Wirtschaft 1

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1 Wirtschaft 1 Michael Weichselbaumer Sommersemester Produktion 1. Eine Produktionsfunktion hat folgendes Aussehen: x = 0, 5 r (r 1 r 2 ) 0,5 1. Es sollen x = 5 Einheiten produziert werden. Ermitteln Sie, welche Einsatzmengen des Faktors 1 jeweils eingesetzt werden müssen, wenn r 2 = 2 bzw. r 2 = 4 beträgt. 2. Bestimmen Sie die Substitutionsrate. 3. Angenommen von r 2 soll ein konstantes Niveau von r 2 = 4 Einheiten im Produktionsprozess eingesetzt werden. Ermitteln Sie die Funktion, die die möglichen Produktionsvolumina (x) bei alleiniger Variation des Faktors 1 angibt. 4. Bestimmen Sie die Grenz- und Durchschnittsproduktivität (zu r 2 = 4). 2. Kurzfristig kann eine Firma die Anzahl der eingesetzten Arbeitsstunden, L, verändern, aber das Kapital ist fix bei K = 2. Die Firma produziert Output q. Berechnen Sie für folgende Produktionsfunktionen, ob das Grenzprodukt der Arbeit abnimmt: 1. q(k, L) = 10L + K 2. q(k, L) = L 0,5 K 0,5 3. In einem kleinen Geschäft werden Keramiktassen produziert, unter Verwendung von Arbeitszeit, einem Brennofen, und Ton. Mit einer Arbeitskraft können 25 Tassen produziert werden, und mit zwei Arbeitskräften 35 Tassen. Entspricht diese Beobachtung abnehmenden Skalenerträgen oder abnehmendem Grenzprodukt? Welche Erklärung gibt es dafür, dass die Produktion nicht proportional mit der Anzahl der Arbeitskräfte steigt? 4. Prüfen Sie die folgenden Produktionsfunktionen auf Homogenität. 1. x = 2r 1 r 2 2. x = 3r r 1 r 2 3. x = 5r 1 + 5r 1 r 2 1

2 5. Unter welchen Bedingungen weisen folgende Produktionsfunktionen fallende, konstante oder steigende Skalenerträge auf? 1. q(k, L) = L + 2K 2. q(k, L) = L α K β 3. q(k, L) = L + L α K β + K 6. Bestimmen Sie alle Derivate folgender Kostenfunktion: K(x) = x 3 9x x + 100, 0 x 10, und stellen Sie alle Funktionen graphisch dar. 7. Bestimmen Sie für die Produktionsfunktion x = 1/6 r die Kostenfunktion, falls der Preis für den Faktor p R = 36 (in Geldeinheiten) beträgt. 8. Bestimmen Sie für eine Produktionsfunktion x = r 0,4 1 r 0,4 2 den Expanstionspfad und die Kostenfunktion, wenn der Preis für den Faktor 1 p 1 = 2 und für den Faktor 2 p 2 = 3 beträgt. 9. L und K sind perfekte Substitute. Für die Produktion von einer Einheit Output, q, benötigt man eine Einheit K oder drei Einheiten L. 1. Wie lautet die Produktionsfunktion? 2. Wie viel Mal teurer darf Kapital sein, um nur mit Kapital zu produzieren? Erklären Sie mit Hilfe von MRTS und Inputpreisverhältnis, welche drei Fälle für die Aufstellung der Kostenfunktion unterschieden werden müssen. 10. Nehmen Sie vereinfacht an, dass Cornflakes mit konstantem Inputverhältnis produziert werden: für eine Schachtel werden 0,2 Kilogramm Inhalt benötigt. Was ist der Expansionspfad? Wie sieht er aus? Was ist die langfristige Kostenfunktion? 11. (Cobb-Douglas Produktionsfunktion) Eine Firma produziert Output q mit Inputfaktoren K und L gemäß der Produktionsfunktion q(k, L) = 2L 0,5 K 0,5. Die Kosten der Inputfaktoren sind w pro Arbeitseinheit und r pro Kapitaleinheit. 1. Kurzfristig ist K festgelegt bei K = 4. Berechnen Sie die kurzfristige Produktionsfunktion und die kurzfristige Kostenfunktion. 2. Langfristig können beide Inputfaktoren so gewählt werden, dass die Kosten minimal sind. Berechnen Sie die langfristige Kostenfunktion. Skizzieren Sie den Expansionspfad. 3. Was passiert mit den Kosten C(q) für ein bestimmtes Produktionsniveau q wenn der Lohnsatz w steigt? Erklären Sie das anhand einer Graphik und mit der Kostenfunktion. 2

