3.9 Wiederholte Spiele

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1 1 3.9 Wiederholte Spiele Ein zentrales Defizit der bisherigen Theorie besteht darin, daß die wiederholte Interaktion in immer demselben Wettbewerbsumfeld nicht thematisiert wurde. Es ist schon sehr früh vermutet worden, daß die Modellierung von Bertrand schon deshalb nicht besonders überzeugend ist, weil der Preiswettbewerb für eine relativ lange Zeit unter denselben Bedingungen stattfindet. Dieser Aspekt ist in der Modellierung von Bertrand nicht berücksichtigt. Die Theorie der wiederholten Spiele bietet dazu den passenden Rahmen. Wie der Begriff schon nahelegt, besteht ein wiederholtes Spiel aus mehreren Spielen, die für sich genommen alle gleich aussehen. Dieses "Basisspiel" wird einfach mehrfach wiederholt. Zunächst klingt dies nicht danach, daß sich in den strategischen Möglichkeiten viel ändert. Dies ist jedoch nicht zutreffend. Selbst wenn nur eine Wiederholung zugelassen wird, das Spiel also nur zweimal hintereinander gespielt wird, ermöglicht die Wiederholung, daß die Strategien beim zweiten Mal daran konditioniert werden können, was beim ersten Mal an Strategien gewählt wurde. Prinzipiell könnte eine Strategie darin bestehen, daß der Preis beim zweiten Mal niedrig gewählt wird, wenn ein Konkurrent dies beim ersten Mal auch getan hat. Dies wäre eine Sanktionsmöglichkeit, die in einem nicht wiederholten Spiel nicht zur Verfügung steht. Wir werden nun zunächst Wiederholungen des Bertrand-Spiels betrachten, zunächst nur 2, dann endlich viele und schließlich sogar unendlich viele. Danach werden wir einige allgemeine Ergebnisse aus der Theorie der wiederholten Spiele besprechen. Genauer geht man von einem sogenannten Stufenspiel aus (dem oben als "Basisspiel" bezeichneten Spiel. Dieses wird in jeder Stufe als simultanes Spiel gespielt. Jede Stufe entspricht einer Wiederholung, wobei das erste Mal natürlich mitgezählt wird. In der ersten Stufe wird also zunächst ein simultanes Spiel gespielt. Dies bedeutet, daß die Spieler zum Zeitpunkt ihrer Strategienwahl die Wahl der anderen Spieler nicht kennen. Zu Anfang der zweiten Stufe (erste Wiederholung) erfahren alle Spieler, wie sich alle Spieler in den Stufen zuvor verhalten haben. Sie können ihre Strategie in der zweiten Stufe davon abhängig machen, was in den Stufen zuvor geschah. Allerdings ist auch diese Wahl der Strategien in der zweiten Stufe wieder simultan. Die Spieler wissen also nicht, was die anderen Spieler in dieser Stufe tun werden. Dies setzt sich für jede weitere Stufe (Wiederholung) so fort. Betrachten wir zunächst ein Bertrand-Spiel mit zwei Spielern, das einmal wiederholt wird (ein zweistufiges Spiel). Als Gleichgewichtskonzept nutzen wir wieder ein TSP-Gleichgewicht. Wir werden nun sehen, daß das einzige Gleichgewicht in der Wiederholung der Bertrand-Strategien besteht. Um dies einzusehen, betrachten wir zunächst die zweite Stufe. Definitionsgemäß endet das Spiel nach dieser Stufe. Dies bedeutet u.a., daß ein Verhalten in dieser Stufe in der Zukunft nicht mehr sanktioniert werden kann. Welcher Preis wird nun in dieser Stufe gewählt? Könnte es eine

2 2 Gleichgewichtsstrategie in dieser Stufe sein, einen Preis über den (konstanten) Grenzkosten zu wählen? Nein! Wählt nämlich ein Spieler einen solchen Preis, so kann der andere Spiele durch eine leichte Preisunterbietung die gesamte Nachfrage auf sich ziehen und dadurch einen viel höheren Gewinn erzielen. Eine solche Wahl müßte demnach rational erwartet werden. Daher ist es seitens des ersten Spielers nicht rational, einen solchen Preis zu fordern. Genau dieselbe Logik wie bei dem einfachen Bertrand-Spiel zwingt die Spieler aus Rationalitätsüberlegungen heraus, einen Preis gleich den Grenzkosten zu wählen. Der zentrale Grund liegt in dem oben angemerkten Fehlen einer Sanktionsmöglichkeit in der letzten Stufe des Spiels. Daher sieht die letzte Stufe des wiederholten Bertrand-Spiels genauso aus wie ein einfaches Bertrand-Spiel. Man beachte, daß diese Strategienwahl überhaupt keine Konditionierung auf die Strategien vornimmt, die in der ersten Stufe gewählt wurden. Die Vergangenheit spielt hier keine Rolle. Alle möglichen Überlegungen zu Sanktionsmöglichkeiten in der zweiten Stufe von "schlechtem Verhalten" in