Spieltheorie Teil 6. Tone Arnold. Universität des Saarlandes. 25. März 2008

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1 Spieltheorie Teil 6 Tone Arnold Universität des Saarlandes 25. März 2008 Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Spieltheorie Teil März / 104

2 Wiederholte Spiele In vielen Fällen finden Interaktionen wiederholt statt, d.h. ein Spiel wird nicht nur einmal, sondern mehrmals hintereinander gespielt. In solchen Situationen ist es oft ungewiss, wie lange die Interaktion andauern wird. D.h., das Ende des wiederholten Spiels ist nicht vorhersehbar. In jeder Periode besteht eine positive Wahrscheinlichkeit, dass das Spiel noch eine weitere Periode fortgeführt wird. In solchen Fällen spricht man von unendlich oft wiederholten Spielen oder Superspielen. Das grundlegende Spiel, das in jeder Periode wiederholt wird, nennt man Stufenspiel bzw. One Shot Game. Beim Superspiel können in den einzelnen Perioden andere Gleichgewichte gespielt werden als im Stufenspiel. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Spieltheorie Teil März / 104

3 Beispiel: Cournot Duopol Zwei Firmen 1, 2 Strategiemengen: K = Kartellmenge, D = Duopolmenge. Auszahlungen K D K 8, 8 2, 10 D 10, 2 5, 5 Das Stufenspiel ist ein Gefangenendilemma: D ist die dominante Strategie für beide Firmen, das einzige Nash Gleichgewicht ist (D, D). Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Spieltheorie Teil März / 104

4 Beispiel Cournot Duopol Im Stufenspiel ist das einzige GG durch das Cournot Nash GG gegeben. Ein Kartell stellt kein GG dar: Gegeben die Kartellmenge der einen Firma, kann die andere Firma ihren Gewinn erhöhen, indem sie von ihrer Kartellmenge abweicht und ihre Menge erhöht. Im unendlich oft wiederholten Cournot Spiel kann dagegen ein Kartell langfristig stabil sein. Dies erfolgt durch einen Bestrafungsmechanismus: Eine Firma, die vom GG abweicht, wird in den Folgeperioden bestraft. Dann lohnt es sich nicht, zukünftige Erträge wegen eines einmaligen Vorteils auf s Spiel zu setzen. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Spieltheorie Teil März / 104

5 Geschichte des Spiels Jetzt wird das Spiel unendlich oft wiederholt, bzw. auf unbestimmte Zeit gespielt. Definition 1 Die Geschichte des Spiels in Periode t ist ein Protokoll der Spielzüge aller Spieler von Periode 1 bis t 1. Beispiel Geschichte in Periode 4: {(K, K), (K, D), (D, D)}. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Spieltheorie Teil März / 104

6 Superspiel Strategie Definition 2 Eine Strategie eines Spielers ist ein Plan, der für jede Periode t = 1,..., und jede mögliche Geschichte in dieser Periode eine Aktion vorschreibt. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Spieltheorie Teil März / 104

7 Trigger Strategie In der ersten Runde spiele K. In jeder folgenden Runde spiele K, solange der Gegner in allen Vorrunden K gespielt hat, spiele D, falls der Gegner in irgendeiner Runde (mindestens einmal) D gespielt hat. Dies ist eine Bestrafungsstrategie ohne Vergebung: Wenn der Gegner nur ein einziges Mal vom Kartell abweicht, wird er für immer mit D bestraft. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Spieltheorie Teil März / 104

8 Tit for Tat In der 1. Runde spiele K. In jeder folgenden Runde spiele K, falls der Gegner in der Vorrunde K gespielt hat, spiele D, falls der Gegner in der Vorrunde D gespielt hat. Tit for Tat sagt also: Imitiere die Aktion des Gegners in der Vorperiode. Dies ist ein Bestrafungsmechanismus mit Vergebung: Weicht der Gegner einmal ab und spielt D, wird er in der nächsten Runde mit D bestraft. Spielt der Gegner jedoch danach wieder K, so schreibt Tit for Tat auch wieder K vor. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Spieltheorie Teil März / 104

9 Auszahlungen im Superspiel Die Auszahlung eines Spielers im wiederholten Spiel ist der Gegenwartswert des Auszahlungsstroms. Gemeinsamer Diskontfaktor δ [0, 1]. Auszahlung des Spielers i in Runde t: πi t. Gegenwartswert: V i = πi 1 + δπi 2 + δ 2 πi = δ t 1 πi t. t=1 Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Spieltheorie Teil März / 104

10 Nash GG des Superspiels Definition 3 Ein Nash Gleichgewicht im wiederholten Spiel ist eine Strategiekombination, bei der sich kein Spieler durch Abweichen in irgendeiner Periode verbessern kann, gegeben die Strategien der anderen Spieler. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Spieltheorie Teil März / 104

11 Existenz von Nash GG Theorem 4 Hat das Stufenspiel ein Nash Gleichgewicht (s1, s 2 ), so ist die Strategiekombination, bei der in jeder Runde (s1, s 2 ) gespielt wird, ein Nash Gleichgewicht des wiederholten Spiels. Dies gilt sowohl für unendlich als auch für endlich oft wiederholte Spiele. Im wdh. Cournot Duopol ist die Strategiekombination ein Nash Gleichgewicht. ((D, D), (D, D), (D, D),...) Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Spieltheorie Teil März / 104

12 Trigger Strategie Beide Firmen spielen immer nur K. Kann ein Kartell langfristig stabil sein, i.e. kann die Folge von Aktionen ((K, K), (K, K),...) in einem Nash Gleichgewicht des unendlich oft wiederholten Spiels auftreten? Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Spieltheorie Teil März / 104

13 Lohnt das Abweichen? K D K 8, 8 2, 10 D 10, 2 5, 5 Frage: Lohnt es sich für einen Spieler, in einer Periode t abzuweichen und D zu spielen? Vorteil: Einmaliger Gewinn von 10. Nachteil: Verzicht auf zukünftige Kartellgewinne. Was überwiegt? Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Spieltheorie Teil März / 104

