KAP 3. Spiele mit mehr als zwei Spielern. Wir verallgemeinern BiMatrix Spiele auf beliebig viele Spieler. Es gibt nun n Spieler i = 1,...

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1 1 KAP 3. Spiele mit mehr als zwei Spielern Wir verallgemeinern BiMatrix Spiele auf beliebig viele Spieler Es gibt nun n Spieler i = 1,..., n Eine typische Strategie für SPi bezeichnen wir mit s i... S i ist die Menge aller möglichen Strategien von SP i Ein Tupel s = (s 1,..., s n ) heiÿt Strategienprol S = S 1... S n ist die Menge aller Strategienprole Wird das Strategienprol s = (s 1,..., s n ) gespielt, so erhält SPi den Nutzen u i (s 1,..., s n )

2 2 Normalform Denition Ein Spiel G in Normalform (auch: Strategieform) besteht aus den folgenden 3 Elementen: Einer Menge von Spielern i I = {1,..., i,...n} Einem Strategienraum S i für jeden Spieler i Einer Nutzenfunktion für jeden Spieler: u i : S 1... S n R, (s 1,..., s n ) u i (s 1,..., s n ) Schreibweise: G = (I, S 1,..., S n, u 1,..., u n ) Oder: G = (S i, u i ) n i=1

3 Notationen 3 Häug sind wir daran interessiert, was sich verändert, wenn nur i seine Strategie ändert,... alle anderen Spieler aber ihre Strategien beibehalten Für ein solches Strategienprol der Gegenspieler von i schreiben wir s i = (s 1,..., s i 1, s i+1,..., s n ) Damit: u i (s i, s i ) = Nutzen von SPi, wenn er s i gegen s i spielt Entsprechend sei S i = S 1... S i 1 S i+1... S n die Menge aller Strategienprole ohne Strategie von SP i

4 Dominanz 4 Das Dominanzkonzept überträgt sich auf allgemeine Normalformenspiele: Denition Sei G ein Spiel in Normalform. Eine Strategie ŝ i S i heisst strikt dominiert, wenn es eine andere Strategie s i S i gibt, so dass u i (ŝ i, s i ) < u i (s i, s i ) für alle s i S i Entsprechend übertragen sich Wiederholte El. strikt dominierter Strategien und Dominanzlösung

5 5 Beispiel: Soziales Dilemma Es gibt n Spieler, die in ein öentliches Gut investieren können: S i = {0, 1}, s i = 1 investieren, s i = 0 nicht inv. Das öentliche Gut hat für jeden Spieler einen Wert von: q(s) = α (s s n ) Investieren kostet s i. Also individueller Nutzen von SPi: u i (s i, s i ) = q(s) s i Nimm an: 1/n < α < 1

6 6 Soziales Optimum Das Soziale Optimum ist deniert als das Strategienprol s welches die Gesamtwohlfahrt W maximiert: W (s) = n u i (s) = nq(s) n i=1 i=1 Oensichtlich hängt W nur davon ab, wie viele SP investieren,... und nicht, wer. Wenn k Spieler investieren: W = nαk k = (nα 1)k Also: k = n ist sozial optimal, denn nα > 1 s i

7 7 Dominanzlösung Beachte: s i = 1 ist strikt dominiert, denn für alle s i : u i (1, s i ) = α j i s j + α 1 u i (0, s i ) = α j i s j Da α < 1 per Annahme, folgt: u i (1, s i ) < u i (0, s i ) Also: s i = 0 für alle i ist Dominanzlösung! Fazit: Im sozialen Optimum sollte jeder investieren Unter der Dominanzlösung investiert niemand

8 8 Beispiel: Teamproblem Es gibt n Spieler i = 1,..., n. Jeder Spieler wählt ein Anstrengungsniveau aus S i = [0, ). Ein Strategienprol s generiert den Output y(s) = s s n + g s 1... s n mit g 0 Anstrengung s i verursacht für SPi Kosten von c i (s i ). Der Output wird gleichmäÿig unter den Spielern geteilt: u i (s 1,..., s I ) = 1 n y(s) c i(s i )

9 9 KAP 4. Schwache Dominanz Man kann das Dominanzkonzept leicht abschwächen um schärfere Prognosen zu bekommen. Man kann unterstellen, dass die Spieler nicht nur... keine strikt dominierten Strategien spielen sondern auch keine schwach dominierten

10 10 Schwache Dominanz x y z a 0,0 0,5 3,2 b 2,1 0,0 4,0 Es gibt kein strikt dominierten Strategien! Aber betrachte Strategie a von SP1: gegen alle Strategien von SP2 ist b mindestens gleich gut wie a und gegen x oder z ist b sogar strikt besser als a Wir sagen: a ist schwach dominiert durch b

11 Denition Sei G ein Spiel in Normalform. Eine Strategie ŝ i S i heisst schwach dominiert, wenn es eine andere Strategie s i S i gibt, so dass u i (ŝ i, s i ) u i (s i, s i ) für alle s i S i (1) u i (ŝ i, s i ) < u i (s i, s i ) für mindestens ein s i S i (2) 11 Bemerkung: Analog zur wiederholten Elim. strikt dominierter Strategien können wir nun schwach dominierte Strategien eliminieren dies führt im allgemeinen zu einer stärkeren Einschränkung der möglichen Spielausgänge

12 Wiederholte Eliminierung schwach dominierter Strategien x y z a 0,0 0,5 3,2 b 2,1 0,0 4, 0 12 Runde 1: Runde 2: Runde 3: Runde 4: c 1, 1 2,0 1,3 a ist schwach dominiert durch b y ist schwach dominert durch z c ist strikt dominiert durch b z ist strikt dominiert durch x Also: (b, x) ist schwache Dominanzlösung Beachte: Alle Strategien überleben Wdh. El. strikt dom. St.

13 13 Schwache Dominanz und Rationalität x y a 2,0 2,0 b 0,3 0,1 b is strikt dominiert durch a, y schwach dominiert durch x Also wird SP1 a spielen dann ist SP2 aber indierent zwischen x und y er könnte also auch seine schwach dominierte Strategie spielen Rationalität allein impliziert also streng genommen nicht dass keine schwach dominierten Strategien gespielt werden Schwache Dominanz ist eher Plausibilitätskriterium

14 14 Zweitpreisauktion Die Zweitpreisauktion ist ein oft verwendetes Auktionsverfahren z.b. ebay verwendet eine Version einer Zweitpreisauktion Auktionsregel: Das höchstes Gebot gewinnt Der Gewinner zahlt das zweithöchste Gebot Zweitpreisauktion ist schwach dominanzlösbar!

15 15 Zweitpreisauktion Es gibt ein Auktionsobjekt und n Spieler (Bieter) Die Bewertung des Objektes von SPi sei v i > 0 Jeder SP kann ein (nicht negatives)gebot abgeben: S i = [0, ) Falls s i > s j für alle j i, dann u i (s i, s i ) = v i max{s i,..., s i 1, s i+1,..., s n } Falls s i < s j für ein j i, dann: u i (s i, s i ) = 0 Falls s i = s j für ein j i und s i s k für alle k, dann wird gelost Bsp: n = 2, s 1 = 3, s 2 = 5. SP2 gewinnt und u 2 = v 2 3.

16 16 Zweitpreisauktion Behauptung: Bieten der eigenen Wertschätzung ist schwach dominante Strategie, d.h.: Jede Strategie s i v i ist schwach dominiert durch die Strategie s i = v i. Vorteil der Zweitpreisauktion: Einfach zu spielen