3 12. (Kostenfunktionen) Die Kostenfunktion sei gegeben durch C(q) = 10 + q Berechnen und zeichnen Sie AF C(q), MC(q), AV C(q) und AC(q). 2. Zeigen Sie, dass der Schnittpunkt von AC(q) und MC(q) dort liegt, wo AC(q) ihr Minimum erreicht. Erklären Sie diese Eigenschaft. 13. (MC und AC) Zeigen Sie allgemein, dass der Schnittpunkt von AC(q) und MC(q) dort liegt, wo AC(q) ihr Minimum erreicht. 3

4 2 Haushalte 1. Zeichnen Sie Indifferenzkurven mit einem nützlichen Gut auf der vertikalen Achse und einem neutralen Produkt auf der horizontalen Achse. Beim neutralen Produkt ist der Konsument indifferent ob er es konsumieren will oder nicht. 2. Was passiert mit der Budgetbeschränkung bzw. dem Optimum wenn sich alle Preise und das Einkommen verdoppeln? Hinweis: Was passiert mit den Achsenschnittpunkten der Budgetgeraden? 3. Betrachten Sie ein Individuum mit folgenden Präferenzen: U(x 1, x 2 ) = x 1 x 2, wobei x 1 und x 2 die Menge von Gut 1 und Gut 2 bezeichnen, die das Individuum konsumiert. Das Einkommen beträgt M. 1. Berechnen Sie die individuelle Nachfragefunktion nach x 1 und x 2. Fertigen Sie eine Graphik für die Nachfrage nach Gut 1 an, und zwar für ein Einkommen von M = 100 und p 2 = Was ist die Engel-Kurve für Gut 1? Zeichnen Sie eine Graphik für p 1 = 2 und p 2 = Preise und Einkommen seien: p 1 = 2, p 2 = 4, M = 100. Was sind die optimalen Mengen von x 1 und x 2? Welchen Wert hat die Nutzenfunktion? 4. Bestimmen Sie die Nachfragefunktion nach Coke für eine Person, die Coke und Pepsi als perfekte Substitute betrachtet, und eine fixe Geldmenge für diese Güter ausgibt. Fertigen Sie eine Graphik an. Hinweise: Beginnen Sie mit der Graphik. Nehmen Sie dafür ein Budget von Y = 10 und einen Preis für Pepsi von p p = 1. Überlegen Sie, wie viel Coke die Person nachfragt, für jeden beliebigen Preis für Coke und Y = 10 und p p = 1. Leiten Sie daraus x c = D(p c, p p, Y ) allgemein ab (d.h. ohne die konkreten Werte für Y und p p ), und beachten Sie dabei, dass es drei unterschiedliche Fälle gibt, abhängig vom Preisvergleich p p versus p c. 5. Ein Person betrachtet Donuts und Kaffee als perfekte Komplemente: Zu jedem Kaffee isst sie einen Donut, niemals isst sie einen Donut ohne einen Kaffee bzw. trinkt einen Kaffee, ohne einen Donut zu essen. 1. Wie lautet die Nachfragefunktion nach Donuts? Zeichnen Sie sie für p c = 5 und Y = Wie lautet die Engel-Kurve für Donuts? Zeichnen Sie sie für p c = 5 und p d = 10. Wie viel muss das wöchentliche Budget steigen, damit die Person einen Donut mehr pro Woche kauft? 4