14 Spieler 2 weicht ab Spieler 1 spielt Trigger, Spieler 2 weicht in Periode t ab und spielt D ab Periode t: t t t a 1 K K K K D D a 2 K K K D D D Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Spieltheorie Teil März / 104

15 Auszahlung des Spielers 2 Auszahlung von Spieler 2 bei der Trigger Strategie (ohne Abweichen): K D K 8, 8 2, 10 D 10, 2 5, 5 V Trigger 2 = 8 + 8δ + 8δ δ δv Trigger 2 = 8δ + 8δ 2 + 8δ Die Differenz der beiden Gleichungen ergibt (1 δ)v Trigger 2 = 8 V Trigger 2 = 8 1 δ. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Spieltheorie Teil März / 104

16 Abweichen in Periode t t t t a 1 K K K K D D a 2 K K K D D D Auszahlung von Spieler 2 bei Abweichen in Periode t: V D 2 = δ + 5δ δ δv D 2 = 10δ + 5δ2 + 5δ Die Differenz der beiden Gleichungen ergibt (1 δ)v D 2 V D 2 = 10(1 δ) + 5δ 5δ = δ. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Spieltheorie Teil März / 104

17 Abweichen lohnt sich nicht, falls V Trigger 2 V D δ δ 1 δ. Auflösen nach δ ergibt δ 2/5 = 0.4. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Spieltheorie Teil März / 104

18 Ergebnis Zwei Trigger Strategien bilden ein Nash Gleichgewicht, falls der Diskontfaktor gross genug ist, i.e. δ 0.4. In diesem Fall wird im wiederholten Spiel von beiden Spielern immer nur K gespielt, das Kartell ist also stabil. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Spieltheorie Teil März / 104

19 Interpretation Ein grosser Diskontfaktor bedeutet, dass die Zukunft nur geringfügig abdiskontiert wird. D.h. die Zukunft ist wichtig, die Spieler sind geduldig. In diesem Fall haben zukünftige Zahlungen ein hohes Gewicht. Ein Spieler wird die zukünftigen Kartellgewinne nicht wegen eines einmaligen hohen Gewinns durch Abweichen aufs Spiel setzen. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Spieltheorie Teil März / 104

20 Anders bei niedrigem Diskontfaktor: Hier sind die Spieler ungeduldig, die Zukunft wird nur gering bewertet. Der hohe Gewinn durch einmaliges Abweichen ist mehr wert als die zukünftigen Kartellgewinne, so dass sich Abweichen immer lohnt. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Spieltheorie Teil März / 104

21 Bsp. Tit for Tat K D K 8, 8 2, 10 D 10, 2 5, 5 Lohnt es sich für Spieler 2, in einer Periode t abzuweichen und D zu spielen? Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Spieltheorie Teil März / 104

22 Es gibt verschiedene Möglichkeiten des Abweichens von der Tit for Tat Strategie. Zwei Beispiele: 1. Spiele D in Periode t ab und spiele dann für immer D. Dies ist analog zum Abweichen von der Trigger Strategie, i.e. diese Art von Abweichen lohnt nicht für δ 0.4. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Spieltheorie Teil März / 104

23 2. Spiele D in Periode t, dann spiele C in Periode t + 1. t t t a 1 K K K K D K a 2 K K K D K K Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Spieltheorie Teil März / 104

24 Auszahlungen des Spielers 2 (in Perioden t und t + 1): bei Tit for tat 8 + 8δ, bei Abweichen δ. Diese Art des Abweichens lohnt nicht, falls 8 + 8δ δ δ 1/ Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Spieltheorie Teil März / 104

25 Die erste Art des Abweichens erfordert einen höheren Diskontfaktor (die Bedingung ist restriktiver). Daher gilt: Zwei Tit for Tat Strategien bilden ein Nash Gleichgewicht, falls δ 0.4. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Spieltheorie Teil März / 104

26 Folk Theoreme Wie man sieht, können in unendlich oft wiederholten Spielen im Nash GG pro Periode andere Kombinationen von Auszahlungen erreicht werden als im Stufenspiel. Frage: Können alle möglichen Kombinationen von Auszahlungen in einem Nash GG erreicht werden? Nein, nur solche, die individuell rational sind. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Spieltheorie Teil März / 104

27 Individuell rationale Auszahlungen Wenn Spieler 1 in jeder Periode D spielt, kann er sich eine Auszahlung von mindestens 5 (im Durchschnitt) in jeder Periode garantieren (D ist die maximin Strategie). In einem Nash GG muss jeder Spieler im Durchschnitt mindestens eine Auszahlung in Höhe seiner maximin Auszahlung bekommen. Definition 5 Auszahlungen, die mindestens so gross sind wie die maximin Auszahlung, heissen individuell rational. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Spieltheorie Teil März / 104

28 Individuell rationale Strategien im Cournot Duopol 10 π 1 K D K 8, 8 2, 10 D 10, 2 5, π 2 Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Spieltheorie Teil März / 104

29 Folk Theorem Theorem 6 In einem unendlich oft wiederholten Spiel kann jede Kombination von individuell rationalen, erreichbaren Auszahlungen als durchschnittliche Auszahlungen in einem Nash GG erreicht werden, wenn der Diskontfaktor gross genug ist. Theorem 7 Für jedes Paar von individuell rationalen Auszahlungen gibt es einen Diskontfaktor δ 0 [0, 1], so dass für jedes δ δ 0 ein Nash GG existiert, in dem diese Auszahlungen im Durchschnitt pro Periode erreicht werden. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Spieltheorie Teil März / 104

