Kleines Lexikon der Begriffe*

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1 Kleines Lexikon der Begriffe* Auszahlungsfunktion (payoff function) Eine Funktion, die jedem Strategienprofil einen Auszahlungsvektor zuweist. Der Auszahlungsvektor enthält für jeden Spieler einen Wert (Auszahlung, Nutzen). Beispiel (Normalform 1b): Wird das Strategienprofil (C, DC) realisiert, erhält Spieler 1 zwei und Spieler 2 vier Auszahlungseinheiten (Auszahlungsvektor (2, 4)). Die Auszahlungen sind in der Regel ordinale oder kardinale Nutzenwerte. Beste Antwortstrategie (best response strategy) Die Strategie eines Spielers, die unter den für ihn verfügbaren Strategien die höchste Auszahlung ergibt, gegeben ein Strategienprofil der Mitspieler. In Beispiel 1a) wählt Spieler 1 z. B. C. Dann ist die Strategie DC von Spieler 2 eine «beste Antwort». Common Knowledge Die Informationen über Spielregeln und Auszahlungen, über die die Spieler vor Beginn des Spiels verfügen. Dazu zählen auch Kenntnisse über die Informationen, die die Mitspieler haben. Dominierende Strategie (dominant strategy) Ergibt für jedes Strategienprofil der Mitspieler immer eine höhere oder mindestens gleich hohe Auszahlung im Vergleich zu allen alternativen Strategien des Spielers. Ist die Auszahlung immer höher, ist die Strategie strikt dominierend. Im Beispiel 1 hat Spieler 1 keine dominierende Strategie. Spieler 2 hat eine dominierende Strategie, nämlich DC. Diese ist allerdings nicht strikt dominierend (siehe Normalform 1b). Im Beispiel 2 hat keiner der Spieler eine dominierende Strategie. * Die Beispiele, auf die in einigen Begriffserklärungen Bezug genommen wird, finden sich am Ende des «Kleinen Lexikons». 231

2 Effizienz Pareto-Optimum Evolutionär stabile Strategie (evolutionary stable strategy, ESS) Von Maynard-Smith und Price vorgeschlagenes Kriterium, das bei der Anwendung der Spieltheorie auf evolutionäre Prozesse grundlegend ist. Eine Strategie ist evolutionär stabil, wenn sie nicht von einer anderen Strategie (einer Mutante) unterwandert werden kann. Dafür muss eine von zwei Bedingungen erfüllt sein. 1. Die «Einheimischen» (I) erhalten bei einer Begegnung untereinander im Durchschnitt mehr als eine Mutanten-Strategie (J) gegen eine einheimische Strategie. 2. Falls die Einheimischen untereinander genau so viel erhalten wie eine Mutanten-Strategie gegen eine einheimische Strategie, muss gelten: Die einheimische Strategie bekommt bei einer Interaktion mit einem Eindringling (einer Mutante) mehr, als die eindringenden Strategien untereinander erhalten. Formal: 1. E (I, I) > E (J, I). 2. Falls E (I, I) = E (J, I) soll gelten: E (I, J) > E (J, J). Gemischte Strategie (mixed strategy) Ein Spieler verfügt über m (reine) Strategien. Jeder Strategie wird eine Wahrscheinlichkeit p (0 p 1 und p = 1) zugewiesen. Die Entscheidung über die Auswahl der Strategie wird mit Hilfe des gewählten Zufallsmechanismus getroffen. Beispiel: Spieler 1 wählt C mit Wahrscheinlichkeit 0,75 und D mit Wahrscheinlichkeit 0,25. Eine reine Strategie ist der Spezialfall einer gemischten Strategie, bei der eine Alternative mit Wahrscheinlichkeit eins gewählt wird. Information, perfekte (perfect information) Bei einem Spiel mit perfekter Information enthält jeder Informationsbezirk genau einen Entscheidungsknoten. Ein Spieler, der am Zug ist, kennt immer den vorangehenden Zug des Mitspielers. Schach, Dame, Mühle sind Spiele mit perfekter Information. Beispiel 1 ist ein Spiel mit perfekter Information, nicht dagegen Beispiel 2. Information, unvollständige (incomplete information) Bei unvollständiger Information hat mindestens ein Spieler keine voll- 232

