Mikroökonomik B (Bachelor) Prüfung vom

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1 Bitte eintragen: Matrikel-Nr.: MUSTERLÖSUNG Mikroökonomik B (Bachelor) Prüfung vom Wichtige Hinweise: Sie haben 90 Minuten Zeit, um die folgenden drei Aufgaben zu insgesamt 90 Punkten zu bearbeiten. Teilen Sie sich Ihre Zeit sorgfältig ein! Der Prüfungsbogen umfasst 19 Seiten einschliesslich dieses Deckblatts. Überprüfen Sie Ihr Exemplar auf Vollständigkeit! Benützen Sie nur die ausgeteilten Blätter für die Lösung der Aufgaben. Benützen Sie wenn nötig die Rückseiten der Blätter und vermerken Sie dies unbedingt. Entfernen Sie nicht die Heftklammer! Tragen Sie Ihre Matrikelnummer und Ihre Platznummer auf diesem Deckblatt sowie auf jeder beschriebenen Seite ein. Lassen Sie auf jeder Seite rechts einen Rand von ca. 3cm frei. Taschenrechner sind nicht erlaubt. Legen Sie bitte Ihren Studentenausweis zur Kontrolle bereit. VIEL ERFOLG! Für Korrektur bitte frei lassen. (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (j) Σ Aufgabe 1 /30 Aufgabe 2 /3 /2 /3 /2 /5 /3 /4 /7 /3 /3 /35 Aufgabe 3 /3 /3 /5 /6 /8 /25 Total /90 1

2 Aufgabe 1: Multiple-Choice- und Kurz-Fragen (30 Punkte) Geben Sie zu jeder der folgenden Fragen die korrekte Antwort. Multiple-Choice-Fragen: In jedem Fall ist nur eine Antwort korrekt! Eine korrekte Antwort gibt 3 Punkte, jede falsch oder nicht beantwortete Frage gibt 0 Punkte. Kurz-Fragen: Geben Sie eine kurze und präzise Antwort (max. 3 Sätze!). Jede korrekt beantwortete Frage gibt 3 Punkte. (a) Zeitinkonsistenz von Präferenzen: Zu jedem Zeitpunkt t = 1, 2,... habe ein Individuum Präferenzen U t (u t,u t+1,u t+2,...) über seine derzeitigen und zukünftigen Intra-Perioden Payoffs u t,u t+1,u t+2,...für welche Form von U t ( ) sind die Präferenzen des Individuums nicht zeitkonsistent? (β,δ (0,1) in jedem der Fälle.)? U t (u t,u t+1,...)= u t + δu t+1 + δ 2 u t+2 + δ 3 u t+3 + U t (u t,u t+1,...)=δu t + δ 2 u t+1 + δ 3 u t+2 + δ 4 u t+3 + x U t (u t,u t+1,...)= u t + βu t+1 + βu t+2 + βu t+3 + U t (u t,u t+1,...)= u t + βδu t+1 +(βδ) 2 u t+2 +(βδ) 3 u t+3 + (b) Zinsanstieg: Anton konsumiert über zwei Perioden. Im folgenden Diagramm sind eingezeichnet: seine Budgetgerade B(r), seine Geldausstattung m, sowie sein Konsumpunkt x samt Indifferenzkurve. Konsum Periode 2 m x B(r) Konsum Periode 1 Nun steige der Zinssatz auf r. Welche der folgenden Aussagen ist richtig? Der Zinsanstieg muss zu einer Zunahme des Konsums in Periode 2 führen. Der Zinsanstieg muss zu einer Abnahme des Konsums in Periode 2 führen. x Anton muss unter r Kreditgeber sein, damit sich sein Nutzen durch den Zinsanstieg nicht verringert. Anton muss unter r Kreditnehmer sein, damit sich sein Nutzen durch den Zinsanstieg nicht verringert. 2