30 Durchschnittliche Auszahlung Bei gegebenen Strategien zweier Spieler ist die durchschnittliche Auszahlung im Superspiel diejenige Auszahlung pro Periode, die dem Gegenwartswert des Auszahlungsstroms bei den gegebenen Strategien entspricht. Der Gegenwartswert des Auszahlungsstroms ist V = δ t 1 πi t. t=1 Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Spieltheorie Teil März / 104

31 Sei π diejenige Auszahlung pro Periode, die den selben Gegenwartswert erzeugt: V = π 1 δ. Auflösen nach π ergibt die durchschnittliche Auszahlung pro Periode: π = (1 δ)v. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Spieltheorie Teil März / 104

32 Teilspiel perfektes NG im Superspiel Bestrafungen (z.b. bei der Trigger Strategie) sind teuer: Der bestrafende Spieler muss selbst eine Einbusse hinnehmen. Frage: Ist die Strafandrohung glaubwürdig? Beachte: Im Nash GG wird die Drohung niemals ausgeführt! (Z.B. Tit for Tat: Beide spielen K für immer.) Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Spieltheorie Teil März / 104

33 Teilspiel Wie ist ein Teilspiel in einem wiederholten Spiel definiert? In einem wiederholten Spiel beginnt nach jeder Geschichte ein Teilspiel. Eine Geschichte h t dokumentiert den Spielverlauf bis Periode t. Eine Fortsetzungsgeschichte von h t ist eine Geschichte, die h t als die ersten t 1 Strategiekombinationen hat. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Spieltheorie Teil März / 104

34 Teilspielperfektes Nash GG Definition 8 Ein teilspiel perfektes Nash GG für ein wiederholtes Spiel ist eine Strategiekombination, die nach jeder Geschichte h t ein Nash GG für die Fortsetzungsgeschichte vorschreibt, für alle t 1. Daraus folgt: Eine Strategiekombination, die in jeder Runde ein Nash GG des Stufenspiels vorschreibt, ist ein teilspiel perfektes Nash GG für das wdh. Spiel. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Spieltheorie Teil März / 104

35 Theorem Theorem 9 Sei (s 1, s 2 ) ein Nash GG des Stufenspiels mit Auszahlungen π i(s 1, s 2 ), i = 1, 2. Dann gibt es für jeden Auszahlungsvektor π i π i (s1, s 2 ), i = 1, 2 einen Diskontfaktor δ 0 (0, 1), so dass für alle δ δ 0 die Auszahlungen π i, i = 1, 2 in einem teilspiel perfekten Nash GG des unendlich oft wiederholten Spiels erreicht werden können. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Spieltheorie Teil März / 104

36 Endlich oft wiederholte Spiele Beispiel: Das Cournot Duopolspiel wird 10 mal wiederholt. K D K 8, 8 2, 10 D 10, 2 5, 5 Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Spieltheorie Teil März / 104

37 Rückwärtige Induktion In der zehnten Runde (dem letzten Teilspiel) ist D für beide Spieler eine dominante Strategie, da es keine weitere Runde gibt und daher keine Bestrafung mehr erfolgen kann. In der neunten Runde antizipieren die Spieler, dass in der zehnten Runde (D, D) gespielt wird. Wiederum ist D eine dominante Strategie für jeden Spieler. Kooperation (K) lohnt sich nicht. In Runde t antizipieren die Spieler, dass in Runde t + 1 (D, D) gespielt wird. Daher ist D eine dominante Strategie für jeden Spieler. Somit wird in jeder Runde (D, D) gespielt! Das ist das einzige teilspiel perfekte Nash GG des endlich oft wiederholten Spiels. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Spieltheorie Teil März / 104

38 Theorem 10 Hat das Stufenspiel ein eindeutiges Nash GG, in dem die Auszahlungen gleich den maximin Auszahlungen sind, dann ist im Nash Gleichgewicht des endlich oft wiederholten Spiels die einzig mögliche Kombination von Auszahlungen in jeder Runde gegeben durch diese maximin Auszahlungen. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Spieltheorie Teil März / 104

39 Theorem 11 Hat das Stufenspiel ein Nash GG (s1, s 2 ) mit Auszahlungen, die grösser sind als die maximin Auszahlungen m i, dann kann jede Kombination von Auszahlungen mit π i m i für i = 1, 2 in einem Nash GG des endlich oft wdh. Spiels erreicht werden, vorausgesetzt 1 der Diskontfaktor ist nahe eins und 2 die Zahl der Wiederholungen des Spiels ist hinreichend gross. Theorem 11 besagt, dass unter den genannten Voraussetzungen selbst in endlich oft wiederholten Spielen jede Kombination von individuell rationalen Auszahlungen erreicht werden kann. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Spieltheorie Teil März / 104

40 Beispiel Das Gefangenendilemma wird modifiziert, indem wir eine strikt dominierte Strategie für jeden Spieler hinzufügen. N C A N 1, 1 1, 3 4, 4 C 3, 1 0, 0 3, 4 A 4, 4 4, 3 4, 4 Dadurch wird das Gleichgewicht nicht verändert, aber die gleichgewichtigen Auszahlungen im Stufenspiel (0, 0) sind nun höher als die maximin Auszahlungen ( 3, 3). Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Spieltheorie Teil März / 104

41 Wenn das Spiel zweimal wiederholt wird, dann kann (N, N) in der ersten Periode als Nash GG implementiert werden (Wir unterstellen δ = 1): Strategie für jeden Spieler: Spiele in der ersten Periode N. Spiele in der zweiten Periode C, falls in der ersten Periode (N, N) gespielt wurde, und A sonst. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Spieltheorie Teil März / 104

42 Bildet diese Strategiekombination ein Nash GG? Angenommen, Spieler 2 hält sich an diese Strategie könnte sich Spieler 1 durch Abweichen verbessern? Bei der angegebenen Stratgie erhält er die Auszahlung π 1 (N, N) + π 1 (C, C) = = 1. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Spieltheorie Teil März / 104

