Anwendungen der Spieltheorie in den Wirtschaftswissenschaften

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1 Skript zur Veranstaltung Anwendungen der Spieltheorie in den Wirtschaftswissenschaften im Wintertrimester 009 Prof. Dr. Friedrich L. Sell Professur für Volkswirtschaftslehre, insbesondere Makroökonomik und Wirtschaftspolitik

2 Gliederung. Einführung Extensive Form des Spiels Beispiel: Vertrauensspiel Beispiel: Gefangenendilemma Matrixlösung oder strategische Form des Spiels Das Gefangenendilemma Das Kreditspiel Simultanspiele vs. sequentielle Spiele Beispiel für Simultanspiel: Fiskal- vs. Zentralbankpolitik... 5 a) Eine Darstellung in extensiver Form... 8 b) Darstellung in strategischer Form Lösungskonzepte für statische Spiele bei vollständiger Information Gleichgewicht in dominanten/dominierten Strategien Maximin-Lösungen Nash-Gleichgewichte Nash-GG: Grundkonzept Formale Ableitung und Reaktionen Erweiterung des Strategiekonzepts Nash-GG im Duopol Erweiterungen: Fokuspunkt und gemischte Strategien Spielsituation mit mehreren Nash-Gleichgewichten Gleichgewichte in gemischten Strategien Einführung: Das Problem Allgemeiner Lösungsansatz Anwendung auf das Spiel Gerade / Ungerade und auf ein. Spiel Lösungsansätze für dynamische Spiele Mehrstufige Spiele mit beobachtbaren Handlungen: Rückwärtsinduktion und Teilspielperfektheit Perfekte und vollständige Information Imperfekte Information Teilspiele und Teilspielperfektheit Konzept eines Teilspiels Teilspielperfektes Gleichgewicht... 59

3 Einführung Stackelberg-Lösung Bindende Verpflichtungen und sunk costs Dynamische Spiele Mehrstufige Spiele mit beobachtbaren Handlungen Wiederholte Spiele und kooperatives Verhalten Zum Konzept des wiederholten Spiels Das Gefangenendilemma als wiederholtes Spiel Auszahlungsmöglichkeiten Das Modell effizienter Verhandlungen (effiziente Kontrakte) Das Rubinstein-Verhandlungsmodell Probleme und Erweiterungen (Kartell, neuverhandlungsstabiles Gleichgewicht) Unvollständige Informationen: Bayes-Nash und sequentielles Gleichgewicht Einleitung Unvollständige Informationen Bayes-Nash Gleichgewicht bei unvollständigen Informationen Sequentielle Gleichgewichte Verfeinerungen für Signalspiele... 34

4 Einführung 4 Literatur: Currie, D./Levine, P., Rules, Reputation and Macroeconomic Policy Coordination. Cambridge University Press 993 Dixit, A. K. /Nalebuff, B. J., Spieltheorie für Einsteiger, Stuttgart 997. Engelkamp, P./Sell, F. L., Einführung in die Volkswirtschaftslehre, 4. Auflage, Berlin/Heidelberg/New York 007. Manfred Holler/Gerhard Illing, Einführung in die Spieltheorie. 5., überarbeitete Auflage mit 9 Abbildungen. Berlin/Heidelberg/New York 003. Sell, F. L., Contagion in Financial Markets, Cheltenham, UK und Northhampton, MA, 00. F. L. Sell, More about economic and non-economic determinants of (mutual) trust and trustworthiness, Universität der Bundeswehr München. Institut für Volkswirtschaftslehre, Diskussionsbeiträge Nr. /007, 9. Jg. Neubiberg, Seiten.

5 Einführung 5. Einführung. Extensive Form des Spiels.. Beispiel: Vertrauensspiel Entscheidungssituation: Berta bietet per ebay Erstausgabe an von Smith s Wealth of Nations. Adam ist bei der Auktion Höchstbietender gewesen. Adam muss Geldbetrag an Berta überweisen, bevor Berta Buch an Adam sendet. Berta kann entweder das Buch behalten oder ihrer Pflicht nachkommen und Adam das Buch schicken. Vollständige (Auszahlungen) und perfekte (Beobachtbarkeit der Züge) Information: Adam weiß, wie sich Berta entscheiden wird, jeder der Spieler kennt alle relevanten Auszahlungen des Spiels. Entscheidung (Baum ) D A, D B ist die eindeutig bestimmte Lösung: Für Berta ist defektieren immer lohnender als zu kooperieren. Das wird von Adam antizipiert und er wird demzufolge trotz Höchstgebot kein Geld an Berta überweisen. Entscheidung (Baum ) Ein anderes Ergebnis ist nur dann zu erwarten, wenn Aktivität für Adam einen Erwartungsnutzen hat, der größer als Null ist.

6 Einführung 6 Ergebnisbaum Ergebnisbaum

7 Einführung 7 ( ) ( ) ( ) A ( ) = + 0 A ( ) = + ( + ) EC = p a+ p rr 0 EC a pa p prr EC a p a rr 0 A p a rr a p ( ) ( " " ) a p * a > 0 ( a rr) für a < 0 und ( a) > rr Dabei sind p ( ) p keine subjektiven Wahrscheinlichkeiten, mit denen Adam erwartet, dass Berta kooperieren bzw. defektieren wird, sondern Züge der Natur, die über den Typ von Berta entscheiden. Berta hat moralische Kosten in Höhe von tr ( trust responsiveness ), wenn sie defektiert, dagegen moralische Nutzen in Höhe von rr ( rewarding responsiveness ), wenn sie Adams Vertrauen honoriert. Diese sind von Adam zu entrichten. Literatur: F. L. Sell, More about economic and non-economic determinants of (mutual) trust and trustworthiness, Universität der Bundeswehr München. Institut für Volkswirtschaftslehre, Diskussionsbeiträge Nr. /007, 9. Jg. Neubiberg, Seiten... Beispiel: Gefangenendilemma Entscheidungssituation: Verdächtige sind in Einzelhaft Bezichtigt schwerer Verbrechen, die aber nicht beweisbar sind (etwa durch Indizienkette) Verhör beim Staatsanwalt:

8 Einführung 8 beide gestehen nicht: Strafe für beide wg. anderer Delikte ( Jahr für beide) beide gestehen: (8 Jahre für beide) nur einer gesteht: (Nur 3 Monate für den Geständigen, aber 0 Jahre für den nicht Geständigen) Ergebnisbaum für Delinquent ( Delinquent ) A B nicht gestehen gestehen gestehen gestehen 8 Jahre (8 Jahre) 0 Jahre (/4 Jahr) /4 Jahr (0 Jahre) nicht gestehen nicht gestehen C Jahr ( Jahr) (Im)perfekte Informationen: Delinquent weiß nicht, an welchem Knoten er sich befindet, also ob er sich in B oder C befindet! Entscheidung: Egal für welchen Weg (von A nach B oder nach C) sich Delinquent entscheidet, in jedem Fall steht sich Delinquent durch ein eigenes Geständnis besser als durch Schweigen (8 < 0 und ¼ < )! Durch Vorausschauen und Zurückschließen ermittelt Delinquent, dass er sich unter diesen Bedingungen selbst am besten stellt, wenn er auch gesteht (8 < 0). Daher ist für jeden der Delinquenten Gestehen eine dominante Strategie! Literatur: Manfred Holler/Gerhard Illing, Einführung in die Spieltheorie. 5., überarbeitete Auflage mit 9 Abbildungen. Berlin/Heidelberg/New York 003.