der ersten Stufe werden dominiert durch Überlegungen, die sich aus dem opportunisitischen Verhalten in der letzten Stufe ergeben. Niemand kann in der ersten Stufe glaubhaft versichern, daß er in der zweiten Stufe etwas anderes macht, als den Preis gleich den Grenzkosten zu wählen. Dies hat nun drastische Konsequenzen für ein TSP-Gleichgewicht in der ersten Stufe. Wenn jeder weiß, daß in der zweiten Stufe kein Gewinn zu machen ist, gibt es auch keine Sanktionsmöglichkeiten mehr. In der zweiten Stufe landet man in der schlechtest-möglichen Situation. Folglich kann man keine Verschlechterung glaubhaft androhen. Dies hat zur Folge, daß in der ersten Stufe dieselben Formal läßt sich diese Argumentation wie folgt ausdrücken. Der Nutzen der beiden Spieler ergibt sich als [ ] ( p c) x ( p, p ) + δ ( q ( p, p ) c) x ( q ( p, p ), q ( p, p )) für den ersten Spieler. Dabei haben wir die Preise in der ersten Stufe mit p und in der zweiten Stufe mit q bezeichnet. δ ist ein Diskontfaktor für die zweite Stufe. Die übrigen Bezeichnungen entsprechen denen aus 3.1. Der Nutzen für den zweiten Spieler ergibt sich analog. Da wir ein TSP-Gleichgewicht betrachten wollen, analysieren wir die zweite Stufe zuerst. Gegeben irgendwelche Preise p 1, p 2 aus der ersten Stufe sollen hier also die Preise q 1, q 2 so gewählt werden, daß in der zweiten Stufe ein Nash-Gleichgewicht resultiert. Prinzipiell können diese Preise der zweiten Stufe von den Preisen der ersten Stufe abhängen. Daher die obige Notation. Aus der Sicht der zweiten Stufe ist der Gewinn des ersten Unternehmens ( q c) x ( q, q ), denn die Preise aus der ersten Stufe beeinflussen annahmegemäß (wiederholtes Spiel) weder die Kosten noch die Nachfrage in der zweiten Stufe. Daher hängt die gleichgewichtige Strategienwahl

3 3 nicht von den Preisen der ersten Stufe ab. Das Spiel sieht genauso aus wie ein einfaches Bertrand- Spiel. Dessen Nash-Gleichgewicht kennen wir jedoch schon aus 3.1. Es lautet q1 = q2 = c. Daher ist der Gewinn in der zweiten Stufe gleich Null und die Nutzenfunktion der Spieler im ersten Teilspiel ergibt sich als ( p c) x ( p, p ) und dies hat wiederum die Form des einfachen Bertrand-Spiels. Folglich sind auch in dieser Stufe die Gleichgewichtspreise durch p1 = p2 = c gegeben. Das hier eindeutige TSP-Gleichgewicht in reinen Strategien sieht also vor, daß in beiden Stufen die Preise gleich den Grenzkosten gesetzt werden. Dieselbe Logik verwendend kommt man zu dem Schluß, daß beliebig viele, aber endlich viele Wiederholungen des Bertrand-Spiels zu demselben Ergebnis führen. Es werden immer die Bertrand- Preise als TSP-Gleichgewicht resultieren. In der letzten Stufe kann man die obige Argumentation direkt anwenden. Dies bedeutet, daß in der letzten Stufe keine Sanktionsmöglichkeiten mehr vorhanden sind. Dies äquivalent mit einer Situation, in der das Spiel nach der vorletzten Stufe endet. Daher überträgt sich die Argumentation auf die vorletzte Stufe. Auch in ihr kann nicht mehr sanktioniert werden usw. Man mag nun vermuten, daß dieses Resultat an den Spezifika des Bertrand-Spiels liegt. Dies trifft jedoch nicht zu. Wenn das Stufenspiel (gleichgültig, wo es herkommt) nur ein Nash-Gleichgewicht zuläßt, dann besteht das TSP-Gleichgewicht des endlich wiederholten Spiels in der ständigen Wiederholung dieser Nash-Gleichgewichtsstrategien. Eine etwas ausführlichere Diskussion kann man in Illing/Holler (1996), Kapitel oder in Shapiro (1989) finden. Quintessenz dieser Überlegungen ist: die eben dargestellte Möglichkeit, durch die Abbildung von Vergeltungsmaßnahmen höhere Preise zu stabilisieren, ist in der soeben skizzierten Modellierung nicht zu erreichen. Wir werden später sehen, daß sich dies ändert, wenn unvollständige Information wichtig wird. Dies ist jedoch nur modellierbar, wenn Unsicherheit eine Rolle spielt. Daher werden wir diese Möglichkeit erst im zweiten Teil thematisieren. Hier werden wir nun die Möglichkeit aufgreifen, einen unendlichen Zeithorizont anzunehmen. Solche unendlich oft wiederholte Spiele nennt man auch Superspiele. Wir werden nun am Beispiel des unendlich wiederholten Bertrand-Spiels sehen, daß sich Vergeltungsstrategien nicht nur abbilden lassen, sondern daß sie auch Bestandteil einer Gleichgewichtsstrategie sein können.