43 Spieler 1 weicht ab Weicht Spieler 1 ab, könnte er bestenfalls C in beiden Runden spielen. Seine Auszahlung wäre π 1 (C, N) + π 1 (C, A) = 3 3 = 0. Fazit: Abweichen lohnt nicht. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Spieltheorie Teil März / 104

44 Um das gewünschte Verhalten eines Spielers in der ersten Periode zu induzieren, droht man in der zweiten Periode mit einem schlechteren Ergebnis als dem Nash Gleichgewicht. In der ursprünglichen Version des Gefangenendilemmas war das nicht möglich. Aber Dieses Nash GG ist nicht teilspiel perfekt: Spieler 2 muss, um Spieler 1 zu bestrafen, eine für ihn suboptimale Aktion wählen. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Spieltheorie Teil März / 104

45 Frage: Gibt es teilspiel perfekte Nash GGe des wdh. Spiels, die andere Auszahlungen als die im Nash GG des Stufenspiels induzieren? Theorem 12 Hat das Stufenspiel ein eindeutiges Nash GG, so hat jedes endlich oft wdh. Spiel ein eindeutiges teilspiel perfektes Nash GG: Das GG des Stufenspiels wird in jeder Runde gespielt. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Spieltheorie Teil März / 104

46 Dies folgt aus der rückwärtigen Induktion. Konsequenz: Spiele, die nur ein Nash Gleichgewicht haben, bieten keine Möglichkeit, glaubwürdig zu drohen, wenn das Spiel endlich oft wiederholt wird. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Spieltheorie Teil März / 104

47 Lösung des Gefangenendilemmas I Modifikation des Stufenspiels Literatur: Gibbons, S Stufenspiel: Gefangenendilemma L 2 M 2 L 1 1, 1 5, 0 M 1 0, 5 4, 4 Wird dieses Spiel T = 2 Runden gespielt, so besteht das einzige Nash GG aus der Wiederholung des One shot Gleichgewichts (L 1, L 2 ). Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Spieltheorie Teil März / 104

48 Modifiziertes Spiel Wir modifizieren das Spiel wie folgt: L 2 M 2 R 2 L 1 1, 1 5, 0 0, 0 M 1 0, 5 4, 4 0, 0 R 1 0, 0 0, 0 3, 3 Dieses Stufenspiel hat zwei Nash GGe: (L 1, L 2 ) und (R 1, R 2 ). Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Spieltheorie Teil März / 104

49 Jetzt existiert ein Nash GG des 2 Perioden Spiels, in dem in der ersten Runde die nicht gleichgewichtige Kombination (M 1, M 2 ) gespielt wird. Die Strategie für Spieler i ist wie folgt, i = 1, 2: In der ersten Periode spiele M i. In der zweiten Periode spiele R i, falls in der ersten Periode (M 1, M 2 ) gespielt wurde, und L i sonst. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Spieltheorie Teil März / 104

50 Diese Strategiekombination stellt ein Nash GG des wiederholten Spiels dar. Die Auszahlungen sind = 7. Weicht ein Spieler ab und spielt in der ersten Periode L i, so ist seine Auszahlung = 6 < 7, Abweichen lohnt also nicht. Das Nash GG (R 1, R 2 ) wird hier als Belohnung für Kooperation in der ersten Periode eingesetzt, während das Nash GG (L 1, L 2 ) als Bestrafung für abweichendes Verhalten fungiert. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Spieltheorie Teil März / 104

51 Allerdings ist dieses Nash GG nicht teilspiel perfekt, denn die Drohung, nach Abweichen des Gegenspielers L i zu spielen, ist nicht glaubwürdig. Beide Spieler hätten ein Interesse daran, trotz Abweichen eines Spielers die Bestrafung zu unterlassen und statt dessen das Nash GG (R 1, R 2 ) in Periode 2 zu spielen. Falls es nach der ersten Periode Neuverhandlungen (Renegotiations) gibt, ist dieses Nash GG nicht aufrecht zu erhalten: Wenn beide wissen, dass in t = 2 die Aktionen (R 1, R 2 ) gespielt werden, besteht in t = 1 kein Anreiz zur Kooperation. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Spieltheorie Teil März / 104

52 Keine Neuverhandlungen Frage: Wie kann das Stufenspiel modifiziert werden, damit dieser Anreiz zu Neuverhandlungen verschwindet? Antwort: Wir führen zwei weitere Strategien P i und Q i ein, i = 1, 2, die jeweils einen Spieler belohnen und gleichzeitig den anderen bestrafen. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Spieltheorie Teil März / 104

53 Nochmals modifiziertes Spiel L 2 M 2 R 2 P 2 Q 2 L 1 1, 1 5, 0 0, 0 0, 0 0, 0 M 1 0, 5 4, 4 0, 0 0, 0 0, 0 R 1 0, 0 0, 0 3, 3 0, 0 0, 0 P 1 0, 0 0, 0 0, 0 4, 1 2 0, 0 Q 1 0, 0 0, 0 0, 0 0, 0 1 2, 4 Jetzt dient für Spieler 1 die Aktion P 1 als Bestrafung für Abweichen von M 2 in der ersten Periode. (Für Spieler 2 ist dies die Aktion Q 2.) Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Spieltheorie Teil März / 104

54 Strategie für Spieler 1 In t = 1 spiele M 1. In t = 2 spiele R 1, falls Spieler 2 in t = 1 die Aktion M 2 gespielt hat, und P 1 sonst. (Analog für Spieler 2 mit Q 2.) Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Spieltheorie Teil März / 104

55 Diese Strategiekombination stellt ein Nash GG des wiederholten Spiels dar: Die Auszahlungen sind = 7. Weicht z.b. Spieler 2 in t = 1 ab und spielt L 2, so wird Spieler 1 in t = 2 mit P 1 reagieren. Die beste Antwort des Spielers 2 ist dann P 2. Die resultierende Auszahlung für Spieler 2 ist Abweichen lohnt also nicht /2 = 5.5 < 7, Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Spieltheorie Teil März / 104

