Kapitel 6: Dominanz und Nash-GG Kapitel 7: Gemischte Strategien

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1 Kapitel 6: Dominanz und Nash-GG Kapitel 7: Gemischte Strategien 6 Dominanz und Nash-Gleichgewicht 7 Gemischte Strategien Gemischte Strat, ErwNutzen, Nash-GG via Indifferenz anhand Elfmeter Gemischtes Nash-GG im Elfmeter-Spiel (via: stetige Strategieräume) Gemischtes Nash-GG im BoS (via: stetige Strategieräume) Bimatrix-Spiele mit mehr als zwei Strategien Indifferenzbedingung (in Bimatrix-Spielen) Beispiel zur Anwendung der Indifferenzbedingung Gemischte Strategien in Spielen mit n > 2 Spielern Allgemeine Indifferenzbedingung Zusammenfassung Kapitel 6 Dominanz und Nash-GG Einleitung Das Nash-GG haben wir (teilweise) dadurch motiviert, dass es die Menge möglicher Spielausgänge stärker einschränkt als Dominanz ZB Battle of Sexes (BoS): Das BoS hat weder strikt noch schwach dominierte Strategien (dh alle vier Strategienprofile überleben IESDS, sogar IEWDS), aber nur zwei Nash-GGe Analoges Ergebnis bei Chicken und Hirschjagd Dagegen: Gefangenendilemma (auch als verallgemeinertes soziales Dilemma): Das GD ist strikt dominanzlösbar, und die Dominanzlösung ist genau das (eindeutige) Nash-GG Die Regelmäßigkeit, die sich hier abzeichnet, gilt ganz allgemein, solange strikte (nicht schwache) Dominiertheit betrachtet wird / 24 Allg Zusammenhang: Nash-GG strikte Dominanz Satz: Gegeben ein Spiel G in Normalform a) Die Menge der Nash-GGe des Spiels, ist enthalten in der Menge S NASH := {s S : s ist Nash-GG von G} S IESDS := {s S : s überlebt IESDS} der Strategienprofile, die it El strikt dominierter Strategien überleben, dh S NASH S IESDS b) Wenn das Spiel strikt dominanzlösbar ist, ist die Dominanzlösung das einzige Nash-GG: S IESDS = {s } S NASH = {s } Teil a) impliziert: Ein Nash-GG enthält niemals strikt dominierte Strategien Das alleine wäre auch ohne den Satz aus der Definition des Nash-GGs leicht einzusehen; Teil a) macht eine stärkere Aussage, indem er auch sagt: Ein Nash-GG enthält niemals Strategien, die nach iterierter Elimination strikt dominierter Strategien übrig bleiben b) folgt nicht aus a), denn G könnte kein Nash-GG haben: b) bedeutet: G dominanzlösbar NashGG existiert und ist eindeutig, nämlich NashGG = Dominlösng Kein allg Zshng: Nash-GG schwache Dominanz x y a 0, 0, 0 b 0, 0, Dieses Spiel hat zwei Nash-GGe: (a, x) und (b, y) Aber: a ist schwach dominiert von b Spiel ist schwach dominanzlösbar: iterierte Elimination schwach dominierter Strategien endet in (b, y) Zeigt: Schwach dominierte Strategien können Teil eines Nash-GGs sein Bzw: Durch (iterierte) Elimination schwach dominierter Strategien können auch Nash-GGe eliminiert werden Teil a) des vorherigen Satzes sagt, dass das bei it Elimination strikt dominierter Strategien nie passiert Auch Teil b) des vorherigen Satzes ist bei schwacher Dominanz nicht gültig: Das Spiel hat eine eindeutige schwache Dominanzlösung, aber mehrere Nash-GGe 3 / 24 2 / 24 4 / 24