9 Einführung 9. Matrixlösung oder strategische Form des Spiels.. Das Gefangenendilemma Delinquent Delinquent Nicht gestehen Gestehen Nicht gestehen, 0, ¼ Gestehen ¼, 0 8,8 Nash-Lösung Entscheidung: Sowohl für Delinquent als auch für Delinquent ist - egal, welche Strategie der andere Spieler wählt stets Gestehen die dominante Strategie. Daher stellt sich im Süd-Osten der Auszahlungsmatrix die sogenannte Nash- Lösung bei nicht kooperativem Verhalten ein. Für beide Spieler wäre dagegen diejenige Lösung optimal, bei der jeder Spieler nicht gesteht. Diese Lösung setzt aber im Grunde genommen gegenseitiges Vertrauen in die Koordinationslösung voraus. Mangels Kommunikation wird diese Koordinationslösung nicht erreicht. Aber, das haben wir oben gesehen selbst Kommunikation wäre i.d.r. nur eine notwendige, keinesfalls aber eine hinreichende Voraussetzung dafür, einander zu vertrauen. Das Gefangenendilemma sagt darüber hinaus, dass in solchen Situationen jeder der beiden Delinquenten Vertrauensgeber (VG) als auch Vertrauensnehmer (VN) ist.

10 Einführung 0.. Das Kreditspiel Die siebente und letzte Marginalbedingung (Theorie des sozialökonomischen Optimums) beschäftigt sich mit dem Konsum gleichartiger Güter zu verschiedenen Zeitpunkten und dem möglichen Austausch von Zukunftsgütern gegen Gegenwartsgüter zwischen zwei Haushalten. Ein solcher Austausch ist immer dann naheliegend, wenn eines der Wirtschaftssubjekte in der Gegenwart seinen Konsum ausdehnen möchte. Dies kann es aber nur, wenn es einen Kreditgeber in der Gegenwart findet, der die Rückzahlungen des Kredits einschließlich Zinsen in Gestalt von Zukunftsgütern entgegen nehmen möchte. Für eine additive intertemporale Nutzenfunktion U (C t, C t+ ) gilt: C + = + + r t+ U(C t,c t ) C t, wobei /(+r) den Diskontierungsfaktor für den Zukunftskonsum darstellt. In unserem Beispiel nehmen wir an, dass Haushalt eine hohe Zeitpräferenz besitzt und sich in der Gegenwart (t=) zu einem Zins von bis zu 0 Prozent verschulden möchte, den er in der Zukunft (t=) zurückzahlen muss. Mit anderen Worten: Ein Zugewinn an 00 Gegenwartsgütern ist ihm die Aufgabe von 0 Zukunftsgütern bei gleichem Nutzenniveau U wert er bleibt auf seiner alten Indifferenzkurve. Als Ausdruck seiner Ungeduld möge für seine äquivalente Nutzeneinschätzung folgende Grenzrate der Substitution gelten: dc 0 = GRS = = (+ r) =,0. C,C dc 00 U Für den zweiten, geduldigeren Haushalt möge dagegen gelten: dc 05 = GRS = = (+ r) =,05. C,C dc 00 U Haushalt ist also zur Aufgabe von 00 Gegenwartsgütern bei einem Zugewinn von 05 Zukunftsgütern bereit. Die implizite Zinsvorstellung liegt demnach bei 5 Prozent. Wie können sich beide einigen? Offensichtlich immer

11 Einführung dann, wenn Haushalt einerseits bereit ist, einen Zins oberhalb von 5% und Haushalt andererseits bereit ist, einen Zins unterhalb von 0% zu akzeptieren. Im Gleichgewicht kommt ein Tausch bei einem einheitlichen Zins (welcher der Grenzproduktivität des Kapitals entspricht) und demgemäß auch bei einer einheitlichen Grenzrate der Substitution zwischen Gegenwarts- und Zukunftskonsum zustande. In nachfolgender Abbildung ist eine Edgeworth-Box dargestellt, wobei die maximalen Mengen an Gegenwarts- und Zukunftskonsum die Seitenlängen der Box beschreiben. Der Punkt Y sei eine beliebige Ausgangsverteilung zwischen den Haushalten und. Die jeweiligen intertemporalen Indifferenzkurven bilden die schon aus atemporalen Tauschprozessen (. Marginalbedingung ) bekannte Linse. Wie wir wissen, versprechen Punkte innerhalb der Linse oder Berührungspunkte an den Rändern der Linse Wohlfahrtssteigerungen im Sinne des Pareto-Kriteriums. In Y weichen die jeweiligen Grenzraten der Substitution zwischen Gegenwarts- und Zukunftskonsum der beiden Individuen noch zu stark voneinander ab. Grafisch wird dies an den verschiedenen Anstiegen deutlich (tanα>tanβ). Ein Gleichgewicht beziehungsweise ein Tauschoptimum ist aber im Punkt Z möglich; hier stimmen der Zinsfaktor (+r) sowie die Grenzraten der Substitution zwischen Gegenwarts- und Zukunftskonsum ( dc /dc ) bei beiden Haushalten überein das heißt im Punkt Z sind die Anstiege der Budgetgeraden gleich (tan γ).

12 Einführung B 0 Zukunftskonsum C Y Z β I I 0 0 I I α Gegenwartskonsum C I 0 γ A Im Vergleich zu Punkt Y kann Haushalt () einen höheren (geringeren) Gegenwartskonsum realisieren zu Lasten (zu Gunsten) eines geringeren (höheren) Zukunftskonsums. Die Verbindungslinie aller denkbaren Tauschoptima bei alternativen Zinssätzen stellt auch im intertemporalen Modell - die Kontraktkurve dar. Zusammengefasst gilt für die siebente Marginalbedingung: Eine intertemporale Effizienz wird immer dann erreicht, wenn die (einheitliche) Grenzrate der Substitution mit dem Zinsfaktor (+r) übereinstimmt. Fraglich ist allerdings, ob diese Lösung auch ohne weiteres zustande kommt: Wie wir gesehen haben, liegt dem intertemporalen Tauschphänomen ein Kreditgeschäft zugrunde. Um die Aussichten auf ein erfolgreiches Kreditgeschäft abschätzen zu können, sollten auch diejenigen Lösungen betrachtet werden, bei denen eine der Kreditparteien ihren Part schuldig bleibt. Das kann zum einen der Kreditnehmer sein, der sich 00 Gegenwartskonsumgüter in der aktuellen Periode vom Kreditgeber übereigen lässt, in der zweiten Periode aber gegebenenfalls dem Kreditgeber die Zahlung der verab-

13 Einführung 3 redeten 07 Einheiten von Zukunftskonsumgütern schuldig bleibt. Beide Parteien landen dann in der Situation des Punktes V, die für den Kreditgeber (Kreditnehmer) mit einer deutlichen Nutzeneinbuße (Nutzenzunahme) im Vergleich zur Ausgangssituation verbunden ist. Dies kann aber prinzipiell auch der Kreditgeber sein, der den Kreditnehmer u. U. einen Schuldschein über eben diese 07 Einheiten von Zukunftskonsumgütern zeichnen lässt, ihm aber bei der gewünschten Abholung von 00 Einheiten Gegenwartskonsumgütern schlicht die Auslieferung verweigert. Beide Parteien landen damit in der Situation von Punkt W, die für den Kreditgeber (Kreditnehmer) mit einer deutlichen Nutzenzunahme (Nutzeneinbuße) im Vergleich zur Ausgangssituation verbunden ist. B Y V -07 W U Z X I 3 I +07 I I I - T I 0 I 3 I I 0 I A Davon zu unterscheiden sind Situationen, wie in U und in X, bei denen keine der beiden Parteien der anderen Seite wirklich etwas schuldig bleibt; es ist hier vielmehr so, dass Marktmacht im Spiel ist. Der Kreditnehmer ist in einem Käufermarkt in der Lage, dem Kreditgeber noch günstigere Kreditkonditionen abzutrotzen, maximal die Zinsuntergrenze, die dem Kreditgeber gerade noch zumutbar erscheint. Umgekehrt ist der Kreditgeber in einem Verkäufermarkt in