56 Teilspielperfektheit Dieses Nash GG ist teilspiel perfekt, denn die Bestrafungsaktionen P 1 bzw. Q 2 stellen nun glaubwürdige Drohungen dar: Der bestrafende Spieler wird gleichzeitig belohnt, da er die Auszahlung 4 erhält. Er wird daher nicht auf Neuverhandlungen eingehen, denn bei (R 1, R 2 ) erhält er nur die Auszahlung 3. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Spieltheorie Teil März / 104

57 Lösung des Gefangenendilemmas II Asymmetrische Information Literatur: Gibbons, S Das Modell basiert auf dem Artikel Kreps, D., Milgrom, P., Roberts, J., and Wilson, R. (1982): Rational Cooperation in the Finitely Repeated Prisoners Dilemma, Journal of Economic Theory 27: (Im folgenden KMRW genannt.) Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Spieltheorie Teil März / 104

58 Lösung des Gefangenendilemmas II Asymmetrische Information Wir wissen: Hat das Stufenspiel ein eindeutiges Nash GG, so besitzt auch das endlich oft wiederholte Spiel ein eindeutiges Nash GG: Das GG des Stufenspiels wird in jeder Periode gespielt. Bei Einführung von asymmetrischer Information gilt dies nicht mehr. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Spieltheorie Teil März / 104

59 Lösung des Gefangenendilemmas II Asymmetrische Information Idee des Modells Ein Gefangenendilemma Spiel wird für T 2 Perioden gespielt. Spieler 1 hat private Information bezüglich seines Typs. Es gibt zwei Typen des Spielers 1, die sich bezüglich der Strategiemengen für das wiederholte Spiel unterscheiden. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Spieltheorie Teil März / 104

60 Lösung des Gefangenendilemmas II Asymmetrische Information Zwei Typen von Spieler 1 Der eine Typ ist bei seiner Strategiewahl auf die Strategie Tit for Tat beschränkt. Diesen bezeichnen wir mit Typ Tit for Tat (TFT). Er tritt auf mit Wahrscheinlichkeit p > 0. Der andere Typ unterliegt bei seiner Strategiewahl keiner Einschränkung. Diesen Typ nennen wir den rationalen Typ (RAT). Er tritt auf mit Wahrscheinlichkeit (1 p). Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Spieltheorie Teil März / 104

61 Lösung des Gefangenendilemmas II Asymmetrische Information Spieler 2 kennt den Typ des Spielers 1 nicht, kann aber im wdh. Spiel aus dessen Verhalten Rückschlüsse ziehen (Bayesian updating). Beispiel: (T = 2). Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Spieltheorie Teil März / 104

62 Lösung des Gefangenendilemmas II Asymmetrische Information Typ TFT kooperiert in der ersten Periode. Die Information in Periode t = 2 des Spielers 2 hängt von der Aktion des Spielers 1 in t = 1 ab: Kooperiert Spieler 1 in t = 1, so ändert sich die Information des Spielers 2 nicht: Es liegt Typ TFT vor mit Wahrscheinlichkeit p. (Wir betrachten nur reine Strategien). Kooperiert Spieler 1 in t = 1 nicht, so liegt mit Sicherheit Typ RAT vor. Im ersteren Fall könnte es sich für Spieler 2 lohnen, in t = 1 zu kooperieren: Mit W. p liegt Typ TFT vor und kooperiert in t = 2. Dann kann Spieler 2 durch Nicht Kooperation eine hohe Auszahlung erreichen. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Spieltheorie Teil März / 104

63 Lösung des Gefangenendilemmas II Asymmetrische Information Stufenspiel: C F C 1, 1 3, 2 F 2, 3 0, 0 Dieses Spiel wird T 2 Runden gespielt. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Spieltheorie Teil März / 104

64 Lösung des Gefangenendilemmas II Asymmetrische Information Der Fall T = 2 1 Die Natur zieht den Typ des Spielers 1: TFT mit W. p und RAT mit W. 1 p. 2 Spieler 1 erfährt seinen Typ, Spieler 2 jedoch nicht. 3 t = 1 : Spieler 1 und 2 spielen das Stufenspiel. Die Aktionen der beiden Spieler werden common knowledge. 4 t = 2 : Spieler 1 und 2 spielen erneut das Stufenspiel. 5 Die Auszahlungen eines jeden Spielers ergeben sich aus der Summe der Auszahlungen beider Runden. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Spieltheorie Teil März / 104

65 Rückwärtige Induktion Periode 2 Typ TFT von Spieler 1 spielt diejenige Aktion X, die Spieler 2 in t = 1 gewählt hat. Typ RAT von Spieler 1 spielt F. Spieler 2 spielt F. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Spieltheorie Teil März / 104

66 Periode 1 Spieler 1: Typ TFT beginnt mit C. Typ RAT weiss, dass Spieler 2 in t = 2 die Aktion F spielt. Daher Hat RAT in t = 1 keinen Anreiz zu kooperieren und spielt F. Spieler 2 spielt Akltion X {C, F }. t = 1 t = 2 TFT C X RAT F F Sp2 X F Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Spieltheorie Teil März / 104

67 Berechnung des BNG Spieler 2 spielt X = C in t = 1, falls dies eine höhere erwartete Auszahlung ergibt als X = F, gegeben die Strategie des Spielers 1. t = 1 t = 2 TFT C X RAT F F Sp2 X F Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Spieltheorie Teil März / 104

68 Berechnung des BNG 1 Für X = C ist die erwartete Auszahlung des Spielers 1 und p 1 + (1 p) ( 3) in t = 1 p 2 + (1 p) 0 in t = 2. Die gesamte erwartete Auszahlung ist 3p 3 + 3p = 6p 3. 2 Für X = F ist die erwartete Auszahlung des Spielers 1 p 2 in t = 1 und 0 in t = 2. Es gilt: Spieler 2 spielt X = C in t = 1 falls 6p 3 2p p 3/4. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Spieltheorie Teil März / 104