2 Kapitel 7: Gemischte Strategien Schon gesehen: Das Spiel Elfmeter Torwart Links Rechts Links, + +, Schütze Rechts +,, + hat kein Nash-Gleichgewicht, weil es keine stabile Absprache des Spielausgangs geben kann Das würde bedeuten: Die Spieler können vorab vereinbaren, wer gewinnt und wer verliert, ohne dass wenigstens einer einen Anreiz hat, beim realen Spiel von der Absprache abzuweichen Natürlich hätte der vereinbarte Verlierer einen solchen Anreiz Bei diesem Spiel wollen die Spieler gerade nicht ausrechenbar sein, weil der Gegenspieler das sonst ausnutzen kann In einer solchen Situation kann es keine stabile soziale Konvention geben, die den Spielern vorschreibt, eine Strategie mit Wkt zu spielen Wir erweitern daher den Begriff der Strategie um die Möglichkeit, eine Strategie mit einer gewissen Wkt zu spielen: gemischte Strategie (Standardtrick: Wenn ein Problem keine Lösung hat, vergrößere Lösungsraum) Gemischte Strategien im Spiel Elfmeter Schütze Torwart links [q l ] rechts [q r ] links [p l ], + +, rechts [p r ] +,, + Neu: Jeder Spieler wählt eine Wahrscheinlichkeit mit der er nach links bzw rechts schießt bzw springt Dh Spieler haben WktsVerteilungen als Strategien, Schü: p, Torw: q : Strategieraum des Schü: S Schü = {p = (p l, p r ) : 0 p l, p r, p l + p r = } Strategieraum des Torw: S Torw = {q = (q l, q r ) : 0 q l, q r, q l + q r = } Reine Strategien l, r in S Schü u S Torw enthalten, zb Schü: l p = (, 0) Nutzen der Spieler aus Strategienprofil (p, q): Erwartungsnutzen: U Schü (p, q) = p l q l u Schü (l, l) +p l q r u Schü (l, r) +p r q l u Schü (r, l) = U Torw (p, q) = p l q l u Torw (l, l) +p l q r u Torw (l, r) +p r q l u Torw (r, l) = = +p r q r u Schü (r, r) = +p r q r u Torw (r, r) 5 / 24 6 / 24 Beispiel f Erwartungsnutzen im Elfmeter-Spiel Gesehen: Erwartungsnutzen der Spieler bei (p, q) (dh Schü: (p l, p r ), Torw: (q l, q r )): U Schü (p, q) = p l q l u Schü (l, l) + p l q r u Schü (l, r) + p r q l u Schü (r, l) + p r q r u Schü (r, r) = p l q l + p l ( q l ) + ( p l ) q l ( p l ) ( q l ) U Torw (p, q) = p l q l u Torw (l, l) + p l q r u Torw (l, r) + p r q l u Torw (r, l) + p r q l u Torw (r, r) = + p l q l p l ( q l ) ( p l ) q l + ( p l ) ( q l ) Beispiel: Angenommen, Torwart wählt Strategie q = (q l, q r ) = ( 2, ) 3 3 Dh Torwart springt mit Wkt q l = 2 in li Ecke, mit Wkt q 3 r = in re Ecke 3 Wenn der Schütze die li Ecke wählt, dh die reine Strategie l ˆ= p = (, 0) spielt, hat er den erwarteten Nutzen U Schü (l, q) = 2 ( ) = Wenn der Schütze die re Ecke wählt, dh die reine Strategie r ˆ= p = (0, ) spielt, hat er den erwarteten Nutzen U Schü (r, q) = ( ) = Wenn der Schütze eine gemischte Strategie p = (p l, p r ) wählt, dh mit Wkt p l > 0 in nach links schießt und mit Wkt p r = p l > 0 rechts, steigt sein Nutzen linear mit p r von auf Beste Antwort des Schützen auf Strategie (q l, q r ) = ( 2, ) des Torwarts ist 3 3 die reine Strategie