Das Singularitätentheorem von Hawking Teil 2

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1 Das Singularitätentheorem von Hawking Teil Jakob Hedicke In diesem Vortrag werden wir den Beweis des Singularitätentheorems von Stephen Hawking vervollständigen. Im letzten Vortrag wurde bereits gezeigt, dass in einer global hyperbolischen Raumzeit, welche die starke-energie-bedingung erfüllt, alle Geodäten einer bestimmten Länge, die orthogonal zu einer Cauchy- Hyperäche mit negativer Expansion verlaufen, einen konjugierten Punkt besitzen. Auÿerdem wurde bewiesen, dass diese Geodäten nach dem konjugierten Punkt nicht mehr die Eigenzeit maximieren. Diese Aussagen werden wir im Folgenden nutzen um die Existenz unvollständiger Geodäten zu zeigen. 5 Beweis des Singularitätentheorems Satz 5. Sei (M, g) eine global hyperbolische Raumzeit mit Cauchy-Hyperäche S und sei p D + (S). Dann gibt es eine zeitartige Geodäte von S nach p, welche die maximale Länge aller zeitartigen Kurven von p nach S annimmt und orthogonal zu S verläuft. Beweis. Sei T (S, p) die Menge aller zeitartigen Kurven von S nach p. Jede solche Kurve ist bis auf Parametrisierung eindeutig durch ihr Bild in M bestimmt, da sich für alle Kurven die globale Zeitfunktion als Parameter wählen lässt. Das Bild einer solchen Kurve ist kompakt und liegt in A = D + (S) J (p). Die Menge A ist kompakt (Satz 4., Vortrag 8). Aus der Menge C(A) aller kompakten Teilmengen von A lässt sich ein kompakter metrischer Raum konstruieren (siehe z.b. []). Hierzu wird die Hausdor-Metrik d H verwendet: Sei d eine Metrik auf M, welche die Topologie auf M erzeugt. Dann denieren wir für zwei kompakte Teilmengen K und L von A d H (K, L) := inf{ɛ > 0 K U d ɛ (L) und L U d ɛ (K)} Damit ist C(S, p) := T (S, p) eine kompakte Teilmenge von C(A) bezüglich d H (hier werden die Kurven in T (S, p) mit ihren Bildern identiziert).

2 Lemma 5. Die Menge C(S, p) kann mit der Menge aller stetigen kausalen Kurven von S nach p identiziert werden (eine stetige Kurve c heiÿt kausal, falls c(t ) J + (c(t )) für t > t ). Beweis. Sei c C(S, p) und c n T (S, p) eine Folge, die gegen c konvergiert. Betrachte die Cauchy-Fläche S a := t (a). Angenommen c S a = für ein a [0, t(p)]. Da c und S a abgeschlossen sind, gibt es ein ɛ > 0 mit Uɛ d (c) Uɛ d (S a ) =. Dies führt aber zu einem Widerspruch, da alle c n S a schneiden. Ebenso zeigt man, dass c S a = für a / [0, t(p)]. Sei π a : C(S, p) C(S a ) γ γ S a. Die Abbildung π a ist stetig bezüglich der Hausdor-Metrik auf C(S a ): Sei K C(S a ) und γ 0 πa (U d H ɛ (K)). Dann gilt nach Denition der Hausdor-Metrik auch γ S a U d H ɛ (K) für γ U d H ɛ (γ 0 ). Also gilt π a (c n ) π a (c). Da alle c n die Menge S a nur an einem Punkt schneiden, muss auch c S a eine Einpunktmenge sein. Die Menge c lässt sich demnach als Bild einer durch die globale Zeitfunktion parametrisierten Kurve c: [o, t(p)] M von S nach p auassen. Es bleibt zu zeigen, dass c kausal und stetig ist. Seien a, b [0, t(p)] mit a < b. Dann gilt c n (a) c(a), c n (b) c(b) und c n (b) I + (c n (a)). Sei q M mit c(a) I + (q) q I (c(a)). Da I + (q) oen ist, gilt für n groÿ genug auch c n (a) I + (q), also auch c n (b) I + (q). Es folgt, dass c(b) I + (q) = J + (q) q J (c(b)) (Korollar 4.7, Vortrag 8). Weil es eine Folge q n I (c(a)) gibt die gegen c(a) konvergiert, muss c(a) in J (c(b)) liegen. Damit haben wir gezeigt, dass c kausal ist. Nun folgt der Beweis der Stetigkeit: Sei a n a eine aufsteigende Folge in [0, t(p)]. Da c kompakt ist, besitzt jede Teilfolge von c(a n ) eine konvergente Teilfolge. Der Grenzwert q dieser Teilfolge muss in S a liegen (t ist stetig). Angenommen q c(a). Dann gilt aber q / J (c(a)). Dies ist ein Widerspruch, da J (c(a)) abgeschlossen ist und c(a n ) J (c(a)) für alle n. Also konvergiert die Teilfolge der Teilfolge von c(a n ) gegen c(a). Da jede Teilfolge eine Teilfolge besitzt, die gegen c(a) konvergiert, muss auch c(a n ) gegen c(a) konvergieren. Analog lässt sich für absteigende Folgen argumentieren. Wir wollen die Eigenzeit auch für stetige, kausale Kurven denieren. Hierfür wird das folgende Lemma benötigt. Lemma 5.3 Die Eigenzeit τ : T (S, p) R

