Unique Equilibrium in a Model of Self-fulfilling Currency Attacks

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1 Unique Equilibrium in a Model of Self-fulfilling Currency Attacks by Stephen Morris und Hyun Song Shin (The American Economic Review, June 1998, pp ) Vortrag von Philippe Armbruster und Enrico De Giorgi Seminar on Public Wealth Management 25. Juni 2002

2 Unique Equilibrium in a Model of Self-fulfilling Currency Attacks Part 1 I II III Einführung Perkekte Informationen Imperfekte Informationen Part 2 IV V VI Private und Öffentliche Informationen Transaktionskosten Schlussbemerkung c 2002 (E. De Giorgi, Ph. Armbruster) 1

3 Einführung Akteure: Regierung, Gruppe von Spekulanten (Kontinuum); Ausgangslage: fixierter Wechselkurs (Peg); Spekulanten können eine Währung attackieren (Leerverkäufe): Ein Angriff ist mit Kosten verbunden; Gewinn, wenn die Regierung abwertet. Regierung kann die Währung verteidigen oder abwerten: Verteidigung mit Kosten verbunden; Aufrechterhaltung des Pegs stiftet Nutzen für Regierung. Ob es zu einer Abwertung kommt, hängt ab: Vom Zustand der Wirtschaft; Vom Druck von Spekulanten. c 2002 (E. De Giorgi, Ph. Armbruster) 2

4 Notation und Definitionen θ Zustand der Volkswirtschaft. θ Uniform[0, 1]; f(θ) Wechselkurs falls keine Regierungsintervention. f (θ) > 0. e t α v c(α, θ) θ θ Von der Regierung fixierter Wechselkurs (Peg). e f(1). Kosten des Leerverkaufs für Spekulanten; Anteil Spekulanten, die beim Angriff teilnehmen; Nutzen der Währungsverteidigung für die Regierung; Kosten der Währungsverteidigung für die Regierung; Wirtschaftszustand, bei dem die Regierung indifferent ist zwischen Verteidigung und Aufgabe des Pegs. Wirtschaftszustand, bei dem die Spekulanten indifferent sind, ob sie angreifen oder nicht. c 2002 (E. De Giorgi, Ph. Armbruster) 3

5 Sicht der Spekulanten Jederzeit zwei Handlungsmöglichkeiten: Währung attackieren mit Kosten t>0; Angriff bleiben lassen. Payoff für Spekulanten: e f(θ) t, wenn der Angriff gelingt (Abwertung); t, wenn der Angriff nicht gelingt (Regierung verteidigt die Währung). c 2002 (E. De Giorgi, Ph. Armbruster) 4

6 Sicht der Regierung Die Regierung zieht einen Nutzen aus der Verteidigung des Pegs v>0 und trägt die Kosten für die Verteidigung c(α, θ). Somit ist der Payoff für die Regierung v c(α, θ). c 2002 (E. De Giorgi, Ph. Armbruster) 5

7 Modellannahmen Im schlechtesten Wirtschaftszustand (θ = 0), wird der Peg aufgegeben, selbst wenn keine Spekulanten angreifen (α = 0). c(0, 0) >v. Wenn alle Spekulanten angreifen (α = 1), wird der Peg auch im bestmöglichen Wirtschaftszustand (θ = 1) aufgegeben c(1, 1) >v. Im bestmöglichen Wirtschaftszustand (θ = 1), lohnt sich ein Angriff für die Spekulanten nicht, da die Abwertung zu gering wäre, um die Kosten der Spekulanten zu decken e f(1) <t. c α > 0, c θ < 0. c 2002 (E. De Giorgi, Ph. Armbruster) 6

8 Ripe for attack zone 1 e e t f(θ) v c(α, θ) c(0,θ) 0 θ 1 0 θ 1 c 2002 (E. De Giorgi, Ph. Armbruster) 7

9 Gleichgewichte θ ist der Wert von θ, beim dem c(0,θ)=v gilt (Regierung ist indifferent, ob sie den Peg verteidigt). θ ist der Wert von θ, beidemf(θ) =e t gilt (Spekulanten sind indifferent, ob sie sie Währung attackieren). 0 c(0,θ) v θ θ e f(θ) <t 1 Abwertung Reif für Angriff Kein Angriff c 2002 (E. De Giorgi, Ph. Armbruster) 8