r Klar: Wenn der Torw dazu neigt, nach li zu springen, sollte der Schü nach re schießen Nash-GG im Elfmeter-Spiel (via: Indifferenz) Allgemein: Beste Antwort des Schützen auf einen Torwart, der bevorzugt in eine Ecke springt, ist: Nimm die andere Ecke Wenn der Torwart keine Ecke bevorzugt, dh ˆq = ( 2, 2 ), ist der Schütze indifferent zwischen seinen reinen Strategien l u r denn: U Schü (l, ˆq) = 2 ( ) + 2 = 0 = 2 ( ) + 2 = U Schü(r, ˆq) und damit indifferent zwischen jeder Mischung dieser reinen Strategien denn: U Schü ((p l, p r ), ˆq) = p l U Schü (l, ˆq) + p r U Schü (r, ˆq) Beste Antwort(menge) des Schü auf ˆq = ( 2, 2 ) somit: Belieb p S Schü Insbes ist ˆp = ( 2, 2 ) eine beste Antwort des Schü auf Torw: ˆq = ( 2, 2 ) Torwart analog: Beste Antwort auf Schützen, der eine Ecke bevorzugt, ist: gleiche Ecke Beste Antwort(menge) auf Schü: ˆp = ( 2, 2 ) ist: Bel q = (q l, q r ) in S Torw Insbes ist ˆq = ( 2, 2 ) eine beste Antwort des Torw auf Schü: ˆp = ( 2, 2 ) Also: (ˆp, ˆq) ist (einziges) Nash-GG (p, q ) des SPs in gemischt Strategien Da p = ( 2, 2 ) und q = ( 2, 2 ): Einzig mögliche stabile Vereinbarung des Spielausgangs : Gegner im Unklaren darüber lassen, was man machen wird 7 / 24 8 / 24

3 R Schü (q) R Otto (q) R Schü (q) Nash-GG im Elfmeter-Spiel (via: stetige Strat) Alternative Methode zur Bestimmung des Nash-GGs (bei 2 2-Bimatrix-SP!), demonstriert anhand: Torwart links [q] rechts [ q] links [p], + +, Schütze rechts [ p] +,, + Identifiziere Strat des Schützen mit der Wkt p = p l, dass er links schießt, Identifiziere Strat des Torwarts mit der Wkt q = q l, dass er links springt Erwartungsnutzen der Spieler bei Strategienprofil (p, q): U Schü (p, q) = p q + p ( q) + ( p) q ( p) ( q) U Torw (p, q) = +p q p ( q) ( p) q + ( p) ( q) Wir befinden uns in der Situation eines Spiels mit stetigen Strategien p S Schü =[0, ], q S Torw = [0, ] und diffbaren Nutzenfktnen U Schü, U Torw Allerdings: U Schü (p, q) bzw U Torw (p, q) sind linear im Strategieparameter des jeweiligen Spielers, dh wir erhalten: 2 U Schü p = 0 0, 2 U Torw 2 q = Aufpassen bei Ermittlung der Nash-GGe aus BedOrdn! Nash-GG im Elfmeter-Spiel graphisch U Schü p = q + ( q) q + ( q) = 2 4q = 4 ( 2 q) folgt: f q < /2 R Schü (q) = [0, ] f q = /2 0 f q > /2 q < /2 U Schü (p, q) strikt wachsend in p q = /2 U Schü (p, q) konstant in p q > /2 U Schü (p, q) strikt fallend in p U Torw q = +p + p ( p) ( p) = 4p 2 = 4 (p 2 ) folgt: 0 f p < /2 R Torw (p) = [0, ] f p = /2 f p > /2 q R Torw (p) p < /2 U Torw (p, q) strikt fallend in q p = /2 U Schü (p, q) konstant in q p > /2 U Schü (p, q) strikt wachsend in q ½ 0 0 Nash GG R Torw (p) ½ p 9 / 24 0 / 24 Battle of Sexes (via: stetige StratRäume) Wende gleiche Methode an auf BoS: Theater [q] Fußball [ q] Theater [p], 2, Fußball [ p] 0, 0 2, Identifiziere Strat von SP mit der Wkt p, dass SP Aktion Theater wählt, Identifiziere Strat von SP2 mit der Wkt q, dass SP2 Aktion Theater wählt Erwartungsnutzen