14 Einführung 4 der Lage, dem Kreditnehmer noch ungünstigere Kreditkonditionen abzutrotzen, maximal die Zinsobergrenze, die dem Kreditnehmer gerade noch zumutbar erscheint. Wenn wir aber von diesen Spezialfällen absehen, sind für unser Kreditgeschäft vier Spielausgänge typisch: Nichtaktivität (Y), Kooperation im Kreditgeschäft (Z), Betrug des Kreditnehmers im Kreditgeschäft (V) und schließlich Betrug des Kreditgebers im Kreditgeschäft (W). Pay-off Matrix im Kreditspiel Kreditgeber Kreditnehmer Zurückbehalt (z) Lieferung (l) Zurückbehalt (z) 0 / 0 V +00 /-00 ** Lieferung (l) W -07 * / / /+07 * Spieler zeichnet einen Schuldschein ** Spieler liefert Güter/Dienstleistungen im voraus V: Defektion durch Spieler W: Defektion durch Spieler Schreibt man das in der Edgeworth-Box illustrierte Problem des Kreditgeschäfts in der strategischen Form eines Spiels auf, so erkennt man folgendes: Sowohl für den Kreditnehmer als auch für den Kreditgeber ist der Zurückbehalt die dominante Strategie, damit stellt sich in der nordwestlichen Ecke der Matrix eine Nash-Lösung ein. Diese bedeutet beidseitige wirtschaftliche Nichtaktivität und den Verzicht auf die wirtschaftlichen Vorteile der Kooperation. Diese offensichtliche Nichteffizienz wird in Marktwirtschaften durch die Existenz kreditsichernder Institutionen, aber auch durch gewachsenes Vertrauen zwischen den wirtschaftlichen Parteien durchbrochen. Darauf kommen wir im Zusammenhang mit wiederholten Spielen weiter oben zurück.

15 Einführung 5.3 Simultanspiele vs. sequentielle Spiele.3. Beispiel für Simultanspiel: Fiskal- vs. Zentralbankpolitik Konflikte versus Kooperation in der Wirtschaftspolitik Träger der makroökonomischen Wirtschaftspolitik in den heutigen Industriestaaten sind einerseits die Finanzministerien auf Bundesebene und andererseits die für die Geldpolitik zuständigen Zentralbanken. Da es sich um (häufig auch per Gesetz) unabhängige Träger handelt, ist es nicht selbstverständlich, dass sich diese auf eine Kooperation verständigen, auch wenn beide für gesamtwirtschaftliche Ziele zuständig sind. Diese Problematik lässt sich exemplarisch für den Fall des Auftretens von negativen Angebotsschocks, zu denken ist etwa an die beiden einschneidenden Ölpreisschocks der 970er Jahre, demonstrieren. Dabei unterstellen wir wirklichkeitsnah, dass sich die jeweilige Notenbank (Regierung) in erster Linie Sorgen um die inflationären (arbeitsmarktwirksamen) Folgen macht. Zur Vereinfachung nehmen wir an, der Geldpolitik stünden die Optionen niedrige und hohe Zinsen, der Regierung die Alternativen hohe versus niedrige Ausgaben zur Verfügung. Damit ergeben sich x, also 4 denkbare Kombinationen der Wirtschaftspolitik. Wenn wir

16 Einführung 6 nun annehmen, Bundesregierung und Zentralbank könnten für die unterschiedlichen Kombinationen Punkte vergeben, nämlich für die aus eigener Sicht beste und 4 für die entsprechend schlechteste, so stellt sich das folgende Tableau ein: Führt man einen Spaltenvergleich durch, so erweist sich für die Regierung die Strategie hohe Ausgaben als strikt dominant, denn bei gegebenem Verhalten der Notenbank führt sie in beiden Fällen zu geringeren Punktewerten als die Strategie niedrige Ausgaben. Dabei ist es so, dass weder Regierung noch Zentralbank ex ante sicher wissen, welche Politik der jeweils andere tatsächlich einschlagen wird. Aber selbst wenn die Regierung sicher wüsste, dass die Notenbank hohe (niedrige) Zinsen wählt, ist aus ihrer Sicht die Strategie hohe Ausgaben stets die bessere. Ähnlich geht es der Zentralbank: Für sie ist, egal was die Regierung tut, die Strategie hohe Zinsen gegenüber der Alternative niedrige Zinsen strikt dominant, wie sich zweifelsfrei aus einem Zeilenvergleich ergibt. Betrachtet man allerdings alternative Lösungen, so erkennt man, dass die Kombination von niedrigen Zinsen mit einer moderaten Haushaltsführung ( + = 4 Punkte) insgesamt die bessere Politik für beide ist. Das Nash- Gleichgewicht liegt aber, wie oben gezeigt, bei der Kombination von hohen Ausgaben mit hohen Zinsen (insgesamt 6 Punkte) und führt damit zu der insgesamt schlechtesten Lösung. Beide Akteure bleiben, solange sie sich nicht Kooperation signalisieren, in einem, wie man sagt Gefangenendilemma stecken. Danach ist diese Spielvariante auch benannt. Wenigstens in einem einmaligen (oder auch in einem wiederholten Spiel mit bekannter Anzahl von Wiederholungen) Spiel wäre allerdings das Kooperations- oder Kompromisssignal für die jeweils andere Seite nicht glaubwürdig: Die Regierung (Notenbank) weiß, dass sie, wenn sie die Ausgaben begrenzt (Zinsen senkt), damit rechnen muss, dass die Notenbank (Regierung) versucht sein wird, ihr Idealergebnis in Gestalt von niedrigen Ausgaben/hohen Zinsen (hohen Ausgaben/niedrigen Zinsen) zu realisieren.

17 Einführung 7 Ökonomisch hatte die von den meisten Industrieländern tatsächlich gewählte Nash-Lösung fatale Folgen: Statt eine expansive Geldpolitik und eine restriktive Haushaltspolitik zu wählen, wurde eine restriktive Geldpolitik in Kombination mit einer expansiven Haushaltspolitik betrieben. Letztere schlug sich auf den Kapitalmärkten in höheren Realzinsen nieder, wodurch die Substitution von Energie durch Kapital unnötig erschwert wurde. Die restriktive Geldpolitik erhöhte auch die Zinsen am kurzen Ende, überdies erschwerte sie unnötig die Überwälzung der gestiegenen Energiekosten auf die Preise, so dass es zu Output- und Beschäftigungsrückgängen kam. Eine expansive Geldpolitik hätte dagegen den Anstieg der Reallöhne gedämpft und somit den Kostenanstieg auf der Energieseite teilweise kompensiert. Literatur: Engelkamp, P./Sell, F. L., Einführung in die Volkswirtschaftslehre, 4. Auflage, Berlin/Heidelberg/New York 007.

18 Einführung 8.3. Beispiel für ein sequentielles Spiel: Zeitliche Inkonsistenz a) Eine Darstellung in extensiver Form Strukturbeschreibung Patentschutz Politik Periode Periode gewährt keinen Patentschutz Patentschutz in beiden Perioden Patentschutz in Periode angekündigt, jedoch zu Beginn von Periode abgeschafft. keine F & E-Aktivität in den Untern. F&E-Aktivität F&E-Aktivität (?) keine neuen Produkte (vollst. Konkurrenz) neue Produkte/Monopole neue Produkte? / Vollständige Konkurrenz wählt F&E Staat kündigt PS an Staat hält PS (3,) Staat schafft PS ab (,3**) Relevante Information für U: Staat wird auf alle Fälle PS abschaffen U Staat kündigt PS an unterlässt F&E Staat hält PS Staat schafft PS ab (*, oder Null!) Daher wählen U von vornherein: F&E unterlassen. Die Auszahlungen von sind in beiden Fällen höher als oben und die U. sind indifferent zwischen den beiden unteren Ästen. (*,) ** Optimale Lösung für Staat * Optimale Strategiewahl durch U.