69 Berechnung des BNG Annahme p > 3/4. Das eindeutige BNG ergibt die Aktionen t = 1 t = 2 TFT C C RAT F F Sp2 C F (1) In diesem BNG kooperiert zwar Spieler 2 in t = 1, aber Typ RAT von Spieler 1 kooperiert nie. Kooperation beider Spieler lässt sich für den Fall T = 3 erreichen. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Spieltheorie Teil März / 104

70 Berechnung des BNG Wir betrachten den Fall T = 3. Angenommen, RAT und Spieler 2 kooperieren in t = 1. Rückwärtige Induktion ergibt dann, dass in Perioden t = 2 und t = 3 gemäss (1) gespielt wird: t = 2 t = 3 TFT C C RAT F F Sp2 C F Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Spieltheorie Teil März / 104

71 Berechnung des BNG Kooperieren beide Spieler in t = 1, so ergibt sich das Strategieprofil t = 1 t = 2 t = 3 TFT C C C RAT C F F Sp2 C C F (2) Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Spieltheorie Teil März / 104

72 Berechnung des BNG Die Auszahlungen bei dieser Strategiekombination (CCC, CFF, CCF) sind für Typ RAT Π RAT (CCC, CFF, CCF) = = 3, und für Spieler 2 ist die erwartete Auszahlung 1 + [p 1 + (1 p) ( 3)] + [p 2 + (1 p) 0] = 6p 2. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Spieltheorie Teil März / 104

73 Berechnung des BNG Es ist zu prüfen, ob sich einer der strategischen Spieler (i.e. Typ RAT oder Spieler 2) durch einseitiges Abweichen verbessern kann. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Spieltheorie Teil März / 104

74 Berechnung des BNG Wir prüfen zuerst, ob sich ein Abweichen für Typ RAT lohnt. Angenommen RAT spielt F in t = 1. (In t = 2 und t = 3 lohnt Abweichen nicht, wie rückw. Induktion gezeigt hat.) t = 1 t = 2 t = 3 TFT C C F RAT F F F Sp2 C F F Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Spieltheorie Teil März / 104

75 Berechnung des BNG Die Strategien ergeben sich wie folgt: Periode 1: TFT beginnt mit C in t = 1. RAT weicht von (2) ab und spielt F. Spieler 2 hält sich an (2) und spielt C. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Spieltheorie Teil März / 104

76 Berechnung des BNG Tone Periode Arnold (Universität 3: Alle des Saarlandes) spielen F. Spieltheorie Teil März / 104 t = 1 t = 2 t = 3 TFT C C F RAT F F F Sp2 C F F Periode 2 Da Spieler 2 in t = 1 die Aktion C gespielt hat, spielt TFT ebenfalls C. Spieler 2 beobachtet die Aktion F des Spielers 1 in t = 1 und weiss nun mit Sicherheit, dass Typ RAT vorliegt. Die beste Antwort ist dann die Aktion F.

77 Berechnung des BNG t = 1 t = 2 t = 3 TFT C C F RAT F F F Sp2 C F F Die Auszahlung für Typ RAT ist dann = 2. Dies ist geringer als seine Auszahlung bei (2) Π RAT (CCC, CFF, CCF) = 3, Abweichen lohnt also nicht. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Spieltheorie Teil März / 104

78 Berechnung des BNG Lohnt sich ein Abweichen für Spieler 2 in t = 1? Angenommen, Spieler 2 spielt in jeder Periode F. Dann ergibt sich t = 1 t = 2 t = 3 TFT C F F RAT C F F Sp2 F F F Die Auszahlung des Spielers 2 ist dann = 2. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Spieltheorie Teil März / 104

79 Berechnung des BNG Alternativ könnte Spieler 2 nur in Periode 1 abweichen, i.e. die Strategie (FCF) spielen, um damit Typ TFT in t = 3 zum kooperieren zu bewegen: t = 1 t = 2 t = 3 TFT C F C RAT C F F Sp2 F C F Dann wäre seine erwartete Auszahlung [p 2 + (1 p) 0] = 2p 1. Dies ist geringer als die Auszahlung bei (2): Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Spieltheorie Teil März / 104

80 Fazit Die Strategiekombination mit den in (2) dargestellten Aktionen stellt ein BNG des dreimal wiederholten Gefangenendilemmas dar. Dabei kooperieren beide Spieler in der ersten Periode. Allerdings ist die Annahme p > 3/4 recht restriktiv. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Spieltheorie Teil März / 104

81 Berechnung des BNG Wie hoch p mindestens sein muss, um ein BNG mit Kooperation zu stützen, hängt von den Auszahlungen des Stufenspiels ab. Betrachte das Stufenspiel C F C 1, 1 b, a F a, b 0, 0 mit a > 1 und b < 0. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Spieltheorie Teil März / 104

82 Perfektes Bayesianisches GG KMRW zeigen: Falls a und b bestimmte Bedingungen erfüllen, existiert für jedes endlich oft wdh. Gefangenendilemma Spiel mit T 3 Perioden ein PBNG, in dem Spieler 1 und 2 bis einschliesslich Periode T 2 kooperieren (C spielen), und in den letzten beiden Perioden gemäss (1) spielen. Diese Bedingungen wollen wir im folgenden untersuchen. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Spieltheorie Teil März / 104

83 Drei Perioden Spiel Periode 3 F ist dominante Aktion für RAT und Spieler 2. Periode 2 RAT spielt F (da Spieler 2 in t = 3 F spielt). Spieler 2 spielt C, falls p 1 + (1 p) b + p a p a + 0 Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Spieltheorie Teil März / 104

84 Drei Perioden Spiel Dann resultiert in Perioden 2 und 3 das Spiel t = 2 t = 3 TFT C C RAT F F Sp2 C F Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Spieltheorie Teil März / 104