10 Imperfekte Information Staat beobachtet das realisierte θ Uniform[0, 1]; Spekulant i =1,,I beobachtet nur ein Signal x i [0, 1], wobei x i Uniform[θ ɛ, θ + ɛ] i.i.d., ɛ>0; Spekulanten entscheiden: attack oder don t attack; Staat beobachtet den Anteil α der Spekulanten, die attackieren und entscheidet: Währung verteidigen oder Peg e aufgeben. G ab e f(θ) t θ x i S a da G d ab t 0 d 0 c 2002 (E. De Giorgi, Ph. Armbruster) 9

11 Beispiel Man betrachtet die Menge von 2 2-Spielen G = {g(θ) θ R}, wobei g(θ) folgende Normalform besitzt α 2 β 2 α 1 θ, θ θ, 0 β 1 0,θ 4, 4 Für θ>4 Eine strickte dominante Lösung α =(α 1,α 2 ); Für θ<0 Eine strickte dominante Lösung β =(β 1,β 2 ); Für θ (0, 4) α, β sind beide Nash-Gleichgewichte. c 2002 (E. De Giorgi, Ph. Armbruster) 10

12 Beispiel (Fort.) Annahmen: θ ist die Realisierung einer ZV Θ Unif[θ, θ] (θ < 0, θ>4). Spielern i =1, 2 beobachten i.i.d. Signalen X i Unif[θ ɛ, θ + ɛ]. Wir haben E [ ] G(α i ) X i = x i = xi und E [ ] G(β i ) X i = x i 0; Θ X i = x i Unif[x i ɛ, x i + ɛ]; X i X j = x j symmetrisch(x j )auf[x j 2ɛ, x j +2ɛ]. Beispiel: Spieler 1 beobachtet x 1 0. Dann E [ G(α 1 ) X 1 =0 ] 0; Spieler 1 weiss, dass Spieler 2 mit Ws. 1 2 die Strategie β 2 wählt. Spieler 1 wird β 1 wählen, da erwarte Auszahlung 2. c 2002 (E. De Giorgi, Ph. Armbruster) 11

13 Beispiel (Fort. 2) Sei x i kleinsten Signal so, dass Spieler i Strategie α i nicht eliminieren kann. x 1 = x 2 = x da Spiel symmetrisch; Falls x j = x, dann Spieler i wählt die Strategie β i mit Ws Somit erwarte Auszahlung von Strategie β j ist 2; Falls x j = x, dann die erwartete Auszahlung von α j ist x ; x 2. Analog kann es gezeigt werden, dass die Strategie β i für x i 2 elimiert wird. Dh. es wird für einen Gleichgewicht selektiert. c 2002 (E. De Giorgi, Ph. Armbruster) 12

14 Reduced-Form Game Gegeben θ [θ, 1], es existiert ein eindeutiges a(θ) [0, 1] so dass c(a(θ),θ)=v. a(θ) entspricht der kleinsten Perzentualen von attackierenden Spekulanten, die zur Aufgabe des Pegs führt, falls realisiertes Fundamental gleich θ ist. Für θ [0,θ), a(θ) =0. Somit ist die Strategie des Staates eindeutig bestimmt Währung Verteidigen α<a(θ). 1 1 a(θ) v c(a(θ),θ) c(0,θ) 0 θ θ 1 0 θ 1 c 2002 (E. De Giorgi, Ph. Armbruster) 13

15 Reduced-Form Game (2) Gegeben die optimale Strategie für den Staat, kann man die Auszahlungen der Spekulanten in das reduced-form game characterisieren. Wir definieren das Profil der Strategie als eine Funktion π :[0, 1] [0, 1],x π(x) die angibt, welcher Anteil der Spekulanten attackiert gegeben ein Signal x. Definition s(θ, π) =E [ π(x) θ ] ; A(π) ={θ [0, 1] s(θ, π) a(θ)}; h(θ, π) = { e f(θ) t if θ A(π) t if θ/ A(π) = [e f(θ)] 1 A(π) (θ) t; u(x, π) =E [ h(θ, π) x ]. c 2002 (E. De Giorgi, Ph. Armbruster) 14

16 Gleichgewicht Spekulanten können sich eine Auszahlung von Null sicherstellen. Die Entscheidung zu attackieren - gegeben ein Signal x -hängt davon ab, ob u(x, π) grösser oder kleiner als Null ist. Definition Ein Profil der Strategie, π, heisst Gleichgewicht des reduzierten Spiels - gegeben die optimale Strategie des Staates - falls u(x, π) > 0 π(x) =1, u(x, π) 0 π(x) =0. Bemerkung Man kann zeigen, dass u(k, I k ) streng monoton fallend in k und stetig ist. Weiter existiert ein eindeutiges x, so dass u(x,i x )=0; Ein Gleichgewicht π ist durch die Treppenfunktion I x charakterisiert, wobei x unabhängig von π ist. eindeutig c 2002 (E. De Giorgi, Ph. Armbruster) 15