4 4 Eine Strategie in einem wiederholten Spiel muß in jeder Entscheidungssituation den Spielzug angeben, der durchgeführt werden soll. Bei der Entscheidung kann einfließen, welche Strategien in der Vergangenheit gewählt wurden. Diese allgemeine Anforderung muß auch eine TSP- Gleichgewichtsstrategie erfüllen. Wir werden nun eine solche Strategie angeben und danach überlegen, warum diese Strategien die Eigenschaft eines TSP-Gleichgewichts haben. Bezeichne p M den Preis, den ein Monopolist in dem Markt setzen würde. Dann können wir die angekündigte Strategie wie folgt angeben: in der ersten Stufe wähle den Preis p M ab der zweiten Stufe wähle einen Preis in Abhängigkeit davon, welche Preise in den vorangegangenen Stufen gewählt wurden. Präziser: 1. wähle in der Stufe t den Preis p M, falls in allen vorangegangenen Stufen t - 1, t - 2 usw. alle Spieler diesen Preis gefordert haben 2. wähle in der Stufe t den Preis c, falls in einer vorangegangenen Stufe t - 1, t - 2 usw. ein Spieler einen anderen Preis gefordert hat. Diese Strategie sieht offenbar Vergeltungsmaßnahmen vor. Wenn ein Spieler in einer Stufe von dem Monopolpreis abweicht, muß er gemäß dieser Strategie damit rechnen, daß er damit den c für die Zukunft provoziert. Diese Strategie wäre bei endlich vielen Wiederholungen keine TSP-Gleichgewichtsstrategie. Die angedrohte Vergeltung in der letzten Stufe des Spiels ist wirkungslos, weil völlig unabhängig von der c gewählt wird. Anders ausgedrückt: Die Ankündigung, bei Wohlverhalten in frühen Stufen in der letzten Stufe einen hohen Preis zu fordern, ist nicht glaubhaft. Der Trick bei unendlich oft wiederholten Spiele besteht nun darin, daß es die letzte Stufe nicht gibt. Dies ist dafür verantwortlich, daß die o.a. Strategie in einem Superspiel eine TSP- Strategie ist, wie wir jetzt sehen werden. Gemäß dem Konzept der Teilspiel-Perfektheit müssen wir überprüfen, ob irgendein Spieler einen Anreiz hat, in irgendeiner Entscheidungssituation von dieser Strategie abzuweichen. Es gibt zwei Situationen, die wir betrachten müssen: (a) bisher ist niemand von dem Preis p M abgewichen und (b) in den Vorstufen ist jemand abgewichen. Betrachten wir zunächst die Situation (a). Die Strategie des anderen Spielers sieht vor, nicht abzuweichen. Gibt es nun einen Anreiz für den betrachteten Spieler, mit dem Preis unter den Preis p M zu gehen? Kurzfristig gesehen besteht dieser Anreiz natürlich. Mit der Unterbietung des Preises zieht der Spieler die gesamte Nachfrage auf sich und verdoppelt auf diese Weise fast seinen Gewinn. Dem steht jedoch der Nachteil gegenüber, daß ab der nächsten Periode die Gewinne auf Null sinken

5 5 werden. Falls er abweicht, wird der Spieler den Gewinn eines Monopolisten machen und danach gar keine Gewinne mehr haben. Die Gewinne von der betrachteten Stufe in alle Zukunft betragen also Π M. Wenn er jedoch niemals abweicht, weicht der andere Spieler auch niemals ab (gegeben die o.a. Strategie). Folglich erhält er in jeder Periode von der betrachteten Stufe in alle Zukunft den Gewinn 0,5Π M. Wenn δ wieder der Diskontfaktor ist, beläuft sich sein Gewinn aus der Sicht der betrachteten Stufe t M 0, 5Π δ 0, 5Π = 1 δ t= 0 M. Abweichen lohnt sich demnach, wenn Π M > 0, 5 Π M 1 δ oder wenn δ < 0,5 gilt. Für geringe Diskontfaktoren (die Zukunft ist nicht so wichtig) setzt sich die kurzfristige Entscheidung