85 BNG mit Kooperation in Periode 1 t = 1 t = 2 t = 3 TFT C C C RAT C F F Sp2 C C F Die Auszahlungen bei dieser Strategiekombination (CCC, CFF, CCF) sind für Typ RAT 1 + a + 0 = 1 + a, und für Spieler p + (1 p)b + pa + (1 p) 0 Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Spieltheorie Teil März / 104

86 BNG mit Kooperation in Periode 1 Lohnt sich ein einseitiges Abweichen für Typ RAT? Angenommen, RAT spielt F in t = 1. Dann ist das Strategieprofil t = 1 t = 2 t = 3 TFT C C F RAT F F F Sp2 C F F Die resultierende Auszahlung für RAT ist a = a < 1 + a. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Spieltheorie Teil März / 104

87 BNG mit Kooperation in Periode 1 Für Spieler 2 gibt es drei Möglichkeiten, abzuweichen: (FFF), (FCF), und (CFF). Angenommen, Spieler 2 spielt (FFF): t = 1 t = 2 t = 3 TFT C F F RAT C F F Sp2 F F F Die Auszahlung des Spielers 2 ist dann a = a. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Spieltheorie Teil März / 104

88 BNG mit Kooperation in Periode 1 Dieses Abweichen lohnt nicht, falls 1 + p + (1 p)b + pa a. Wegen Bedingung (3) gilt 1 + p + (1 p)b 0. Deshalb ist eine hinreichende Bedingung dafür, dass dieses Abweichen seitens Spieler 2 unprofitabel ist 1 + pa a a 1 1 p. (4) Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Spieltheorie Teil März / 104

89 BNG mit Kooperation in Periode 1 Jetzt nehmen wir an, Spieler 2 spielt (FCF). Die Strategiekombination ist dann t = 1 t = 2 t = 3 TFT C F C RAT C F F Sp2 F C F Die Auszahlung des Spielers 2 ist a + b + pa + (1 p)0 = a + b + pa. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Spieltheorie Teil März / 104

90 BNG mit Kooperation in Periode 1 Dieses Abweichen lohnt nicht, falls 1 + p + (1 p)b + pa a + b + pa. Wegen Bedingung (3) gilt p + (1 p)b 0. Daher ist ein hinreichende Bedingung dafür, dass dieses Abweichen nicht profitabel ist a + b 1. (5) Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Spieltheorie Teil März / 104

91 BNG mit Kooperation in Periode 1 Jetzt nehmen wir an, Spieler 2 spielt (CFF). Die Strategiekombination ist t = 1 t = 2 t = 3 TFT C C F RAT C F F Sp2 C F F Seine Auszahlung ist dann = 1 < 1 + p + (1 p)b + pa, dieses Abweichen lohnt daher nicht. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Spieltheorie Teil März / 104

92 Fazit Die Strategiekombination mit Aktionen t = 1 t = 2 t = 3 TFT C C C RAT C F F Sp2 C C F mit Kooperation in t = 1 stellt ein BNG dar, wenn die Bedingungen (3), (4), und (5) erfüllt sind, d.h. wenn 1 p + (1 p)b 0, 2 a(1 p) 1, und 3 a + b 1. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Spieltheorie Teil März / 104

93 BNG mit Kooperation in Periode 1 KMRW zeigen nun: Falls diese drei Bedingungen erfüllt sind, existiert für jedes endlich oft wdh. Gefangenendilemma Spiel mit T 3 Perioden ein PBNG, in dem Spieler 1 und 2 bis einschliesslich Periode T 2 kooperieren (C spielen), und in den letzten beiden Perioden gemäss (1) spielen. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Spieltheorie Teil März / 104

94 Literatur: Gibbons, S In der ersten Runde macht Spieler 1 ein Angebot (s 1, 1 s 1 ), i.e. Spieler 1 schlägt die Aufteilung s 1 [0, 1] für sich selbst und 1 s 1 für Spieler 2 vor. Spieler 2 kann diese Aufteilung akzeptieren oder ablehnen. Akzeptiert er, so wird der Euro entsprechend aufgeteilt. Anderenfalls beginnt die 2. Runde, und Spieler 2 macht ein Angebot (s 2, 1 s 2 ) (i.e. s 2 für Spieler 1 und 1 s 2 für sich selbst.) Jetzt kann Spieler 1 entweder s 2 akzeptieren, so dass die Aufteilung (s 2, 1 s 2 ) resultiert, oder ablehnen. Im letzteren Fall beginnt die 3. Runde, die analog zur 1. Runde abläuft. Tone Arnold Dieser (Universität Spielablauf des Saarlandes) wiederholt Spieltheorie sich Teil solange, 6 bis einer25. der MärzSpieler / 104 Alternating Offer Bargaining Spieler 1 und 2 verhandeln über die Aufteilung eines Euros:

95 Verhandlungsspiel Zusammenfassend läuft das Verhandlungsspiel wie folgt ab: 1 In ungradzahligen Perioden (t = 1, 3, 5,...) macht Spieler 1 ein Angebot (s t, 1 s t ), wobei s t [0, 1] den Anteil für Spieler 1 bezeichnet und 1 s t den Anteil für Spieler 2. 2 In gradzahligen Perioden (t = 2, 4, 6,...) macht Spieler 2 ein Angebot (s t, 1 s t ), wobei wieder s t [0, 1] den Anteil für Spieler 1 bezeichnet und 1 s t den Anteil für Spieler 2. 3 Das Spiel endet, sobald einer der Spieler ein Angebot des jeweils anderen akzeptiert. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Spieltheorie Teil März / 104