5 3 Absatz 3.1 Vollkommener Wettbewerb 1. Gegeben sind die Produktionsfunktion x = 4 r 1 r 2, die Faktorpreise q 1 = 1 und q 2 = 3 sowie der Verkaufspreis p = 10. Gesucht sind: 1. die Gleichung der Isoquante für x = 5, 2. der Expansionspfad, 3. die Kostenfunktion, 4. die gewinnoptimale Ausbringungsmenge. 2. Ein Unternehmen ermittelt für seine Produktion folgende Kostenfunktion: K(x) = x 3 24x x Der erzielbare Verkaufserlös für x beträgt 80 GE pro Stück. 1. Ermitteln Sie die Gewinnschwelle (Break-Even-Point). 2. Ermitteln Sie den maximal erzielbaren Gewinn (Betriebsmaximum). 3. Wie groß ist x im Betriebsoptimum und im Betriebsminimum (d.h. bei minimalen Durchschnittskosten). 3. (Kurzfristiger Fall, Firma und Markt) Die Unternehmen einer Branche produzieren mit identischen (kurzfristigen) Kostenfunktionen: C(q) = 2q 2 + 6q Berechnen und zeichnen Sie die durchschnittlichen Kosten, die durchschnittlichen variablen Kosten sowie die Grenzkosten einer einzelnen Firma. Wie lautet die Angebotsfunktion der Firma? 2. Derzeit befinden sich 100 Unternehmen im Markt. Ermitteln Sie die Marktangebotsfunktion. Stellen sie diese in einer neuen Grafik dar. 3. Berechnen Sie den Preis und die Menge im kurzfristigen Marktgleichgewicht, wenn die Nachfragefunktion Q(p) = p lautet. Stellen Sie das Gleichgewicht in der Zeichnung von Unterpunkt 2 dar. Wie hoch ist der Gewinn jedes einzelnen Unternehmens? 4. Die Nachfrage steigt auf Q(p) = p. Wie wirkt sich das kurzfristig auf den Marktpreis, die gehandelte Menge und die Unternehmensgewinne aus? Stellen Sie das Gleichgewicht in der Zeichnung von Unterpunkt 2 dar. 5. Erklären Sie ökonomisch, wie sich nach dem Nachfrageanstieg langfristig der Preis, die Menge und die Gewinne entwickeln werden wenn die obige Kostenfunktion auch die langfristige Kostenfunktion ist (C(q) = 2q 2 + 6q + 18 für q > 0; C(q = 0) = 0 sonst), und warum dies geschieht. Bestimmen Sie den Preis, die Gesamtmenge, die Menge eines Unternehmens, die Gewinne und die Firmenanzahl. 5

6 4. (Langfristiger Fall, Firma und Markt) Eine Firma in einem Wettbewerbsmarkt hat die langfristige Kostenfunktion C(q) = 16 + q 2 für q > 0 und C(q) = 0 für q = 0. Die Nachfragefunktion für den gesamten Markt beträgt Q(p) = 24p. Bestimmen Sie den Preis des Gutes, die Produktionsmenge einer Firma, die Gesamtmenge auf dem Markt und die Anzahl der Firmen in einem langfristigen Marktgleichgewicht. 3.2 Monopol, Preisdiskriminierung 1. Ermitteln Sie für die angegebene Preis-Absatz- und Kosten-Funktion die gewinnmaximale Menge und den gewinnmaximalen Preis. p = 300 0, 02x, K = , 4x. Welchen Einfluss hat eine Kapazitätsrestriktion von 4000 Stück auf die Gewinnmaximierung? Welche Marktform liegt vor? 2. Ein Unternehmen hat mit dem Produkt X eine Monopolstellung. Es kann eine lineare Kostenfunktion und eine lineare Preis-Absatz-Funktion angenommen werden. Das Unternehmen produziert das Produkt bereits zwei Perioden. In der ersten Periode wurden Stk. zu einem Preis von je 800 GE verkauft, es entstanden dabei Gesamtkosten von GE. In der zweiten Periode wurde der Preis auf 920 GE angehoben, worauf der Absatz auf Stk. zurückging, die Gesamtkosten betrugen GE. 1. Stellen Sie die Kosten- und Preis-Absatz-Funktion auf. 2. Berechnen Sie die gewinnmaximale Menge, den gewinnmaximalen Preis und den dabei realisierten Gewinn. 3. Berechnen Sie die umsatzmaximale Menge, den umsatzmaximalen Preis und den dabei realisierten Gewinn. 3. Gegeben sind der Prohibitivpreis p 0 = 2000 GE, die Grenzkosten K = 600 GE, die Cournotsche Menge (d.h. die Menge, bei der der Gewinn maximal ist) x C = 350 Stk. sowie die Fixkosten K f = GE. Bestimmen Sie die Kostenfunktion sowie die Preis-Absatz-Funktion und berechnen Sie den maximal erzielbaren Gewinn. 4. Ein Unternehmen kennt seine Kostenfunktion K(x) = x und seine Preis- Absatz- Funktion p(x) = 200 x. 1. Wie hoch ist der maximale Gewinn? 2. Wie ändert sich das Ergebnis, wenn es gelingt die Fixkosten zu halbieren? 3. Wie ändert sich das Ergebnis, wenn es gelingt die variablen Kosten zu halbieren? 6

