Das Gefangenendilemma (Prisoner s Dilemma)

Transkript

1 SPIELTHEORIE

2 Das Gefangenendilemma (Prisoner s Dilemma) 2 Zwei Herren (Braun und Blau) haben eine Bank überfallen. Der Sheriff hat sie gefasst, kann aber nur ein minder schweres Verbrechen nachweisen (unerlaubter Waffenbesitz). Die beiden Herren sitzen in getrennten Zellen und bekommen unabhängig voneinander den folgenden Vorschlag vom Sheriff: Wenn ihr beide schweigt, werdet ihr nur wegen unerlaubtem Waffenbesitz verurteilt (Auszahlungen von - 1); Wenn nur einer gesteht, wird er freigelassen und der andere bekommt eine lange Gefängnisstrafe (Auszahlung von - 9); Wenn ihr beide gesteht, werdet ihr milde bestraft (Auszahlungen von - 6). Braun NG G Blau NG G -1, -1-9, 0 0, -9-6, -6

3 Beschreibung eines Spiels 3 Identifizierung der Spieler, die den noch zu definierenden Spielregeln unterworfen werden. Spiel = System von Regeln über zulässige Entscheidungen (Aktionen) der Spieler, (externe) Zufallsentscheidungen, Reihenfolge der Entscheidungen, Informationslage der Spieler, Ende des Spiels, Auszahlung als Bewertung einer realisierten Endsituation (in Abhängigkeit der getroffenen Entscheidungen).

4 Beschreibung eines Spiels 4 Verhaltenshypothese: Jeder Spieler ist bestrebt seine Auszahlung zu maximieren (in Kenntnis der Regeln des Spiels und dem Wissen, dass alle Mitspieler diese Regeln kennen). Common-Knowledge-Annahme: Die Regeln des Spiels sind allen Spielern bekannt, und alle wissen, dass diese allen bekannt sind. Ebenso wissen alle, dass allen bekannt ist, dass dies alle wissen, etc. ad infinitum.

5 Spiele in Normalform 5 Ein Spiel in Normalform ist durch 3 Elemente beschrieben: die Spieler, ihre Aktions- (bzw. Strategie-) Mengen und ihre Auszahlungsfunktionen. N = {1, 2,, n} Spielermenge, S = S 1 S 2 S n die Menge der (zulässigen) Strategiekombinationen s = (s 1, s 2,, s n ), wobei S i die Strategiemenge von Spieler i N darstellt, u 1, u 2,, u n Auszahlungsfunktionen, wobei u i : S R die Auszahlungsfunktion von Spieler i N ist, die seine Auszahlung bei der Wahl der Strategiekombination s = (s 1, s 2,, s n ) S angibt.

6 Spiele in Normalform 6 Bemerkungen: s i S i heißt auch reine Strategie für Spieler i s = (s 1, s 2,, s n ) wird oft zerlegt in s i Aktion von Spieler i und s -i = (s 1, s 2,, s i-1, s i+1,, s n ) Aktionen aller übrigen Spieler außer i, d.h. s i S i und s -i S -i = S 1 S 2 S i-1 S i+1 S n Gefangenendilemma N = {Braun, Blau}; S Braun = S Blau = {G, NG}; u Braun (NG, NG) = - 1, u Braun (G, NG) = 0, u Braun (NG, G) = - 9, u Braun (G, G) = - 6; u Blau (NG, NG) = - 1, u Blau (G, NG) = - 9, u Blau (NG, G) = 0, u Blau (G, G) = - 6.

7 7 Anderes (Bei)Spiel: Kopf oder Zahl (Matching Pennies) Von zwei Spielern hat jeder eine Münze; Jeder Spieler muss die Münze entweder mit Kopf oder Zahl nach oben auf einen Tisch legen; Die Spieler machen dies gleichzeitig; Zeigen die beiden Münzen die selben Zeichen, gewinnt Spieler 1; zeigen sie verschiedene, so gewinnt Spieler 2; Sie spielen um 10 Euro. Spieler 2 Kopf Zahl Spieler 1 Kopf Zahl 10, , 10-10, 10 10, -10

8 Anderes (Bei)Spiel: Kopf oder Zahl 8 N = {Spieler 1, Spieler 2}; S 1 = S 2 = {Kopf, Zahl}; u 1 (Kopf, Kopf) = u 1 (Zahl, Zahl) = u 2 (Kopf, Zahl) = u 2 (Zahl, Kopf) = 10; u 1 (Kopf, Zahl) = u 1 (Zahl, Kopf) = u 2 (Kopf, Kopf) = u 2 (Zahl, Zahl) = - 10.