19 Einführung 9 Auszahlungsstruktur: Für die Politik ist es am besten, in Periode F&E-Aktivitäten auszulösen, zugleich aber durch die Rücknahme des Patentschutzes am Anfang von Periode Monopole zu verhindern (Payoff: 3). Für die Unternehmen ist es am besten, in Periode F&E-Aktivitäten durchzuführen, die in Periode den Schutz durch das Patentrecht genießen (Payoff: 3). An dem obigen Spielbaum erkennt man die Lösungslogik des Vorausschauens und Zurückschließens : a) Würden die U. die Ankündigung der Regierung den Patentschutz in Periode beizubehalten für bare Münze nehmen, dann entscheiden sie sich für den oberen Baumast. Dann müssen sie allerdings erkennen, dass es für den Staat besser ist, die Ankündigung zu defektieren und den PS abzuschaffen. Da dies die geringste Auszahlung an die U. nach sich zieht, sollten die U. diesen Ast meiden! b) Somit bleibt den U. der untere Ast: Sie werden auf alle Fälle die F&E- Anstrengungen unterlassen. Vor die Wahl gestellt, ist es den U. gleichgültig, ob der Staat jetzt den Erwartungen der U. entspricht und den Patentschutz abschafft ( Taking the Medicine ) oder ob er trotz Glaubwürdigkeitseinbuße an dem Patentschutz festhält ( Regaining Reputation ). In Wirklichkeit ist die letzte Lösung für die Gesellschaft am teuersten, denn der bisherige Wissenstand wird eingefroren und die bisherigen Monopolisten werden durch den Staat geschützt. Dagegen ist es nicht so nachteilig für den Staat, den Patentschutz abzuschaffen und die Erwartungen der U. zu erfüllen. So kann wenigstens eine Verbilligung der Imitation erreicht werden.

20 Einführung 0 b) Darstellung in strategischer Form Eine schwere Finanzmarktkrise erfasst die Welt, jeder Staat finanziert seine Rettungspakete über den Kapitalmarkt. Die Bedienung der Staatsschulden (R.b t ) kann entweder über reguläre Staatseinnahmen (x t ) oder über eine Inflationssteuer auf die Kassenhaltung des WS erfolgen: e () x + θ( π π ) =. Rb t t t Eine überraschende Erhöhung der Inflationsrate kostet Wähler, die ja auch Sparer (in Form von Geldvermögen) sind; höhere Steuern haben allerdings ebenfalls eine abschreckende Wirkung. Dabei gelte die Verlustfunktion: () L ( απ x ) = + ; α > 0 e () xt = Rbt + θ ( π π) e (a) L = { απ + Rb t + θ ( π π ) } L = απ + Rbt + θ π π θ = π e (3) ( ) ( )! 0 e ( ) απ =+ θ Rb + θ π π t απ = θrb + e t θ π θ π ( ) π α+ θ = θ Rb + θπ e t π = θ + θπ ; θ > 0 α + θ (3a) * e ( Rb t ) ; () in () ergibt: Gleichung (3a) gibt die diskretionäre und zugleich zeitkonsistente (weil verlustminimierende) Lösung für π an. Analog kann man für x ausrechnen: = α θ α θ + ; + > 0 * e (4a) x ( Rb t θπ ) Setzt man diese Optimallösung in die Verlustfunktion ein und berücksichtigt dabei, dass: (5) 0< λ α < α+ θ

21 Einführung und setzt (bei Vertrauen der WS) die Inflationserwartungen gleich Null: (6) e π = 0, so ergibt sich ein Verlust von: (7) C L = λ ( Rb t ) Das ist die sogenannte Cheating-Lösung. Die übrigen drei Lösungen ( fixing, taking the medicine und regaining reputation ) können der folgenden Matrix entnommen werden: Private π = 0 t Regierung λ π = c Rb t ; θ λ π = t Rb t θλ π e = 0 f c L = ( Rb ) = λ ( ) t L Rb t e π ( λ) = θλ Rb t λ r t L = ( Rb ) = ( ) t L Rb t λ Dabei gilt, dass: c f t r L < L < L < L Damit eine Regierung sich der Kosten der Finanzmarktkrise durch Überraschungsinflation entledigt, muss etwa gelten: C f (8) L + C< L Dabei stellen C fixe Kosten dar, die bei der technischen Abwicklung von überraschender Inflation in jedem Falle anfallen. e e (8a) λ( Rbt + θπ ) + C < ( Rb t + θπ ) Durch Umstellung gewinnt man: e C (9) Rb t + θπ > K > 0 λ

22 Einführung Das bedeutet: Die Regierung wird immer dann verstärkt auf eine überraschende Inflationssteuer im Umgang mit der Finanzmarktkrise zurückgreifen, wenn die ererbte Verschuldung aus den Rettungspaketen sehr hoch ist und/oder wenn die vorhandenen Inflationserwartungen groß ausfallen die Fixkosten C niedrig sind. Literatur: Sell, F. L., Contagion in Financial Markets, Cheltenham, UK und Northhampton, MA, 00.

23 Lösungskonzepte für statische Spiele bei vollständiger Information 3. Lösungskonzepte für statische Spiele bei vollständiger Information. Gleichgewicht in dominanten/dominierten Strategien In diesem Fall kann jeder Spieler jene Strategie wählen, die ihm den höchsten Nutzen verspricht und zwar unabhängig vom Verhalten des Mitspielers. Dadurch liegt keinerlei strategische Unsicherheit vor. Es kommt zu einem GG in dominanten Strategien. Bestes Beispiel hierfür ist wiederum das Gefangenendilemma. Beispiel: Spiel um den Rekapitalisierungsbedarf von GB en in der Finanzmarktkrise. Rekapitalisierung der Banken B a n k Bedarf melden Keinen Bedarf melden B a n k Bedarf melden Keinen Bedarf melden 0,5 / 0,5 Koordination / - - / 0 /0 Nash - GG Jede einzelne Bank nimmt an, dass sie Verluste (etwa im Aktienkurs) erleidet, wenn sie alleine aus der Deckung kommt (-), während der stumme Konkurrent dadurch in den Augen der Anleger Vorteile erzielt (+). Kommen beide koordiniert an die Öffentlichkeit, so wird, trotz Offenlegung der Probleme, Vertrauen wieder hergestellt (+0,5/+0,5). Bleiben beide Banken stumm, bleibt das Misstrauen bestehen, auch wenn die Probleme nicht offenkundig werden (0/0). Wie man sieht, ist für jede einzelne Bank das Verhalten keinen Bedarf anmelden eine dominante Strategie, weswegen sich auch im Südosten der Matrix eine Nash-Lösung einstellt. H. Paulson: Regierung drängt den Banken Kapital auf /Verzerrung der weltweiten Wettbewerbsbedingungen

24 Lösungskonzepte für statische Spiele bei vollständiger Information 4 H.-W. Sinn: Deckelung der Managergehälter auf ist ein Problem: Wer investiert schon % seines Gehalts für einen Dienst an der Gemeinschaft? Hintergrund für die Rettungspakete der Regierung/Zentralbanken war und ist u. a. das Vertrauensproblem zwischen den GB en am Interbankenmarkt: Das Vertrauensproblem am Geldmarkt NE NE : NE-Rückgang wegen Rezession AT AT : Vertrauensschwund unter den Banken Normalerweise stellen sich am Geldmarkt, an dem Geschäftsbanken untereinander Zentralbankguthaben handeln, Zinssätze ein, die zwischen dem Satz für die Spitzenrefinanzierungsfazilität (Bsp.: 4,5 v. H.) einerseits und dem Zins für die Einlagenfazilität (Bsp.: 3,5 v. H.) zu liegen kommen. Im Zuge der aktuellen Finanz- und Wirtschaftskrise brach zum einen die Nachfrage der Geschäftsbanken nach Refinanzierung ein (NE NE ), zum anderen ließ ein gravierender Verlust an Vertrauen das Angebot an Zentralbankguthaben (noch stärker) einbrechen (AT AT ). Im Ergebnis kamen Geldmarktsätze zustande, die den oben beschriebenen Korridor sprengten (Bsp.: 5,3 v. H.).