3 c t(p) 0 c (t) dt ist halbstetig von oben, also stetig bezüglich d H und der Topologie O = {(, a) a } auf R. Beweis. Sei c T (S, p) durch Eigenzeit u(t) parametrisiert. Durch Wahl eines geeigneten Koordinatensystems lässt sich zeigen, dass die Funktion u(t) für hinreichend kleines ɛ auf Uɛ d (c(t)) so fortgesetzt werden kann, dass grad u zeitartig ist und auf c mit c übereinstimmt. Sei γ U d H ɛ T (S, p). Dann liegt γ(t) nach Denition der Hausdor-Metrik in Uɛ d (c(t)) für beliebiges t. Da die Levelmengen von u in einer kleinen Umgebung um c raumartig sind, lässt sich u als Parameter von γ verwenden. Es gilt du(γ ) =, also γ, grad u =. Damit lässt sich γ in einen zu grad u tangentialen und einen orthogonalen Anteil zerlegen mit γ = grad u + X, grad u, grad u wobei X raumartig ist (ein Tangentialvektor ist genau dann zeitartig, wenn sein orthogonales Komplement nur raumartige Vektoren enthält). Es gilt also γ = + X, X grad u, grad u. Sei δ > 0. Da grad u, grad u = entlang c, lässt sich ɛ so wählen, dass ( grad u, grad u < + δ ) τ(c) auf U d ɛ (c). Es folgt τ(γ) = τ(c) u(γ S) γ du = τ(c) u(γ S) X, X grad u, grad u du < τ(c) u(γ S) ( + δ ) ( du = + δ ) (τ(c) u(γ S)). τ(c) τ(c) 3

4 Wählt man ɛ so, dass auf S U d ɛ (c), folgt u < ( τ(c) + ) δ τ(γ) < τ(c) + δ. Man ndet also um c τ (, a) eine Umgebung U d H ɛ (c) τ (, a). Für die Fortsetzung von τ auf C(S, p) wird noch eine weitere Aussage benötigt: Lemma 5.4 Die Eigenzeit τ ist auf T (S, p) beschränkt. Beweis. Zunächst zeigen wir, dass τ in jeder einfachen Umgebung U beschränkt ist. Dort ist die Exponentialfunktion für alle p U ein Dieomorphismus aufs Bild. Sei H : T p M R die stetige Abbildung mit H(v) = v für v im Zukunftslichtkegel von T p M und H(v) = 0 sonst. Wir können also folgende Abbildung denieren: τ : U U R; (p, q) H(exp p (q)) Diese nimmt die Eigenzeit der zeitartigen Geodäte von p nach q an. Da U präkompakt ist und τ stetig, folgt die Beschränktheit von τ auf U. Die Funktion τ lässt sich auch auf einer normalen Umgebung denieren die U enthält, τ besitzt dann in U U ein Maximum. Sei γ eine zeitartige Kurve, die in U verläuft. Dann können wir die Eigenzeit τ(γ) durch max (p,q) U U τ(p, q) abschätzen, da zeitartige Geodäten in normalen Umgebungen die Eigenzeit maximieren. Da A kompakt ist, können wir eine Überdeckung von A durch endlich viele einfache Umgebungen U,..., U k nden. Sei γ T (S, p). Die Kurve γ lässt sich damit durch endlich viele einfache Umgebungen überdecken. Da M global hyperbolisch ist, durchläuft γ ein U i höchstens ein einziges Mal, schneidet den Rand von U i also höchstens zweimal. Andernfalls könnte man eine geschlossene zeitartige Kurve konstruieren, indem man zwei der Schnitte zwischen denen γ nicht in U i verläuft, durch eine zeitartige Geodäte verbindet. Damit gilt τ(γ) k max τ(p, q). (p,q) U i U i i= Wir setzen nun den Beweis von Satz 5. fort: Die Eigenzeit τ lässt sich wie folgt auf C(S, p) fortsetzen: τ(c) := lim sup{τ(γ) γ U d H ɛ T (S, p)}. ɛ 0 4

