Matrixspiele: Alle Spieler ziehen gleichzeitig:

Transkript

1 Für die Übungsleiter Mikro 2 WS00/01 zur Vorbereitung der Spieltheorie: (Achtung: Kann Fehler enthalten oder unvollständig sein). Spieler 1 zieht Zeilen, Spieler 2 Spalten. L R Betrachte folgendes Spiel: O -1,-1-9,0. U 0,-9-6,-6 Strategie s 1 für Spieler 1: O oder U wählen Strategie s 2 für Spieler 2: L, oder R wählen Spieler 1 wird nie O wählen, da U immer besser ist - egal was Spieler 2 macht (dominante Strategie) Spieler 2 wird nie L wählen... (U,R) wird gespielt werden - Nash-Gleichgewicht. Sei u 1 (s 1,s 2 ) die Nutzenfunktion von Spieler 1, abhängig von seiner gewählten Strategie und der Strategie des anderen Spielers, z.b. u 1 (U, R) = 6. Def: Die Strategien (s 1,s 2) heißen Nash-Gleichgewicht, wenn gilt: u 1 (s 1,s 2) u 1 (s 1,s 2) für alle möglichen Stratgien s 1 von Spieler 1 u 2 (s 1,s 2) u 2 (s 1,s 2 ) für alle möglichen Stratgien s 2 von Spieler 2. Die eigene Gleichgewichtsstrategie ist also das Beste was man tun kann - gegeben die Strategie des anderen. L R Weiteres Beispiel O 15,5 0,2. U 10,10 5,11 Nash-Gleichgewichte: (O, L) und (U, R). (keine dominanten Strategien drin) Wenn es eine Strategie gibt die immer besser ist als eine andere (egal was der andere Spieler macht), heißt diese dominante Strategie. Im ersten Beispiel dominierte für Spieler 1 die Strategie U die Strategie O. Dominierte Strategien werden nie gespielt werden - sie kann man demnach einfach rausstreichen. L M R Beispiel O 1,0 1,2 0,1 U 0,3 0,1 2,0 Spieler 1 hat keine dominante Strategie.. Spieler 2 s Strategie R wird durch M dominiert - R streichen: L M O 1,0 1,2 U 0,3 0,1 Nun hat Spieler 1 eine dominante Strategie: O ist immer besser als U, also streiche U L M O 1,0 1,2 Jetzt ist klar was Spieler 2 machen wird: M wählen. Dies ist ein Nash-Gleichgewicht. Das angewendete Verfahren heißt: Eliminierung dominierter Strategien. Wintersemester 2000/ Januar 2003

2 Beispiel L M R A 2,5 1,1 4,4 B 3,5 1,2 2,3 C 1,3 0,2 3,0 Spieler 2: L dominiert M und R L A 2,5 B 3,5 C 1,3 Spieler 1: B dominiert C und A: L B 3,5 Gleichgewicht (B, L) Verfahren funktioniert nicht immer. Es kann auch mehr als nur das/ein Nash-Gleichgewicht übrig bleiben: Nach Eliminierung bleibt: Gleichgewichte: (B,L) und (A, R) Gemischtes Gleichgewicht: L M R A 2,2 1,1 4,4 B 3,5 1,2 2,3 C 1,3 0,2 3,0 L R A 2,2 4,4 B 3,5 2,3 Es gibt Spiele, die haben kein Gleichgewicht in reinen Strategien: b (1 b) L R a O 0,0 3,-1 (1 a) U 1,1 2,2 Angenommen Spieler 1 spielt O mit Wahrscheinlichkeit a und U mit (1 a) und Spieler 2spieltLmitb und R mit (1 b). (Ich habe die Wahrscheinlichkeiten nur zur besseren Wintersemester 2000/ Januar 2003

3 Übersicht mit an die Matrix geschrieben..) Damit es Sinn für Spieler 1 macht beide Strategien (wenn auch mit evtl. verschiedenen Wahrscheinlichkeiten) zu verwenden, muß er zwischen beiden indifferent sein (sonst würde er nur die bessere verwenden). Es mußalsogelten: Analog für Spieler 2 0b +3(1 b) =b +2(1 b) 0a +(1 a) = a +2(1 a) Ergebnis: a = 1,b= Das Nash-Gleichgewicht ist 1, 1 2 2, 1, beide Spieler mischen also beide Strategien mit jeweils 1. 2 Wer Lust hat kann die Studies ja auch sagen, daß es immer mindestens ein Gleichgewicht gibt - wenn auch evtl. nur in gemischten Strategien. Weiteres Beispiel: Spieler 2 fährt Straßenbahn. Er kann ein Ticket kaufen (Z), oder schwarz fahren (NZ). Spieler 1 ist ein Kontrolleur, der entweder seinem Job nachkommt (K), oder faul auf der Haut liegt (NK): b (1 b) Z NZ a K -1,0 1,-5 (1 a) NK 0,0 0,1 Indifferenzbedingung muß für gemischtes Gleichgewicht gelten: b +(1 b) = 0b +0(1 b) 0 = 5a +(1 a),solutionis: b = 1,a= ª Modifikation dieses Spiels: Die Strafe für Schwarzfahren wird auf -10 erhöht: b (1 b) Z NZ a K -1,0 1,-10 (1 a) NK 0,0 0,1 b +(1 b) = 0b +0(1 b) 0 = 10a +(1 a),solutionis: b = 1 2,a= 1 11ª. Für den (potentiellen) Schwarzfahrer ändert sich nichts, er fährt genauso viel schwarz wie vorher. Es wird sogar weniger kontrolliert (Intuition: siehe nächster Fall). Wintersemester 2000/ Januar 2003