96 Modell mit drei Perioden Annahme: Falls sich die Spieler bis zur 3. Runde nicht geeinigt haben, wird die Aufteilung (s, 1 s) in t = 3 realisiert, wobei s exogen festgelegt ist. Dieser Wert s wird auch als Disagreement Point bezeichnet. Rückwärtige Induktion Dritte Runde: In t = 3 ist die Aufteilung (s, 1 s). Die erste strategische Entscheidung (nach der rückw. Induktion) fällt also in t = 2. Zweite Runde: Angenommen, die Spieler haben die 2. Runde erreicht. Spieler 2 muss ein Angebot (s 2, 1 s 2 ) unterbreiten. Spieler 2 weiss: Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Spieltheorie Teil März / 104

97 Bietet Spieler 2 dagegen eine Aufteilung mit s 2 < δs, so wird Spieler 1 ablehnen. In diesem Fall bekäme Spieler 2 in t = 3 die Auszahlung 1 s. Der Gegenwartswert dieser Auszahlung in t = 2 beträgt π 2 (s 2 < δs) = δ(1 s) = δ δ s < 1 δ s. Das optimale Angebot seitens Spieler 2 in t = 2 ist somit s 2 = δ s, und Spieler 1 wird dieses Angebot akzeptieren. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Spieltheorie Teil März / 104

98 Tone Dies Arnold ist (Universität weniger des Saarlandes) als die Auszahlung Spieltheorie Teil März / 104 Erste Runde: Spieler 1 muss ein Angebot (s 1, 1 s 1 ) unterbreiten. Spieler 1 weiss: Spieler 2 kann sich die Auszahlung 1 s2 in t = 2 sichern, indem er 1 s 1 ablehnt. Damit Spieler 2 akzeptiert, muss Spieler 1 also mindestens δ(1 s2 ) bieten, i.e. das Mindestangebot ist 1 s 1 = δ(1 s 2 ) s 1 = 1 δ(1 s 2 ). In diesem Fall erhält Spieler 1 die Auszahlung π 1 (s 1 ) = s 1 = 1 δ(1 s2 ) = 1 δ(1 δs). Schlägt Spieler 1 dagegen einen höheren Anteil s 1 > 1 δ(1 s2 ) vor, so wird Spieler 2 ablehnen. In diesem Fall wäre die Auszahlung für Spieler 1 s2 in t = 2. Der Gegenwartswert dieser Auszahlung beträgt δs 2 = δ2 s.

99 Das optimale Angebot des Spielers 1 ist also s 1 = 1 δ + δ 2 s, 1 s 1 = δ δ 2 s. Spieler 2 akzeptiert dieses Angebot in t = 1. Es wird also schon in der ersten Runde eine Einigung erzielt. Beobachtung: Je kleiner der Diskontfaktor, umso grösser ist der Anteil des Spielers 1. (Extremfall: δ 0 s 1 1.) Begründung: Ein kleiner Wert von δ bedeutet Ungeduld des Spielers 2: Spieler 2 ist weniger bereit zu warten und eher bereit, eine geringere Zahlung in t = 1 zu akzeptieren. Für δ 1 gilt dagegen s1 s. D.h., wird die Zukunft nicht oder sehr Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Spieltheorie Teil März / 104

100 Unbegrenzter Zeithorizont Das Verhandlungsspiel kann potenziell unendlich lange dauern. Dann ist die Methode der rückwärtigen Induktion nicht anwendbar. Aber es gilt: Beobachtung 1 Betrachten wir das Verhandlungsspiel, das in t = 3 beginnt. Dies ist identisch zu dem Spiel, das in t = 1 beginnt, also dem gesamten Spiel. Begründung: Beide Spiele haben einen potenziell unendlichen Zeithorizont. Bei beiden Spielen beginnt Spieler 1; die Spieler machen abwechselnd Angebote; und das Spiel endet, wenn ein Spieler ein Angebot des anderen akzeptiert. Aber dieses Argument gilt für alle ungeraden Zeitpunkte! Daher gilt: Jedes Spiel, das zu einem Zeitpunkt t (mit t ungerade und endlich) Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Spieltheorie Teil März / 104

101 Pseudo Rückwärtsinduktion Angenommen, zu irgendeinem Zeitpunkt ˆt (ungerade Zahl) beträgt der Gegenwartswert der Auszahlung des gesamten Spiels s für Spieler 1 und (1 s) für Spieler 2. Das Spiel, das in ˆt beginnt, ist identisch zu dem, das in t = 3 beginnt. Daher ist der Gegenwartswert der Auszahlung des gesamten Spiels in t = 3 (falls diese Periode erreicht wird) ebenfalls gleich s für Spieler 1 und 1 s für Spieler 2. Aus dem 3 Perioden Modell wissen wir, dass in diesem Fall das optimale Angebot des Spielers 1 s 1 = 1 δ + δ2 s beträgt. Dies entspricht dem Gegenwartswert von s in t = 1. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Spieltheorie Teil März / 104

102 Pseudo Rückwärtsinduktion Andererseits ist das Spiel, das in t = 3 beginnt, identisch zu dem, das in t = 1 beginnt. Daher muss gelten, dass der Gegenwartswert der Auszahlung des gesamten Spiels auch in der ersten Runde s für Spieler 1 beträgt. Demnach muss gelten s1 = s, i.e. 1 δ + δ 2 s = s s 1 = δ. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Spieltheorie Teil März / 104

103 Pseudo Rückwärtsinduktion Das Ergebnis des Verhandlungsspiels mit unbegrenztem Zeithorizont besteht also in dem Angebot s 1 = 1 s 1 = δ, δ 1 + δ. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Spieltheorie Teil März / 104

104 Pseudo Rückwärtsinduktion Spieler 2 akzeptiert dieses Angebot in t = 1. D.h., auch bei potenziell unbegrenztem Zeithorizont findet schon in der ersten Runde eine Einigung statt! Auch hier nimmt der Anteil s1 des Spielers 1 in δ ab. Für δ 1 gilt s 1 1, und für δ 0 gilt s Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Spieltheorie Teil März / 104