7 5. Die inverse Nachfragekurve auf einem Markt, in dem ein Monopolist anbietet, ist p(q) = 100 2Q. Die kurzfristigen Kosten des Monopolisten sind C(Q) = Q. 1. Was ist das profitmaximierende Outputniveau und welcher Marktpreis ergibt sich dadurch? 2. Wie hoch sind die Gewinne des Monopolisten? 3. Zeichnen Sie die Grenzerlös-, die Grenzkosten- und die Nachfragekurve. 4. Wie hoch wären Preis und Output der Firma, wenn sie die Preise wie im vollkommenen Wettbewerb setzen würde? 6. (Vertikale Monopole/Double Marginalisation) Ein japanisches Unternehmen, genant Tony, hat ein Monopol für eine neue Audiotechnologie. Es ist der einzige Erzeuger der Abspielgeräte und vertreibt diese exklusiv an einen Händler in den USA, die Deep Blue Retail Chain. Tony kann ein weiteres Gerät um $100 produzieren, unabhängig davon, wie viele Geräte es bereits produziert hat. Tony verkauft ein Gerät zum Preis r an Deep Blue. Deep Blue hat keine marginalen Kosten für den Vertrieb in den USA. Die jährliche Nachfrage in den USA nach den Geräte ist Q(p) = p. 1. Finden Sie für die beiden vertikalen Monopole eine Lösung für die beiden Preise der Unternehmen, r und p, und die verkaufte Menge an Geräten, Q, sodass beide Monopole ihre Profite maximieren. 2. Eine Möglichkeit für Tony, um diesen doppelten Monopolaufschlag zu umgehen, ist es, Deep Blue aufzukaufen. Was ist dann das Gleichgewicht, bestehend aus Preis p und Menge Q? 7. (Preisdiskriminierung) BMW produziert Autos mit konstanten marginalen Kosten MC = Sie werden vom Management beauftragt, Preis und Menge an Autos für den amerikanischen und europäischen Markt festzulegen. Die Nachfrage in den beiden Märkten ist Ihnen bekannt (E für Europa, U für USA): Q E = p E, Q U = p U. Nehmen Sie an, BMW hat die Möglichkeit, Verkäufe von Autos in den USA ausschließlich über von ihnen autorisierte Händler zuzulassen. 1. Welchen Preis soll BMW in den beiden verschiedenen Märkten setzen und wie viele Autos werden dabei verkauft? Wie hoch sind die Profite von den beiden Märkten? 2. Berechnen Sie die Konsumentenrente in den beiden Märkten. 3. Wenn BMW gezwungen ist, in beiden Märkten den gleichen Preis zu verlangen, wie hoch wird dieser Preis dann sein? Wie hoch werden dann die Mengen sein, die jeweils verkauft werden und wie hoch ist der Gesamtprofit? 7