9 9 Anderes (Bei)Spiel: Kampf der Geschlechter (Battle of the Sexes) Sven und Tina müssen entscheiden, wie sie den heutigen Abend verbringen und haben die Wahl zwischen ins Kino gehen und ins Stadion gehen. Zum Zeitpunkt der Entscheidung befinden sich Sven und Tina in verschiedenen Städten ohne jede Möglichkeit zu kommunizieren. Beide wissen das folgende: Beide würden gerne den Abend gemeinsam verbringen. Sven zieht vor ins Stadion zu gehen. Tina zieht vor ins Kino zu gehen. Stadion Sven Kino Tina Stadion Kino 2, 1 0, 0 0, 0 1, 2

10 Anderes (Bei)Spiel: Kampf der Geschlechter 10 N = {Sven, Tina}; S Sven = S Tina = {Stadion, Kino}; u Sven (Stadion, Stadion) = u Tina (Kino, Kino) = 2; u Sven (Kino, Kino) = u Tina (Stadion, Stadion) = 1; u i (Stadion, Kino) = u i (Kino, Stadion) = 0 für i {Sven, Tina}.

11 Letztes (Bei)Spiel: Das Duopol von Cournot 11 Zwei Firmen (1 und 2) produzieren das gleiche Gut. Die entsprechenden Mengen sind q 1 und q 2. Jede Firma wählt ihre Menge, ohne zu wissen, welche Menge die andere Firma gewählt hat. Preisabsatzfunktion: P(Q) = a Q, wobei Q = q 1 + q 2. Kostenfunktionen: C i (q i ) = cq i für i {1, 2}. Die Normalform: Spielermenge: {Firma 1, Firma 2} Strategiemengen: S 1 = [0, + ), S 2 = [0, + ) Auszahlungsfunktionen: u 1 (q 1, q 2 ) = P(Q)q 1 cq 1 = q 1 (a (q 1 + q 2 ) c) u 2 (q 1, q 2 ) = P(Q)q 2 cq 2 = q 2 (a (q 1 + q 2 ) c)

12 Dominante Strategien 12 Eine Strategie s i S i dominiert die Strategie s i S i, für Spieler i, falls u i (s i, s -i ) > u i (s i, s -i ) für alle s -i S -i. Eine Strategie s i * S i ist dominant für Spieler i, falls u i (s i*, s -i ) > u i (s i, s -i ) für alle s i s i * und für alle s -i S -i. Eine Strategie s i S i dominiert schwach die Strategie s i S i, für Spieler i, falls u i (s i, s -i ) u i (s i, s -i ) für alle s -i S -i und u i (s i, s -i ) > u i (s i, s -i ) für zumindest ein s -i S -i. Eine Strategie s i * S i ist schwach dominant für Spieler i, falls u i (s i*, s -i ) u i (s i, s -i ) für alle s i s i * und für alle s -i S -i und u i (s i*, s -i ) > u i (s i, s -i ) für einige s -i S -i.

13 Dominante Strategien 13 Rationalitätsforderung: Benutze nie eine dominierte Strategie! Vorsicht: Es kann dominierte Strategien geben, ohne dass eine Strategie selbst (gegen alle andere) dominant ist! Ein Spiel ist dominant lösbar, wenn jeder Spieler (genau) eine dominante Strategie besitzt (Gleichgewicht in dominanten Strategien).

14 Das Gefangenendilemma ist dominant lösbar 14 Beweis: Es muss gezeigt werden, dass jeder Spieler eine dominante Strategie hat. Spieler Braun: G dominiert NG, da u Braun (G, NG) = 0 > - 1 = u Braun (NG, NG), d.h. falls Blau NG spielt, ist G besser für Braun als NG, und u Braun (G, G) = - 6 > - 9 = u Braun (NG, G), d.h. falls Blau G spielt, ist G besser für Braun als NG. Spieler Blau: G dominiert NG. Das Gleichgewicht in dominanten Strategien ist (G, G) mit Auszahlungen (- 6, - 6). Braun NG G Blau NG G -1, -1-9, 0 0, -9-6, -6

15 15 Das Kampf der Geschlechter - Spiel ist nicht dominant lösbar Keine dominante Strategie für Sven: u Sven (Stadion, Stadion) = 2 > 0 = u Sven (Kino, Stadion), u Sven (Kino, Kino) = 1 > 0 = u Sven (Stadion, Kino). Keine dominante Strategie für Tina: u Tina (Stadion, Stadion) = 1 > 0 = u Tina (Stadion, Kino), u Tina (Kino, Kino) = 2 > 0 = u Tina (Kino, Stadion). Sven Stadion Kino Stadion Tina Kino 2, 1 0, 0 0, 0 1, 2

16 16 Wiederholtes Eliminieren dominierter Strategien Der Grundsatz, dass ein Spieler nie eine dominierte Strategie benutzen sollte, kann iterativ zur Lösung von Spielen benutzt werden: Falls eine Strategie dominiert wird, eliminiere sie! (Die Komplexität des Spiels wird dadurch reduziert) Falls eine Strategie im reduzierten Spiel dominiert wird, eliminiere sie! Mach weiter so!