5 Das Supremum existiert, da τ auf T (S, p) beschränkt ist. Die Fortsetzung von τ ist also wohldeniert, weiterhin stimmt diese Denition auf T (S, p) mit der vorigen überein. Die Eigenzeit τ ist auch auf C(S, p) halbstetig von oben: Wähle für δ > 0 und c C(S, p), ɛ > 0 so, dass τ(γ) < τ(c) + δ für γ U d H ɛ (c) T (S, p). Dann gilt τ(c ) τ(c) + δ < τ(c) + δ für c U d H ɛ (c). Bezüglich der Topologie O auf R haben alle kompakten Mengen ein Maximum, also nimmt τ auf C(S, p) ein Maximum an. Es muss also gezeigt werden, dass dieses Maximum von einer zeitartigen Geodäte angenommen wird. Sei c ein Maximum von τ. Wir überdecken c durch endlich viele normale Umgebungen und wählen Punkte S p,, p k = p auf c, sodass das Stück in c zwischen p i und p i in einer normalen Umgebung enthalten ist. Sei c n eine Folge in T (S, p), sodass c n c und τ(c n ) τ(c). Wir können c n so wählen, dass für p i,n := c n t (t(p i )) das Stück auf c n zwischen p i,n und p i,n in einer normalen Umgebung liegt. Dann können wir c n durch eine stückweise Geodäte γ n ersetzen, die jeweils p i,n und p i,n durch eine Geodäte verbindet. Damit folgt τ(γ n ) τ(c n ), also τ(γ n ) τ(c). Auÿerdem gilt γ n γ, wobei γ eine stückweise Geodäte zwischen p i und p i ist. Es folgt τ(γ) = τ(c). Die Kurve γ muss glatt und zeitartig sein, da wir sonst in einer normalen Umgebung zwei Punkte auf γ nden würden, die wir durch die eindeutige zeitatige Geodäte maximaler Länge verbinden könnten, sodass eine längere Kurve als γ zwischen S und p entstünde (verallgemeinertes Zwillingsparadoxon). Auÿerdem muss γ orthogonal zu S verlaufen, andernfalls könnte man mittels eines synchronisierten Koordinatensystems um γ(0) eine längere Kurve konstruieren. Mit diesem Satz sind wir nun in der Lage das Singularitätentheorem zu beweisen. Theorem (Hawking) 5.5 Sei (M, g) eine global hyperbolische Raumzeit, welche die starke Energie Bedingung erfüllt und auf einer Cauchy-Hyperäche S die Ausdehnung θ θ 0 < 0 besitzt. Dann ist M singulär. Beweis. Angenommen es gäbe eine zukunftsweisende zeitartige Geodäte c mit τ(c) > τ 0 = 3 θ 0, die orthogonal zu S verläuft und mit Eigenzeit parametrisiert ist. Sei ɛ > 0 so, dass c auf [0, τ 0 + ɛ] deniert ist und sei p = c(τ 0 + ɛ). Damit liegt p in D + (S) und mit dem vorigen Satz, gibt es eine zeitartige Geodäte γ orthogonal zu S mit τ(γ) τ 0 + ɛ. Nach Lemma.7 gibt es dann aber einen konjugierten Punkt auf γ mit Abstand kleiner oder gleich τ 0 von S. Da aber γ danach mit Satz 3. nicht mehr maximierend ist, führt dies zu einem Widerspruch. 5

6 Wie bereits in den vorigen Vorträgen gezeigt wurde, besitzen die Meisten der üblichen Raumzeiten Singularitäten. Es gbt aber auch Beispiele, für die das Singularitätentheorem nicht gilt. Der Minkowskiraum beispielsweise besitzt keine Singularitäten. Das Theorem lässt sich hier nicht anwenden, da keine Cauchy- Hyperächen mit negativer Expansion existieren. Literatur [] S. W. Hawking und G. F. R. Ellis, The large scale structure of space-time, Cambrige University Press, 973 [] J. Munkres, Topology, Prentice-Hall, 000. [3] L. Godinho und J. Natário, An introduction to Riemannian Geometry. With Applications to Mechanics and Relativity, Springer Universitext, 04. 6