3 (c) Marktformen und Konsumentenrente: Betrachten Sie einen Markt mit linearer Nachfrage P(Q)=a b Q und Preisnehmerschaft auf Konsumentenseite. Betrachten Sie nun folgende Marktformen auf der Angebotsseite: B: Betrand-Wettbewerb C2: Cournot-Wettbewerb, 2 Firmen C4: Cournot-Wettbewerb, 4 Firmen M: Monopol Ordnen Sie diese Marktformen nach der Höhe des Schadens auf Konsumentenseite (gemessen anhand des Verlusts in aggregierter Konsumentenrente): kleinster Schaden grösster Schaden C2 C4 B M C4 C2 M B C2 C4 M B x B C4 C2 M (d) Cournot-Duopol: Zwei Firmen befinden sich im Cournot Duopol mit linearer Nachfrage. Im Diagramm unten sind die besten Antworten der Firmen, q 1 (q 2 ) bzw. q 2 (q 1 ), sowie das Nash-Gleichgewicht (q 1,q 2 ) eingezeichnet. Skizzieren Sie die Iso-Gewinn-Linien von Firma 1: Zeichnen Sie drei Iso-Gewinn-Linien ein und kennzeichnen Sie (anhand eines Pfeils) die Richtung, in welche der Gewinn steigt. q 2 a c 1 2 (a c) q 1 (q 2 ) (q 1,q 2 ) q 2 (q 1 ) Wichtig: Iso-Gewinn-Kurven sind im Schnittpunkt mit q 1 (q 2 ) horizontal, konkav nach unten (q 2 ) zunehmend 1 2 (a c) a c q 1 3

4 (e) Gemischte Strategien: Welche der folgenden Aussagen über Nash-Gleichgewichte in gemischten Strategien (in Spielen in strategischer Form mit vollständiger Info) ist falsch? Spieler müssen indifferent sein zwischen reinen Strategien, welche sie mit strikt positiver Wahrscheinlichkeit spielen. x Jede schwach dominante reine Strategie muss mit Wahrscheinlichkeit 1 gespielt werden. Jede strikt dominierte reine Strategie muss mit Wahrscheinlichkeit 0 gespielt werden. Jeder Spieler wählt seine Strategie um seinen erwarteten Payoff zu maximieren (gegeben die Strategie des anderen). (f) Bertrand-Duopol: Betrachten Sie das Modell des homogenen Bertrand-Duopols (Firmen verkaufen ein homogenes Gut, welches jede Firma zu Grenzkosten c produziert). Erklären Sie, warum p 1 = c, p 2 > c kein Nash-Gleichgewicht ist! In dieser Situation bekommt Firma 1 die volle Nachfrage, aber macht Gewinne von Null. Sie hat daher einen Anreiz abzuweichen, indem sie ihren Preis leicht erhöht, was ihr strikt positive Gewinne bringt. 4

5 (g) Das Intro-Spiel: Betrachten Sie folgendes Spiel (aus der Vorlesung): Jeder von Ihnen schreibt eine ganze Zahl zwischen 0 und 100 auf. Ziel ist, 2/3 des Durchschnitts der angegebenen Zahlen zu erraten. Genauer: Jeder Student, welcher die höchste Zahl errät, welche nicht grösser als 2/3 des Durchschnitts ist, erhält ein Schoggi-Stengeli. Erläutern Sie (in Worten), warum es keine strikt dominierte Strategie ist, die Zahl 100 anzugeben obwohl Sie mit dieser Zahl niemals gewinnen können. Kurzantwort (ausreichend): Es müsste dafür eine Zahl geben, mit der ein Spieler immer gewinnt, egal welche Zahlen die anderen nennen. Detaillierte Ausführung: 100 wäre strikt dominiert, wenn: Zahl s i {0,1,...,100} sodass u i (s i,s i ) > u i (100,s i ), s i (Zahlen der anderen). Da ich mit 100 immer verliere (also u i (100,s i )=0, s i )istdiesäquivalent zu: es gibt eine Zahl s i {0,1,...,100} mit der ich immer gewinne (egal, was die anderen sagen). Dem ist offensichtlich nicht so. Für jedes s i > 0 verliere ich z.b. wenn die andern alle Null sagen, für s i = 0 verliere ich z.b. wenn ein Mitspieler 1 und der Rest 100 sagen. 5