3 ständige Kenntnis der Auszahlungen. Ein typischer Fall ist asymmetrische Information. Der Spieler kennt seine Auszahlungen, aber nicht die Präferenzen der Mitspieler. Die Analyse von Spielen mit unvollständiger Information wird gemäß einem Vorschlag von John C. Harsanyi möglich, indem man Typen von Spielern mit unterschiedlichen Auszahlungen einführt. Die Auszahlungen für jeden Spieler-Typus sind bekannt. Ein Spieler weiß aber nicht, welchen Typ sein Spielpartner aufweist. Er kennt nur die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Typen, aus der die «Natur» einen Typus als Mitspieler auswählt. Aus dem Spielverhalten erhält der Spieler Hinweise. Durch «Bayesianisches Updating» werden die Schätzungen der Wahrscheinlichkeiten aktualisiert. Lösung des Spiels ist das «perfekte Bayesianische Gleichgewicht». Information, vollständige (complete information) Bei vollständiger Information kennt jeder Spieler die Auszahlungen an sich selbst und an die Mitspieler. Ein Spiel weist vollständige, aber nicht perfekte Information auf, wenn alle Spieler die Auszahlungen kennen und mindestens ein Informationsbezirk mehr als einen Entscheidungsknoten enthält. Informationsbezirk (information set) Ein Informationsbezirk umfasst eine Menge von Knoten auf einer Entscheidungsebene. Der Spieler, der am Zug ist, hat Kenntnis davon, welcher Informationsbezirk im vorhergehenden Zug des Mitspielers erreicht wurde. Er weiß aber nicht, zu welchem Knoten innerhalb des Informationsbezirks der vorhergehende Zug geführt hat. Knoten, die zu einem Informationsbezirk gehören, werden in der graphischen Darstellung des Spielbaums mit einer gestrichelten Linie verbunden (Beispiel 2a). Kooperative Spieltheorie (cooperative game theory) Die Spieler können bindende Verträge abschließen. Die kooperative Theorie befasst sich mit Verhandlungen, der Aufteilung von Ressourcen, Koalitionsbildung u. a. m. Die grundlegende Annahme der nichtkooperativen Spieltheorie lautet, dass einklagbare, sanktionierbare Verträge nicht vorausgesetzt werden können. 233

4 Maximin-Strategie (Maximin strategy) Ein Spieler ermittelt für jede verfügbare Strategie und jedes Strategienprofil der Mitspieler die minimale Auszahlung. Die Strategie, bei der die minimale Auszahlung den höchsten Wert hat, ist die Maximin-Strategie. In Beispiel 1 ist die Maximin-Strategie von Spieler 1 C. Spieler 2 hat die Maximin-Strategien CC und DC (siehe Normalform 1b). Nash-Gleichgewicht (Nash equilibrium) Eine Kombination von Strategien der Spieler, bei der kein Spieler einen Anreiz hat, einseitig von der Wahl seiner Strategie abzuweichen. Die Strategien, die ein Gleichgewicht ergeben, heißen Nash-Gleichgewichtsstrategien. In Beispiel 1 (Normalform 1b) existieren drei Nash-Gleichgewichte: (D, CC), (D, DC) und (C, DD). In Beispiel 2 (Normalform 2b) sind die Nash-Gleichgewichte: (C, D) und (D, C). Man kann ein Nash-Gleichgewicht auch so definieren: ein Strategienprofil, bei dem jede Strategie eine beste Antwortstrategie auf das Strategienprofil der Mitspieler darstellt («wechselseitig beste Antwort»). Nach dem Satz von Nash existiert für jedes Spiel mit endlicher Anzahl reiner Strategien mindestens ein Nash- Gleichgewicht in reinen oder gemischten Strategien. Nullsummenspiele (zero-sum games) Eine Klasse von Spielen, bei denen die Spieler vollständig entgegengesetzte Interessen haben. Bei endlicher Anzahl von Strategien kann das Spiel in Matrixform dargestellt werden. Die Summe der Nutzenwerte von Zeilen- und Spaltenspieler ist in jeder Zelle konstant. Subtrahiert man die Konstante, erhält man die Standardform. Die Summe der Nutzenwerte in jeder Zelle ist null und es genügt daher, nur die Werte des Zeilenspielers einzutragen. Hat das Spiel einen Sattelpunkt, so findet man die Lösung in einem Zeilenminimum, das zugleich ein Spaltenmaximum ist. Spiele ohne Sattelpunkt haben eine Lösung in gemischten Strategien. Nach dem Minimax-Theorem von John von Neumann hat jedes Nullsummenspiel mit endlicher Anzahl von Strategien eine (Gleichgewichts-)Lösung in reinen oder gemischten Strategien. Bei mehreren Gleichgewichten sind die Gleichgewichtsstrategien austauschbar, und die Werte der Gleichgewichte stimmen überein. 234