4 Stattdessen: Anreize für Kontrolleur erhöhen: Wenn er einen Schwarzfahrer erwischt bekommt er 3 b (1 b) Z NZ a K -1,0 3,-5 (1 a) NK 0,0 0,1 b +3(1 b) = 0 0 = 5a +(1 a),solutionis: b = 3,a= 1 4 6ª Es wird weniger Schwarzgefahren, obwohl genau so viel kontrolliert wird. Wenn der Kontrolleur mehr kontrollieren würde (um mehr Geld zu bekommen), würde gar nicht mehr schwarz gefahren und der Kontrolleur bekäme kein Geld als Prämie mehr. Im folgenden ist die Notation etwas anders, weil ich die Folien übernommen habe. Bitte verwendet in Euren Übungen eine einheitliche Notation. Beispiel: Wie muß Spieler 2 mischen, um Spieler 1 indifferent zu machen? (aus O. Kirchkamps Spiel 1 Vorlesung). Evtl. ist es sinnvoll dieses Beispiel zu modifizeren, denn so wird Spieler 2 immer c wählen. Wenn u 2 (A, d) =1, d.h. Spieler 2 eine sichere Auszahlung von 1 bei d hat, ist das Beispiel besser (Spieler 1 wird dann 1, spielen müssen, um Spieler 2 indifferent zu machen. Es kommt also q 2 = 1 3 raus. Wenn Spieler 1 Strategie B mit q 1 spielt, ist der Nutzen von 2 gegeben durch u 2 (q 1,C) = 2q 1 u 2 (q 1,D) = 1 Wintersemester 2000/ Januar 2003

5 2 1.5 u q1 Für q 1 = 1 2 ist Spieler 2 indifferent. Eliminierung dominierter Strategien durch Mischung (aus O. Kirchkamps Spiel 1 Vorlesung) auch hier könnte Strategie A weggestrichen werden: Wintersemester 2000/ Januar 2003

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7 Extensive Spiele /Baumspiele: Die Spieler ziehen nacheinander Extensive Spiele /Baumspiele: Die Spieler ziehen nacheinander Erläutert bitte, was ein Baum und ein Knoten ist.. Beispiel 1: Zwei Spieler möchten zwei identische Güter untereinander aufteilen. Ihr Nutzen leitet sich daraus ab, wieviel Güter sie bekommen. Spieler 1 schlägt eine Aufteilung vor und Spieler 2 akzeptiert oder lehnt ab. Wenn Spieler 2 ablehnt werden beide Spieler sogar noch dafür bestraft, daß sie sich nicht einigen können (z.b. Bruder und Schwester sollen zwei Bonbons aufteilen..). Spieler 2 wird immer annehmen, egal was Spieler 1 vorschlägt. Also wird Spieler 1 die für sich beste Aufteilung im Gleichgewicht vorschlagen. Uns interessiert nur das per Rückwärtsinduktion gewonnene Gleichgewicht. Beispiel2: 1. Spieler 1 wählt entweder L oder R, wobei L das Spiel beendet mit einem Payoff von 2 für Spieler 1 und 0 für Spieler Spieler 2 beobachtet die Wahl von 1. Wenn 1 R gewählt hat, wählt 2 entweder L oder R. L beendet das Spiel mit einem Payoff von 1 für beide Spieler. 3. Spieler 1 beobachtet die Wahl von Spieler 2. Wenn vorher zunächst R und anschließend R gewählt wurde hat Spieler 1 nun die Wahl zwischen L und R. Beide beenden das Spiel. Payoff bei L : 3 für Spieler 1 und 0 für Spieler 2. R 0 für Spieler 1 und 2 für Spieler 2. Wintersemester 2000/ Januar 2003

8 Extensive Spiele /Baumspiele: Die Spieler ziehen nacheinander Bei diesem Spiel sieht man, daß obwohl sofort L gespielt wird es auch wichtig ist, was of-the-equilibrium-path passiert. Wintersemester 2000/ Januar 2003