6 (h) Teilspielperfektion I: Nennen Sie alle teilspielperfekten Nash-Gleichgewichte (in reinen Strategien) des folgenden Spiels. Achten Sie auf klare Notation. 1 (2/0) (0/2) (1/1) j n j n j n (2,0) () (1,1) () (0,2) () Tsp-NGG 1: P1: (1/1),P2:{(2/0) n,(1/1) j,(0/2) j} Tsp-NGG 2: P1: (2/0),P2:{(2/0) j,(1/1) j,(0/2) j} (i) Teilspielperfektion II: Nennen Sie ein Nash-Gleichgewicht des Spiels in Teilfrage (h), welches nicht teilspielperfekt ist. Einfachstes Beispiel: P1: (0/2),P2:{(0/2) n,(1/1) n,(0/2) j} Die volle Liste aller 9 Nash-GG findet sich in folgender strategischer Form: nnn nnj njn njj jnn jnj jjn jjj (2/0) 2,0 2,0 2,0 2,0 (1/1) 1,1 1,1 1,1 1,1 (0/2) 0,2 0,2 0,2 0,2 6

7 (j) Bayesianische Spiele: Betrachten Sie die Variante des Geschlechterkampfs, in welcher Unsicherheit darüber herrscht, ob Chris Pat treffen möchte. Es gebe folgende zwei Fälle (Chris kennt den Fall, Pat nicht): Fall 1: Chris will Pat treffen Pat O F Chris O F 2,1 1,2 Fall 2: Chris will Pat nicht treffen Pat O F Chris O F 0,1 1,0 1,0 0,2 Sei p die Wahrscheinlichkeit, dass Chris Pat treffen möchte.was mussfür p gelten, damit folgendes Strategieprofil ein Gleichgewicht ist: Pat geht zum Boxkampf (F), Chris geht zum Boxkampf (F) falls er Pat treffen möchte, zur Oper (O) falls nicht? p 2/3 Für Optimalität von Pat s Strategie muss gelten: p 1/3 p 2/3 x p 1/3 Pr[Chris will treffen] 2 Pr[Chris will nicht treffen] 1 }{{}}{{} p 1 p 7

8 Aufgabe 2: Erwartungsnutzen, Versicherung, Spieltheorie (35 Punkte) Bauer B hat ein Geldvermögen w und besitzt eine Scheune. Mit Wahrscheinlichkeit p bricht in der Scheune ein Feuer aus. In diesem Fall muss die Scheune neu gebaut werden. Der Wiederaufbau reduziert sein Geldvermögen um s. Bauer B s Erwartungsnutzen für Lotterien über sein Geldvermögen w sei gegeben durch und es gelte u(w)= w, w = 16 s = 12 p = 1/2. (a) Berechnen Sie den Erwartungswert des Geldvermögens E[w] und B s Erwartungsnutzen U B. (3 Punkte) E[w]=1/2(16 + 4)=10, U B = E(u(w)) = 1/2( )=3(= 9) (b) Berechnen Sie B s Nutzen aus dem sicheren Besitz des erwarteten Geldvermögens. [Hinweis: Wurzel-Ausdrücke ohne ganzzahliges Ergebnis müssen Sie nicht explizit berechnen.] (2 Punkte) u(e(w)) = 10 8

9 (c) Ist Bauer B risikofreudig oder risikoavers? (3 Punkte) Antwort 1: Da u(e(w)) > E(u(w)) (aus (a) und (b)) ist B risikoavers. Antwort 2: Da u(w)= w strikt konkav ist B strikt risikoavers. Eine Versicherung V bietet B folgenden Vertrag an: B zahlt in jedem Fall eine Prämie in Höhe von V = 6 an die Versicherung. Im Schadensfall bezahlt die Versicherung den Neubau der Scheune. (d) Wie hoch ist der erwartete Gewinn der Versicherung? (2 Punkte) E(π)=V p s = = 0 9