der Spieler bei Strategienprofil (p, q): U (p, q) = p q + p ( q) ( ) + ( p) q 0 + ( p) ( q) 2 = p q p ( q) + 2( p) ( q) U 2 (p, q) = +p q 2 + p ( q) ( ) + ( p) q 0 + ( p) ( q) = 2 p q p ( q) + ( p) ( q) Partielle Ableitungen nach Strategieparameter des jeweiligen Spielers: U { Grenznutzen im eigenen p = q ( q) 2( q) = 4q 3 U { 2 Grenznutzen im eigenen q = 2p + p ( p) = 4p Strategieparameter p hängt (nur) von Gegenstrategie q ab Strategieparameter q hängt (nur) von Gegenstrategie p ab RFktnen im Battle of Sexes; Nash-GGe graphisch U p = 4q 3 folgt: q < 3 /4 U (p, q) strikt fallend in p q = 3 /4 U (p, q) konstant in p q > 3 /4 U (p, q) strikt wachsend in p U 2 q = 4p folgt: p < /4 U 2 (p, q) strikt fallend in q p = /4 U 2 (p, q) konstant in q p > /4 U 2 (p, q) strikt wachsend in q R (q) = =p (q) R 2 (p) =q (p) SP (Otto) präferiert Fußball, SP2 (Anna) präferiert Theater p: Ottos Wkt, Theater zu wählen; q: Annas Wkt für Theater q = R 2 (p): Annas BA (als ihre Wkt f Theater), wenn sie Ottos Wkt, ins Theater zu gehen, auf p einschätzt Wenn Anna glaubt, Otto geht mit Wkt p < ins Theater, 4 sollte sie zum Fußball gehen (q = R 2 (p) = 0) Wenn Anna glaubt, Otto geht mit Wkt p > ins Theater, 4 sollte sie ins Theater gehen (q = R 2 (p) = ) Wenn Anna glaubt, Otto geht mit Wkt p = ins Theater, 4 dann ist Anna indifferent zwischen Theater und Fußball 0 f q < 3 /4 [0, ] f q = 3 /4 f q > 3 /4 0 f p < /4 = [0, ] f p = /4 f p > /4 q p: Prob(Otto: Theater) -> R Anna (p) ¾ ¼ 3 Nash-GGe q: Prob(Anna: Theater) -> p / 24 2 / 24

4 Bimatrix-Spiele mit mehr als zwei Strategien Gesehen: In 2 2 Bimatrix-Spielen kann man gemischte Nash-GGe wie in Spielen mit stetigen Strategieräumen finden: Reaktionsfunktionen ermitteln und dann deren Schnittpunkte bestimmen Das geht, weil bei 2 2-Spielen eine gemischte Strategie einfach einer Zahl zwischen 0 und entspricht In Bimatrix-Spielen, in denen ein Spieler mehr als zwei Strategien hat, ist dieses Verfahren nicht mehr besonders praktikabel Es gibt aber eine andere Methode (die uns schon als Indifferenzprinzip in den 2 2-Beispielen begegnet ist) Sie nutzt die Struktur des Erwartungsnutzens aus, vor allem: Linear in den eigenen Strategievariablen (wie auch in denen des Gegenspielers) Optimierungstheoretische Einordnung des Problems Finde alle, auch die gemischten, Nash-GGe in Matrix-Spielen : Gekoppelte lineare Optimierungsprobleme; gekoppelt weil die Entscheidungsvariablen des Gegenspielers jeweils Parameter des Problems in den eigenen Entscheidungsvariablen sind Beachte: Hauptproblem bei linearen Optimierungsproblemen ist es, die Menge der Restriktionen zu finden, die in der Lösung binden bzw nicht binden Das ist hier die Frage, in welchen reinen Strategien das Nash-GG mischt Erwartungsnutzen (in Bimatrix-Spielen) Der Erwartungsnutzen von Spieler i ist sein erwarteter Nutzen, wenn { mit Wkt p die reine Strategie a } SP spielt mit Wkt p K die reine Strategie a K und unabhängig