25 Lösungskonzepte für statische Spiele bei vollständiger Information 5 Wesentlich komplizierter stellen sich jene Fälle dar, bei denen nur einer von beiden Spielern eine dominante Strategie besitzt. Dabei kann die Matrix stets unsymmetrisch werden wie im folgenden Beispiel: Spieler Spieler s s s 3 s (-,) (,3) (-,-) s (0,0) (,) (0,) Im diesem Spiel hat nur Spieler mit s eine dominante Strategie. Wir eliminieren als erstes s und s 3 (*) und erhalten: s s,3 s, (*): Beides sind nicht-dominante Strategien! Unter den vorhandenen Möglichkeiten, ist es für Spieler offensichtlich die beste Reaktion, mit s zu antworten. Damit ist (,3) ein GG des Spiels. Im Unterschied zu oben ist die Strategiewahl von Spieler davon abhängig, zunächst die dominante Strategie des Spielers (mangels einer eigenen dominanten Strategie!) zu erkennen und den Ausschluss der Strategien s und s 3 zu antizipieren (interdependentes Verhalten). Ein weiterer Fall interdependenten Verhaltens liegt dann vor, wenn es sogenannte dominierte Strategien gibt. Zur Lösung solcher Spiele ist in 4 Schritten vorzugehen: Suche nach strikt dominierten Strategien (jede Auszahlung ist einer anderen Strategie unterlegen). Elimination strikt dominierter Strategien.

26 Lösungskonzepte für statische Spiele bei vollständiger Information 6 Identifiziere die optimale Strategie der Gegenseite! Formuliere die optimale eigene Reaktion darauf! Im nachstehendem Beispiel aus dem American Football ist aus der Sicht der Verteidigung der Blitz offensichtlich eine dominierte Strategie: s 3 ist sowohl s als auch s gegenüber unterlegen. Unter den verbleibenden Möglichkeiten ist es für die Angreifer optimal, sich für die Alternative Pass zu entscheiden. ( 9 3;8 7). In diesem Lichte erscheint es für die Verteidigung optimal, die Strategie Verteidigung eines Passes ( 7 8) zu wählen. Demnach wird 7, also die Kombination eines Passes durch die Angreifer mit der Verhinderung eines Passes durch die Verteidiger zum GG dieses Spiels führen. Beispiel: American Football Erwarteter Raumgewinn der Angreifer in Yards Strategie der Angreifer Run s Pass s Strategie der Verteidigung Verhinderung eines Passes Verhinderung eines Runs s s Blitz (Decken d. QB) s Suche und vermeide strikt dominierte Strategien! Angreifer werden Pass spielen, Verteidiger reagieren mit Verhinderung eines Passes Literatur: Dixit, A. K. /Nalebuff, B. J., Spieltheorie für Einsteiger, Stuttgart 997. Satz: Immer dann, wenn strikt dominierte Strategien vorliegen, geht bei der Elimination dieser Strategien kein Nash-GG verloren!

27 Lösungskonzepte für statische Spiele bei vollständiger Information 7 Noch etwas verzwickter wird die Konstellation, wenn nur eine schwach dominierte Strategie vorliegt (nur eine Auszahlung ist gegenüber einer anderen Strategie unterlegen; die zweite Auszahlung ergibt Indifferenz): s s s (0,0) (5,) s (0,) (,0) Eliminiere s! Als Reaktion hierauf wird Spieler die (reine) Strategie s wählen, daher ist die Situation (5,) das GG des Spiels (Die Kombination s mit s ist allerdings ein. Nash-GG, wie wir weiter unten zeigen werden). Problematisch bei diesen Spielkonstellationen ist darüber hinaus, dass die Reihenfolge der Elimination durchaus Einfluss auf das Ergebnis hat. Beispiel: s s s 3 s (0,0) (5,) (4,-00) s (0,00) (5,0) (0, -00) Betrachtet Spieler seine möglichen Payoffs, so ist Strategie s 3 eine eindeutig dominierte, weswegen er sie durch Streichen eliminiert. Spieler ist zwischen den Strategien s und s indifferent, wählt er s, so empfiehlt es sich für Spieler, von s auf s auszuweichen: 0,00 stellt dann als Kombination ein Nash-GG dar. Es gibt aber noch ein zweites Nash-GG: Betrachtet Spieler als erster die ursprünglichen Payoffs, so ist für ihn Strategie s eine schwach dominierte Strategie (4 > 0). Gegeben die Wahl von s durch Spieler wird Spieler zur Strategie s hin abweichen und entsprechend antworten. Dann stellt 5, ein Nash-GG dar.

28 Lösungskonzepte für statische Spiele bei vollständiger Information 8. Maximin-Lösungen Maximin-Strategien sind immer dann zielführend, wenn das Dominanz- Konzept einen nicht weiter bringt und wenn bei den beteiligten Spielern eine extreme Risikoscheu vorliegt. Als Beispiel hierfür möge die folgende Matrix dienen: s s s 3 s (0,0) (6,6) (,) s (6,6) (8,8) (0,) s 3 (,) (,0) (,) Für keinen der Spieler ergibt sich eine strikt oder schwach dominierte Strategie. Jeder Spieler sucht sich das schlechteste Ergebnis, das bei einer bestimmten Strategie eintreten kann und entscheidet sich für die Strategie, die unter den schlechten noch das beste Resultat liefert: min U (s, s ) = 0 min U (s, s ) = 0 min U (s 3, s ) = Für Spieler gilt umgekehrt: min U (s, s ) = 0 min U (s, s ) = 0 min U (s 3, s ) = Daher kommt als Lösung nur die Kombination (,) in Frage! Das ist gleichbedeutend mit der Strategiekombination (s 3, s 3 ).

29 Lösungskonzepte für statische Spiele bei vollständiger Information 9 Maximin-Lösungen sind auch dort ein sinnvolles Konzept, wo wir bei den beteiligten Spielern strikt kompetitives Verhalten beobachten. Wenn es um die Aufteilung eines gegebenen Kuchens geht, spricht man auch von Nullsummenspielen: s s s 3 s (8,-8) (3,-3) (-6,6) s (,-) (-,) (3,-3) s 3 (-6,6) (4,-4) (8,-8) min U (s, s ) = -6 min U (s, s ) = - min U (s 3, s ) = -6 Für Spieler gilt umgekehrt: min U (s, s ) = -8 min U (s, s ) = -4 min U (s 3, s ) = -8 Das Nash-GG ergibt sich also aus der Kombination (-, -)!