5 Pareto-Optimum Ein Strategienprofil der Art, dass kein anderes Strategienprofil eine Pareto-Verbesserung erbringt. Bei einer Pareto-Verbesserung würde mindestens ein Spieler eine höhere Auszahlung erhalten, ohne dass die Auszahlung eines anderen Spielers vermindert wird. Ein Pareto-optimales Strategienprofil wird als «effizient» bezeichnet. In Beispiel 1 sind die Strategienprofile (D, CD) und (D, DD) nicht Pareto-optimal. Alle anderen führen zu Pareto-optimalen Auszahlungen. Signalspiele (signaling games) Eine spezielle Klasse von Spielen mit unvollständiger Information. Ein Spieler interagiert mit Mitspielern, deren Typus er nicht kennt. Die Spieler können aber Signale senden, die für den Sender mit Kosten verbunden sind. Anhand der Signale kann der Empfänger durch Bayesianisches Updating die Schätzung der Wahrscheinlichkeit für den Spielpartner-Typus aktualisieren. Von besonderem Interesse ist der Fall eines vollständig separierenden Gleichgewichts. Angenommen, es existieren zwei Typen A und B. Im separierenden Gleichgewicht sendet A ein Signal (weil es sich für Typ A lohnt, die Kosten zu tragen), während B darauf verzichtet. Der Spieler, der das Signal empfängt, kann mit Sicherheit den Typus des Spielers erkennen und seine Strategie darauf abstimmen. Ein vollständig separierendes Gleichgewicht liegt vor, wenn A und B durch das Signal unterschieden werden können und kein Spieler einen Anreiz hat, seine Strategie einseitig zu ändern. Ein Gleichgewicht im Signalspiel, bei dem die Unterscheidung der Typen nicht möglich ist, wird als «pooling equilibrium» bezeichnet. Investitionen in Ausbildung in «Arbeitgeber-Arbeitnehmer-Spielen», die Entstehung sozialer Normen, Investitionen einer Firma in Werbung u. a. m. werden mit Signalspielen zu erklären versucht. Soziales Dilemma (social dilemma) Ein Spiel, dessen Lösung ineffizient ist. Beispiele sind das Gefangenendilemma, das Chickenspiel, das Freiwilligendilemma, Öffentliche- Güter-Spiele u. a. In einem sozialen Dilemma kann es vorkommen, dass zwar genau ein Nash-Gleichgewicht existiert, dieses Gleichgewicht aber 235

6 ineffizient ist (Gefangenendilemma). Oder es kann vorkommen, dass mehrere effiziente Nash-Gleichgewichte vorliegen und die Spieler mit einem Koordinationsproblem konfrontiert sind (Chickenspiel). In einem sozialen Dilemma bringt individuell-rationales Handeln schlechtere Ergebnisse hervor als die theoretische Möglichkeit eines einklagbaren Vertrags unter rational handelnden Akteuren. Spiel in Extensivform (extensive form game) Besteht aus 1. n Spielern, 2. dem Spielbaum und 3. den Auszahlungen an den Endknoten des Spielbaums (Beispiele 1a und 2a). Spiel in Normalform (normal form game) Ein Spiel in Normalform (Strategieform) besteht aus: 1. n Spielern. 2. Eine Strategienmenge für jeden Spieler. 3. Eine Auszahlungsfunktion, die jedem Strategienprofil und jedem Spieler eine Auszahlung zuweist. Bei zwei Spielern (und endlicher Zahl von Strategien) kann man das Spiel in einer Matrix darstellen (Beispiele 1b und 2b). Strategie Ein Spielplan, der festlegt, welche Wahl ein Spieler in jeder denkbaren Situation des Spielablaufs treffen wird. Im Beispiel 1a) haben Spieler 1 und 2 je die zwei Optionen C und D. Im sequenziellen Spiel 1a) mit perfekter Information hat Spieler 1 zwei Strategien C und D, Spieler 2 hat vier Strategien, z. B. die Strategie DC (auf C mit D und auf D mit C antworten). Ein weiteres Beispiel: Bei einem zweizügigen, sequenziellen Spiel mit perfekter Information hat Spieler 1 drei Optionen A, B und C und Spieler 2 vier Optionen a, b, c und d. Spieler 1 hat drei Strategien, Spieler 2 hat 4 3 = 64 Strategien, z. B. bba, d. h., bei A wird b, bei B wird b und bei C wird a gewählt. Im Beispiel 2a) handelt es sich dagegen um ein simultanes Spiel. Die beiden Knoten für Spieler 2 liegen in einem Informationsbezirk. Spieler 2 weiß vor seinem Zug nicht, welche Strategie Spieler 1 gewählt hat, und kann somit auch nicht auf die Strategie von Spieler 1 reagieren. Auch Spieler 2 hat jetzt nur die zwei Strategien C und D. 236