17 17 Wiederholtes Eliminieren dominierter Strategien Spieler 1 Oben Unten Spieler 2 Links Mitte Rechts 1, 0 1, 2 0, 1 0, 3 0, 1 2, 0 Spieler 1 Oben Unten Spieler 2 Links Mitte 1, 0 1, 2 0, 3 0, 1

18 18 Wiederholtes Eliminieren schwach dominierter Strategien Spieler 1 Oben Unten Links Spieler 2 Rechts 3, 2 2, 2 0, 0 1, 1 Links Spieler 2 Rechts Spieler 1 Oben Unten 3, 2 2, 2 0, 0 1, 1

19 19 Wiederholtes Eliminieren schwach dominierter Strategien Das Ergebnis hängt von der Reihenfolge des Eliminierens ab! Es gibt Spiele, in denen es keine (schwach) dominierten Strategien gibt (Kampf der Geschlechter). Nash-Gleichgewicht.

20 Beste Antworten: Ein Beispiel 20 Spieler 1 Spieler 2 L M R O 0, 4 4, 0 3, 3 M 4, 0 0, 4 3, 3 U 3, 3 3, 3 3.5, 3.6 M ist die beste Antwort von Spieler 1 auf die Strategie L von Spieler 2; O ist die beste Antwort von Spieler 1 auf die Strategie M von Spieler 2; U ist die beste Antwort von Spieler 1 auf die Strategie R von Spieler 2. L ist die beste Antwort von Spieler 2 auf die Strategie O von Spieler 1; M ist die beste Antwort von Spieler 2 auf die Strategie M von Spieler 1; R ist die beste Antwort von Spieler 2 auf die Strategie U von Spieler 1.

21 Beste Antworten: Kampf der Geschlechter 21 Die Strategie a ist die beste Antwort von Spieler 1 auf die Strategie a von Spieler 2; Die Strategie b ist die beste Antwort von Spieler 1 auf die Strategie b von Spieler 2. Die Strategie a ist die beste Antwort von Spieler 2 auf die Strategie a von Spieler 1; Die Strategie b ist die beste Antwort von Spieler 2 auf die Strategie b von Spieler 1. Die Strategiekombinationen (a, a) und (b, b) bestehen aus Strategien, die gegenseitig beste Antworten sind. Spieler 1 a b Spieler 2 a b 2, 1 0, 0 0, 0 1, 2

22 Beste Antworten und Nash-Gleichgewicht 22 Eine Strategie s i S i ist (eine) beste Antwort für Spieler i auf die Strategien s -i S -i der anderen Spieler, falls u i (s i, s -i ) u i (s i, s -i ) für alle s i S i. b i (s -i ) = {s i S i : u i (s i, s -i ) u i (s i, s -i ) s i S i }. Eine Strategiekombination s * = (s 1 *, s 2 *,, s n *) ist ein Nash- Gleichgewicht, falls für alle i = 1, 2,, n gilt: u i (s i *, s -i *) u i (s i, s -i *) für alle s i S i. d.h., s i * b i (s -i *) für alle i = 1, 2,, n. Beispiel (n = 2): s * = (s 1 *, s 2 *) ist ein Nash-Gleichgewicht, falls u 1 (s 1 *, s 2 *) u 1 (s 1, s 2 *) für alle s 1 S 1 (s 1 * ist beste Antwort auf s 2 *), u 2 (s 1 *, s 2 *) u 2 (s 1 *, s 2 ) für alle s 2 S 2 (s 2 * ist beste Antwort auf s 1 *).

23 23 Beste Antworten im Gefangenendilemma- Spiel b 1 (NG) = G und b 1 (G) = G, b 2 (NG) = G und b 2 (G) = G. Nur die Strategiekombination (G, G) besteht aus Strategien, die gegenseitig beste Antworten sind, d.h. das einzige Nash-Gleichgewicht in diesem Spiel ist (G, G). Spieler 1 NG G Spieler 2 NG G -1, -1-9, 0 0, -9-6, -6

24 24 Wiederholtes Eliminieren dominierter Strategien und Nash-Gleichgewichte Spieler 1 Oben Unten Links Spieler 2 Mitte Rechts 1, 0 1, 2 0, 1 0, 3 0, 1 2, 0 Spieler 1 Oben Unten Spieler 2 Links Mitte 1, 0 1, 2 0, 3 0, 1

25 25 Wiederholtes Eliminieren dominierter Strategien und Nash-Gleichgewichte Spieler 1 Spieler 2 L M R O 0, 4 4, 0 3, 3 M 4, 0 0, 4 3, 3 U 3, 3 3, 3 3.5, 3.6

26 Das Elfmeterduell 26 Zwei Spieler: Spieler 1 (= Schütze) und Spieler 2 (= Torwart). Die Strategiemengen sind für beide Spieler gleich: L (linke Ecke) und R (rechte Ecke). Die Auszahlungen sind wie in der Matrix angegeben. b 1 (L) = R und b 1 (R) = L, b 2 (L) = L und b 2 (R) = R. Kein Nash-Gleichgewicht in reinen Strategien! L Spieler 2 R Spieler 1 L R 0, 1 1, 0 1, 0 0, 1