30 Lösungskonzepte für statische Spiele bei vollständiger Information 30.3 Nash-Gleichgewichte.3. Nash-GG: Grundkonzept. Definition: Wir betrachten folgendes Beispiel und üben dabei die Methode der cell-bycell-inspection : Mit der Technik wo man hin abweicht spürt man alle Nash- Gleichgewichte in reinen Strategien auf! s s s 3 (0,0) (6,6) (,) s s (6,6) (8,8) (0,) s 3 (,) (,0) (,) Aus der Sicht von Spieler ist s, also die Strategie der. Zeile, die einzige, von der aus in keine andere Zeile abgewichen wird, wenn Spieler die Strategie s wählt. Die Kombination (8,8) ist das einzige Nash-GG des Spiels. Von diesem Nash-GG aus hat keiner der Spieler einen Anreiz, von der gewählten Strategie abzuweichen. s (s ) ist die optimale Strategie zu der gegebenen optimalen Strategie des Mitspielers s (s ). Dieses Gleichgewichtskonzept geht zurück auf den US-amerikanischen Nobelpreisträger John Forbes Nash ( * 98). Ein solches Gleichgewicht liegt immer dann vor, wenn in einem -Personen-Spiel jeder Spieler seine optimale Strategie - gegeben die Strategie des anderen Spielers - wählt.

31 Lösungskonzepte für statische Spiele bei vollständiger Information 3.3. Formale Ableitung und Reaktionen Jeder Spieler muss Erwartungen bezüglich des Verhaltens des Gegenspielers machen. Ein Nash-GG liegt dann und auch nur dann vor, wenn die gewählten Strategien die besten Antworten zu gegebenen Strategien der Mitspieler darstellen. wenn dies auch umgekehrt gilt, so dass wechselseitig beste Antworten vorliegen und damit die Erwartungen aller Spieler erfüllt sind. Beispiel: s s s (0,0) (5,)* s (0,)* (,0) Problem: a) (s, s ) r (s ) = s kein Nash-GG Die beste Reaktion von Spieler auf s ist s b) (s, s ) r (s ) = s Nash-GG Die beste Reaktion von Spieler auf s ist s c) (s, s ) r (s ) = s Nash-GG Die beste Reaktion von Spieler auf s ist s d) (s, s ) r (s ) = s kein Nash-GG Allgemein muss gelten: r i (s i ) Nash-GG, wenn s * r (s * )

32 Lösungskonzepte für statische Spiele bei vollständiger Information Erweiterung des Strategiekonzepts Im Folgenden wird etwa um stetige Lösungen für das Cournot sche Duopol abzubilden die Annahme diskreter Strategiemengen fallen gelassen. Beispiel: Unternehmen i produziert beliebige Mengen von Gut x i zwischen 0 und 00: 0 x i 00 bzw. x i = (0, 00) Später ( gemischte Strategien ) wird der Einfluss des Zufalls ( Randomisierung ) auf die Strategienwahl berücksichtigt werden.

33 Lösungskonzepte für statische Spiele bei vollständiger Information Nash-GG im Duopol. Mengenduopol Das Angebotsoligopol zeichnet sich dadurch aus, dass wenigen Marktteilnehmern auf der Angebotsseite viele kleine Einheiten auf der Nachfrageseite gegenüberstehen. Aufgrund der angenommenen mittleren Größe beeinflusst jeder der wenigen Anbieter mit seinen Aktionen, das heißt mit etwaigen Preisoder Mengenänderungen, spürbar das Marktergebnis. Während dieser spürbare Einfluss auf das Marktergebnis dem Monopol vergleichbar ist, kommt jedoch im Oligopol ein weiterer Aspekt hinzu. Und zwar muss der Oligopolist bei der Planung seiner Aktionen neben dem Verhalten der Marktgegenseite auch den Reaktionen seiner Konkurrenten Rechnung tragen. Die Rivalen werden nämlich auf Veränderungen des Marktergebnisses in der Regel mit einer Anpassung ihrer eigenen Aktionsparameter reagieren, das heißt ihre Preisforderungen beziehungsweise ihre ausgebrachte Menge aufgrund der veränderten Absatzlage neu festsetzen, womit wiederum Rückwirkungen für den ersten Anbieter verbunden sind. Die hieraus resultierende Abhängigkeit zwischen den Oligopolisten wird gemeinhin als oligopolistische Interdependenz bezeichnet. Jeder Oligopolist muss sich also, bevor er eine Aktion startet, überlegen, wie seine Rivalen hierauf reagieren werden. Für den Erfolg seiner Aktion kommt es darauf an, welche Situation sich nach erfolgter Reaktion der Konkurrenten einstellt. Damit hängt der Preisbildungsprozess im Oligopol entscheidend davon ab, was jeder Oligopolist glaubt, wie seine Rivalen reagieren werden, das heißt, welche Annahme er über das Reaktionsverhalten seiner Konkurrenten zugrunde legt. Da diesbezüglich eine Vielzahl von Annahmen möglich ist, gibt es, anders als in den Marktformen der Konkurrenz und des Monopols, keine eindeutige Lösung für das Oligopol. Vielmehr haben wir es in der Oligopoltheorie mit einer Reihe konkurrierender Reaktionshypothesen zu tun, woraus eine entsprechende Fülle von Oligopolmodellen resultiert. Um das Prinzip die-

34 Lösungskonzepte für statische Spiele bei vollständiger Information 34 ser Modelle zu verdeutlichen, soll deshalb im Folgenden exemplarisch auf die von Cournot bzw. Bertrand entwickelten Oligopollösungen abgestellt werden. Von Cournot stammt das Modell des Mengenduopols (zwei Oligopolisten), er geht von folgenden Annahmen aus: Es konkurrieren nur zwei Anbieter miteinander (Angebotsduopol). Betrachtet wird ein vollkommener Markt, so dass nur ein Preis zustande kommen kann. Jeder Anbieter verhält sich autonom und betreibt Gewinnmaximierung durch Mengenfixierung, das heißt, die Angebotsmenge des Mitanbieters wird konstant und unabhängig vom eigenen Verhalten angesehen und geht deshalb als feste Größe in die Ermittlung der jeweils eigenen gewinnmaximierenden Menge ein. Die Absatzmengen wurden simultan festgelegt. Da von einem vollkommenen Markt und damit identischen, dass heißt homogenen Produkten der Anbieter ausgegangen wird, ergibt sich der Marktpreis in Abhängigkeit von der Summe der individuellen Angebotsmengen X=x +x. Die für beide Anbieter geltende Preis-Absatz-Funktion, die wir im Anschluss an Cournot als linear annehmen, kann deshalb geschrieben werden als: p=f(x +x ) = b a(x +x ) mit a, b>0 p=b ax ax. Hieraus folgen die Erlösfunktionen: E =p x = (b ax ax )x E =p x = (b ax ax )x.

35 Lösungskonzepte für statische Spiele bei vollständiger Information 35 Die Annahme eines homogenen Gutes rechtfertigt wiederum die Annahme von der Existenz identischer Kostenfunktionen und konstanter Grenzkosten, was zugleich eine analytische Vereinfachung mit sich bringt. Daher sei bei Vernachlässigung von fixen Kosten ein linearer Verlauf unterstellt: K =cx K =cx mit c > 0. Wegen G=E K erhalten wir damit die Gewinnfunktionen: G (x, x ) = (b ax ax ) x cx G (x, x ) = (b ax ax ) x cx. Im nächsten Schritt lassen sich die gewinnmaximierenden Angebotsmengen des Anbieters () für alternative, als konstant unterstellte Angebotsmengen des Rivalen ermitteln. Dazu müssen wir für jeden Anbieter dessen Gewinnfunktion partiell nach der eigenen Absatzmenge differenzieren und gleich null setzen: G = b ax ax c = 0. x G x = b ax ax c = 0.