10 Ein neuartiger Feuermelder kann die Wahrscheinlichkeit eines Feuerschadens auf p = 1/10 senken. Die Kosten betragen k = 4. (e) Lohnt sich die Anschaffung des Feuermelders für den Bauern, wenn er keine Versicherung hat? Wird er die Versicherung kaufen, wenn er den Feuermelder bereits angeschafft hat? [Hinweis: = 972.] (5 Punkte) U B [ ohne FM, ohne V ]=3 = 9 U B [ mit FM, ohne V ]=(9/10) w k +(1/10) w k s =(9/10) = 972/100 = 9,72 > 9 also wird B den Feuermelder kaufen, wenn er keine Versicherung hat. Weiters: U B [ mit FM, mit V ]=(9/10) w k P +(1/10) w k P = 6 < 9.72, also wird er die Versicherung nicht kaufen, wenn er einen Feuermelder hat. 10

11 Nehmen Sie an, B entscheide sich, den Feuermelder zu kaufen. Wegen der gesunkenen Feuerwahrscheinlichkeit verbessert die Versicherung ihr Vertragsangebot auf V = 1.5 und B kauft die Versicherung. Nach Abschluss des Vertrages erhält B die Möglichkeit den Feuermelder wieder zu verkaufen (zum Preis 4). Im Falle eines Feuers brennt die gesamtescheune ab und es lässt sich nicht rekonstruieren, ob ein Feuermelder im Einsatz war. (f) Was ist das optimale Verhalten von B nach Abschluss des soeben beschriebenen Vertrages? (3 Punkte) Da B versichert ist, ist die Feuerwahrscheinlichkeit für ihn irrelevant. Wenn er den Feuermelder verkaufen kann, wird er dies tun um sein Geldvermögen zu erhöhen. (g) Welches Problem hat die Versicherung nach Abschluss des Vertrages? (4 Punkte) Da B seinen Feuermelder verkaufen wird, steigt die Feuerwahrscheinlichkeit wieder auf 1/2. Bei einer Prämie von 1,5 bedeutet dies einen erwarteten Verlust für die Versicherung! 11

12 Formulieren Sie die beschriebene Situation nun als Spiel in extensiver Form. Das Spiel beginnt nachdem B einen Feuermelder installiert hat und verläuft wie folgt: Zunächst entscheidet die Versicherung, ob sie den Vertrag V = 6 oder den Vertrag V = 1,5 anbietet. B muss den Vertrag kaufen. Anschließend entscheidet B, ob er den zuvor gekauften Feuermelder wieder verkauft oder behält. Der Payoff der Versicherung ist der erwartete Gewinn, der Payoff des B ist der Erwartungsnutzen aus seinem Geldvermögen. (h) Berechnen Sie alle möglichen Payoffs und zeichnen Sie einen Spielbaum. Achten Sie auf klare Beschriftung. (7 Punkte) Aktionen der Versicherung: V,V, Aktionen des B: (F)euermelder, (K)ein Feuermelder. Payoffs sind dann (V,K) ( 4.5, 14.5) (V,F) ( 0.3, 10.5) (V,K) ( 0, 10) (V,F) ( 4.8, 6) 12

13 zusätzlicher Platz zur Lösung Teilaufgabe (h) 13

14 (i) Bestimmen Sie das teilspielperfekte Nash-Gleichgewicht. Ist es Pareto-effizient? (3 Punkte) Rückwärtsinduktion: B wird immer K wählen. Dann ist V = 6für die Versicherung optimal. Formal: NGG ist {V,{V K,V K}} Das GG ist nicht PE, da (V,F) beide besser stellen würde. (j) Gibt es neben dem soeben bestimmten Gleichgewicht weitere Nash-Gleichgewichte? Begründen Sie Ihre Antwort. (3 Punkte) Nein. Dies sieht man anhand der strategischen Form (und Bestimmung der besten Antworten): V F V F V K V F V F V K V K V K V 4.8, 6 0, , 6 0, 10 (V,F) (V,K) (V,F) (V,K) V 0.3, , , , 14.5 (V,F) (V,F) (V,K) (V,K) 14