8 3.3 Oligopol 1. (Duopol: Cournot, Stackelberg, Bertrand) Gegeben sei ein Duopol mit der folgenden Marktnachfrage: p(y) = 24 y. Firma 1 hat konstante Grenzkosten in der Höhe vonmc 1 = 1, und Firma 2 ebenfalls konstante Grenzkosten, aber in der Höhe von MC 2 = 2. Es gibt keine Fixkosten. y 1 und y 2 stehen für die Outputmengen von Firma 1 bzw. Firma Was sind die Outputmengen im Gleichgewicht bei Cournot-Wettbewerb? Berechnen Sie auch den Marktpreis und die Gewinne der beiden Firmen. 2. Wenn die Firma mit den niedrigeren Kosten als Stackelberg-Führer agiert, hat sie dann mehr Profit als im Cournot-Wettbewerb? Vergleichen Sie die Profite mit jenen in Unterpunkt Welches Gleichgewicht stellt sich bei Bertrand-Wettbewerb ein? 2. (Cournot-Oligopol: 3 Firmen) Drei Firmen produzieren das gleiche homogene Produkt. Alle drei Firmen haben konstante Grenzkosten MC=3. Die inverse Nachfragefunktion ist p(q) = 15 - Q, wobei Q die gesamte produzierte Menge ist. Was ist die optimale Produktionsmenge für jede Firma, wenn sie zueinander im Cournot-Wettbewerb stehen? Wie hoch ist der Marktpreis und die Profite? 3. (Cournot-Duopol, Kartell) Zwei Firmen produzieren ein homogenes Gut in einem Markt mit inverser Nachfragefunktion p(q) = 10 Q, wobei Q den gesamten Output des Marktes darstellt. Beide Firmen haben konstante Grenzkosten MC = 1. Es gibt keine Fixkosten. 1. Zeigen Sie dass der Gesamtoutput im Cournot-Gleichgewicht größer ist als wenn die beiden Firmen ein Kartell bilden. 2. Nehmen Sie an, eine der beiden Firmen hält sich an die Kartellvereinbarung und produziert die Hälfte des Monopoloutputs. Gibt es für die andere Firma einen Anreiz, mehr oder weniger zu produzieren als vereinbart? Warum (nicht)? 8

9 4 Investition 1. Eine Person hat die Möglichkeit ein Fass Whisky für 1000 GE zu erwerben. Er hofft, das Fass nach einem Jahr zum Preis von 1360 verkaufen zu können. Die Lagerkosten betragen 160 und sind im Verkaufszeitpunkt fällig. Die Zinsen auf das eingesetzte Kapital betragen 10% pro Jahr. Geben Sie eine Handlungsempfehlung. 2. Der Marktzins beträgt 5 Prozent und soll auch auf diesem Niveau bleiben. Verbraucher können zu diesem Zinssatz Kredite in beliebiger Höhe aufnehmen und gewähren. Begründen Sie Ihre Entscheidung in jedem der folgenden Fälle: 1. Würden Sie ein Geschenk in Höhen von 500 Euro heute einem Geschenk von 540 Euro im nächsten Jahr vorziehen? 2. Würden Sie ein Geschenk in Höhen von 100 Euro heute einem zinsfreien Kredit von 500 Euro mit vier Jahren Laufzeit vorziehen? 3. Würden Sie einen Preisnachlass von 350 Euro auf ein Auto im Wert von 8000 Euro einer Finanzierung des Autos zum vollen Preis mit einem Zinssatz von 0 Prozent für ein Jahr vorziehen? 4. Sie haben soeben eine Million im Lotto gewonnen und erhalten Euro jährlich für die nächsten 20 Jahre. Wie viel ist das heute für Sie wert? 5. Sie gewinnen einen Jackpot, bei dem Sie entweder heute eine Million Euro oder jährlich für immer bekommen können (dieses Recht kann auch an die Erben weitergegeben werden). Wofür entscheiden Sie sich? 6. In der Vergangenheit mussten erwachsene Kinder Schenkungssteuer zahlen, wenn sie von ihren Eltern Geschenke im Wert von über Euro erhielten. Jedoch konnten die Eltern ihren Kindern zinsfreie Kredite gewähren. Warum waren einige Leute der Meinung, dies sei unfair? Wem gegenüber war diese Regelung unfair? 3. Ermitteln Sie den Kapitalwert für folgendes Projekt: c 0 = , c 1 = , c 2 = , c 3 = , Restwert , r = 0, 1. Interpretieren Sie das Ergebnis. 4. Ermitteln Sie die Annuität für folgendes Projekt: c 0 = 50, c 1 = 20, c 2 = 10, c 3 = 20, c 4 = 30, c 5 = 10, r = 0, B erwägt einen Druckereibetrieb von A zu erwerben. B erwartet aus der Unternehmung Einzahlungsüberschüsse c t von (t = 1), (t = 2) und (t = 3 bis unendlich) zu erzielen. Seine Alternativrendite r B ist 0,10. A erwartet bei Weiterbetrieb der Druckerei jährliche Einzahlungsüberschüsse von von t = 1 bis unendlich (r A = 0, 1). 1. Welchen Mindestpreis wird A fordern? 2. Welchen Höchstpreis kann B bieten? 6. Berechnen Sie den internen Zinsfu für folgendes Projekt: c 0 = 40, c 1 = 20, c 2 = 30. 9

