Kapitel 5: Spiele mit simultanen Spielzügen und reinen Strategien: Kontinuierliche Strategien

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1 Übersicht Teil 2 Kapitel 5: Spiele mit simultanen Spielzügen und reinen Strategien: Kontinuierliche Strategien Kapitel 5 1 Kapitel 5 Übersicht Teil 2 2 Übersicht Reine Strategien als stetige Variablen Rationalizability Reine Strategien als stetige Variablen Kapitel 5 Übersicht 3 4 Bisher gab es immer eine endliche Menge reiner Strategien. Wir betrachten nun stetige Grössen wie Preise, Ausgaben oder eine Länge. Beste-Antworten: Im Gleichgewicht muss jede Strategie eine beste Antwort auf die beste Antwort der anderen Spieler sein. Reaktionskurve: Beste Antwort eines Spielers auf jede mögliche Aktion eines anderen Spielers, dies für alle möglichen Aktionen. 5 6

2 Zwei Firmen 1 und 2, welche ein ähnliches Produkt herstellen, wählen jeweils die Preise P 1 und P 2 um ihren Gewinn zu maximieren. Die Nachfrage in Abhängigkeit der Preise sei Q 1 = 12 P P 2 Q 2 = 12 P P 1 Bemerkung: Dies ist ein symmetrisches Spiel. Der Gewinn der Firmen ist G = (P Kosten) x Q. Die Grenzkosten seien 3. Die beiden Firmen wollen den Gewinn maximieren G = (P Kosten) x Q. 7 8 Mit welchem Preis maximiert Firma 1 ihren Gewinn? Der Gewinn der Firma 1 ist G 1 = (P 1 3)Q 1 = (P 1 3)(12 P P 2 ) Der Gewinn ist maximal, wenn dg 1 /dp 1 = 0 Ableitung der Gewinnfunktion dg 1 /dp 1 = ( P 2 ) - 2P 1 Ableitung gleich Null setzen ( P 2 ) - 2P 1 = 0 Reaktionsfunktion von Firma 1 ist P 1 = P Reaktionsfunktion von Firma 1 ist P 1 = P 2 Reaktionsfunktion von Firma 2 (Symmetrie ausnützen) P 2 = P 1 Das Nash Gleichgewicht befindet sich im Schnittpunkt dieser beiden Reaktionsfunktionen. Aufgrund der Symmetrie gilt P 1 = P 2 = P Gleichgewicht P = P P 1 = P 2 = P =

3 Copyright 2000 by W.W. Norton & Company BESTE ANTWORT KURVEN P Beste Antwort von Firma Beste Antwort von Firma 2 Nash Gleichgewicht P 2 = P 1 Rationalizability P 2 = 4P P Welche Ergebnisse in Normalformspielen können wir nur mit der Annahme rechtfertigen, dass die Spieler rational handeln? Ist Rationalität der Spieler common knowledge, können wir das Konzept der iterierten Elimination dominierter Strategien anwenden. Zusätzlich dazu können Strategien eliminiert werden, welche nie eine beste Antwort darstellen. Die Menge der Strategien, welche diese Elimination überlebt, heisst rationalizable Anwendung des Konzepts der Rationalizability 2 C1 C2 C3 C4 R1 0, 7 2, 5 7, 0 0, 1 R2 5, 2 3, 3 5, 2 0, 1 R3 7, 0 2, 5 0, 7 0, 1 R4 0, 0 0, -2 0, 0 10, -1 C4 ist für Spieler 2 nie eine beste Antwort. Obwohl C4 für Spieler 2 nie eine beste Antwort darstellt, wird C4 nicht von C1, C2 oder C3 dominiert. Eine Strategie, die dominiert wird, kann nie eine beste Antwort sein. Es gibt aber Strategien, welche nie eine beste Antwort sind und trotzdem nicht dominiert werden (in Spielen mit mehr als zwei Spielern). Daher: Nie eine beste Antwort ist ein allgemeineres Konzept als dominiert

4 Strategien, welche keine besten Antworten sind, können selbst dann eliminiert werden, wenn keine dominierten Strategien existieren. Im Vergleich zur Elimination dominierter Strategien kann die Menge der möglichen Ergebnisse somit weiter eingeengt werden. Wenn ein Spiel ein Nash Gleichgewicht hat, ist es rationalizable. Auch wenn ein Spiel kein Nash Gleichgewicht besitzt, kann es rationalizable Ergebnisse haben Fischer Beispiel Die Elimination von Strategien, welche nie eine beste Antwort sind, kann die Dinge auf das Nash Gleichgewicht eingrenzen. Dies dient als weiteres Argument, für das Nash Gleichgewicht, da es nur Rationalität als common knowledge voraussetzt. In einer kleinen Stadt an der Küste gibt es zwei Fischerboote, die jeden Abend zur See fahren und am kommenden Morgen zurückkehren, um ihren Fang auf dem Markt zu verkaufen. Der ganze Fischbestand muss noch am selben Tag verkauft und gegessen werden. Im Meer sind massenhaft Fische vorhanden und jedes Boot kann entscheiden, wie viele es jede Nacht fangen will Der Preis P ergibt sich aus P = 60 (X + Y), wobei X die Anzahl Tonne gefangener Fische des ersten und Y des zweiten Bootes bezeichnet. Das Fischen verursacht für Boot 1 Kosten in der Höhe von 30 Dukaten pro Tonne und für Boot 2 von 36 Dukaten pro Tonne. Die Gewinne betragen somit: U = [(60 X Y) 30]X für Boot 1. V = [(60 X Y) 36]Y für Boot 2. Mittels Nutzenmaximierung lassen sich die Beste-Antwort Kurven bestimmen: X = 15 Y/2 Y = 12 X/2 Aus diesen beiden Gleichungen folgt, dass im Nashgleichgewicht X = 12 und Y = 6 ist

5 Wenn Spieler 1 rational ist, welche Werte Y glaubt er, dass Spieler 2 wählen wird? 1. Runde: Die beste Antwort Y von Spieler 2 liegt im Bereich zwischen 0 und 12. Spieler 1 ist sich sicher, dass Spieler 2 keine andere Menge wählt. Spieler 1 wird auch nie eine Menge grösser als 15 wählen Runde Never best response Wenn Spieler 1 die Wahl für Y von Spieler 2 auf den Bereich von 0 bis 12 eingeschränkt hat, ist seine Wahl von X eingeschränkt durch den Bereich der besten Antworten auf ein Y zwischen 0 und 12. Die beste Antwort auf Y = 0 ist X = 15 und die beste Antwort auf Y = 12 ist X = 9. Ein rationalisierbares X liegt somit zwischen 9 und Wenn Spieler 2 die Wahl von Spieler 1 auf den Bereich von 0 bis 15 eingeschränkt hat, ist seine Wahl von Y eingeschränkt durch den Bereich der besten Antworten auf ein X zwischen 0 und 15. Die beste Antwort auf X = 0 ist Y = 12 und die beste Antwort auf X = 15 ist Y = 4.5. Ein rationalisierbares Y liegt somit zwischen 4.5 und 12. Weitere Runden 29 30

6 Runde 4. Runde Mit jeder gespielten Runde wird der Bereich der besten Antworten schmäler und nähert sich dem Nash Gleichgewicht. Der Bereich der besten Antworten konvergiert zum Nash Gleichgewicht. 35