davon { mit Wkt q die reine Strategie x } SP2 spielt mit Wkt q M die reine Strategie x M Da die Spieler unabhängig voneinander ziehen, ist die Wkt für den Spielausgang (a k, x m ) durch p k q m gegeben und der erwartete Nutzen von Spieler i ergibt sich als U i (p, q) = K k= m= M p k q m u i (a k, x m ) Ein Nash-GG (p, q ) in gemischten Strategien ist dadurch definiert, dass sich beide Spieler beste Antworten bzgl ihres Erwartungsnutzens geben 3 / 24 5 / 24 Gemischte Strategien (in Bimatrix-Spielen) Spiel jetzt: x [q ] x M [q M ] a [p ] u (a, x ), u 2 (a, x ), u (a, x M ), u 2 (a, x M ),,, a K [p K ] u (a K, x ), u (a K, x ), u (a K, x M ), u 2 (a K, x M ) Beispiel: Das Spiel soll in gemischten Strategien untersucht werden, dh Strategieraum SP = {p = (p,, p K ) : 0 p k k, p + + p K = } Strategieraum SP2 = {q = (q,, q M ) : 0 q m m, q + + q M =} Die Strategien der Spieler sind also Wkts-Vtlgen (Lotterien), SP: p, SP2: q 4 / 24 Indifferenzbedingung (in Bimatrix-Spielen) Satz: Ein Strategienprofil (p, q) ist genau dann ein Nash-GG in gemischten Strategien, wenn gilt: (A) Jeder Spieler ist indifferent zwischen den reinen Strategien, die er mit positiver Wkt spielt (B) Die reinen Strategien, die ein Spieler mit Wkt 0 spielt, stellen ihn nicht besser als die reinen Strategien, die er mit positiver Wkt spielt Veranschaulichung: Betrachte ein gemischtes Nash-GG in einem 2 2-Bimatrix-Spiel Die Bedingung (B) ist dann leer (warum?) Um zu sehen, dass die Indifferenzbedingung (A) für SP gilt, beachte dass man den Erw- Nutzen von SP wie folgt darstellen kann (vgl Argument bei Elfmeter ): U (p, q) = p U (a, q) + p 2 U (a 2, q) Wenn die Indifferenzbedingung (A) verletzt ist, dh wenn U (a, q) U (a 2, q), dann ist die beste Antwort von SP auf q eine reine Strategie: Nämlich R (q) = a, wenn U (a, q) > U (a 2, q) und R (q) = a 2, wenn U (a, q) < U (a 2, q) Ein Nash-GG in gemischten Strategien kann also nur vorliegen, wenn q so gestaltet ist, dass Bed (A) gilt: U (a, q) = U (a 2, q) (und dann ist jedes p von SP eine beste Antwort auf q) 6 / 24

5 3 2-Beispiel zur Indifferenzbedingung (I) Angenommen, SP2 spielt q = ( 2, 2 ) U (b, q) = 0 q + 3 q p 2 + p 2 Kann dieses q Bestandteil eines Nash-GGs (p, q) mit p = (p, p 2, 0) sein? Dazu müsste gelten: (A) U (a, q) = U (b, q) (und dann müsste (B): { der gemeins }} Wert von U { U (c, q) sein) (Außerdem müsste (A) für SP2: U 2 (p, x) = U 2 (p, y) gelten; (B) für SP2 hier leer) U (a, q) = 2 q + 0 q 2 = = U (b, q) = 0 q + 3 q 2 = = 3 2 Bedingung (A) für SP ist verletzt SP profitiert, wenn er b mit Wkt (statt einer anderen Mischng aus a,b) gegen q spielt Ein Stratprofil (p, q) mit q = ( 2, 2 ) und p 3 = 0 kann kein Nash-GG sein 3 2-Beispiel zur Indifferenzbedingung (III) U (b, q) = 0 q + 3 q p 2 + p 2 Wir wollen überprüfen, ob ein Nash-GG (p, q) mit p = (p, 0, p 3 ) existiert Wir wählen q =(q, q 2 ) sd Bed(A) für SP: U (a, q) = U (c, q) erfüllt ist: 2q +0q 2 = q +5q 2 3q = 5q 