10 7. Berechnen Sie den internen Zinsfu (Näherung) für folgendes Projekt : c 0 = 80000, c 1 = 20000, c 2 = 40000, c 3 = 40000, Restwert und stellen sie die Kapitalwertkurve dar. 8. Gegeben sind zwei einander ausschließende Investitionsprojekte (r = 0, 1): A B Zeigen Sie den Zusammenhang zwischen Kapitalwert- und Annuitätenmethode anhand dieses Beispiels, wenn identische Reinvestition unterstellt werden kann. 9. Für zwei Investitionsprojekte sind folgende Daten gegeben: c 0 c 1 c 2 A B Beurteilen Sie beide Projekte mittels Kapitalwertmethode (r = 0, 1) und interner Zinsfußmethode. 2. Beurteilen Sie beide Projekte unter der Annahme, da der Investitionszeitpunkt von Projekt A um eine Periode in die Zukunft verlegt wird. 10. Ein Unternehmer überlegt den Kauf einer zusätzlichen Produktionsanlage. Zwei alternative Projekte stehen zur Wahl: Projekt A Projekt B Anschaffungswert Einzahlungsüberschuss 1.Periode Periode Periode Periode Restwert Welches Projekt würden Sie aufgrund des Entscheidungskriteriums der Kapitalwertmethode (Alternativrendite 12%) realisieren? 2. Bei welchem Zinssatz wäre der Kapitalwert der Projekte gleich (Skizze der Kapitalwertverläufe)? 11. Eine Anlage soll mit einem Kredit in der Höhe von 1,2 Mio. GE finanziert werden, Zinssatz 8,5%. Die Rückzahlung erfolgt in 5 Jahren, wobei die Rückzahlungsraten (Tilgung und Zinsendienst) über die Zeit konstant gehalten werden sollen. 1. Wie groß sind die Rückzahlungsraten? 2. Wie gliedern sich die Rückzahlungsraten in Tilgung und Zinsendienst? 10

11 12. Ein Leasingvertrag enthält folgende Bedingungen: Ein Investitionsprojekt, dessen Barpreis GE beträgt, wird zunächst für drei Jahre gegen jährlich nachschüssige Beträge von GE gemietet. Nach diesem Zeitraum kann man den Mietvertrag gegen eine jährliche Miete von GE für zwei Jahre verlängern. Ein gekauftes Objekt könnte man nach fünf Jahren um GE veräußern. Bei welchem Zinsfuß können die beiden Alternativen als gleichwertig erachtet werden? 11