36 Lösungskonzepte für statische Spiele bei vollständiger Information 36 Daraus ergeben sich die so genannten Reaktionsfunktionen R und R b ax c Anbieter : x = a oder: x = R (x ) Zu jeder Menge x gibt es beste Reaktion b ax c Anbieter : x = a oder: x = R (x ) Zu jeder Menge x gibt es beste Reaktion die in u. a. Abbildung veranschaulicht sind und zum Ausdruck bringen, welche Menge der betreffende Duopolist anbietet, um seinen Gewinn zu maximieren, wenn das Konkurrenzangebot als konstant angenommen wird. Aus der grafischen Darstellung kann deshalb direkt ersehen werden, mit welcher Menge sich der jeweilige Anbieter an das Angebot seines Rivalen anpassen wird. Die Reaktionsfunktionen xi = ( b c ax i ) sind Geraden mit der Steigung a. Man kann zeigen, dass eine gleichgewichtige Lösung dort liegt, wo sich beide Reaktionskurven schneiden. Die im Gleichgewicht ausgebrachten Mengen beider Anbieter stimmen aufgrund der unterstellten identischen Kostenfunktionen überein und betragen in unserem Fall: * * b c x = x =. 3a Das Nash-GG lautet x * = (x *, x * ), wobei: x * =R (x * ); x * = R (x * ) oder X * = r (X * )

37 Lösungskonzepte für statische Spiele bei vollständiger Information 37 Der Absatz dieser Mengen ist gemäß der Preis-Absatz-Funktion möglich zum (einheitlichen) Preis von: b+ c p =. 3 Wir wollen dieses Ergebnis an einem Beispiel verdeutlichen. Gegeben sei: a =, b = 5, c =. Anbieter beginnt das Spiel durch (autonome) Wahl einer Angebotsmenge von x =0. Ist dieser erste Wert vorgegeben, können alle weiteren aus den Reaktionsfunktionen errechnet werden. Wie der Tabelle zu entnehmen ist, wird bereits nach wenigen Zügen die Gleichgewichtslage mit (annähernd) identischen Mengen der Anbieter eingenommen. Der Anpassungsprozess, der schließlich zum Gleichgewicht in Punkt A führt, lässt sich grafisch sehr anschaulich anhand von u. a. Tabelle verfolgen. Periode x x 0 0,000,500 5,750 3,65 4,688 4,56 3 4,4 4,89 4 4,355 4,33 5 4,339 4, ,33 7 4,333 4,333

38 Lösungskonzepte für statische Spiele bei vollständiger Information 38 Das Gleichgewicht im Punkt A stellt ein Nash-Gleichgewicht dar.. Preis-Duopol Nachdem wir damit am Beispiel der Cournot-Lösung die für die Marktform des Oligopols typische Reaktionsverbundenheit der Anbieter kennen gelernt haben, wollen wir uns nun einem Phänomenen zuwenden, das in der Realität auf Oligopolmärkten immer wieder zu beobachten ist. Das Phänomen betrifft das häufig anzutreffende Parallelverhalten von Oligopolisten. Ein Anbieter erhöht oder senkt seinen Preis, die anderen ziehen nach. Standardbeispiel hierfür sind die Mineralölkonzerne mit ihren regelmäßigen Preisrunden, aber auch in der Automobilindustrie sind ähnliche Beobachtungen zu machen. Es stellt sich deshalb die Frage, ob es sich dabei um ein in irgendeiner Form abgestimmtes, wettbewerbswidriges Verhalten handelt oder ob sich ein solches Verhalten sehr wohl auf der Basis unabhängiger Einzelentscheidungen erklären lässt. Auch hier hilft die Oligopoltheorie weiter: Von J. Bertrand (8 900) stammt gewissermaßen das Zwillingsmodell zum Mengenduopol von Cournot. Bertrand geht davon aus, dass die mögliche Absatzmenge jedes einzel-

39 Lösungskonzepte für statische Spiele bei vollständiger Information 39 nen Oligopolisten zwar positiv vom Preis des Konkurrenten, dagegen negativ vom eigenen Preis abhängt, soweit es die Laufkundschaft betrifft. Die Stammkundschaft verhalte sich innerhalb einer bestimmten Preisspanne als preisunempfindlich. Daraus folgt für die Absatzfunktion der beiden Duopolisten: x = a b p +e p x = a b p +e p, wobei aus Symmetriegründen gelten soll: a =a =a; b =b =b; e =e =e. gelten soll. Zur Vereinfachung nehmen wir bei beiden Oligopolisten identische Produktionskostenstrukturen an. Hier sei bei der Vernachlässigung von fixen Kosten und bei Annahme konstanten Grenzkosten wiederum ein linearer Verlauf unterstellt: K =cx K =cx. Die entsprechenden Gewinnfunktionen lauten dann: G ( p, p ) = ( a bp + ep ) p cx G ( p, p ) = ( a bp + ep ) p cx. Notwendige Bedingungen für ein Gewinnmaximum sind: G a bp ep p = + = 0 G a bp ep p = + = 0. Die entsprechenden Reaktionsfunktionen lauten:

40 Lösungskonzepte für statische Spiele bei vollständiger Information 40 R R a+ ep p = b a+ ep p = b. Wie im Mengenduopol lässt sich zeigen, dass eine gleichgewichtige Lösung dort liegt, wo sich beide Reaktionskurven schneiden. Die im Gleichgewicht geforderten Preise stimmen aufgrund der unterstellten identischen Kostenfunktionen überein und betragen in diesem Fall ae + ab p = p =. 4b e Machen wir uns den jetzt relevanten Preiswettbewerb wieder an einem Beispiel klar. Gegeben sei: a = 3, b = ; c =,5; e =. Beim Wettbewerb um Kunden zwischen zwei differenzierten Gütern (z.b. Zeitschriften) gibt es einen Teil, der sich als Stammleser für eine Zeitschrift bereits entschieden hat sowie einen zweiten Teil, der im Preiswettbewerb von beiden Magazinen gewonnen werden kann. Die Produktionskosten liegen jeweils bei,50 Euro. Wird Zeitschrift zur Kundengewinnung zu einem aggressiven Preis (p ) von einem Euro angeboten, so folgt Zeitschrift dieser Strategie nicht, sondern wird einen Preis (p ) oberhalb der Produktionskosten festlegen beispielsweise zwei Euro, da auch wenn die gesamte bewegliche Kundschaft abwandert, durch die Stammleser noch ein positiver Gewinn realisiert werden kann. Erhöht Zeitschrift den Preis, so wird Zeitschrift dieser Preiserhöhung folgen, jedoch um einen geringeren Betrag, um so einen Wettbewerbsvorteil zu erhalten. Insofern ergibt sich eine Preisspirale in folgender Form: Falls die Zeitschrift einen Euro verlangt, kann Zeitschrift zu zwei Euro angeboten werden. Da dies Zeitschrift bekannt ist, wird sie mit,50 Euro an den Markt gehen. Die beste Antwort von Zeitschrift hierauf wird,75 Euro sein.