7 Strategienprofil (strategy profile) Das Strategienprofil ist die Kombination der Strategien aller Spieler, wobei jeder Spieler eine bestimmte, verfügbare Strategie gewählt hat. Ein Strategienprofil im Beispiel 1 (siehe 1b) ist: s = (C, CC). (Streicht man im Strategienprofil die Strategie von Spieler i, erhält man das Strategienprofil der Mitspieler aus Sicht von Spieler i.) Teilspiel (subgame) Von einem beliebigen Knoten des Spielbaums werden alle Pfade bis zu den Endknoten markiert. (Gehört der Knoten zu einem Informationsbezirk mit mehreren Knoten, werden alle Pfade berücksichtigt, die von den Knoten im Informationsbezirk zu den Endknoten verlaufen.) Der markierte Ausschnitt des Spielbaums ist ein Teilspiel. In Beispiel 1 mit Extensivform 1a) sind H 1 und H 2 Teilspiele. In Beispiel 2 gibt es kein echtes Teilspiel. Das Teilspiel für Spieler 2 in 2a) ist das vollständige Spiel. Teilspielperfektes Nash-Gleichgewicht (subgame perfect Nash equilibrium = spe) Ein Nash-Gleichgewicht ist teilspielperfekt, wenn das Strategienprofil für die Teilspiele an allen Knoten, die mit einer Wahrscheinlichkeit größer als null erreicht werden können, ebenfalls die Nash-Bedingung erfüllt. In Beispiel 1 gibt es drei Nash-Gleichgewichte. Die beiden Nash-Gleichgewichte (C, DD) und (D, CC) sind nicht teilspielperfekt. Bei ersterem Gleichgewicht müsste Spieler 2 in H 2 Strategie D spielen mit Auszahlung 1. Bei C erhält er dagegen 2 Punkte. Die Nash-Bedingung ist im Teilspiel H 2 nicht erfüllt. Entsprechendes gilt für das Strategienprofil (D, CC). Hier wird die Nash-Bedingung in H 1 verletzt. Dagegen ist das Nash-Gleichgewicht (D, DC) teilspielperfekt. Für H 1 sieht die Strategie die Wahl von D, für H 2 die Wahl von C vor. In beiden Teilspielen wird das Nash-Kriterium erfüllt. Man beachte, dass für das Kriterium der Teilspielperfektheit auch die Teilspiele abseits des Gleichgewichtspfads von Bedeutung sind. Der Grund ist, dass die im Gleichgewicht nicht erreichten Teilspiele den Gleichgewichtspfad häufig erst erzwingen. Teilspielperfektheit ist eng verknüpft mit der Glaubwürdigkeit von Drohungen. Spieler 2 könnte im Beispiel drohen, ein D von Spieler 1 mit D zu ver- 237

8 gelten, um mit dieser Drohung das für ihn günstigere Gleichgewicht (C, DD) durchzusetzen. Die Drohung ist aber nicht glaubwürdig, da Spieler 2 beim Vollzug der Drohung im Teilspiel H 2 das Nash-Kriterium und damit sein Eigeninteresse verletzen würde. Das Kriterium der Teilspielperfektheit wurde von Reinhard Selten in die Literatur eingeführt. Wiederholte Spiele (repeated games) Gegenüber dem einmaligen («one-shot game») verändert sich die strategische Situation, wenn ein Spiel (Basisspiel, «stage game») mehrfach wiederholt (iteriert) wird. Unterschieden werden endlich und unendlich oft wiederholte Spiele. Bei endlich oft wiederholten Spielen ist das Ende einer Spielsequenz vorab bekannt. Werden bei unendlich oft wiederholten Spielen zukünftige Erträge diskontiert, dann summieren sich die Auszahlungen unter üblichen Anforderungen an die Diskontparameter zu einem endlichen Betrag. In der Theorie wiederholter Spiele untersucht man insbesondere, unter welchen Bedingungen kooperative Strategien ein Nash-Gleichgewicht bilden (und weiteren Anforderungen genügen), auch wenn diese Strategien im Basisspiel nicht zu einem Gleichgewicht führen. Mit der Analyse wiederholter Spiele sowie Computersimulationen wird u. a. der Frage nach der «Evolution von Kooperation» nachgegangen. Beispiele für die Begriffserklärungen (sequenzielles und simultanes Chickenspiel): 1a) Extensivform von Spiel 1 2a) Extensivform von Spiel 2 Spieler 1 D Spieler 1 C C D Spieler 2 C D C D C D C D H 1 H 2 3, 3 2, 4 4, 2 1, 1 3, 3 2, 4 4, 2 1, 1 238

9 1b) Normalform von Spiel 1 2b) Normalform von Spiel 2 Spieler 2 Spieler 2 CC CD DC DD C D Spieler 1 C 3, 3 3, 3 2, 4 2, 4 C 3, 3 2, 4 Spieler 1 D 4, 2 1, 1 4, 2 1, 1 D 4, 2 1, 1