, 3 ((T,B), B) ist ein teilspielperfektes Gleihgewiht. Das Nashgleihgewiht ((T, F), B) ist niht teilspielperfekt: (F, B) ist kein Nashgleihgewiht im letzten Teilspiel. apitel 6 Teilspielperfektes Nashgleihgewiht Bsp: ampf der Geshlehter 57 apitel 6 Teilspielperfektes Nashgleihgewiht Bsp: ampf der Geshlehter 58 Beispiel: Markteintrittsspiel Markteintrittspiel zwishen Monopolist und Herausforderer, der sih üerlegt im selen Industriezweig einzutreten. Eintritt hat fixe osten f zur Folge. Wenn der Herausforderer draussen leit, ist sein Gewinn gleih Null. Wenn er eintritt, wählen die Firmen ihren Output simultan, und die Preise passen sih an, um den Markt zu räumen (Cournot Duopol). apitel 6 Teilspielperfektes Nashgleihgewiht Bsp: Markteintrittsspiel 59 apitel 6 Teilspielperfektes Nashgleihgewiht Bsp: Markteintrittsspiel 60

11 Challenger () ein Eintritt Eintritt onstante Grenzkosten. (maxπ (,0), 0) Cournot Duopol Lineare inverse Nahfragefunktion: Preis(Q) = α - Q π (, ), π (, )-f Der Gewinn der Firma i eträgt: ( α ) i -i i i apitel 6 Teilspielperfektes Nashgleihgewiht Bsp: Markteintrittsspiel 6 apitel 6 Teilspielperfektes Nashgleihgewiht Bsp: Markteintrittsspiel 6 Betrahte das erste Teilspiel, welhes der Geshihte niht Eintritt folgt. Der Monopolist wählt seinen Output: max [( α ) ] α = Betrahte das Teilspiel, welhes der Geshihte Eintritt folgt. Die este Antwort des Monopolisten: max [( α ) ] α = apitel 6 Teilspielperfektes Nashgleihgewiht Bsp: Markteintrittsspiel 63 apitel 6 Teilspielperfektes Nashgleihgewiht Bsp: Markteintrittsspiel 64 Die este Antwort des Herausforderer: max [( α ) ] α = f Nashgleihgewiht im Teilspiel, dass der Geshihte Eintritt folgt: α = = 3 Gewinne: π = π = ( α ) 9 apitel 6 Teilspielperfektes Nashgleihgewiht Bsp: Markteintrittsspiel 65 apitel 6 Teilspielperfektes Nashgleihgewiht Bsp: Markteintrittsspiel 66

12 Gesamtes Spiel Herausforderer ein Eintritt Eintritt ( α ) (, 0) ( α ) ( α ) ( f 4 9, 9 ) ( α ) Wenn > f 9 git es ein eindeutiges teilspielperfektes Gleihgewiht: Der Herausforderer tritt ein und eide Spieler produzieren α = = 3 apitel 6 Teilspielperfektes Nashgleihgewiht Bsp: Markteintrittsspiel 67 apitel 6 Teilspielperfektes Nashgleihgewiht Bsp: Markteintrittsspiel 68 ( α ) Wenn < f 9 git es ein eindeutiges teilspielperfektes Gleihgewiht: Der Herausforderer tritt niht ein. Der Monopolist produziert = α apitel 6 Teilspielperfektes Nashgleihgewiht Bsp: Markteintrittsspiel 69