41 Lösungskonzepte für statische Spiele bei vollständiger Information 4 Wie die folgende Tabelle und Abbildung zeigen, lässt sich dieses sukzessive Gedankenspiel fortführen, bis die Preisänderungen nur noch minimal sind und der Verkaufspreis von drei Euro als Grenzwert erreicht ist. In diesem Punkt schneiden sich die beiden Reaktionsfunktionen, so dass der Preis von Zeitschrift die beste Antwort auf den Preis von Zeitschrift ist und umgekehrt. Somit kommt ein stabiles Nash-Gleichgewicht im Punkt A zustande. Periode p p 0,000,000,500,750,875,938 3,969,985 4,993,997 n 3,000 3,000 p 3,5 R R 3,0,5 A,0,5,0,0,5,0,5 3,0 3,5 p

42 Lösungskonzepte für statische Spiele bei vollständiger Information 4.4 Erweiterungen: Fokuspunkt und gemischte Strategien.4. Spielsituation mit mehreren Nash-Gleichgewichten Das Nash-Lösungskonzept ist weniger überzeugend, wenn mehrere Nash- Gleichgewichte möglich sind. Beispiel: Der Kampf der Geschlechter Mädchen und Junge treffen sich zufällig im Café und verlieben sich; Mädchen ist Eishockey-Fan und will heute Abend zum Spiel der Heimmannschaft; Junge ist Kinofan und will heute Abend in Ein Quantum Trost ; Beide wollen sich noch heute Abend wieder treffen, vergessen aber in der Hektik auszumachen, wo (Eishockey oder Kino?) Mädchen zieht Eishockey vor, Junge Kino. Wenn sie sich jedoch beide verpassen, hat keiner mehr Lust auf Eishockey oder Kino. Spieler: (Mädchen) (Junge) (Reine) Strategien: si = zum Eishockey si = ins Kino Junge Mädchen s s s Eishockey (3,)* Eishockey/Kino (0,0) s Kino/Eishockey (0,0) Kino (,3)*

43 Lösungskonzepte für statische Spiele bei vollständiger Information 43 Problem: Wird eines der Gleichgewichte realisiert? Falls ja: welches? Wird überhaupt eines realisiert? Lösungsansätze: (i) Fokus-Punkt Eines der beiden Gleichgewichte ist plausibler; Spieler haben etwa gemeinsame Erfahrungen und, darauf basierend, gleiche Erwartungen. Beispiel: Männer dominieren traditionell beide gehen ins Kino: (s /s ). (ii) Gemischte Strategien: Strategie wird durch Zufallsmechanismus etwa durch einen Münzwurf bestimmt s. u.

44 Lösungskonzepte für statische Spiele bei vollständiger Information Gleichgewichte in gemischten Strategien.4.. Einführung: Das Problem Manche von Ihnen werden sich an ein Spiel aus der Grundschule erinnern, bei dem der eine Spieler die Gerade Partei ist, der andere Ungerade. Es wird bis drei gezählt, dann hält jeder der Spieler einen oder zwei Finger hoch. Ist die Summe der Finger gerade, dann gewinnt Gerade, andernfalls gewinnt Ungerade. Nehmen wir an, der Verlierer zahlt dem Gewinner einen Dollar. Wir können dann die übliche Tabelle mit Gewinnen und Verlusten in Abhängigkeit von den gewählten Strategien aufzeichnen. In diesem Spiel gibt es kein Gleichgewicht, wenn die beiden Spieler nicht zufällig handeln. Stellen Sie sich vor Ungerade spielt mit Sicherheit. Dann würde Gerade immer gleichfalls die spielen. Jetzt dreht sich die Logik im Kreis: Weil Ungerade sicher ist, dass sein Gegner die spielt, setzt er auf. Gerade antwortet darauf aber wieder mit. Ungerade spielt dann, wir sind wieder am Anfang und ein Ende dieser Zirkelschlüsse ist nicht in Sicht.

45 Lösungskonzepte für statische Spiele bei vollständiger Information 45 Es gibt eine einfache Möglichkeit zu überprüfen, ob hier Zufälligkeit erforderlich ist. Man frage sich, ob es schaden kann, wenn Sie den anderen Spieler Ihren Zug wissen lassen, bevor er antwortet. Unberechenbarkeit ist notwendig, wenn es von Nachteil wäre, zuerst zu ziehen. Was würde passieren, wenn Sie bei unserem Fingerspiel zuerst ziehen würden? Sie würden immer verlieren. Irgendein beliebiges zufälliges Verhalten reicht aber noch nicht aus. Angenommen, Ungerade wählt einen Finger in 75 Prozent der Fälle, zwei Finger in 5 Prozent der Fälle. Gerade kann dann durch Wahl der in 75 Prozent der Fälle gewinnen und im Schnitt 0,5 Dollar pro Spiel gewinnen (0,75 x + 0,5 x ( ) = 0,5). Mit würde Gerade entsprechend 0,5 Dollar im Schnitt verlieren. Er würde also die wählen. Aber dann sollte Ungerade die wählen und nicht seinen 75:5 Mix. Diese Mischung würde die sukzessiven Runden des Nachdenkens über die Strategie des anderen nicht überleben. Es gibt mit anderen Worten eine Gleichgewichtsstruktur auf der Basis des zufälligen Verhaltens und diese gilt es nun zu berechnen. In unserem Beispiel ist die ganze Situation symmetrisch, der gleichgewichtige Mix muss also für beide Spieler betragen. Probieren wir es aus: Wenn Ungerade und gleich häufig wählt, dann gewinnt Gerade im Durchschnitt 0,5 x + 0,5 x (-) = 0 pro Spiel, und zwar sowohl wenn er, als auch wenn er spielt. Er gewinnt also ebenfalls 0 im Durchschnitt, wenn er seinen Mix spielt. Die beiden Mixe sind also jeweils die beste Antwort aufeinander, das heißt: ein Gleichgewicht. Eine solche Lösung wird als Gleichgewicht gemischter Strategien bezeichnet. Der Begriff verdeutlicht, dass die Spieler ihre Züge zufällig mischen müssen. In allgemeineren Situationen ergibt sich der Gleichgewichts-Mix nicht so einfach wie hier aus der Symmetrie, aber er gibt einfache Regeln, wie man ihn berechnen kann.

46 Lösungskonzepte für statische Spiele bei vollständiger Information Allgemeiner Lösungsansatz Man bezeichnet (mit i =,) s i (0,) als Wahrscheinlichkeit dafür, dass Strategie s i zur Anwendung kommt Dann ist (bei zwei reinen Strategien) die Wahrscheinlichkeit, dass die Strategie s i zur Anwendung kommt = s i Bestimme die Erwartungswerte E i (s, s ), dabei werden die Produkte aus Strategien-Payoffs und deren Eintrittswahrscheinlichkeiten aufsummiert. Das Nash-GG ermittelt man, indem für jeden Spieler der Erwartungswert maximiert wird und zwar im Hinblick die Eintrittswahrscheinlichkeit s i.4..3 Anwendung auf das Spiel Gerade / Ungerade und auf ein. Spiel a) Gerade Ungerade Spiel Wenn s gewählt wird s = ; wenn s gewählt wird s = 0 Wenn s gewählt wird s = ; wenn s gewählt wird s = 0

47 Lösungskonzepte für statische Spiele bei vollständiger Information 47 Der einfache Erwartungswertvergleich führt bereits zum Ziel; dabei berechnen wir für jeden Spieler und jede seiner Strategien den Erwartungswert der Auszahlungen: Es ( ) = s ( s) = s Es ( ) = s + ( s) = s Der Vergleich der Erwartungswerte ergibt: Es ( ) > Es ( ) s > s = s > / Es ( ) < Es ( ) s < s = s < / Es ( ) = Es ( ) s = s s = / Der Optimierungsansatz für Spieler liefert das gleiche Ergebnis: U = s s + ( ) s ( s ) + ( ) ( s ) s + ( s ) ( s ) = s s s + s s s + s s + s s + s s = 4 s s s s + = s s s s + ½ U s = s = 0 s = 0,5 ( s ) = 0,5 Spieler ist zwischen den Strategien s und s indifferent, wenn s = 0,5 Für s > 0,5 ist s optimal s =, es kommt nur die reine Strategie s in Frage. Für s < 0,5 ist s optimal s = 0, es kommt nur die reine Strategie s in Frage. Für s = 0,5 ist weder s noch s optimal, die Strategien werden randomisiert, dabei kommt jede Wahrscheinlichkeit zwischen Null und Eins in Frage: Es liegen gemischte Strategien vor. Aus der Sicht von Spieler ist: Es ( ) = s+ ( s) = s Es ( ) = s ( s) = + s