durch. Für genügend hohe Diskontfaktoren jedoch nicht. Der Verlust der zukünftigen Gewinne dominiert dann. Also für genügend hohe Diskontfaktoren lohnt sich das Abweichen nicht. Wir gehen im folgenden davon aus, daß der Diskontfaktor hoch genug ist. Nun haben wir die Entscheidungen "nie abweichen" und "in der betrachteten Periode abweichen" verglichen. Es gibt prinzipiell natürlich noch die Möglichkeit, "in der betrachteten Periode nicht abzuweichen, aber später abweichen". Kann es vorkommen, daß sich späteres Abweichen lohnt, während sofortiges Abweichen nicht lohnt? Wenn der Spieler erst in der Stufe T abweicht, macht er aus momentaner Sicht den Gewinn T 1 t M T M 1 δ M T M δ 0, 5Π + δ Π = 0, 5Π + δ Π. 1 δ t= 0 Dieser Gewinn ist kleiner als der Gewinn, der entsteht, wenn der Spieler niemals abweicht (für δ > 0,5). Also: wenn es für den Spieler nicht lohnend ist, sofort abzuweichen, wird es auch nicht lohnend sein, später abzuweichen. Umgekehrt ausgedrückt: wenn es irgendwann lohnend ist, abzuweichen, dann sofort. Dies liegt daran, daß der Vorteil des Abweichens bei späterem Abweichen abdiskontiert wird. Das spätere Abweichen ist also aus der momentanen Sicht weniger profitabel als das sofortige Abweichen. T

6 6 Man kann diesen Gedankengang auch so ausdrücken. Wenn wir die Möglichkeiten "sofort abweichen" und "später abweichen" betrachten, dann ist es für δ > 0,5 besser, später abzuweichen. Wenn wir in dieser späteren Situation sind, gilt aber dieselbe Logik, es ist wieder besser, später abzuweichen. Daher wird nie abgewichen. Damit haben wir für die Situation (a) nachgewiesen, daß für δ > 0,5 die vorgeschlagene Strategie keinen Anreiz bietet, abzuweichen. Wie sieht es mit der Situation (b) aus? Diese ist besonders einfach. Der andere Spieler wählt in diesem Fall den Preis c. Damit ist der Gewinn -völlig unabhängig von der Preisentscheidung des betrachteten Spielers - gleich Null. Er kann sich demnach durch eine andere Preiswahl als c nicht besser stellen. Es existiert also auch hier kein Anreiz, abzuweichen, so daß wir nun nachgewiesen ist, daß die o.a. Strategie ein TSP-Gleichgewicht ist. In einem Superspiel ist es demnach möglich, durch glaubhafte Vergeltungsmaßnahmen ein höheres Preisniveau zu stabilisieren. Die Art der Strategien, die das gewährleistet, betonen die Vergeltungsmaßnahmen. Die vorgesehenen Vergeltungen sind hoch und außerdem werden sie, falls einmal ausgelöst, bis in alle Ewigkeit beibehalten. In der Literatur nennt man diese Strategien deshalb auch "grim trigger" Strategien. Man kann z.b. bei Martin (1993) nachlesen, daß auch weniger "grausame" Strategien denselben Zweck erfüllen. Im übrigen lassen sich die obigen Überlegungen zu einem Superspiel am Bertrand-Beispiel auf beliebige Superspiele übertragen. Dabei muß die Bedingung δ > 0,5 nur durch die Bedingung ersetzt werden: δ ist hinreichend hoch. Zum Schluß dieses Abschnitts werden wir noch auf die sogenannten Folk-Theoreme der Superspiele eingehen. Diese Theoreme beziehen sich auf eine unangenehme Eigenschaft der Superspiele. Das oben besprochene TSP-Gleichgewicht ist in keinster Weise das einzige Gleichgewicht. Bei vielen Superspielen lassen sich vielmehr beliebige Gewinnverteilungen durch verschiedene TSP-Gleichgewichte erzielen. Dies werden wir wiederum mit Hilfe des Bertrand- Beispiels mit zwei Spielern erläutern, obwohl sich die Resultate auf viel allgemeinere Superspiele Es ist hilfreich, sich den Sachverhalt graphisch zu veranschaulichen. Durch Variation des gemeinsamen Preises zwischen c und p M lassen sich für beide Unternehmen zusammen alle Gewinne zwischen 0 und Π M erzeugen. Im Prinzip können wir diese Gewinne beliebig auf die beiden Spieler aufteilen. Daher ist die Gesamtheit der möglichen Gewinnverteilungen graphisch wie folgt darstellbar:

7 7 Gewinn für Spieler 2 Π M Gewinn für 2 Jeder Punkt in dem schattierten Bereich entspricht einer möglichen Gewinnverteilung. Die Folk- Theoreme sagen aus, daß jede dieser Verteilungen durch ein bestimmtes TSP-Gleichgewicht erreicht werden kann, wenn der Diskontfaktor hoch genug ist. Der Einfachheit halber werden wir uns auf eine Gleichverteilung der Gewinne beschränken, also auf Punkte auf der 45 -Linie in dem schattierten Bereich. Sei also p ein bestimmter Preis zwischen c und p M. Damit seien die Gesamtgewinne Π verbunden. Wenn beide Unternehmen diesen Preis fordern, machen sie also jeweils Gewinne in Höhe von 0,5 Π. Betrachten wir nun folgende Strategie: in der ersten Stufe wähle den Preis p in den folgenden Stufen wähle den Preis wie folgt: 1. wähle den Preis p in Stufe t, wenn in allen vorangegangenen Stufen alle Spieler diesen Preis gewählt haben 2. wähle den Preis c in Stufe t, wenn in einer vorangegangenen Stufe ein Spieler einen anderen Preis gewählt hat. Die Argumentation, warum dies ein TSP-Gleichgewicht für einen genügend hohen Diskontfaktor ist, ist völlig analog zu den obigen Überlegungen. In der obigen Situation (b) können wir die Argumente sofort übertragen. In der obigen Sitaution (a) werden wir nur die Optionen "nie abweichen" und "in der betrachteten Stufe abweichen" betrachten. Alle anderen Optionen können wie oben nicht zu Wenn ein Spieler nie abweicht, ist der Gewinn t 0, 5Π δ 0, 5Π = 1 δ t= 0 Wenn er in der betrachteten Stufe abweicht (er wird dann den Preis knapp unter p wählen), ist der Gewinn Π

8 8 Daraus ergibt sich, daß Abweichen profitabel ist, wenn 0, 5Π 1 δ < Π oder wenn δ < 0,5. Umgekehrt ausgedrückt: die angegebene Strategie ist ein TSP-Gleichgewicht, wenn δ > 0,5. Für asymmetrische Gewinnverteilungen würden sich höhere Werte für die kritischen Diskontfaktorwerte ergeben. Dieses Ergebnis ist für den Erklärungsgehalt von Superspielmodellen für die Preisgestaltung sehr unbefriedigend. Ohne eine Koordination der Spieler vor Anfang des Spiels ist es nicht klar, welches TSP-Gleichgewicht gewählt werden soll. Wenn verschiedene Spieler an verschiedene Gleichgewichte "glauben", werden sich die tatsächlich gewählten Preise nicht als Gleichgewichte herausstellen. Es gibt jedoch institutionelle Zusammenhänge, in denen eine solche Koordination der Gleichgewichtsstrategien naheliegt: im Fall eines Kartells. Die Theorie der Superspiele liefert zwar keine überzeugende Theorie von Preiswettbewerb, jedoch liefert sie Erklärungen, warum manche Kartelle recht stabil sind. Darauf werden wir hier nicht weiter eingehen. Dies geschieht in der Vorlesung "Wettbewerbspolitik". Literatur: Holler, M. und G. Illing (1996): Einführung in die Spieltheorie, Springer Verlag Martin, S. (1993): Advanced Industrial Economics, Blackwell, Kap. 5 Shapiro, C. (1989): Theories of Oligopoly Behavior, in Schmalensee und Willig (Hrsg.): Handbook of Industrial Organization, Kapitel 3.1.1