2 = 5( q ) 8q = 5 q = 5 8 Tatsächlich: Bed (A) für SP ist mit q = ( 5 8, 3 8 ) erfüllt (nur Probe ): U (a, q) = 2 q + 0 q 2 = = 0 8 U (c, q) = q + 5 q 2 = = 0 8 Jetzt Bedingung (B) für SP: U (b, q) = = Zeigt: SP kann nicht profitieren, wenn er Wktsmasse von a und c weg auf b verlegt Damit es ein Nash-GG ist, müssen auch Bed (A) und (B) f SP2 erfüllt sein Bed (A) wird das p des (vermuteten) Nash-GGs (p, q) festlegen, dann (B) checken 7 / 24 9 / Beispiel zur Indifferenzbedingung (II) Angenommen, SP2 spielt q = ( 3 5, 2 5 ) U (b, q) = 0 q + 3 q p 2 + p 2 { wir wählen q gerade so, dass Bed (A) für SP erfüllt ist, siehe unten Kann dieses q Bestandteil eines Nash-GGs (p, q) mit p = (p, p 2, 0) sein? U (a, q) = 2 q + 0 q 2 = = 6 5 U (b, q) = 0 q + 3 q 2 = = 6 5 Bedingung (A) für SP ist erfüllt Wir haben q gerade so gewählt, dass Bed (A) für SP mit p = (p, p 2, 0) erfüllt ist: U (a, q) =! U (b, q) 2q = 3q 2 = 3( q ) = 3 3q 5q = 3 q = 3/5 Aber: U (c, q) = = 7 5 > 6 5 Bedingung (B) ist verletzt Zeigt: SP würde profitieren, wenn er Wktsmasse von a und b weg auf c verlegt 3 2-Beispiel zur Indifferenzbedingung (III Forts) U (b, q) = 0 q + 3 q p 2 + p 2 Gesehen: Bed (A) für SP mit p = (p, 0, p 3 ) äq zu: q = ( 5 8, 3 8 ) und: Bed (B) für SP mit diesem q erfüllt Wir bestimmen p, p 3 aus Bed (A) für SP2: U 2 (p, x) = U 2 (p, y): p +3p 3 = 3p +0p 3 2p = 3p 3 = 3( p ) 5p = 3 p = 3 5 Tatsächlich: Bed (A) für SP2 mit p = ( 3 5, 0, 2 5 ) erfüllt (nur Probe ): U 2 (p, x) = p + 2 p p 3 = = 9 5 U 2 (p, y) = 3 p + p = = 9 5 Bedingung (B) für SP2 ist leer (also automatisch erfüllt )! Nash-GG (p, q) gefunden: p = ( 3 5, 0, 2 5 ), q = ( 5 8, 3 8 ) 20 / 24 8 / 24

6 Hat das Beispiel weitere Nash-GGe? Um alle Nash-GGe des Beispiels über den Indifferenzsatz zu finden, müsste man alle Konstellationen von bindenden Nullen in p behandeln Wir haben bereits behandelt: p = (p, p 2, 0) p = (p, 0, p 3 ) Noch zu untersuchen wäre (als Übungsaufgabe): p = (0, p2, p 3 ) mit p 2 > 0, p 3 > 0 und p 2 + p 3 = p = (p, p 2, p 3 ) mit p > 0, p 2 > 0, p 3 > 0 und p + p 2 + p 3 = p = (, 0, 0) p = (0,, 0) p = (0, 0, ) Normalerweise (aber nicht immer) hat man in einem gemischten Nash-GG (p, q) genauso viele von Null verschiedene Wkten in p wie in q Dh hier: Es wäre ein Ausnahmefall, wenn ein Nash-GG (p = (p, p 2, p 3 ), q) mit p > 0, p 2 > 0, p 3 > 0 existiert, da q max 2 Wkten 0 haben kann und die Nash-GGe, die man in den Fällen p = (, 0, 0),, p = (0, 0, ) findet, sind normalerweise gerade die Nash-GGe in reinen Strategien des SPs Allgemeine Indifferenzbedingung Satz: Ein Strategienprofil p = (p (),, p (n) ) ist genau dann ein Nash-GG des Spiels in gemischten Strategien, wenn für jeden Spieler gilt: (A) SPi ist indifferent in allen reinen Strategien, die er mit positiver Wkt spielt; (B) SPi hat keine reine Strategie, die ihn strikt besser stellt Anmerkung: Gegeben ein Nash-GG (p (),, p (n) ), sei A i die Anzahl reiner Strategien, die Spieler i