17 Gleichgewicht (2) 1 I k u(0,i 0 ) 0 x u(,i ) 1 0 [ k 1 u(1,i 1 ) c 2002 (E. De Giorgi, Ph. Armbruster) 16

18 Theorem 1 Es existiert ein eindeutiges θ, so dass der Staat bei allen Gleichgewichten π des Spiels mit nichtperfekten Informationen den Peg aufgibt and zwar genau wenn θ θ. 1 s(θ, I x ) a(θ) 0 x ɛ θ x + ɛ Bemerkung θ und x hängen beide von ɛ ab! c 2002 (E. De Giorgi, Ph. Armbruster) 17

19 Private and public information Perfekte Informationen: Keine Unsicherheit über θ, und Common knowledge hypothesis, dh. gemeinsame Kenntnisse über die Kenntnisse der anderen Spielern Öffentliche Informationen. Imperfekte Informationen: Unsicherheit über θ und keine gemeinsamen Kenntnisse über die Kenntnisse der anderen Spielern Private Informationen. Beispiel Spieler i wählt Don t attack genau dann wenn er weiss, dass θ>θund dass die andere das auch wissen. Stategien π n = I θ+nɛ für n =1, 3, 5,. ɛ +ɛ x j x i 0 θ x k ɛ +ɛ c 2002 (E. De Giorgi, Ph. Armbruster) 18

20 Theorem 2 (Revidierte Version: Frank Heinemann, Unique Equilibrium in a Model of Self- Fulfilling Currency Attacks: Comment, The American Economic Review, Vol. 90, No. 1, pp ) Falls ɛ 0, dann θ (ɛ) θ 0 (θ, θ), wobei θ 0 eindeutig löst (1 a(θ 0 )) ( e f(θ 0 ) ) = t. Bemerkung Auch für ɛ das gegen 0 strebt, gibt es keine gemeinsamen Kenntnisse (n strebt gegen ) und somit erreicht man ein eindeutiges Gleichgewicht. Spekulanten müssen erwartete Gewinne und Verluste vergleichen. Sie attackieren nur falls der erwartete Payout positiv ist. c 2002 (E. De Giorgi, Ph. Armbruster) 19

21 Theorem von Sbracia und Zaghini (M. Sbracia, A. Zaghini (2001), Expectations and information in second generation currency crises models, Economic Modelling, 18, pp ) Annhame: Spekulanten beobachten ein einziges Signal x [θ δ, θ + δ] (dh. x ist gleich für alle Spekulanten). wenn δ (θ θ)/4, dann existiert ein Teilinterval M = (m 1,m 2 ] [0, 1], mit m 1 (θ,θ +2δ) und m 2 (θ 2δ, θ +2δ), so dass für θ M, das Spiel mit imperfekten aber öffentlichen Informationen mehrere Gleichgewichte hat. PUBLIC INFORMATION Attack/Devalue Multiple Equilibria Don t Attack/Defend 0 m 1 θ m 2 1 m 2 Attack/Devalue Don t Attack/Defend PRIVATE INFORMATION c 2002 (E. De Giorgi, Ph. Armbruster) 20

22 Transaktionskosten Aus Theorem 2, falls ɛ 0, θ (ɛ) θ 0,wobei Es folgt, dass θ 0 = θ 0 (t, e ) und (1 a(θ 0 ))(e f(θ 0 )) = t. Somit: θ 0 t < 0. Höhere Transaktionskosten vermindern die Wahrscheinlichkeit von Währungskrisen, indem sie den Gleichgewichtspunkt θ 0 nach unten verschieben. c 2002 (E. De Giorgi, Ph. Armbruster) 21

23 Vollständigen Informationen: Schlussbemerkung Multiple Gleichgewichte in der ripe for attack zone. Selektionskriterium Private und unvollständigen Informationen: Eindeutiges Gleichgewicht; Falls öffentliche aber unvollständigen Informationen (alle beobachten dasselbe Signal), hat man wieder multiple Gleichgewichte in der ripe for attack zone. Spielraum für die Regierung: Transparenz schaffen bezüglich θ; Transaktionskosten für Leerverkäufe erhöhen. c 2002 (E. De Giorgi, Ph. Armbruster) 22