15 Aufgabe 3: Spieltheorie (25 Punkte) Betrachten Sie das folgende symmetrische Spiel in Normalform. Spieler 1 O K E Spieler 2 O K E 7, 7 0, 3 3, 1 3, 0 18,18 20, 0 1, 3 0,20 2, 2 (a) Gibt es strikt dominierte Strategien? (3 Punkte) K wird strikt von E dominiert. (b) Finden Sie alle reinen Nash-Gleichgewichte. (3 Punkte) (O,O) und (E,E) 15

16 Nun wird das Spiel zweimal hintereinander gespielt. Die Payoffs aus beiden Runden werden ohne Diskontierung addiert. (c) Erläutern Sie, welche Angaben eine Strategie enthalten muss und grenzen Sie den Begriff der Strategie von dem der Aktion ab. (5 Punkte) Eine Aktion ist ein Element aus {O,K,E}, eine Strategie spezifiziert für Periode eins eine Aktion (oder ein Mischung daraus). Außerdem spezifiziert sie für jedes Payoff-Paar aus Periode eins eine Aktion für Periode zwei (oder ein Mischung daraus). 16

17 (d) Konstruieren Sie ein teilspielperfektes Nash-Gleichgewicht, bei dem in der ersten Periode (K,K) gespielt wird. Zeigen Sie, dass tatsächlich ein Gleichgewicht vorliegt. (6 Punkte) Symmetrische Strategien: Spiele K in t1, spiele O in t2, falls (K,K) in t1, sonst spiele E. Payoff im GG: 25. Beste Abweichung in t1: E, ergibt Payoff von 22 < 25. In t2 ist keine Abweichung profitabel weil (O,O) und (E,E) beides NG des einfachen Spieles sind. 17

18 Nun werde das Spiel mehrmals wiederholt. Nach jeder Wiederholung bricht das Spiel mit einer Wahrscheinlichkeit von 2/3 ab, mit der Gegenwahrscheinlichkeit kommt es zur nächsten Wiederholung. Die Spieler maximieren ihren erwarten Payoff. (e) Finden Sie jenes teilspielperfekte Nash-Gleichgewicht, welches die Summe der Payoffs der beiden Spieler maximiert. Definieren Sie vollständig die Gleichgewichtsstrategien und zeigen Sie, dass es sich tatsächlich um ein teilspielperfektes Nash-Gleichgewicht handelt. [Hinweis: t=1 pt = p/(1 p)] (8 Punkte) In jeder Periode gibt (K,K) die höchste Payoffsumme. Wenn es ein GG gibt, bei dem auf dem GG Pfad immer (K,K) gespielt wird, ist es also das gesuchte. Bleibt zu zeigen, dass so ein GG existiert. Wir betrachten folgende symmetrische Strategien: Spiele K in t1 und in jeder Folgeperiode, falls (K,K) in allen bisherigen Runden gespielt wurde. Sonst spiele von nun an immer E. Die Strategien sind ein GG, wenn es keine profitable 1-Periodige Abweichung gibt (One-deviation- Prinziple): (1) Teilspiele, denen ein Abweichung vom GG vorangeganen ist: E ist offenbar die beste Antwort auf E. (2) Teilspiele, denen keine Abweichung vom GG vorangegangen ist: Die beste Abweichung ist, E zu spielen, was einen Payoff von p + 2p 2 + = t=1 p t = p 1 p = 21 nach sich zieht, wobei p = 1/3 die Wahrscheinlichkeit bezeichnet, dass das Spiel fortgesetzt wird. Dagegen verspricht der GG Pfad einen Payoff von p 1 p = 27 was offenbar höher ist. 18

19 zusätzlicher Platz zur Lösung Teilaufgabe (e) 19