mit positiver Wkt spielt (zw denen SPi also indifferent ist) Normalerweise (aber nicht immer) ist diese Zahl die gleiche für jeden Spieler: A i = A ( A i hängt vom Nash-GG, aber nicht vom Spieler ab ): ZB: Jeder Spieler hat gleich viele Strategien K i = K: Dann treten normalerweise nur Nash-GGe auf, bei denen für jeden Spieler A = Wkten positiv sind: Nash-Gleichgewicht in reinen Strategien A = K Wkten positiv sind: Vollständig gemischtes Nash-GG Das gilt nur idr Der Indifferenzsatz erfasst auch die Ausnahmefälle 2 / / 24 Gemischte Strategien in Spielen mit n > 2 Spielern Betrachte nun Spiele mit n 2 Spielern unter der Einschränkung: Jeder Spieler hat nur endlich viele reine Strategien (sonst technisch aufwändiger) Spieler i habe K i < reine Strategien s (i),, s(i) K i Eine gemischte Strategie von Spieler i ist eine Wkts-Verteilung p (i) = (p (i),, p(i) K i ), wobei p (i) k [0, ], Ki k= p(i) k = Der Strategieraum (Raum der gemischten Strategien) von Spieler i ist die Menge all dieser WktsVtlngen Spezialfall p (i) k = entspricht der reinen Strategie s(i) k Nutzen von Spieler i als sein Erwartungsnutzen: U i (p (),, p (n) ) = K K n k = k n = p() k p (n) ( () k n u i s k,, s (n) ) k n Entscheidend: Spieler wählen ihre Strategien unabhängig voneinander Wkt für Ereign (s () k,, s (n) k n ) = Produkt der individ Wkten über Spieler Begriffe wie Strategienprofil (in gemischten Strategien) und Nash-GG (in gemischten Strategien) müssen wir nicht nochmal definieren, da bereits für beliebige Strategieräume und Nutzenfunktionen definiert 22 / 24 Zusammenfassender Vgl der beiden Methoden Zur Ermittlung (oder Verifikation) von Nash-GGen in gemischten Strategien wurden zwei Methoden behandelt: Methode : Reduktion auf stetige Strategien: Man eliminiert für jeden Spieler eine Wkt durch minus Summe der anderen Wkten und betrachtet das Spiel in gemischten Strategien als Spiel auf den stetigen Strategieräumen [0, ] K i mit differenzierbaren Nutzenfunktionen Dabei muss man jedoch vorsichtig sein mit der Anwendung der BedOrdn, da die Bed2Ordn hier systematisch verletzt ist Vorteilhaft (und praktikabel) ist die Methode im Fall von 2 2-Bimatrix-Spielen, da man dann die Reaktionsfunktionen der Spieler ermitteln kann und so ein gutes Verständnis der Nash-GGe erhält Methode 2: Anwendung des Indifferenzsatzes: Ein Vorteil dieser Methode ist, dass sie eine allgemeine Charakterisierung gemischter Nash-Gleichgewichte gibt Die Bestimmung aller Nash-Gleichgewichte mit dieser Methode ist allerdings (bereits in 3 2 oder 3 3 Matrixspielen) ein aufwändiges Unterfangen Dagegen ist es mit dieser Methode relativ einfach einen Kandidaten für ein Nash-GG als solches zu verifizieren oder zu falsifizieren Im Vgl zur Methode hat diese Methode den Nachteil, dass man nur Nash-GGe ermittelt (oder widerlegt), aber weniger leicht versteht, warum ein Nash-GG entstanden ist (was mit der Meth allerdings auch nur in einfachen Spielen gelingt) 24 / 24